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Page 683-695
Vous consultezPrésentation d’une propriété nouvelle des multiplicateurs de Lagrange et application à la fonction de coût d’une firme avec produits liés
AuteurAxel Pierru du même auteur
Résumé
Dans le cadre d’un problème classique d’optimisation sous contraintes, nous mettons en évidence une propriété nouvelle des multiplicateurs de Lagrange: à l’optimum, le produit de la valeur de la fonction objectif par son élasticité d’échelle est égal à la somme des produits de chaque multiplicateur de Lagrange par le second membre et par l’élasticité d’échelle de la contrainte correspondante. En d’autres termes, lorsque la fonction valeur d’un problème d’optimisation sous contraintes est exprimée en fonction des seconds membres de ces contraintes, une forme générale de la propriété d’Euler est vérifiée. Nous appliquons cette propriété à la détermination de la fonction de coût d’une firme multiproduits, lorsque le vecteur des quantités de biens obtenues à partir d’une combinaison donnée de facteurs peut être représenté par une fonction de production vectorielle. Notre approche conduit alors à proposer une clé de répartition du coût particulièrement pertinente. Le coût alloué à un produit donné correspond, sous certaines hypothèses, au coût moyen d’une forme décentralisée de production de ce seul produit.
Mots clés
multiplicateurs de Lagrange, fonction de coût, produits liés, coût marginal, élasticité d’échelle
A novel property of Lagrange multipliers and its application to the cost function of a multiproduct firm We show a simple but novel property of Lagrange multipliers in non-linear constrained optimization: at the optimum, the product of the objective function value with its scale elasticity is equal to the sum of the products of every Lagrange multiplier with the right-hand side coefficient and the scale elasticity of the corresponding constraint equation. In other words, when the value of a constrained optimization problem is considered as a function of the right-hand-side coefficients of the constraints, a general form of the Euler’s theorem holds. We apply our result to the determination of the cost function of a multiproduct firm, when using the process analysis approach. In this case, a vector-valued production function is assumed to exist, each element in which being the production function (or, more generally, the demand constraint) of a given output. In perfect competition, the cost function of the firm is equal to the sum of the products of every marginal cost, the scale elasticity and the value of the corresponding output production function. This leads to a cost-allocation rule among products which is particularly relevant. Under certain assumptions, the cost allocated to a given product is equal to the average cost of a decentralized production of this sole product.
Keywords
Lagrange multipliers, cost function, multiproduct firm, marginal cost, scale elasticity, Euler’s theorem
PLAN DE L'ARTICLE
- 1. Introduction
- 2. Proposition d’un théorème en optimisation sous contraintes
- 2.1. Notations et rappel du concept d’élasticité d’échelle
- 2.2. Enoncé du théorème
- 2.3 Démonstration
- 2.4. Interprétation et cas particuliers
- 3. Fonction de cout d’une firme multi-produits
- 3.1. Proposition d’une clé de répartition du coût de la firme
- 3.2. Interprétation de l’allocation proposée : coût moyen d’une forme décentralisée de production de chaque bien
- Annexe
