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Revue d'histoire des sciences

2009/1 (Tome 62)

  • Pages : 340
  • Affiliation : Numéros antérieurs disponibles sur www.persee.fr

  • ISBN : 9782200925987
  • DOI : 10.3917/rhs.621.0177
  • Éditeur : Armand Colin

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Introduction

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Quelles sont les contributions françaises ayant joué un rôle que l’histoire mérite de rappeler, dans l’évolution des conceptions de la logique mathématique et dans son développement, entre les deux guerres mondiales ? Il y en a peu, presque toutes de la dernière décennie de cette période.

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Jean Van Heijenoort, dans sa Préface aux Écrits logiques de Jacques Herbrand, en donne quelques-unes des raisons [1][1] Jacques Herbrand, Écrits logiques, éd. par Jean Van... :

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« Dans la première moitié du vingtième siècle, un mauvais sort semble s’être acharné sur la logique en France. Elle eut contre elle les préjugés de Poincaré, puis une série de morts prématurées lui enleva plusieurs de ses champions. Couturat fut tué le 3 août 1914, dans un accident d’automobile provoqué par une voiture militaire qui acheminait des ordres de mobilisation. Nicod mourut de maladie en 1924, à l’âge de trente et un ans. Herbrand mourut à vingt-trois ans, le 27 juillet 1931, dans un accident de montagne. Cavaillès et Lautman furent fusillés par les Allemands, l’un au début de 1944, l’autre le 1er août 1944, pour activités de résistance. »

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Ces raisons ne sont pas les seules. Une autre pourrait venir de l’existence en France, depuis les institutions napoléoniennes, d’une orientation à l’issue de l’école primaire, isolant les élèves doués pour les sciences des élèves doués pour les belles-lettres. Ce cloisonnement perdure dans la plupart des établissements d’enseignement supérieur durant le dix-neuvième siècle. L’attention des philosophes n’est pas attirée sur les travaux des mathématiciens algébrisant ou formalisant la logique, d’autre part jugés mineurs par les mathématiciens qui, tenant la logique comme relevant de la seule bonne pratique naturelle de leur art, n’y ont guère porté d’intérêt avant les débats sur les axiomatisations de géométries diversifiées.

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Certes, une évolution se dessine durant la dernière décennie sous l’influence des travaux de Georg Cantor et de Richard Dedekind, de Giuseppe Peano et de ses collaborateurs, et des rappels des conceptions de Leibniz reproduites dans ses Mathematische Schriften dont la publication par Gerhardt [2][2] Gottfried Wilhelm Leibniz, Mathematische Schriften,... vient alors de prendre fin, puis de la consultation de son Nachlass par Louis Couturat, qui en publie des extraits inédits [3][3] Louis Couturat, La Logique de Leibniz d’après des documents.... Des philosophes vont s’astreindre à l’étude de ces travaux, et les jeunes élèves de l’École normale supérieure dont Jean Van Heijenoort cite les noms, tous solidement formés aux mathématiques, à commencer par Couturat, vont s’intéresser à la logique et aux travaux récents les plus marquants. Ainsi s’amorce, puis s’entretient en France, en dépit de la méfiance tenace et des mises en garde de la plupart des mentors mathématiciens, une ouverture qui va peu à peu s’étendre de philosophes vers des mathématiciens et physiciens.

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Le présent travail ne vise ni une étude exhaustive des contributions françaises ni même une étude complète des principaux travaux, qui eussent requis sensiblement plus de place. Il nous semble cependant qu’au fil des idées émises dans les citations des contributeurs que nous allons évoquer se dessine en filigrane une aventure intellectuelle collective, certes mal connectée la plupart du temps avec celles qui se déroulent au même moment dans d’autres pays, mais qui n’en va pas moins de l’avant ; c’est elle notre principal objet d’étude. Suivant un ordre à peu près chronologique, nous évoquerons notamment les orientations de Jean Nicod, les travaux de Herbrand, des idées d’Albert Lautman ; puis, la promotion, par Paulette Février et Jean-Louis Destouches, d’une logique visant à esquiver des contradictions en physique en se départissant de la logique classique, et les idées de Marc Krasner et de Nicolas Bourbaki sur la notion abstraite de structure mathématique, invoquée par Lautman. Par contre, nous laisserons de côté les travaux de Jean Cavaillès, qui explorait l’histoire de la philosophie des mathématiques depuis Cantor et celle de leur formalisation pour en constater les impasses et leur chercher des issues philosophiques raisonnables ; en matière de logique, il n’a pas eu le loisir, ni peut-être le désir, de défricher des voies nouvelles [4][4] À quelques rares exceptions près de traductions françaises....

L’âge de la philosophie des théories déductives en France

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Durant les vingt premières années du vingtième siècle, la documentation traitant en français de logique au-delà de la syllogistique traditionnelle et produite en France, en dehors de l’intervention d’Alessandro Padoa [5][5] Alessandro Padoa, Essai d’une théorie algébrique des... au congrès international de philosophie de 1900 et de la traduction de l’adresse de David Hilbert [6][6] David Hilbert, Sur les fondements de la logique et... au congrès international des mathématiciens de 1904, est constituée principalement, d’abord, des ouvrages de Couturat parus en 1905, L’Algèbre de la logique[7][7] Louis Couturat, L’Algèbre de la logique (Paris : GV,... et Les Principes des mathématiques[8][8] Id., Les Principes des mathématiques (Paris : A, 1..., qui résume l’ouvrage homonyme de Bertrand Russell [9][9] Bertrand Russell, The Principles of mathematics, vol... paru deux ans auparavant ; puis, d’un recueil de conférences de Padoa [10][10] Alessandro Padoa, La Logique déductive dans sa dernière..., où l’influence des premiers travaux de Russell se fait sentir. Elles traitent principalement de théories hypothético-déductives et de leurs interprétations, renvoyant à des formalisations dont l’explicitation éventuelle reste conforme à celles de Peano et de Russell ; les « dictionnaires » dont Henri Poincaré se sert depuis longtemps pour expliquer divers modèles de la géométrie de Nikolaj I. Loba?evskij dans la géométrie euclidienne restent les illustrations les plus diffusées de rudiments de telles théories.

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Par des polémiques dans la Revue de métaphysique et de morale, la persistance de recherches en logique est connue aussi, et leur pertinence, discutée [11][11] Voir Poincaré, Russell, Zermelo et Peano, textes réunis.... En raison de la Grande Guerre et de la disparition de Couturat, l’influence des Principia mathematica[12][12] Alfred North Whitehead, Bertrand Russell, Principia... d’Alfred North Whitehead et Russell, parus de 1910 à 1913, restera faible avant les contributions de Nicod.

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Auparavant paraît en 1921 un petit livre sur La Structure des théories déductives[13][13] Louis Rougier, La Structure des théories déductives... de Louis Rougier, où celui-ci tire, des travaux rappelés plus haut, une critique vive et pertinente des insuffisances et des ambiguïtés des expositions traditionnelles de la logique, et présente à leur encontre une vaste synthèse rapide de ces travaux, qui couvre jusqu’à ceux de Hilbert [14][14] David Hilbert, Grundlagen der Geometrie : Festschrift... de 1899. Dès la préface, l’auteur renvoie [15][15] Rougier, op. cit. in n. 13, XIV. à « la méthode axiomatique de David Hilbert » et soutient [16][16] Ibid., XV. que « [l]e caractère formel de toute théorie déductive est, avec la découverte du rôle des principes formateurs, la thèse capitale de cet ouvrage ». Car [17][17] Rougier, op. cit. in n. 13, 12., « les principes propres des sciences déductives n’ont […] aucune valeur de vérité : […] ce sont des fonctions propositionnelles, qui ne sont ni vraies ni fausses, mais sont susceptibles de devenir telles, moyennant certaines interprétations des variables qui y figurent ». Alors [18][18] Ibid., 68., « [p]uisque la vérité des propositions que l’on déduit est indépendante de l’interprétation des notions premières sur lesquelles on raisonne, une théorie déductive a un caractère purement formel, indépendant de la matière à laquelle on l’applique. C’est une sorte de schème logique, un barême de déductions toutes faites, qui peuvent s’appliquer aux objets matériellement les plus divers, pourvu que ceux-là vérifient les relations énoncées, dans les propositions premières, entre les symboles non définis de la théorie ». Le pas le plus important, au-delà des idées qu’expose Padoa [19][19] Padoa, op. cit. in n. 5. en 1900, est dans l’insistance sur ce que les interprétations sont « données après coup[20][20] Rougier, op. cit. in n. 13, XV. ». Une distinction pénétrante [21][21] Ibid., 2. est faite entre la « vérité formelle », « accord de nos pensées entre elles », que possèdent en tant que tels les théorèmes d’une théorie déductive, et la « vérité matérielle (intuitive ou empirique) », « accord de nos pensées avec les faits » de l’expérience ou de l’intuition, que ces théorèmes possèdent ou non selon une interprétation des notions premières. Le terme « structure » du titre est entendu en son sens commun : un chapitre s’intitule « L’économie des théories déductives ». Les limites de l’ouvrage sont perceptibles dans l’absence de toute prescription relative au bon usage des variables ; d’autre part, certains passages, hâtifs et imprécis, mériteraient une étude critique détaillée qui ne trouve pas sa place ici.

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Dans la première partie de sa thèse principale sur La Géométrie dans le monde sensible[22][22] Jean Nicod, La Géométrie dans le monde sensible (Paris..., parue en 1924 peu après son décès, Jean Nicod reprend, du legs dont traite Rougier, ce qu’il lui faut pour fonder ses propres recherches sur la géométrie, mais infléchit le point de vue d’exposition de ce legs et l’enrichit de contributions notables.

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Contrairement à ce que feront ses successeurs dans les années vingt, Nicod se place du point de vue de la seule vérité matérielle, débute son introduction en ces termes : « Les propositions concernant les corps qui nous entourent, du moins toutes celles qui sont un peu particulières, n’admettent pour critère de leur vérité que l’expérience [23][23] Nicod, op. cit. in n. 22, 9. », et s’y tient. Aux interprétations de ses prédécesseurs, il substitue des systèmes de sens[24][24] Ibid., 17., dit-il, en étendant aux variables logiques le langage des algébristes rappelé par Rougier à propos des équations algébriques [25][25] Rougier, op. cit. in n. 13, 78., assignés[26][26] Nicod, op. cit. in n. 22, 12 et 16 sqq. aux notions primitives[27][27] Ibid., 20. d’un système de principes ou d’axiomes, qui peut être formel[28][28] Ibid., 28., sans doute au sens du Survey of symbolic logic[29][29] Clarence Irving Lewis, A survey of symbolic logic (Berkeley... publié par Clarence Irving Lewis en 1918, que Nicod cite pour en critiquer un autre point dans un article [30][30] Jean Nicod, Les relations de valeurs et les relations... paru après sa mort. Mais pour se faire entendre d’auditeurs peu versés en mathématiques, Nicod s’exprime en langue vernaculaire, use de métaphores parlantes, un style concret, concis, avare en formules de tournure mathématique, mais qui laisse entrevoir au lecteur entraîné les détails des développements techniques auxquels il pense, en bon disciple de Russell auprès duquel il avait dû à sa santé précaire d’avoir pu aller se former pendant la Grande Guerre. Ainsi décrit-il implicitement les notions primitives de systèmes formels de géométrie comme prenant sens dans la théorie des types en écrivant [31][31] Nicod, op. cit. in n. 22, 27 (souligné par nous). :

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« Avant que l’on n’assigne les sens de ses expressions primitives, un système d’axiomes n’est ni vrai ni faux, puisqu’il n’est qu’une forme vide. Par contre, dès que l’on fixe ces sens (non pas seulement le domaine qui en donne l’étoffe), ils ne peuvent satisfaire qu’un seul système. Les géométries de la congruence et de la sphéricité sont toutes deux vraies d’un même domaine, celui des nombres, mais non pas des mêmes entités de ce domaine : une relation arithmétique donnée possède ou ne possède pas les propriétés de la congruence, les propriétés de la sphéricité ; et aucune ne peut posséder les deux à la fois. »

Nicod innove en théorisant l’étude de la dialectique, entre forme et sens, d’où émergeront bientôt les concepts, dont il ne dégage ni l’un ni l’autre, de métamathématique et de sémantique logique. Rougier avait noté [32][32] Rougier, op. cit. in n. 13, 65-66. la multiplicité des « systèmes de notions et propositions premières, tous équivalents entre eux », utilisés « pour exposer déductivement la géométrie métrique d’Euclide », sans approfondir pourquoi il semble que l’on puisse « en déduire le même corps de propositions ». Nicod montre pourquoi et comment ce n’est qu’apparence, explique comment se résolvent les problèmes de caractériser, d’abord, la relation syntaxique entre deux systèmes ainsi équivalents, puis la relation sémantique correspondante entre les systèmes de sens qui les satisfont : « […] il est possible de « traduire » les expressions simples d’un système par des expressions composées de l’autre de telle manière que les axiomes du premier système (et par suite toutes ses propositions) se trouvent « traduits » par des propositions du second système [33][33] Nicod, op. cit. in n. 22, 21. », et vice-versa. Suivent des pages où il donne les grandes lignes d’un traitement métamathématique général d’effectuation de telles traductions, qui aboutit à un corollaire sur les systèmes d’axiomes équivalents [34][34] Ibid., 27. : à tout système de sens qui satisfait l’un correspond « logiquement » un et un seul système de sens qui satisfait l’autre et vice-versa. « Logiquement, c’est-à-dire sans ajouter de matière. » Là, il laisse son lecteur se débrouiller avec l’assertion que « leurs lois différentes expriment le même état de choses ».

Cet ouvrage est cité en 1929 par Alfred Tarski dans un article [35][35] Alfred Tarski, Les fondements de la géométrie des corps,... où celui-ci axiomatise une version de la géométrie d’Euclide due à Whitehead et dont Nicod explique l’équivalence avec les versions usuelles [36][36] Nicod, op. cit. in n. 22, 33-43. avant d’entreprendre ses recherches propres.

D’autres [37][37] Cf. Jacques Dubucs, Jean Nicod, l’induction et la géométrie,... par la suite, dont Rudolf Carnap [38][38] Rudolf Carnap, Logical foundations of probability (Chicago..., liront la thèse complémentaire de Nicod sur Le Problème logique de l’induction[39][39] Jean Nicod, Le Problème logique de l’induction (Paris..., qui s’insère dans un courant d’idées tentant de concevoir la Probabilité comme une branche de la Logique, relancé en 1921 par la publication du Treatise of probability[40][40] John Maynard Keynes, A treatise of probability (London... de John Maynard Keynes, plus connu comme économiste ; proche de Bertrand Russell, celui-ci a séjourné à Cambridge en même temps que Nicod [41][41] Dubucs, op. cit. in n. 37, 288., qui a fondé sa contribution sur celles de Keynes, tout en en critiquant certains points.

1925-1930 : Mathématiciens à l’ouvrage

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Nicod disparu, Herbrand entré à l’École normale supérieure et intéressé par la logique, les mathématiciens font paraître en 1926 un fascicule sur La Logique des mathématiques[42][42] Stanislas Zaremba, La Logique des mathématiques (Paris... dont quelques particularités terminologiques sont reprises dans divers travaux jusqu’au début de la seconde guerre mondiale. Son auteur, Stanislas Zaremba, né russe en Ukraine en 1863, professeur à l’université de Cracovie depuis 1900, après avoir terminé ses études à Paris dès 1889 par un doctorat, puis enseigné en France dans divers lycées, est connu pour ses travaux sur les équations aux dérivées partielles et leurs applications, avant tout, à la physique mathématique. En Pologne, Stanislas Zaremba et son collègue à l’université de Cracovie, Kazimizerz ?orawski, sont honorés pour avoir semé les graines qui ont fait fleurir les mathématiques polonaises à l’issue de la première guerre mondiale. Zaremba forma, entre autres disciples, Waclaw Sierpinski, par exemple ; il fut aussi le premier président de la Société mathématique polonaise à sa création, en 1919, et le représentant de celle-ci à la fondation de l’Union internationale de mathématiques [43][43] Andrzej Pelczar, Stanislas Zaremba (100th anniversary..., en 1920.

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À cette époque, Zaremba avait déjà manifesté son intérêt pour des questions de logique en publiant, en 1916, un « Essai sur la théorie de la démonstration [44][44] Stanislas Zaremba, Essai sur la théorie de la démonstration,... ». Dans son introduction, il indique les directions dans lesquelles il allait réellement tenter des recherches (selon Andrzej Pelczar [45][45] Pelczar, op. cit. in n. 43., au moins pour axiomatiser la notion de temps en mécanique classique), en plaçant « certaines théories de la physique » parmi celles pour lesquelles « la logique […] devient un auxiliaire précieux, je dirai même indispensable », puisque dans celles-ci, « l’intuition directe est si décevante que, pour y avancer avec sûreté, il est indispensable de n’y considérer comme définitivement acquis que les résultats démontrés d’une façon parfaitement rigoureuse », après avoir concédé à Poincaré que « la logique ne prétend nullement nous guider sur la voie des découvertes » [46][46] Zaremba, op. cit. in n. 42, 2..

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L’index bibliographique comporte 37 références ; 6 concernent des ouvrages antérieurs à 1875, dont quelques-uns de Bernhard Bolzano et de George Boole ; seule source polonaise, des « leçons » de « théorie de la démonstration » de Jean Slezsynski, « professées à l’université de Cracovie » [47][47] Ibid., 50.. De fait, en 1925 les logiciens polonais ne viennent pas des mathématiques et se situent hors des courants dominants, tel Stanislaw Le?niewski ; et Tarski, qui vient à peine de soutenir sa thèse sous la direction de celui-ci, s’occupe de mathématiques.

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Dépassant de peu les cinquante pages, La Logique des mathématiques reste succincte sur ce qui touche tant la philosophie que le côté technique – à une demi-douzaine de digressions près, dont les deux plus longues analysent des démonstrations d’arithmétique. Elle se conforme dans l’ensemble aux leçons des compagnons de Peano, telles qu’enrichies selon Russell, mais tout de même infléchies sur quelques points. En dehors de quelques innovations terminologiques, elle se borne à l’essentiel des rudiments, parfois volontairement lacunaires, d’autres fois entachés d’un manque de rigueur encore commun à l’époque, assumés néanmoins, de façon stimulante, non encore définitifs pour partie, et traités ni tout à fait dans l’ordre ni selon les normes courantes de nos jours.

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Sans renvoyer à Rougier, Zaremba intitule la première section « Structure générale d’une théorie déductive [48][48] Ibid., 3. » ; la suivante, « Structure d’une démonstration mathématique […] » ; fait débuter celle-ci par la notion d’inférence sous la dénomination de « chaînon logique », mais renvoie à la suite le traitement questionné de la « structure d’un chaînon logique correct » [49][49] Zaremba, op. cit. in n. 42, 5..

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Il explique les tables de vérité [50][50] Ibid., 7-8. en tenant les « valeurs logiques » pour primitives : « […] les expressions « proposition vraie » et « proposition fausse » sont […] claires par elle-mêmes [51][51] Ibid., 6. », mais opte plus loin, sans s’y tromper puisqu’il introduit les notations ad hoc[52][52] Ibid., 18-19, 26. des Principia mathematica, pour ce que Rougier appelle la vérité formelle en parlant de la « liste des propositions vraies » dans une théorie, et sera suivi en cela par Herbrand.

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Parce que, selon lui, « la logique des mathématiques se confond avec la logique déductive ou théorie des démonstrations déductives [53][53] Ibid., 1. », Zaremba suggère, au moment de conclure, de placer la théorie des classes – en dépit « des relations remarquables entre la théorie des classes et celle des propositions [54][54] Ibid., 46. » – et la théorie des relations « dans une introduction générale aux sciences mathématiques [55][55] Ibid., 47. » ; mais il ne songe nulle part à ranger les variables selon différents types ; il dit d’ailleurs son aversion [56][56] Ibid., 42. pour la théorie des types de Russell. Il n’introduit d’ailleurs la notion de « variable », s’appliquant à tout « symbole » susceptible d’« acquérir diverses significations », qu’au moment d’introduire la notion de « fonction logique, synonyme de fonction propositionnelle », qui correspond pour nous à celle de prédicat. Il introduit en même temps le nom imagé de « point logique » pour toute suite de n « valeurs particulières » attribué à une suite de n variables [57][57] Ibid., 16..

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Il est clair que pour Zaremba la logique se traite, en principe, en langue vernaculaire, dont les propositions (pour lui, établies) et les démonstrations peuvent se traduire en « un langage symbolique spécial, appelé idéographie[58][58] Zaremba rend par ce terme l’allemand Begriffschrift... ou pasigraphie[59][59] Ce terme forgé par Peano en accolant deux termes grecs... », simple auxiliaire analogue à celui dans lequel s’écrivent les formules mathématiques, et auquel on fait appel au besoin juste parce que « [l]a grande variété des formes du langage usuel ainsi que l’impossibilité d’exprimer, dans ce langage, certaines idées avec la concision nécessaire, le rendent impropre à présenter, sans le secours de symboles appropriés, une démonstration déductive de façon à mettre clairement en évidence tous les chaînons logiques dont elle se compose [60][60] L’argument est dû à Frege, Begriffschrift, eine der... », une traduction en sens inverse restant toujours possible. Il use en effet modérément de « formules idéographiques [61][61] Zaremba, op. cit. in n. 42, 6. ».

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L’inconvénient principal de cette attitude vis-à-vis des expressions formelles est qu’elle masque la différence entre l’expression des propositions de la théorie et celle des propositions sur la théorie, dont la mise en évidence, en vue d’un traitement différencié des secondes par rapport aux premières, était la raison profonde de l’introduction d’une formalisation systématique comportant l’usage de variables soigneusement typées, en tant qu’élément fondamental du travail entrepris par Hilbert dans sa conférence programmatique de Hambourg [62][62] David Hilbert, Neubegründung der Mathematik. Erste... en 1922, dont Zaremba avoue qu’il lui « semble difficile à bien comprendre [63][63] Zaremba, op. cit. in n. 42, 40. ». En effet, il compose quelques formules à partir de formules portant sur une théorie, et de formules du langage de celle-ci [64][64] Ibid., 26 sqq., visiblement sans du tout se rendre compte des précautions qu’il faudrait prendre pour éviter d’exposer une théorisation autorisant une telle pratique au risque d’obtenir des paradoxes tels que celui du Menteur.

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Son traitement des quantifications, entaché d’un défaut mineur de rigueur auquel Herbrand ne prendra pas garde non plus dans son premier travail [65][65] Jacques Herbrand, Sur la théorie de la démonstration,..., se borne à une règle relative aux quantifications universelles [66][66] Zaremba, op. cit. in n. 42, 28. et au schéma relatif aux quantifications existentielles [67][67] Ibid., 29.. Mais là, les « propositions de logique de première espèce ou […] identités propositionnelles », dénuées de quantification, sont opposées aux « autres » propositions de logique, dites « de seconde espèce » [68][68] Ibid..

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Zaremba saute alors aux problèmes que pose la logique déductive [69][69] Ibid., 38. et explique comment reconnaître les identités propositionnelles à l’aide des tables de vérité [70][70] Ibid., 40., après avoir, dans l’intervalle, rendu le signalé service d’orienter « quiconque voudrait entreprendre des recherches personnelles » vers des ouvrages comme d’abord les Principia mathematica[71][71] Whitehead, Russell, op. cit. in n. 12. et même à la rigueur le premier exposé de Hilbert sur son programme [72][72] Hilbert, op. cit. in n. 62., tous conseils dont Herbrand saura vite tirer profit.

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Né à Paris le 12 février 1908, reçu premier, à dix-sept ans, à l’École normale supérieure, ainsi qu’à l’agrégation en 1928, docteur ès sciences en 1930, Jacques Herbrand est mort le 27 juillet 1931, victime de l’effondrement subit d’un rocher sur lequel il était assis, au retour d’une ascension dans le massif des Écrins, a témoigné l’un de ses compagnons d’escalade ce jour-là, l’académicien André Guinier [73][73] André Guinier, Un jour de juillet 1931, dans le massif....

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L’essentiel de ses investigations en logique se déroule sur un temps très bref entre la mise entre ses mains du fascicule de Zaremba en 1926 et l’établissement en 1929 d’un théorème fondamental appelé de son nom et qui lui vaut une réputation universelle jamais démentie.

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Pendant toute cette période, il réside habituellement à Paris ; nous ne savons rien sur d’éventuels voyages de courte durée, ni sur les informations, orales ou manuscrites, qui ont pu lui parvenir par l’intermédiaire de séminaires, de mathématiciens de passage, ou de condisciples ayant voyagé et le cas échéant conversé avec des logiciens.

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Herbrand suit d’abord la feuille de route assignée par Zaremba, tout en s’en émancipant très vite pour suivre avec enthousiasme les conceptions de Hilbert. Sa première note [74][74] Herbrand, op. cit. in n. 65. à l’Académie des sciences de Paris est présentée le 7 mai 1928 par Jacques Hadamard, qui présentera de même toutes les suivantes. Il y renvoie à La Logique des mathématiques pour s’éviter d’avoir à définir la notion de valeur logique [75][75] Zaremba, op. cit. in n. 42, 7.. Plutôt que de propositions de logique, il préfère parler d’identités propositionnelles qu’il répartit entre espèces suivant le critère de Zaremba (ci-dessus). Il montre qu’il a suivi ses recommandations en parlant de « méthode » de Whitehead et Russell et de démonstration « au sens de Hilbert » : il s’agit de métamathématique ; il a bien vu que pour les identités propositionnelles de première espèce, non-contradiction et complétude vis-à-vis du test des tables de vérité, en font partie. En intitulant cette note « Sur la théorie de la démonstration », il se proclame disciple de Hilbert sans se montrer infidèle à Zaremba. Mais il vole déjà de ses propres ailes, propose une axiomatique originale pour la théorie des quantifications, une autre, qu’il dit non-contradictoire en l’absence de l’axiome de l’infini, pour une théorie des types simplifiée, et trois résultats d’interprétabilité les reliant à l’axiomatique d’Ernst Zermelo, privée ou non de l’axiome de l’infini.

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Huit mois plus tard, dans une autre note [76][76] Jacques Herbrand, Non-contradiction des axiomes de..., il annonce encore des résultats de non-contradiction, de complétude et de décidabilité pour un fragment de l’arithmétique des nombres entiers naturels, en fait réduit à l’addition, comme cela sera mis en évidence dans sa thèse. Il introduit à cet effet un procédé pour former, à partir de n’importe quelle formule, en vue d’en évaluer la prouvabilité, ses réduites, formules sans quantificateur, connues pour évaluables de ce point de vue, et fait valoir le gain de simplicité de sa méthode par rapport à une méthode antérieure de Johann von Neumann [77][77] Johann von Neumann, Zur Hilbertschen Beweistheorie,....

Il annonce le théorème auquel son nom reste attaché dans une troisième note dédiée à la logique [78][78] Jacques Herbrand, Sur quelques propriétés des propositions..., présentée le 22 avril 1929. Dans sa thèse [79][79] Jacques Herbrand, Recherches sur la théorie de la démonstration,..., qu’il date du 14 avril 1929, il donne les détails des constructions et les preuves des résultats annoncés dans ces trois notes. Il applique en outre ses méthodes générales à de nouvelles preuves de résultats connus dans les domaines auxquels il touche, plus éclairantes du fait de ce rattachement. Il établit l’équivalence de ses axiomatiques pour la théorie des identités propositionnelles de première espèce et pour celle des identités propositionnelles de seconde espèce, avec les axiomatiques correspondantes des Principia mathematica.

La version de l’axiomatique de sa théorie de la quantification à laquelle il s’arrête ne diffère que sur des points mineurs de celle qu’il avait présentée dans la note de 1928. Elle présente, par rapport à celles de ses contemporains, des particularités sur lesquelles Van Heijenoort [80][80] Jean Van Heijenoort, L’œuvre logique de Jacques Herbrand..., après Herbrand lui-même, attire l’attention : il résulte de la démonstration du théorème de Herbrand que, dans son application à la logique, elle peut ne recourir qu’à des règles de déduction, et dont toutes n’appellent qu’une seule prémisse ; « à cause des difficultés que l’on risque de rencontrer, dans certaines démonstrations par récurrence sur les démonstrations, du fait de la règle d’implication [modus ponens], nous considérons ce résultat comme très important. Il montre, en outre, que cette règle d’implication, qui provenait au fond du syllogisme classique, est inutile dans l’édification de la logique. (Elle reste cependant nécessaire dans les théories mathématiques, où il y a des hypothèses) », dit Herbrand [81][81] Herbrand, op. cit. in n. 79, chap. 5, § 6.1 ; cf. Herbrand,... ; il s’ensuit que toute identité propositionnelle de seconde espèce possède selon cette axiomatique une preuve qui procède linéairement, c’est-à-dire sans bifurcations (appelées « coupures » plus tard par Gerhardt Gentzen) provenant de recours au modus ponens, et, rappelle Van Heijenoort, à partir d’une identité élémentaire adéquate, mécaniquement, une fois cette dernière trouvée (selon la terminologie courante à l’époque, une proposition est dite élémentaire si aucune occurrence de variable n’y est quantifiée ; à partir de sa thèse, Herbrand range les identités élémentaires, identifiables par le test des tables de vérité, parmi les axiomes [82][82] Herbrand, op. cit. in n. 79, 63.). La transformation de toute preuve procédant d’autres systèmes de règles en une preuve de ce type sera l’un des ressorts de la démonstration de la réductibilité, à celle de la récurrence transfinie sur un segment des ordinaux constructibles, de la non-contradiction de l’arithmétique, proposée quelques années plus tard par Gentzen [83][83] Gerhardt Gentzen, Untersuchungen über das logische....

La démonstration du théorème de Herbrand décrit et justifie, au prix d’un gros travail, un algorithme qui peut en principe être appliqué à toute « proposition » (toute formule, selon la terminologie canonique aujourd’hui) P. Il transpose en théorie de la démonstration un processus en boucle inventé par Leopold Löwenheim pour établir un résultat fondamental dans son article faisant date [84][84] Leopold Löwenheim, Über Möglichkeiten im Relativkalkül,... de 1915, dont Herbrand a très vite compris l’importance fondamentale en logique. Lors de chaque tour de ce processus, on ajoute, à des valeurs en nombre fini précédemment assignées aux variables, un nombre fini de valeurs supplémentaires, et l’on cherche avec ces valeurs une identité élémentaire à partir de laquelle on puisse trouver mécaniquement, comme dit à l’instant, une preuve de P elle-même. Le théorème dit que si P est une identité, l’algorithme termine et fournit l’identité élémentaire cherchée et donc une preuve de P, mais sans que l’on puisse prédire en combien de tours ; il dit encore que si P n’est pas une identité, l’algorithme fournit un « champ » de valeurs assignées aux variables où la négation de P est satisfaite ; que ce champ est dénombrable, ce qui signifie que ces valeurs peuvent être numérotées à l’aide des nombres entiers naturels ; et qu’il s’étend indéfiniment, si l’algorithme ne termine pas. La « méthode de résolution » sur la mise en œuvre de laquelle fonctionne le « moteur d’inférence » du langage de programmation Prolog est issue d’une lecture du théorème de Herbrand.

On peut prendre directement des nombres entiers naturels comme valeurs pour les variables « individuelles », du type le plus bas, ce qui amène Herbrand à tirer de son théorème, dans une quatrième Note [85][85] Jacques Herbrand, Sur le problème fondamental des mathématiques,... du 14 octobre 1929, le corollaire, d’importance philosophique considérable, selon lequel tout problème de décision revient à un problème d’arithmétique d’un genre qui recouvre le problème général de résolution des équations diophantiennes [86][86] Les méthodes de codage de Kurt Gödel, qui établissent....

Claude Chevalley et Albert Lautman ont fait état [87][87] Claude Chevalley et Albert Lautman, Notice biographique... en 1931 de « difficultés », surgies au moment de la constitution du jury de la thèse de Herbrand, et dues, pensons-nous, à la persistance des réticences d’une partie des mathématiciens français vis-à-vis de la logique. Et c’est ainsi que grâce à la survivance de l’entr’aide entre mathématiciens français – dont Hadamard, d’abord, sans doute, qui suivait le travail de Herbrand – et mathématiciens polonais, la Société des sciences et des lettres de Varsovie eut l’honneur de publier cette thèse historique, ainsi qu’une communication « Sur le problème fondamental de la logique mathématique [88][88] Jacques Herbrand, Sur le problème fondamental de la... », présentée par Waclaw Sierpinski. On y trouve un résumé de la thèse, l’axiomatique de la logique propre à Herbrand, qui cesse d’y classer les identités en espèces mais continue d’isoler les propositions élémentaires, des énoncés du théorème, et quelques applications supplémentaires. Bien que Herbrand y explicite le « problème fondamental » sous la forme plus précise de l’Entscheidungsproblem [problème de la décision] [89][89] Paolo Mancosu, in Paolo Mancosu, Between Russell and..., le titre de cette communication fait tout autant référence, implicitement, au fascicule de Zaremba, qui débute par ces lignes [90][90] Zaremba, op. cit. in n. 42, 1. : « […] le problème fondamental de la logique […] est le suivant : Établir des règles permettant de reconnaître si un ensemble de considérations alléguées à l’appui d’une thèse constitue une démonstration satisfaisante de cette thèse. »

Photographie de Jacques Herbrand prise au cours de son séjour en Allemagne par Natalie Jasny, épouse d’Emil Artin. Non contente d’être elle-même mathématicienne, Natasha Artin, comme on l’a appelée, était également une photographe de bon niveau. La reproduction de cette photo ne rend pas justice au talent de la photographe. L’autorisation de reproduction a été aimablement accordée par Natasha Artin-Brunswick à Liliane Beaulieu.

© Tous droits réservés N. Artin-Brunswick.
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À la fin d’un séjour en Allemagne, principalement à Göttingen, en 1930-1931, pendant lequel il produit plusieurs travaux marquants en algèbre et théorie des nombres [91][91] Cf. Jean Dieudonné, Jacques Herbrand et la théorie..., Herbrand écrit un dernier article sur la logique, où il précise sa propre conception des fortes exigences d’effectivité en métamathématique [92][92] Jacques Herbrand, Sur la non-contradiction de l’arithmétique,.... Il y résume à nouveau les idées sur lesquelles son théorème s’appuie et y présente les grandes lignes d’une preuve simplifiée de la non-contradiction de fragments de l’arithmétique où le principe de récurrence n’est appliqué qu’aux formules dénuées de quantifications explicites et où des fonctions calculables définies par des axiomes soumis à la même restriction s’ajoutent au passage au successeur. Enfin, il cherche une explication de la non-applicabilité du raisonnement de Gödel à un tel fragment de l’arithmétique, dans l’usage que doit faire ce raisonnement d’une énumération effective des fonctions calculables d’une variable, définissables dans ce fragment : cette énumération doit se définir selon un schéma qui n’y est pas admis.

Maturations tâtonnantes, sans Herbrand

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La disparition de Herbrand a pesé lourd sur l’histoire ultérieure des mathématiques françaises. Il eût certainement rapidement fait autorité, en faisant notablement avancer les mathématiques ; fructueusement exercé, entre autres au sein de Bourbaki, des compétences qui allaient jusqu’à la philosophie [93][93] Voir le témoignage de Chevalley et Lautman, in op.... ; porté attention, et contribué avec créativité aux travaux qui se développaient en logique durant les années trente, notamment en Allemagne, en Pologne et aux États-Unis ; assimilé, diffusé en France et commenté de façon pertinente ces progrès ; délimité avec justesse les apports et les limites des traitements formels, et ainsi contribué à intégrer la logique mathématique à une juste place, qu’elle n’a toujours pas, dans les mathématiques, en France. Cependant, l’écho de ses travaux est venu amplifier quelque peu le développement en France d’une atmosphère intellectuelle plus curieuse de logique, où les jeunes chercheurs intéressés par des questions relevant de ce domaine trouvent des soutiens. Avant sa disparition déjà, des débats de moindre envergure technique s’étaient déroulés dans l’espace francophone. Une tendance constructiviste s’y manifestait et l’on y discutait des conceptions de Jan Brouwer et de leurs rapports, d’une part, avec l’empirisme au sens des mathématiciens français, et d’autre part, avec la logique classique. Une controverse surgie à ce propos avait intéressé Émile Borel au point de la lui faire reproduire, en 1928, en annexe d’une réédition de ses Leçons sur la théorie des fonctions[94][94] Émile Borel, Leçons sur la théorie des fonctions, 3e.... Cette évolution se double d’une autre qui se fait jour peu à peu au même moment vers l’organisation de coopérations internationales entre chercheurs intéressés à la logique au titre de la philosophie ou au titre de travaux relevant de disciplines diverses, dont le besoin se fait sentir et qui commence à prendre corps avec la création de l’Association for symbolic logic en 1935, suivie du début de la parution, l’année suivante, de son Journal of symbolic logic, ainsi qu’avec l’organisation à Paris, en 1935 et 1937, de deux congrès internationaux, le premier entièrement consacré à la philosophie des sciences [95][95] Actes du congrès international de philosophie des sciences,..., et le second, lui réservant une section [96][96] Travaux du IXe congrès international de philosophie,.... L’un et l’autre font une place explicite et éclatante à la logique, suscitant la présence d’une bonne partie des chercheurs européens les plus avancés en logique mathématique. Ni la conception ni la réussite de ces congrès n’eussent été possibles en dehors de ce climat plus propice, ni sans le retentissement des travaux de Herbrand, attisant en France l’attention portée aux apports de Hilbert et de ses collaborateurs, et à ceux, mal compris, de Gödel. Ni encore, probablement, sans le souvenir des grands congrès ayant réuni mathématiciens et philosophes en l’an 1900.

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En l’absence de Herbrand, les divergences entre les points de vue défendus avant sa disparition vont persister durant les années trente, sur la place, entre mathématiques et logique, qu’il convient d’accorder à telles ou telles considérations portant sur la teneur d’une théorie mathématique, formalisée ou non, et prenant pour objets d’étude, entre autres, des relations, définitions, « êtres », propositions, preuves et méthodes de celle-ci ; ou encore, portant sur de tels objets de plusieurs théories telles pour en étudier les rapports ; ainsi que sur toute notion introduite spécifiquement à cet effet.

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En 1938, dans son Essai sur les notions de structure et d’existence en mathématiques[97][97] Albert Lautman, Essai sur les notions de structure..., sa thèse, Albert Lautman entame une lecture dialectique de démarches créatives des mathématiciens comme affinements d’interactions entre membres de paires d’êtres placés en opposition, dont théories et structurations diverses peuvent faire partie, par exemple lorsqu’il écrit, à propos des notions de propriété induite et de propriété intrinsèque [98][98] Lautman, op. cit. in n. 97, vol. I, 44-45 (souligné... :

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« […] est-il possible de ramener les propriétés induites sur une surface de Riemann par l’espace euclidien ambiant, à des propriétés purement intrinsèques de cette variété ? […] Le moindre résultat dans le sens de la réduction de l’extrinsèque à l’intrinsèque tend en effet à inscrire dans la structure d’un être les relations qu’il soutient avec l’espace ambiant […]. Là encore, il semble que les mathématiques offrent un domaine privilégié au mouvement d’une pensée qui tente de rapprocher deux notions logiques opposées. »

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Plus loin [99][99] Ibid., vol. II, 135., il place au nombre des « notions logiques », entre autres, « la liaison entre la décomposition structurale d’un domaine et l’existence de fonctions sur ce domaine ».

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Nous lui devons ce qui est sans doute la plus claire explication en langue courante de la fonction qu’attendaient à son époque les mathématiciens de la notion de structure alors en cours de maturation, quand il proclame [100][100] Ibid., vol. I, 29 (souligné par nous). :

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« […] nous croyons […] que l’idée de l’action organisatrice d’une structure sur les éléments d’un ensemble est pleinement intelligible en mathématiques […]. »

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À l’appui de cette thèse, il examine en particulier, quelques pages plus loin [101][101] Lautman, op. cit. in n. 97, 64-65 (souligné par no..., des cas dans lesquels des réseaux de groupes jouent un rôle qu’il rattache à la logique :

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« […] ce qui est caractéristique du mouvement des théories que nous allons considérer, c’est l’existence d’un but connu à l’avance […]. Dans la théorie du corps de classes, ce but c’est le corps de classes absolu, dans la théorie de l’uniformisation des fonctions analytiques, c’est la surface universelle de recouvrement. L’armature logique de l’une et de l’autre de ces deux théories leur vient de la théorie des équations algébriques de Galois […]. L’intérêt du schéma logique de la théorie de Galois est considérable. »

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Il consacre ensuite une bonne douzaine de pages à un rappel rapide des articulations essentielles du raisonnement de Galois et de la façon dont elles jouent dans les théories du corps de classes et de l’uniformisation des fonctions analytiques algébriques.

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Les raisons profondes du rôle joué par les groupes dans les théorisations de diverses branches des sciences faisaient alors l’objet d’un questionnement s’étendant de géomètres et physiciens à des philosophes ; ce rôle était jugé par certains fondamental au point qu’au congrès international de philosophie des sciences de 1935, il apparaît une sous-section « logique et théorie des groupes » dans la section de philosophie des mathématiques [102][102] Op. cit. in n. 95, 28..

Georges Bouligand s’intéresse, au début de son intervention à ce congrès [103][103] Georges Bouligand, Quelques aspects de l’étude des..., aux difficultés qui s’attachent

« à la recherche de la causalité. Il s’agit […], dans un champ connu de prémisses, celui de la géométrie euclidienne, par exemple, de connaître le système minimum d’hypothèses déclenchant telle ou telle conclusion, ou si l’on préfère, les causes responsables de tel ou tel effet.

« [… J]’ai cherché si ces considérations permettent de mieux coordonner, dans leur ensemble, les parties les plus familières des mathématiques. Cela revient à mettre au premier plan le rôle logique de la notion de groupe, que je vais rappeler.

« Soit, dans un champ défini de prémisses, une proposition P […]. Supposons P vraie pour un choix des objets qu’elle met en relation. Les modifications menant d’un cas d’exactitude à un nouveau forment une famille, douée de deux caractères importants :

  1. avec une modification, elle contient toujours son inverse ;

  2. avec deux modifications […], elle contient leur résultante.

« Une telle famille est donc un groupe, au sens couramment admis.

« Comme ce groupe s’introduit lorsqu’on cherche les conditions les plus larges de validité de P, je l’ai nommé domaine de causalité de P. »

Il s’en explique plus tard ainsi : « La notion de groupe est donc séparée de telle ou telle théorie mathématique particulière. On peut la considérer comme intégrée à la logique [104][104] Georges Bouligand, Structure des théories : Problèmes.... »

Essais de logiques non classiques pour la physique théorique

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Les deux congrès de 1935 et 1937 placent sur le devant de la scène, comme contributeurs français à la logique, deux jeunes chercheurs, Jean-Louis Destouches et Paulette Février, dont les travaux se poursuivront longtemps après la seconde guerre mondiale. De la visibilité est donnée à leurs premières recherches sur de nouvelles logiques, non classiques, sur lesquelles ils ont espéré fonder des théories physiques pouvant rendre compte de résultats expérimentaux contradictoires concernant la lumière, de nature ondulatoire et non corpusculaire selon la théorie de la relativité, de nature corpusculaire et non ondulatoire selon la théorie des quanta [105][105] Voir par exemple les remarques à ce sujet in : Jean-Louis....

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Né à Paris en 1909, inscrit en 1929 à la faculté des sciences de Paris au sortir des classes préparatoires, Destouches est docteur ès sciences en 1933, après avoir suivi les cours de Maurice Fréchet et d’Émile Borel, puis ceux de Jean Perrin, Marie Curie, Irène et Frédéric Joliot-Curie, et enfin de Louis de Broglie, dans la mouvance duquel il poursuit des recherches qui s’orientent vers un doctorat ès lettres en philosophie délivré en 1938 pour des thèses consacrées aux « théories physiques » [106][106] Michel Bitbol, Jean-Louis Destouches, in op. cit. in....

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Entretemps, il intervient au congrès de 1935 sur des recherches de logique [107][107] Jean-Louis Destouches, Rôle des espaces abstraits en... reposant sur des suggestions de Georges Bouligand [108][108] Cf. Georges Bouligand, Sur la stabilité des propositions... et restées sans suite, ainsi que Paulette Février au congrès de 1937 sur « Les relations d’incertitude de Heisenberg et la logique [109][109] Paulette Février, Les relations d’incertitude de Heisenberg... ».

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Ces relations disent que le produit des erreurs affectant les mesures de la position et de la quantité de mouvement d’un corpuscule ne peut être nul ; d’aucuns en ont conclu que la proposition « le corpuscule ? est au point q avec la quantité de mouvement p » ne peut être ni vérifiée ni infirmée, et donc, échappe au « principe du tiers exclu ». Paulette Février voit ces résultats potentiels de mesures sur un même corpuscule comme contenus de deux propositions qui « ne peuvent être vraies en même temps ; leur produit logique [leur conjonction] n’obéit pas aux règles de la logique classique ».

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« Ces exemples, qui montrent l’insuffisance de la logique ancienne quand il s’agit de domaines nouveaux de connaissances, doivent fournir les éléments d’une logique mieux adaptée aux propriétés des objets atomiques. » Quant aux relations d’Heisenberg, elle souhaite « les incorporer à nos règles mêmes de raisonnement, […] modifier notre logique […], la théorie des quanta devenant une théorie mathématique dans cette nouvelle logique » [110][110] Ibid., 90..

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Cette logique devra donc distinguer les couples de propositions « composables » [selon les règles classiques], des couples de propositions « conjuguées ou incomposables », sur lesquels portent des « relations d’un type que l’on ne rencontre pas en logique classique, et qui se traduisent par des lois spéciales pour le produit de ces couples de propositions » [111][111] Février, op. cit. in n. 109, 91..

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Une autre idée, issue de « l’existence de valeurs physiques quantifiées » (savoir, discrètes), conduit alors « à la construction d’une logique […] trivalente (Vrai, Faux, Absurde) » [112][112] Ibid., 88, résumé.. Prenant l’exemple de la proposition c, « l’énergie E a la valeur E0 », Paulette Février explique que « [s]i l’on effectue une mesure, et que l’on trouve pour E la valeur E0, la proposition c est vraie. Dans le cas contraire, c est non-vraie ; mais il nous paraît essentiel de distinguer deux éventualités suivant que E0 appartient ou non à l’ensemble [fini en théorie des quanta] des valeurs possibles pour E. Il nous semble naturel de dire que dans le premier cas, la proposition prend la valeur F (Faux) et dans le second cas la valeur A (Absurde) ; F apparaît comme du possible non réalisé, A comme du non-réalisable » [113][113] Ibid., 91.. Elle est alors en mesure de présenter deux « matrices » (« tables de vérité » en les trois valeurs) pour la conjonction, l’une pour les couples de propositions conjuguées, où les valeurs prises sont toutes neuf des A, et l’autre pour les couples composables, où la table classique est bordée par cinq valeurs A.

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Après avoir ensuite proposé une définition générale d’« une logique » [114][114] Ibid., 92. – en un sens technique abstrait qui autorise des « valeurs de vérité » supplémentaires et des partitions des paires de propositions en plus de classes d’obéissance à des « tables de vérité » – elle retourne à la logique particulière dont elle a défini la conjonction pour en prolonger l’esquisse [115][115] Ibid., 93. et, essayant de conserver à la disjonction exclusive le plus possible de ses propriétés algébriques, parvient à en tirer une table pour la disjonction, et des tables, parfois incomplètes, pour d’autres connecteurs binaires, sous deux versions dans le cas de l’implication. La distributivité du produit par rapport aux disjonctions (exclusive et non exclusive) est perdue en présence de deux variables conjuguées.

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Les 8 février et 8 mars 1937, Louis de Broglie avait présenté à l’Académie des sciences deux notes de Paulette Février [116][116] Paulette Février, Les relations d’incertitude de Heisenberg... dont les parties techniques sont reproduites dans le texte de la communication. Plus brève que dans celle-ci, l’introduction concédait d’abord que « Les relations d’incertitude d’Heisenberg peuvent être évidemment considérées du point de vue logique comme des conséquences de la mécanique ondulatoire qui apparaît comme une théorie mathématique dans cette logique », avant de lancer l’idée de les utiliser pour fonder une nouvelle logique. Le jeu des modalités dans les « valeurs de vérité » y était plus net : sous « un système de principes présupposés en vue d’une recherche expérientielle », les propositions peuvent être « soit vraies, nécessairement ou de façon contingente (V), soit fausses nécessairement (A), soit fausses de manière contingente, erronées (F) ; ces deux dernières valeurs constituent le faux de la logique classique » [117][117] Ibid., 481.. La conclusion ne s’étendait pas aux supposés services que la nouvelle logique pourrait rendre aux physiciens, et se bornait aux tables pour les deux disjonctions et pour deux versions de l’équivalence.

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Il fallait prendre date sans tarder, car il venait alors de parvenir à Paris un article intitulé « The logic of quantum mechanics [118][118] Garrett Birkhoff and John von Neumann, The logic of... », dû à Garrett Birkhoff et John von Neumann, sorti aux États-Unis en octobre 1936. Les conceptions divergeaient : nous venons de voir Paulette Février pencher pour un genre de logique modale ; l’analyse de Birkhoff et von Neumann ne met en cause que la distributivité de la conjonction par rapport à la disjonction non exclusive et la remplace par « l’identité modulaire »

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Mais Birkhoff et von Neumann ont une axiomatique à proposer (qui implique le tiers exclu), en décrivent une infinité de modèles quoique sans disposer d’un argument décisif pour trancher entre eux, et surtout, appuient leur argumentation sur toute une série de travaux d’algèbre dus à Birkhoff ou collationnés par lui, et sur toute une série de travaux de von Neumann visant à fonder la mécanique quantique sur les propriétés des opérateurs dans les espaces de Hilbert. Face à cela, Paulette Février tente de jouer sur les « valeurs de vérité » pour rendre compte de quelques conclusions théoriques isolées, comme l’éventuelle incertitude sur des niveaux d’énergie quantifiés, en s’appuyant sur des intuitions portant sur la logique. Destouches, en 1939, défend ce point de vue face à celui de von Neumann qui, « au lieu de considérer les résultats de mesures qui ont directement une signification physique, a considéré les éléments de l’espace de Hilbert associés, c’est-à-dire, en somme, les fonctions d’onde initiales, mais ce point de vue […] est beaucoup moins intuitif et d’un maniement moins commode [120][120] Jean-Louis Destouches, Physique moderne et philosophie... ».

L’année précédente, dans sa thèse principale de philosophie [121][121] Id., Essai sur la forme générale des théories physiques..., il voit les théories physiques issues d’une « synthèse inductive » débouchant sur une axiomatisation ouvrant la voie à leur déroulement déductif. Il y développe un calcul des propositions à trois valeurs, le vrai V pris au sens de la prouvabilité, le faux f pris au sens de la réfutabilité, et un « tiers » T recouvrant les autres cas [122][122] Ibid., 43.. Il y substitue, à l’opérateur d’implication, un opérateur de « justification » qui n’est plus définissable en termes de négation et de disjonction, et présente des tables de vérité et des axiomes.

Dans sa thèse complémentaire [123][123] Destouches, op. cit. in n. 105., il donne de plus amples détails techniques. Basée sur la logique précédente et englobant la logique non classique esquissée par Paulette Février, la logique sur laquelle il fonde la notion de « théorie physique », à l’image et à l’encontre de la notion de théorie mathématique, est exposée en suivant les grandes lignes de la présentation de Zaremba plutôt que les leçons de Hilbert [124][124] David Hilbert und Wilhelm Ackermann, Grundzüge der..., enveloppée d’une chair d’apparence comparable à celle des travaux de Russell et vue à travers le prisme du fascicule de Zaremba [125][125] Zaremba, op. cit. in n. 42. : des axiomes lui sont procurés ; les opérations y sont réparties en trois espèces ; les tables classiques subsistent pour les propositions composables ; elle est étendue en une théorie des types ; à cet effet des symboles de fonction et de relation de diverses sortes, et des quantificateurs, sont adjoints à son langage.

Pour des raisons diverses, dont sa complexité n’est sans doute pas la moindre, la communauté scientifique n’a finalement pas adopté de logique de ce type. Mais, en dépit d’une longue persistance d’efforts, l’extension du « calcul propositionnel » proposé par Birkhoff et von Neumann en une « logique quantique » pose encore problème.

Les structures selon Marc Krasner

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Disparu en 1985, Marc Krasner était né en 1912 à Odessa, dans une famille juive qui s’exila pendant la Révolution. Il fut élevé par une tante, intéressé aux mathématiques par un professeur de lycée qui, au moment d’une leçon sur le postulat d’Euclide, lui expliqua où pêchait subtilement une preuve qu’il lui avait soumise. Il quitta l’Union Soviétique au début des années trente, pendant une brève période où des parents d’émigrés purent obtenir un visa de sortie. Il alla étudier à Berlin, où il suivit entre autres les enseignements de Issaï Schur [126][126] Témoignage de l’auteur sur des faits relatés oralement.... Après avoir quitté l’Allemagne pour la France, il fut dès 1935 en mesure d’obtenir son doctorat à Paris puis fut admis au Centre national de la recherche scientifique alors naissant [127][127] Jean-Paul Pier, Marc Krasner, Cahiers du séminaire.... Il est connu pour ses travaux en algèbre, théorie des nombres et analyse ultramétrique, mais aussi pour des contributions pionnières en logique. Les premières parurent en 1938 dans un mémoire d’un très haut niveau d’abstraction et dont le titre, « Une généralisation de la notion de corps [128][128] Marc Krasner, Une généralisation de la notion de corps,... », ne laisse pas deviner qu’il comporte une triple contribution à la logique, passée inaperçue dans le tumulte de la seconde guerre mondiale, et trop oubliée des historiens.

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On y trouve d’abord la première application d’un genre de logiques qui diffèrent de la logique classique en ce qu’elles traitent de langages théoriquement formels mais d’un genre admettant que puissent être infinis les nombres d’arguments soumis à conjonction, disjonction et quantifications, langages conçus par Ernst Zermelo au début des années trente au cours de recherches sur des systèmes formels de mathématiques dont il espérait qu’ils échapperaient au théorème d’incomplétude de Gödel [129][129] Cf. R. Gregory Taylor, Zermelo’s cantorian theory of.... Gregory Taylor note qu’en 1932, « Zermelo dit carrément que toute proposition mathématique est décidable [130][130] Ibid., 510 : « Zermelo states outright that every mathematical... » ; or, en 1960 encore, commentant les opérations logiques usuelles, Krasner attribuait à leur caractère non infinitaire une obstruction à la résolubilité du problème de la décision [131][131] Remarque incidente à l’intention de l’auteur, faite... ; ainsi nous apparaît-il maintenant vraisemblable [132][132] Par opposition à la simple suggestion questionnante... que Krasner ait eu vent de ces idées de Zermelo pendant son séjour à Berlin. Il introduit ce genre de langages dans la seconde partie du mémoire, après avoir développé dans la première l’algèbre dont ils sont destinés à exprimer les propositions, à l’aide de formules dont les constructions sont alors sommairement décrites.

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En second lieu, il s’agit là d’algèbre des ensembles ; cela permet une lecture sémantique ensembliste de la première partie du mémoire. Krasner y développe la première théorie liée à ces logiques d’une notion abstraite de structure, introduite auparavant, et dont la définition, « Un ensemble E organisé par un ensemble ? de relations dans E s’appellera [la] structure S = (?, E) dans E [133][133] Krasner, op. cit. in n. 128, 370. », abandonne à l’intuition, à l’instar de Lautman, l’appréhension de la notion primitive d’organisation d’un ensemble. Pour cette définition, Krasner explique une « relation dans E », portant sur un des ensembles de variables supposés alloués au langage, à raison d’un par nombre cardinal « au sens de Georg Cantor » plus un par ensemble quotient de chacun des précédents, à la façon des algébristes, comme une « proposition logique concernant les points » ; un tel « point » s’entend de toute application assignant à chacune des variables une valeur appartenant à l’ensemble E [134][134] Ibid., 368., étendant au transfini la terminologie de Zaremba [135][135] Zaremba, op. cit. in n. 42, 16. mentionnée plus haut ; la notion générale de « proposition logique » est employée sans définition. Enfin, après preuve de ce que les permutations du domaine de base E d’une structure S, astreintes à « conserver » chacune des relations r ? ? qui définissent S dans E, forment ce qu’il établit légitime d’appeler le « groupe de la structure S » et de noter [136][136] Krasner, op. cit. in n. 128, 371. gE/S, le mémoire va jusqu’au bout de l’exploration d’un lien intuitif qui rattacherait ce groupe à la logique.

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En 1935, Alfred Tarski et Adolf Lindenbaum avaient lancé l’idée pour la théorie des types en en tirant un critère de définissabilité : dans une conférence présentée par le premier à Vienne et publiée [137][137] Adolf Lindenbaum und Alfred Tarski, Über die Beschränkheit... en 1936, ils établissent que l’on peut démontrer formellement que toute relation entre des objets de types divers et qui s’exprime par des moyens purement logiques au sens classique, est invariante par toute permutation du domaine des individus. Ils en déduisent que deux partitions en deux classes dont les nombres d’éléments forment un couple prescrit sont indiscernables par ces moyens purement logiques.

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L’idée de la même veine à la base du mémoire de Krasner est que le véritable ressort de la théorie de Galois est masqué par la « linéarisation » qui en a été effectuée par Emile Artin [138][138] Emil Artin, Galois theory (Notre-Dame : University..., alors que, selon Krasner, la pensée de Galois est d’essence logique [139][139] Souvenir personnel de l’auteur sur les enseignements..., et s’applique, au-delà des relations que constituent les équations entre éléments d’un corps, aux relations définies, de quelque manière que ce soit, entre éléments d’une structure quelconque. « De quelque manière que ce soit » demande recours aux moyens d’expression autorisés par les logiques du genre décrit plus haut.

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Krasner montre au passage que toute permutation des éléments du domaine de base E, qui laisse invariantes des relations dans E, laisse invariantes aussi toutes les relations définissables, en termes de ces relations-là, en recourant aux langages de ces logiques. Pour la réciproque, qu’il établit aussi, le recours à ces langages étendus est essentiel : toute relation laissée invariante par ces permutations-là est définissable dans les conditions susdites.

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Jusque bien au-delà de l’introduction des relations définissables dans une structure à l’aide d’un langage du genre dit, il esquive l’explicitation de ce langage en associant à chaque relation r dans E ce que nous en appellerons ici le graphe[140][140] Ou l’extension, terme dont nous avons écarté l’emploi..., savoir l’ensemble des points qui la satisfont, et il définit chaque opération logique, qu’il préfère appeler une opération fondamentale, sur des relations dépendant toutes d’un même ensemble de variables, en décrivant par quelles opérations ensemblistes le graphe de la relation obtenue s’obtient à partir des graphes des arguments de l’opération. Ainsi, la négation d’une relation r, qu’il appelle anti-r, est celle dont le graphe est le complémentaire du graphe de r ; la conjonction, qu’il appelle plus grand commun diviseur, a pour graphe l’intersection des graphes de ses termes ; la disjonction, qu’il appelle plus petit commun multiple, a pour graphe la réunion des graphes de ses termes [141][141] Krasner, op. cit. in n. 128, 368. L’intersection (resp..... Il s’y ajoute toute transformation de relations induite par une permutation de leurs places d’arguments, qui donne la relation de graphe obtenu à partir du graphe de la relation à transformer en permutant les arguments de chacun de ses points suivant cette permutation de leurs places [142][142] Il ne faut pas confondre les permutations des places... ; et les opérations correspondant aux quantifications du premier ordre, obtenues par le truchement des projections, qui suppriment les arguments occupant des places données, et des prolongements, dont chacun produit la relation dont le graphe est fait de tous les points obtenus des points du graphe de la relation à prolonger en remplissant de toutes les façons possibles à l’aide d’éléments de E des places d’arguments fixées introduites en supplément[143][143] Krasner, op. cit. in n. 63, 369. Ici et dans la suite,....

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Peu après, et pour toute la suite du mémoire, les nombres cardinaux considérés sont supposés bornés par l’un d’entre eux ?0, de taille suffisant à fournir assez de variables pour parvenir aux théorèmes établis. Krasner dit alors, d’un ensemble de relations dépendant chacune d’au plus ?0 arguments, qu’il est « logiquement fermé au-dessous de ?0 », quand de nos jours il serait dit stable pour les passages aux définitions explicites en termes des opérations fondamentales, et comprend toute relation ?* dont le graphe se constitue de la totalité des points conservés par une permutation donnée ? des places de leurs arguments, eux-mêmes en même nombre, donné (avec ?) au-dessous de ?0.

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Clairement, « être logiquement fermé au-dessous de ?0 » est une propriété qu’une intersection hérite de ses termes s’ils en jouissent tous ; donc, l’intersection des ensembles de relations dans un domaine E qui en jouissent et qui contiennent un ensemble donné ? de relations dans E en jouit aussi et forme ce que Krasner appelle [144][144] Ibid., 370. la fermeture logique de ? au-dessous de ?0. Il est clair que cet ensemble est celui des relations définissables en termes de relations de ? à l’aide de formules du langage du genre dit plus haut où le nombre des termes des disjonctions, conjonctions et quantifications est au plus égal à ?0.

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La relation d’inclusion entre leurs fermetures logiques au-dessous de ?0 induit entre structures dans un même domaine E un préordre, pour lequel une structure dont la fermeture logique inclut celle d’une autre est dite « plus ?0-forte » que cette autre ; deux structures de forces égales seront dites « ?0-équivalentes ». Mais on peut dire de structures qu’elles sont « équivalentes » si elles le sont en dessous d’un cardinal donné, car elles le sont alors aussi en dessous de tout cardinal plus grand [145][145] Krasner, op. cit. in n. 63, 374. ; et de même pour ce qui est de la comparaison de leurs forces [146][146] Ibid., 375..

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Jusque-là, en dépit de multiples différences dans les styles d’exposition et dans les détails incidents, le canevas d’ensemble auquel obéit le mémoire de Krasner suit celui auquel obéit une partie correspondante du mémoire fondateur de Tarski [147][147] Alfred Tarski, Sur les ensembles définissables de nombres... « Sur les ensembles définissables de nombres réels » de 1931, à une transcription terminologique près : Krasner traite de relations là où Tarski traite d’ensembles qui en soient les graphes. Dans ce mémoire, Tarski, venant d’introduire deux familles d’ensembles définissables à partir de notions primitives différentes, parle de « la structure des deux familles » qui se modifie en passant de l’une à l’autre [148][148] Ibid., 233.. Il ne s’agit pas en l’occurrence de structures déterminées par des interprétations de signes ; il se peut donc qu’il entende « la structure » au sens commun d’ensemble des rapports entre les ensembles définissables, ou qu’il l’entende au sens du réseau booléen formé par ces ensembles [149][149] Par une « structure », les mathématiciens ont entendu.... Quoi qu’il en soit, Tarski motive l’attention portée à ces ensembles en remarquant que « tout ensemble particulier des nombres, auquel on a affaire dans les mathématiques, est un ensemble définissable, puisque nous n’avons d’autre moyen d’introduire individuellement un ensemble donné dans le domaine des considérations que celui de construire la fonction propositionnelle qui le détermine [150][150] Tarski, op. cit. in n. 147, 220. » ; le contexte nous apprend que c’est la « force » des moyens d’expression limités apportés par le langage, via ses notions primitives [151][151] Ibid., 234., que Tarski, et Krasner à sa suite, pensent mesurée par ce qu’ils qualifient de « structure ». Krasner ne fait pas référence à cet article de Tarski, mais, arrivé à ce point, s’engage dans une voie qui lui est entièrement propre, où il introduit des hiérarchies entre familles de structures abstraites.

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Il démontre « deux théorèmes jouant un rôle fondamental [152][152] Krasner, op. cit. in n. 128, 371. » : la « [l]oi d’existence » dit que tout sous-groupe g du groupe g(E) des permutations d’un domaine de base E est le groupe d’une structure dans E ; la « [l]oi d’équivalence » dit que les groupes de deux structures dans E coïncident si et seulement si leurs fermetures logiques coïncident [153][153] Ibid., 372., autrement dit, si et seulement si ces structures sont équivalentes.

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De cette dernière « loi » résulte le théorème [154][154] Ibid., 374. : de deux structures S? et S? dans un domaine E, la plus « forte » est S? si et seulement si son groupe gE/S? est un sous-groupe du groupe gE/S? de S?.

« Le corps dans E défini par [une structure] S » dans E est alors, par définition, la classe d’équivalence K(S) de S ; il a pour « sous-corps » les corps dans E qui sont définis par les structures dans E qui sont moins fortes que S. La correspondance associant, à chaque corps K dans E, le groupe, désormais noté gE/K, commun aux structures dans E qui forment K, est biunivoque et obéit à la « loi de dualité » selon laquelle le corps K? est un sous-corps du corps K? si et seulement si gE/K? est un sous-groupe de gE/K?[155][155] Ibid., 375..

Après ces éléments, Krasner introduit d’abord la notion de « relation du corps K » : toute relation appartenant à une structure de K. C’est aussi toute relation dans le domaine E des structures de K que « gE/K conserve ». Viennent ensuite des « signes » représentant des relations indéterminées, avec lesquelles sont formées en pensée, dans les langages du genre expliqué plus haut, à l’aide des opérations fondamentales, des représentations, pour lui, des « fonctions logiques » des indéterminées, et pour nous, des schémas de formules de ces langages, représentés à leur tour par de nouveaux signes, étant précisé que chacun de ces derniers signes s’introduit « en appliquant un nombre fini de fois le procédé » [156][156] Krasner, op. cit. in n. 128, 376.. Ces moyens lui permettent de traiter, après l’avoir définie, de la notion de « corps obtenu » d’un corps k « par adjonction à k » de relations dans le domaine E [157][157] Ibid., 377..

Krasner en vient plus loin [158][158] Ibid., 378. à considérer simultanément un corps K sur un domaine E et un corps K? sur un domaine E? pouvant, à l’inverse de ce qui avait été le cas auparavant, être différent de E. Il définit un « isomorphisme de K à K? » comme une « correspondance biunivoque » de toutes les relations de K « à » toutes les relations de K?, respectant les nombres d’arguments, les opérations fondamentales, et la relation ?* pour chaque permutation ? de l’un des ensembles de variables alloués pour marquer des places d’arguments de relations, aussi bien dans E? que dans E.

Un tel isomorphisme est-il extension aux relations d’une application biunivoque ? de E sur E? ? Ce que l’on entend par « être extension aux relations » est que le graphe de la relation ?r image, par l’application ? étendue aux relations, d’une relation r, se compose des images, par l’application ? étendue aux points, des points du graphe de r ; et pour ce qui est d’un point P, pourvu de places d’arguments occupées par des éléments de E, que son image ?P par l’application ? étendue aux points s’obtienne en remplaçant, place par place, l’élément de E qui s’y trouve par son image [159][159] Ibid., 379. par ?. De même étend-on encore ? à tout ensemble ? de relations dans E, soit, à la structure S qu’il détermine dans E ; l’ensemble ?? définit dans E? une structure ?S, isomorphe à S car toutes les extensions d’une application biunivoque sont encore biunivoques et son extension aux relations remplit vis-à-vis des opérations fondamentales toutes les conditions voulues. Bourbaki dira, dans ce genre de situations [160][160] N. Bourbaki, Éléments de mathématique I, Première partie..., que la structure ?S est définie par transport de la structure S par ?. Finalement, selon cette terminologie qui n’est pas celle de Krasner, le corps ?K composé des structures dans E? définies par transport des structures de K par ? est de même isomorphe à K. Krasner montre [161][161] Krasner, op. cit. in n. 128, 379. qu’à partir d’un isomorphisme ? de K sur K?, on peut définir des correspondances bijectives ? de E sur E? telles que ? coïncide avec l’extension de ? aux relations de K.

À un moment de la preuve, Krasner répond à un réflexe d’algébriste, rompt avec la leçon de Russell convoyée par Zaremba en introduisant une notion d’identité logique dans un corps k entre des relations formant un ensemble ? susceptible d’engendrer un sous-corps de k ; il y voit ce qui serait pour nous une formule fausse en tout point, valeur d’une fonction logique pour un assignement, aux indéterminées dont cette fonction dépend, de relations de ? et de relations de la forme ?* expliquée ci-dessus ; les formules ainsi obtenues et qui ne sont pas fausses en tout point sont appelées des inidentités logiques dans k entre les relations de ?. Krasner, lui, exprime la notion d’identité logique en ce sens en termes d’égalisation, au graphe vide, du graphe de la relation valeur de la fonction logique pour les mêmes valeurs de ses indéterminées [162][162] Ibid., 378., revenant ainsi aux manières de l’« algèbre de la logique », pour laquelle Ernst Schröder avait entamé des recherches en vue de trouver une méthode de résolution de ce genre d’équations [163][163] Friedrich Wilhelm Karl Ernst Schröder, Vorlesungen.... La possibilité d’étendre, en un isomorphisme du corps engendré par ?, une application injective ? de ? vers un corps, repose sur la préservation, par l’extension de ? aux fonctions logiques, à la fois, de toutes les identités logiques et de toutes les inidentiés logiques en ce sens [164][164] Krasner, op. cit. in n. 128, 378-379., existant entre les relations de ?.

Il n’est plus fait appel à des notions de logique ou données pour telles dans la suite du mémoire. Sa postérité se situe dans l’étude des groupes d’automorphismes des modèles.

Les structures selon Bourbaki, en 1939

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Au moment de la sortie du mémoire de Krasner, Nicolas Bourbaki était en train d’élaborer le premier fascicule paru, en 1939, de ses Éléments de mathématiques : le Fascicule de résultats de Théorie des ensembles[165][165] Bourbaki, op. cit. in n. 160.. Le § 8 de cet ouvrage est consacré à une description sommaire et incomplète de l’idée que Bourbaki se faisait de la notion abstraite de structure, qu’il avait à produire, car il prévoyait de faire reposer toute l’ossature des Éléments sur certaines espèces particulières de structures. En dépit des défauts de cette description, on peut cependant, à en lire attentivement des passages, se faire une idée de ce que représente pour nous ce que Bourbaki avait en tête à ce propos.

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La première section de ce § 8 introduit la notion « d’échelle des ensembles ayant pour base » une famille finie donnée d’ensembles [166][166] Ibid., 41.. Nous appellerons ici échelons les ensembles membres d’une telle échelle, décrits comme obtenus à partir des ensembles de base en itérant « autant de fois qu’on le désire » les opérations de passage à l’ensemble des parties d’un ensemble déjà introduit, et de passage des termes d’un couple d’ensembles déjà introduits à leur produit. Le texte évoque, pour chaque échelon, un « schéma explicite » qui code la suite des opérations ci-dessus, à suivre dans l’ordre, à partir des ensembles de base, pour parvenir à cet échelon ; on voit vite que cette suite est unique et caractérise l’échelon.

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Bourbaki explique ensuite [167][167] Ibid., 42. comment « la donnée d’un certain nombre d’éléments d’ensembles d’une échelle, de relations entre des éléments génériques de ces ensembles, d’applications de parties de certains de ces ensembles dans d’autres, revient en dernière analyse à la donnée d’un seul élément d’un des ensembles de l’échelle ». Comme patrons d’étapes du raisonnement menant à cette conclusion, il donne entre autres, au sujet d’ensembles M et N de l’échelle, les suivants : « […] la donnée d’une application de M dans N […] revient (en considérant l’ensemble représentatif [le graphe] de cette application) à celle d’une partie de M × N, c’est-à-dire à celle d’un élément de l’ensemble (M × N), qui est encore dans l’échelle [168][168] Bourbaki note (E) l’ensemble des parties de l’ensemble.... Enfin, la donnée de deux éléments (par exemple) de M, revient à celle d’un seul élément de l’ensemble produit M × M. »

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Il entame la section suivante en rappelant que « la donnée d’un élément C de l’ensemble (E × E) définit une structure d’ensemble ordonné sur E si on a les propriétés :

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Ces propriétés, écrites sous forme algébrique ensembliste, tout à fait inhabituelle de nos jours, dans un langage adapté, par simplification des notations, de celui dont usait Ernst Schröder dans son Algebra der Logik[169][169] Schröder, op. cit. in n. 163., caractérisent C comme graphe d’une relation d’ordre sur E, question traitée au § 6 du fascicule.

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Dans ce passage C est clairement le graphe d’un sens assigné à un symbole de relation. Bourbaki traite donc au § 8 de langages formels, c’est-à-dire de listes de signes destinés à représenter des notions primitives : des éléments distingués de l’ensemble de base E, par exemple le signe 0 vu comme dénotant l’élément neutre d’un groupe abélien sur E ; ou des éléments d’autres échelons de l’échelle de base E, telle une partie distinguée de E, vue comme sens assigné dans E par son graphe à une lettre de prédicat P ; ou encore, un élément de , vu comme sens assigné dans E par son graphe à une lettre de « prédicat de prédicats » ?, par exemple pour dénoter la famille d’ouverts d’une topologie sur E, etc.

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Nous voulons ainsi rendre clair que tout élément d’un échelon est une interprétation, par son graphe dans l’échelle, d’une notion indéterminée représentée par un signe d’une catégorie appropriée (dire d’un élément qu’il est neutre ou d’une famille de parties qu’elle est famille d’ouverts est fixer au sens assigné une détermination qui en restreint les choix possibles). Dans le passage de la fin de la section 1 du § 8 cité ci-dessus, Bourbaki donne à comprendre son raisonnement établissant la réciproque : tout signe d’un langage formel peut être vu, en présence de n’importe quelle base appropriée, comme dénotant une notion prenant sens relativement à la base par son graphe, qui appartient à un échelon de l’échelle engendrée par la base, déterminé par la catégorie de ce signe, c’est-à-dire par le « schéma de formation » de cet échelon ; ce schéma peut toujours être déduit de l’indispensable donnée des règles de syntaxe relatives à l’emploi des signes d’un langage formel.

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Auparavant, Bourbaki explique tacitement comment, à une liste, supposée finie, de signes constituant un langage formel, correspond aussi un schéma de formation d’échelon, qui détermine dans toute échelle ayant une base de longueur ne dépendant que du langage, l’échelon ensemble des listes d’interprétations de ces signes par leurs graphes, dans l’ordre où ils sont rangés. Car, tant que l’on s’en tient au seul langage, les notions que l’on pourrait demander à ces signes de représenter restent indéterminées dans leur catégorie.

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Or, une donnée composée d’une base et d’une liste d’interprétations, par leurs graphes, des signes d’un langage formel L, rangés dans l’ordre de ces signes, nous l’appelons aujourd’hui une structure d’interprétation de L (sous-entendu, dans la théorie des ensembles), en franglais une L-structure, en attribuant au terme « structure » un sens qui n’est pas celui de Bourbaki !, et à ceci près que nous ne faisons pas dépendre la structure de l’ordre de présentation des signes, une différence inessentielle.

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Sitôt après l’exemple de la « structure d’ensemble ordonné », la section 2 du § 8 se poursuit par une explication du sens que Bourbaki donne à la notion de structure : « Considérons un ensemble M d’une échelle dont la base est formée, par exemple, de trois ensembles E, F, G ; donnons-nous un certain nombre de propriétés explicitement énoncées d’un élément générique de M, et soit T l’intersection des parties de M définies par ces propriétés ; on dit qu’un élément ? de T définit sur E, F, G une structure de l’espèce T ; les structures d’espèce T sont donc caractérisées par le schéma de formation de M à partir de E, F, G, et par les propriétés définissant T, qu’on appelle les axiomes de ces structures ; on donne un nom spécifique à toutes les structures de même espèce. Toute proposition qui est une conséquence de la proposition « ? ? T » (c’est-à-dire des axiomes définissant T) est dite appartenir à la théorie des structures d’espèce T. »

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Dans ce passage, les éléments de l’échelon M sont donc de nos jours les structures d’interprétation du langage L dans lequel sont écrites les « propriétés définissant T ». Et ces « propriétés » déterminent lesquelles, parmi ces familles d’interprétations, sont les structures formant T, car interprétant, de manière à les remplir, les axiomes de « la » théorie de ces structures, supposée formalisable à l’aide de L ; ainsi, les éléments de T sont les L-structures appelées de nos jours (au jeu de l’énumération du langage près) les modèles de domaines de base E, F, G, de cette théorie ; modèles dits parfois ensemblistes, car objets de la théorie des ensembles.

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Bourbaki ne fait là que théoriser une pratique des mathématiciens qui remonte aux alentours du début du vingtième siècle. En 1904 déjà, par exemple, Edward Vermilye Huntington exhibe « un système (K ; ?, ?) dans lequel K, ?, ? sont interprétés de telle façon que tous les postulats sont satisfaits [170][170] Edward Vermilye Huntington, Sets of independent postulates... » [notre italique], et sont des « concepts fondamentaux ou symboles indéfinis » d’une « théorie purement déductive » étudiée « d’un point de vue purement mathématique ou abstrait » : K est « une classe » [171][171] Ibid., 288. dont on peut écrire à l’aide du signe « = » si ceux de ses éléments que désignent deux représentations différentes sont « équivalents » ou non, et ? et ? sont des « règles de combinaison » [172][172] Ibid., 289., dont deux postulats disent qu’elles produisent des éléments de K. Différentes assignations, aux indéterminées K, ?, ?, de valeurs déterminées, conformes à leurs catégories stipulées, et présentées, pour ce qui est des « règles de combinaison », dans les trois quarts des cas à l’aide de leurs tables, c’est-à-dire de leurs graphes, sont utilisées pour montrer la non-contradiction et l’indépendance des postulats.

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Ce patron de présentation des structures au sein de la théorie des ensembles s’était de plus en plus répandu au fil des années au vingtième siècle, et formait, sans y être théorisé, l’ossature de l’ouvrage de 1930 que Bourbaki s’attelait à émuler, la Moderne Algebra de Bartel Leendert Van der Waerden [173][173] Bartel Leendert Van der Waerden, Moderne Algebra, unter..., issue des cours prodigués par Emil Artin et Emmy Noether à Göttingen durant la seconde moitié des années vingt. Ce patron y était appliqué, entre autres, à la notion de groupe, ravalée ainsi au rang d’une structure particulière parmi d’autres. En 1933, la notion abstraite d’« algebra » de la « synthetic, or abstract algebra[174][174] Garrett Birkhoff, On the combination of subalgebras,... » de Garrett Birkhoff n’avait recouvert qu’une partie des structures que Bourbaki qualifie d’algébriques ; la notion de corps lui échappait. En intégrant ainsi à la théorie des ensembles tous les soucis de structuration attribués par Lautman à la logique, Bourbaki les lui ôtait pour les ramener dans le giron des mathématiques.

D’un autre côté, élève de Gottlob Frege, parti de l’étude des théories physiques, membre du Cercle de Vienne qui réunissait des scientifiques de toutes disciplines, Rudolf Carnap présente en 1937, dans la traduction anglaise augmentée The Logical syntax of language de sa Logische Syntax der Sprache[175][175] Rudolf Carnap, Logische Syntax der Sprache (Wien :... de 1934 bien connue en France, une version d’une notion abstraite de modèle qui correspond à la même pratique. Mais il n’en fait qu’une notion annexe de la méthode axiomatique, englobée dans un traitement de la seule syntaxe de langages d’ambitions allant bien au-delà de la formalisation des seules mathématiques et de leur théorie des ensembles [176][176] Rudolf Carnap, The Logical syntax of language. English.... Absente de l’édition originale, cette version intègre les modèles d’un « système axiomatique » dans ce système lui-même, alors que dans une version précédente, ils appartenaient à « une « discipline fondamentale » supposée : logique, arithmétique et théorie des ensembles (« absolues », celles-ci, à la différence d’une arithmétique axiomatique et d’une théorie des ensembles axiomatique) [177][177] Rudolf Carnap, Bericht über Untersuchungen zur allgemeinen... ». De nos jours, ce qui retient l’attention sur ces sources est ce qu’elles disent de la philosophie analytique ; ce qui concerne la notion de modèle semble rester en général tout à fait inaperçu.

Une question est donc posée à l’histoire : Bourbaki aurait-il subi l’influence de Carnap ? Cette hypothèse a contre elle que, Herbrand disparu, Bourbaki manquait d’un membre dont la logique fût la tasse de thé. L’écriture du fascicule s’en ressent, comme le montre l’imprécision de ses rudiments de logique, dont quelques notions sont juste évoquées au début de l’ouvrage. Celui-ci n’en constituait pas moins, à une époque où il semble bien ne pas y en avoir eu d’autre en français [178][178] Ni au service universitaire de documentation ni à la..., un bon manuel d’initiation à la théorie des ensembles, dont l’originalité réside avant tout dans une algébrisation ensembliste poussée (pour le premier volume de Topologie générale[179][179] N. Bourbaki, Éléments de mathématique II, Première... qui allait bientôt sortir), inspirée par l’Algebra der Logik de Ernst Schröder [180][180] Schröder, op. cit. in n. 163., moyennant un gros travail d’adaptation [181][181] « L’horrible Schröder », avait coutume de dire Jean....

Dans la suite du § 8, on trouve définies, entre autres, les notions : d’espèce de structures plus riche qu’une autre, de systèmes d’axiomes dits équivalents du fait qu’il a été « défini explicitement une application biunivoque » des modèles (au sens d’aujourd’hui) de l’un de ces systèmes sur les modèles de l’autre [182][182] Bourbaki, op. cit. in n. 160, 43., de transport de structure, de structures de même espèce isomorphes, d’automorphisme, d’identification de structures isomorphes [183][183] Ibid., 44., et de théories univalentes (n’ayant, à isomorphisme près, qu’une seule structure satisfaisant leurs axiomes) et multivalentes[184][184] Bourbaki, op. cit. in n. 160, 45.. Mais, en l’absence de la notion d’équivalence élémentaire et des notions apparentées [185][185] Cette notion a été introduite in Alfred Tarski, Grundzüge..., qui portent sur les propositions dont ces structures sont des modèles, on ne peut dire qu’il s’agisse d’un embryon de « théorie des modèles ».

Les espèces de structures de Bourbaki, de caractère fonctoriel aujourd’hui évident mais complexe, car en sus des bases, il faut prendre en compte la formation des langages et les relations algébriques ensemblistes directement utilisables pour axiomes [186][186] Il en va de même de notions introduites par Krasne..., ont trouvé une descendance naturelle en théorie des catégories dans la théorie combinatoire des espèces de structures d’André Joyal [187][187] André Joyal, Une théorie combinatoire des séries formelles,..., qui a su démêler l’écheveau, le réduire à ses éléments essentiels, explorer le réseau des relations entre structures, d’abord finies, en dégager des opérations de formation, en développer une algèbre, puis en aménager des extensions à des catégories plus larges. Une analyse détaillée des foncteurs en jeu et des liens qu’ils entretiennent sortirait du cadre du présent travail, mais appelle un mémoire consacré à l’histoire de la notion d’espèce de structures.


Annexe

80

Abréviations utilisées dans les références :

81

ASI : collection « Actualités scientifiques et industrielles » (Paris : Hermann)

82

Éditeurs :

83

A : Alcan

84

CUP : Cambridge University Press

85

PUF : Presses universitaires de France

86

GV : Gauthier-Villars

87

S : Springer

88

T : Teubner

89

Revues :

90

AH : Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der Hamburgischen Universität

91

CR : Comptes-rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences de Paris

92

EM : L’Enseignement mathématique

93

FM : Fundamenta mathematicae

94

MA : Mathematische Annalen

95

MZ : Mathematische Zeitschrift

96

RMM : Revue de métaphysique et de morale

Remerciements

L’auteur exprime toute sa reconnaissance à Mme Liliane Beaulieu pour ses vifs, constants et patients encouragements à entreprendre et à mener à bien le présent ouvrage. Il remercie les anonymous referees pour leurs conseils avisés et leurs suggestions pertinentes, auxquels ce travail doit beaucoup, mais en assume l’entière responsabilité. Enfin, il remercie M. Michel Bourdeau et le secrétariat de l’Institut d’histoire et de philosophie des sciences et des techniques de Paris pour une aide documentaire précieuse, le Laboratoire de logique, algorithmique et informatique de l’université de Clermont-Ferrand I pour son constant support matériel, et le secrétariat de rédaction de la Revue, dirigé par Mme Véronique Bourienne, pour le soin apporté à une impeccable réalisation éditoriale de ce travail.

Notes

[*]

Marcel Guillaume, professeur honoraire, Université de Clermont-Ferrand II, 34, avenue Carnot, 63000 Clermont-Ferrand. E-mail : mguil@wanadoo.fr

[1]

Jacques Herbrand, Écrits logiques, éd. par Jean Van Heijenoort (Paris : Presses Universitaires de France, 1968).

[2]

Gottfried Wilhelm Leibniz, Mathematische Schriften, éd. par Carl I. Gerhardt, 7 vol. (Berlin-Halle, 1849-1863).

[3]

Louis Couturat, La Logique de Leibniz d’après des documents inédits (Paris : A, 1901), et Id., Opuscules et fragments inédits de Leibniz, extraits des manuscrits de la Bibliothèque royale de Hanovre (Paris : A, 1903).

[4]

À quelques rares exceptions près de traductions françaises ayant joué un rôle particulier, nous nous bornons à renvoyer aux sources primaires, dont beaucoup sont reproduites ou traduites dans des recueils divers, parfois sous des versions remaniées par rapport aux précédentes.

[5]

Alessandro Padoa, Essai d’une théorie algébrique des nombres entiers, précédé d’une introduction logique à une théorie déductive quelconque, in Bibliothèque du congrès international de philosophie, t. 3 (Paris : Armand Colin, 1901), 309-365.

[6]

David Hilbert, Sur les fondements de la logique et de l’arithmétique, EM, 7 (1905), 89-103, trad. par Pierre Boutroux de David Hilbert, Über die Grundlagen der Logik und der Arithmetik, in Verhandlungen des dritten internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg vom 8. bis 13. August 1904 (Leipzig : T, 1905), 174-185.

[7]

Louis Couturat, L’Algèbre de la logique (Paris : GV, 1905).

[8]

Id., Les Principes des mathématiques (Paris : A, 1905).

[9]

Bertrand Russell, The Principles of mathematics, vol 1. (Cambridge : CUP, 1903).

[10]

Alessandro Padoa, La Logique déductive dans sa dernière phase de développement (Paris : GV, 1912).

[11]

Voir Poincaré, Russell, Zermelo et Peano, textes réunis par Gerhard Heinzmann (Paris : Blanchard, 1986).

[12]

Alfred North Whitehead, Bertrand Russell, Principia mathematica (Cambridge : CUP), vol. I (1910), vol. II (1912), vol III (1913).

[13]

Louis Rougier, La Structure des théories déductives (Paris : A, 1921).

[14]

David Hilbert, Grundlagen der Geometrie : Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber Denkmals in Göttingen (Leipzig : T, 1899).

[15]

Rougier, op. cit. in n. 13, XIV.

[16]

Ibid., XV.

[17]

Rougier, op. cit. in n. 13, 12.

[18]

Ibid., 68.

[19]

Padoa, op. cit. in n. 5.

[20]

Rougier, op. cit. in n. 13, XV.

[21]

Ibid., 2.

[22]

Jean Nicod, La Géométrie dans le monde sensible (Paris : A, 1924).

[23]

Nicod, op. cit. in n. 22, 9.

[24]

Ibid., 17.

[25]

Rougier, op. cit. in n. 13, 78.

[26]

Nicod, op. cit. in n. 22, 12 et 16 sqq.

[27]

Ibid., 20.

[28]

Ibid., 28.

[29]

Clarence Irving Lewis, A survey of symbolic logic (Berkeley : Univ. of California Press, 1918).

[30]

Jean Nicod, Les relations de valeurs et les relations de sens en logique formelle, RMM, 31 (1924), 577-583.

[31]

Nicod, op. cit. in n. 22, 27 (souligné par nous).

[32]

Rougier, op. cit. in n. 13, 65-66.

[33]

Nicod, op. cit. in n. 22, 21.

[34]

Ibid., 27.

[35]

Alfred Tarski, Les fondements de la géométrie des corps, Ksi?ga Pami?tkowa Pierwszego Polskiego Zjazdu Matematycznego, supplément aux Rocznik Polskiego Towarsystwa Matematycznego, Krakow, 1929, 29-33.

[36]

Nicod, op. cit. in n. 22, 33-43.

[37]

Cf. Jacques Dubucs, Jean Nicod, l’induction et la géométrie, in Michel Bitbol et Jean Gayon (éd.), L’Épistémologie française (1830-1970) (Paris : PUF, 2006), 285-300.

[38]

Rudolf Carnap, Logical foundations of probability (Chicago : University of Chicago Press, 1950).

[39]

Jean Nicod, Le Problème logique de l’induction (Paris : A, 1924).

[40]

John Maynard Keynes, A treatise of probability (London : Macmillan, 1921).

[41]

Dubucs, op. cit. in n. 37, 288.

[42]

Stanislas Zaremba, La Logique des mathématiques (Paris : GV, 1926), « Mémorial des sciences mathématiques », XV.

[43]

Andrzej Pelczar, Stanislas Zaremba (100th anniversary of taking up a chair at the Jagiellonian University), cf. : http://info-poland.buffalo.edu/web/sci_health/math/Zaremba/Zaremba.

[44]

Stanislas Zaremba, Essai sur la théorie de la démonstration, EM, 18 (1916), 5-44.

[45]

Pelczar, op. cit. in n. 43.

[46]

Zaremba, op. cit. in n. 42, 2.

[47]

Ibid., 50.

[48]

Ibid., 3.

[49]

Zaremba, op. cit. in n. 42, 5.

[50]

Ibid., 7-8.

[51]

Ibid., 6.

[52]

Ibid., 18-19, 26.

[53]

Ibid., 1.

[54]

Ibid., 46.

[55]

Ibid., 47.

[56]

Ibid., 42.

[57]

Ibid., 16.

[58]

Zaremba rend par ce terme l’allemand Begriffschrift utilisé par Frege, dont il cite les Grundgesetze der Arithmetik[, begriffschriftlich abgeleitet] (Jena : Pohle), vol. I (1893), vol. II (1903), dans son index bibliographique.

[59]

Ce terme forgé par Peano en accolant deux termes grecs signifie « écriture universelle ».

[60]

L’argument est dû à Frege, Begriffschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens (Halle, 1879).

[61]

Zaremba, op. cit. in n. 42, 6.

[62]

David Hilbert, Neubegründung der Mathematik. Erste Mitteilung, AH, 1 (1922), 157-177.

[63]

Zaremba, op. cit. in n. 42, 40.

[64]

Ibid., 26 sqq.

[65]

Jacques Herbrand, Sur la théorie de la démonstration, CR, 186 (1928), 1274-1276.

[66]

Zaremba, op. cit. in n. 42, 28.

[67]

Ibid., 29.

[68]

Ibid.

[69]

Ibid., 38.

[70]

Ibid., 40.

[71]

Whitehead, Russell, op. cit. in n. 12.

[72]

Hilbert, op. cit. in n. 62.

[73]

André Guinier, Un jour de juillet 1931, dans le massif d’Oisans…, in Jacques Stern (éd.), Proceedings of the Herbrand symposium (Amsterdam - New York - Oxford : North-Holland and Elsevier, 1982), 9-10.

[74]

Herbrand, op. cit. in n. 65.

[75]

Zaremba, op. cit. in n. 42, 7.

[76]

Jacques Herbrand, Non-contradiction des axiomes de l’arithmétique, CR, 188 (1929), 303-304.

[77]

Johann von Neumann, Zur Hilbertschen Beweistheorie, MZ, 26 (1927), 1-46.

[78]

Jacques Herbrand, Sur quelques propriétés des propositions et leurs applications, CR, 188 (1929), 1076-1078.

[79]

Jacques Herbrand, Recherches sur la théorie de la démonstration, thèse, université de Paris (Warzsaw : Dziewulski, 1930), « Prace Towarzystwa Naukowego Warszawskiego, Wydzial III Nauk Matematyczno-fizycznych », n° 33.

[80]

Jean Van Heijenoort, L’œuvre logique de Jacques Herbrand et son contexte historique, in Stern, op. cit. in n. 73, 57-85.

[81]

Herbrand, op. cit. in n. 79, chap. 5, § 6.1 ; cf. Herbrand, op. cit. in n. 1, 143 ; cf. Warren Goldfarb, Introduction, in Jacques Herbrand, Logical writings, ed. by Warren D. Goldfarb (Dordrecht-Reidel-Cambridge : Harvard University Press, 1971), 1-20.

[82]

Herbrand, op. cit. in n. 79, 63.

[83]

Gerhardt Gentzen, Untersuchungen über das logische Schliessen, MZ, 39 (1934), 176-210, 405-431.

[84]

Leopold Löwenheim, Über Möglichkeiten im Relativkalkül, MA, 76 (1915), 447-470.

[85]

Jacques Herbrand, Sur le problème fondamental des mathématiques, CR, 189 (1929) 554-556.

[86]

Les méthodes de codage de Kurt Gödel, qui établissent un lien plus précis entre formalisation et arithmétique, n’apparaissent qu’à partir de 1930.

[87]

Claude Chevalley et Albert Lautman, Notice biographique sur Jacques Herbrand, Annuaire de l’Association amicale de secours des anciens élèves de l’École normale supérieure, 1931, 66-68, ici 67.

[88]

Jacques Herbrand, Sur le problème fondamental de la logique mathématique, Sprawozdania z posiedzenow Towarzystwa Naukowego Warzsawskiego, Wydzial III Nauk-Matematyczno-fizycznych, 24 (1931), 12-56.

[89]

Paolo Mancosu, in Paolo Mancosu, Between Russell and Hilbert : Behmann on the foundations of mathematics, The Bulletin of symbolic logic, 5/3 (1999), 303-330, note, à la page 320, que le terme semble avoir été introduit par Heinrich Behmann dans une conférence sur « Problème de la décision et algèbre de la logique » (Entscheidungsproblem und Algebra der Logik) donnée à Göttingen le 10 mai 1921, dont il subsiste un brouillon.

[90]

Zaremba, op. cit. in n. 42, 1.

[91]

Cf. Jean Dieudonné, Jacques Herbrand et la théorie des nombres, in Stern, op. cit. in n. 73, 3-7.

[92]

Jacques Herbrand, Sur la non-contradiction de l’arithmétique, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 166 (1931), 1-8, ici p. 3, n. 3.

[93]

Voir le témoignage de Chevalley et Lautman, in op. cit. in n. 87.

[94]

Émile Borel, Leçons sur la théorie des fonctions, 3e éd. (Paris : GV, 1928).

[95]

Actes du congrès international de philosophie des sciences, vol. VI : Philosophie des mathématiques (Paris : Hermann, 1936), ASI, 393.

[96]

Travaux du IXe congrès international de philosophie, vol. VI : Logique et mathématiques (Paris : Hermann, 1937), ASI, 536.

[97]

Albert Lautman, Essai sur les notions de structure et d’existence en mathématiques, vol. I : Les Schémas de structure (Paris : Hermann, 1938), ASI, 590 et « Le progrès de l’esprit », V ; vol. II : Les Schémas de genèse (Paris : Hermann, 1938), ASI, 591 et « Le progrès de l’esprit », VI.

[98]

Lautman, op. cit. in n. 97, vol. I, 44-45 (souligné par nous).

[99]

Ibid., vol. II, 135.

[100]

Ibid., vol. I, 29 (souligné par nous).

[101]

Lautman, op. cit. in n. 97, 64-65 (souligné par nous).

[102]

Op. cit. in n. 95, 28.

[103]

Georges Bouligand, Quelques aspects de l’étude des propositions mathématiques, in op. cit. in n. 95, 34-40, ici 35.

[104]

Georges Bouligand, Structure des théories : Problèmes infinis (Paris : Hermann, 1937), ASI, 548, p. 22.

[105]

Voir par exemple les remarques à ce sujet in : Jean-Louis Destouches, Sur l’unité de la physique théorique, Bulletin des sciences de l’École polytechnique de Timisoara, 8 (1938/1939), 49-71, ici 63.

[106]

Michel Bitbol, Jean-Louis Destouches, in op. cit. in n. 37, 397-410, ici 398.

[107]

Jean-Louis Destouches, Rôle des espaces abstraits en logique, stabilité des propositions, légalité et semi-légalité, in op. cit. in n. 95, 41-50.

[108]

Cf. Georges Bouligand, Sur la stabilité des propositions mathématiques, Bulletin de la classe des sciences, Académie royale de Belgique, 21 (1935), 277-282, 776-779.

[109]

Paulette Février, Les relations d’incertitude de Heisenberg et la logique, in op. cit. in n. 96, 88-94.

[110]

Ibid., 90.

[111]

Février, op. cit. in n. 109, 91.

[112]

Ibid., 88, résumé.

[113]

Ibid., 91.

[114]

Ibid., 92.

[115]

Ibid., 93.

[116]

Paulette Février, Les relations d’incertitude de Heisenberg et la logique, CR, 204 (1937), 481-483, et Paulette Février, Sur une forme générale de la définition d’une logique, ibid., 958-959.

[117]

Ibid., 481.

[118]

Garrett Birkhoff and John von Neumann, The logic of quantum mechanics, Annals of mathematics, 27 (1936), 823-843.

[119]

Ibid., 831-832. On peut lire ? (resp. ?, resp. ?) comme dénotant le connecteur d’implication (resp. de disjonction non exclusive, resp. de conjonction) et « entraîne » comme signifiant que si l’hypothèse vaut, la conclusion vaut aussi.

[120]

Jean-Louis Destouches, Physique moderne et philosophie (Paris : Hermann, 1939), ASI, 847, p. 48.

[121]

Id., Essai sur la forme générale des théories physiques (Cluj : Institutul de Arte Grafice « Ardealul », 1938).

[122]

Ibid., 43.

[123]

Destouches, op. cit. in n. 105.

[124]

David Hilbert und Wilhelm Ackermann, Grundzüge der theoretischen Logik (Berlin : S, 1928).

[125]

Zaremba, op. cit. in n. 42.

[126]

Témoignage de l’auteur sur des faits relatés oralement par Marc Krasner.

[127]

Jean-Paul Pier, Marc Krasner, Cahiers du séminaire d’histoire des mathématiques (Centre universitaire de Luxembourg), 7 (1986), 43-44.

[128]

Marc Krasner, Une généralisation de la notion de corps, Journal de mathématiques pures et appliquées, sér. 9, 17 (1938), 367-385.

[129]

Cf. R. Gregory Taylor, Zermelo’s cantorian theory of systems of infinitely long propositions, Bulletin of symbolic logic, 8/4 (2002), 478-515.

[130]

Ibid., 510 : « Zermelo states outright that every mathematical proposition is decidable (see [Ernst Zermelo, Über mathematische Systeme und die Logik des Unendlichen, Forschungen und Forstschritte, 8 (1932), 6-7]). »

[131]

Remarque incidente à l’intention de l’auteur, faite en chaire le 8 mars 1960.

[132]

Par opposition à la simple suggestion questionnante à laquelle nous nous en étions prudemment tenu dans un travail antérieur : Marcel Guillaume, La logique mathématique en sa jeunesse, in Jean-Paul Pier (ed.), Development of mathematics 1900-1950 (Basel-Boston-Berlin : Birkhaüser, 1994), 185-365.

[133]

Krasner, op. cit. in n. 128, 370.

[134]

Ibid., 368.

[135]

Zaremba, op. cit. in n. 42, 16.

[136]

Krasner, op. cit. in n. 128, 371.

[137]

Adolf Lindenbaum und Alfred Tarski, Über die Beschränkheit der Ausdrucksmittel deduktiver Theorien, Ergebnisse eines mathematischen Kolloquium, 7 (1936), 15-22.

[138]

Emil Artin, Galois theory (Notre-Dame : University of Notre-Dame, 1942).

[139]

Souvenir personnel de l’auteur sur les enseignements de Krasner à Clermont-Ferrand en 1960.

[140]

Ou l’extension, terme dont nous avons écarté l’emploi pour ne pas avoir à l’employer plus loin dans un même contexte en ce sens et en un sens différent.

[141]

Krasner, op. cit. in n. 128, 368. L’intersection (resp. la réunion) d’une famille d’ensembles en avait été appelée le plus grand (resp. petit) commun diviseur (resp. multiple), noté (resp. ), par Georg Cantor, Über unendliche, linearen Punktmannigfaltigkeiten, MA, 17 (1880), 355-358, ici 355 ; le premier de ces termes avait été utilisé en ce sens par Dedekind dans sa théorie des extensions de corps exposée dans le Supplément X de Gustav Peter Lejeune Dirichlet, Vorlesungen über Zahlentheorie, 2e éd. (Braunschweig : Vieweg, 1871).

[142]

Il ne faut pas confondre les permutations des places d’arguments, représentées par des variables, avec les permutations du domaine de base E. Ainsi, si r.wxyz est une relation à 4 arguments, si a et b sont des éléments de E, et si aabb est un point du graphe de r, l’extension aux points de la transposition de a et b dans E transforme ce point en le point bbaa, alors que la transposition induite par la transposition des places marquées w et y le transforme en le point baab.

[143]

Krasner, op. cit. in n. 63, 369. Ici et dans la suite, nous visons à expliquer, sans suivre tous les méandres de ce mémoire, les points en rapport avec notre sujet et susceptibles d’avoir eu quelque lien avec le travail de Bourbaki, objet du prochain paragraphe. Un tour complet des aspects algébriques du mémoire se placerait dans une tout autre perspective et reste à chercher ailleurs.

[144]

Ibid., 370.

[145]

Krasner, op. cit. in n. 63, 374.

[146]

Ibid., 375.

[147]

Alfred Tarski, Sur les ensembles définissables de nombres réels I, FM, 17 (1931), 210-239.

[148]

Ibid., 233.

[149]

Par une « structure », les mathématiciens ont entendu durant un temps un réseau. Cf. Léo Corry, Modern algebra and the rise of mathematical structures (Basel-Boston-Berlin : Birkhäuser, 1996), chap. 6.

[150]

Tarski, op. cit. in n. 147, 220.

[151]

Ibid., 234.

[152]

Krasner, op. cit. in n. 128, 371.

[153]

Ibid., 372.

[154]

Ibid., 374.

[155]

Ibid., 375.

[156]

Krasner, op. cit. in n. 128, 376.

[157]

Ibid., 377.

[158]

Ibid., 378.

[159]

Ibid., 379.

[160]

N. Bourbaki, Éléments de mathématique I, Première partie : Les Structures fondamentales de l’analyse, Livre I : Théorie des ensembles (Fascicule de résultats) (Paris : Hermann, 1939), ASI, 846, p. 44. Seule cette première édition se situe dans la période visée par le présent travail.

[161]

Krasner, op. cit. in n. 128, 379.

[162]

Ibid., 378.

[163]

Friedrich Wilhelm Karl Ernst Schröder, Vorlesungen über die Algebra der Logik (exakte Logik) (Leipzig : T), vol. 1 (1890) ; vol. 2, Erster Teil (1891) ; vol. 2, Zweiter Teil (1905) ; vol. 3, Erster Teil (1895), ici vol. 3, 161.

[164]

Krasner, op. cit. in n. 128, 378-379.

[165]

Bourbaki, op. cit. in n. 160.

[166]

Ibid., 41.

[167]

Ibid., 42.

[168]

Bourbaki note (E) l’ensemble des parties de l’ensemble E.

[169]

Schröder, op. cit. in n. 163.

[170]

Edward Vermilye Huntington, Sets of independent postulates for the algebra of logic, Transactions of the American Mathematical Society, 5 (1904), 288-309, ici 293.

[171]

Ibid., 288.

[172]

Ibid., 289.

[173]

Bartel Leendert Van der Waerden, Moderne Algebra, unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether (Berlin : S), vol. I. : Die Grundlagen der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen, Bd. 33 (1930) ; vol. II. : Die Grundlagen der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen, Bd. 34 (1931).

[174]

Garrett Birkhoff, On the combination of subalgebras, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 29 (1933), 441-464, ici 441.

[175]

Rudolf Carnap, Logische Syntax der Sprache (Wien : J. Springer, 1934).

[176]

Rudolf Carnap, The Logical syntax of language. English transl. by Amethe Smeaton, countess from Zeppelin (London : Kegan Paul Trench, Trubner & Co., 1937), 272. À la page suivante, il renvoie à un article antérieur : Rudolf Carnap, Eigentliche und uneigentliche Begriffe, in Symposion : Philosophische Zeitschrift für Forschung und Aussprache 1, 355-374, qui semble avoir été le premier où ait été donnée une version abstraite de la notion de modèle, familière aux physiciens, et peut-être alors déjà objet d’un usage « informel » ici ou là chez les mathématiciens.

[177]

Rudolf Carnap, Bericht über Untersuchungen zur allgemeinen Axiomatik, Erkenntnis, 1 (1930-1931), 303-307, ici 307 : « […] setzt eine « Grunddisziplin » voraus : Logik, Arithmetik, und Mengenlehre (diese als « absolute » Theorien, im Unterschied zu einer axiomatischen Arithmetik und axiomatischen Mengenlehre). »

[178]

Ni au service universitaire de documentation ni à la Bibliothèque nationale de France les catalogues n’en incluent d’autre antérieur à 1940.

[179]

N. Bourbaki, Éléments de mathématique II, Première partie : Les Structures fondamentales de l’analyse, Livre III : Topologie générale, chap. I et II. ASI 858 (Paris : Hermann, 1940).

[180]

Schröder, op. cit. in n. 163.

[181]

« L’horrible Schröder », avait coutume de dire Jean Dieudonné à l’auteur, quand cet ouvrage venait à être évoqué devant lui.

[182]

Bourbaki, op. cit. in n. 160, 43.

[183]

Ibid., 44.

[184]

Bourbaki, op. cit. in n. 160, 45.

[185]

Cette notion a été introduite in Alfred Tarski, Grundzüge des Systemenkalküls. Erster Teil, FM, 25 (1935), 503-526, ici 525.

[186]

Il en va de même de notions introduites par Krasner.

[187]

André Joyal, Une théorie combinatoire des séries formelles, Advances in mathematics, 42 (1981), 1-82.

Résumé

Français

Une première période où les influences mêlées d’Alessandro Padoa et de Bertrand Russell s’exercent en France culmine avec les essais philosophiques de Jean Nicod. Une seconde période voit fleurir les travaux du mathématicien Jacques Herbrand ; avant de périr, il laisse son nom à un théorème fondamental. Suit une période de débats entre philosophes, mathématiciens et physiciens, stimulés en 1935 et 1937 par la tenue à Paris de deux congrès consacrés, totalement ou en partie, à la philosophie des sciences. Paulette Février y esquisse une logique non classique où l’on postule l’existence de couples de propositions non composables pour ériger en principes les relations de Werner Heisenberg. Jean-Louis Destouches développe cette conception jusqu’à décrire comment édifier une théorie unifiante. La structuration des êtres mathématiques est l’objet d’études philosophiques d’Albert Lautman. Le rôle putatif de la notion de groupe en logique est interrogé. La notion de structure mathématique est l’objet de deux contributions : Marc Krasner généralise les conceptions d’Évariste Galois, attribuées à la logique et étendues à des langages infinitaires ; Nicolas Bourbaki, compte tenu de l’évolution des mathématiques, qualifie de structure ce que nous appelons aujourd’hui un modèle.

Mots-clés

  • logique
  • théories déductives
  • Jean Nicod
  • Jacques Herbrand
  • théorie unifiante
  • Albert Lautman
  • groupes
  • structures
  • Marc Krasner
  • Nicolas Bourbaki

English

SummaryThe culminating point of a first period under Alessandro Padoa’s and Bertrand Russell’s mixed influences in France lies in Jean Nicod’s philosophical essays. During a second period, Jacques Herbrand’s mathematical work blossoms. Before his early death, he had given his name to a fundamental theorem. Follows a period of debates among philosophers, mathematicians and physicists, stimulated in 1935 and 1937 by two congresses, totally or partially devoted to the philosophy of science, held in Paris. On that occasion, Paulette Février sketched a non-classical logic in which the existence of pairs of propositions that cannot be composed is postulated in order to set up Werner Heisenberg’s relations as principles. These ideas are developed by Jean-Louis Destouches to the point of describing how to build a unifying theory. The structuring of mathematical beings is the subject matter of Albert Lautman’s philosophical studies. The putative role of the notion of group in logic is examined. The notion of mathematical structure gives rise to two contributions : Marc Krasner generalizes Évariste Galois’ ideas, attributed to logic and extended to infinitary languages ; Nicolas Bourbaki, taking into account the evolution of mathematics, designates under the term structure what we now call model.

Keywords

  • logic
  • deductive theories
  • Jean Nicod
  • Jacques Herbrand
  • unifying theory
  • Albert Lautman
  • groups
  • structures
  • Marc Krasner
  • Nicolas Bourbaki

Plan de l'article

  1. Introduction
  2. L’âge de la philosophie des théories déductives en France
  3. 1925-1930 : Mathématiciens à l’ouvrage
  4. Maturations tâtonnantes, sans Herbrand
  5. Essais de logiques non classiques pour la physique théorique
  6. Les structures selon Marc Krasner
  7. Les structures selon Bourbaki, en 1939

Pour citer cet article

Guillaume Marcel, « La logique mathématique en France entre les deux guerres mondiales : Quelques repères », Revue d'histoire des sciences, 1/2009 (Tome 62), p. 177-219.

URL : http://www.cairn.info/revue-d-histoire-des-sciences-2009-1-page-177.htm
DOI : 10.3917/rhs.621.0177


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