Pour faire face à la multiplicité de ses besoins, le conjoncturiste dispose d’une batterie d’instruments [1]. Les méthodes structurelles reposent sur une représentation de la fonction de production, sur une mesure des facteurs de production et sur une analyse du fonctionnement des marchés des facteurs. Elles sont les seules à expliciter la nature des contraintes qui pèsent sur la croissance accessible et à permettre d’évaluer les effets de changements structurels (modification du rythme de progrès technique, du rythme d’accumulation du capital, …). Elles sont en revanche moins adaptées à l’identification de la dynamique cyclique et à l’évaluation de la position dans le cycle, ce qui justifie le recours aux méthodes statistiques d’extraction de tendance et de cycle. Les premières méthodes fournissent une estimation de la croissance potentielle, les secondes une évaluation de la croissance tendancielle, qui est assimilée à une croissance potentielle. Les méthodes statistiques appliquées au PIB peuvent fournir des indications utiles pour des périodes sur lesquelles on dispose d’un recul suffisant. Mais confrontées par exemple à une accélération de la croissance en fin de période, elles sont dans l’incapacité d’apprécier la nature tendancielle ou cyclique de cette accélération, en l’absence d’observations futures et de référence explicite aux tensions sur les marchés des biens et du travail.

C’est notamment pour permettre aux méthodes statistiques de mieux prendre en compte ces tensions qu’ont été développées diverses méthodes statistiques multivariées. Ces méthodes consistent essentiellement à introduire dans les méthodes statistiques de décomposition tendance-cycle une information supplémentaire, de nature économique, avec comme principal objectif d’améliorer la capacité de distinguer les chocs d’offre, qui affectent la tendance, des chocs de demande, qui affectent le cycle. Ces méthodes sont à la fois statistiques et multivariées, dans le sens où elles reposent sur certaines hypothèses relatives aux processus stochastiques engendrant la tendance et le cycle, mais aussi sur le lien entre les fluctuations de la production et celle d’autres variables économiques, comme par exemple l’inflation ou le chômage. Si elles ne permettent pas d’identifier la nature des contraintes pouvant peser sur la croissance potentielle, comme dans le cas des méthodes structurelles, elles tentent néanmoins de capter une information supplémentaire, qui se fonde sur une représentation de l’excès d’offre ou de demande sur différents marchés, ce qui peut s’avérer utile à l’interprétation des cycles économiques.

Cet article applique l’une de ces méthodes statistiques multivariées, le filtre de Hodrick-Prescott multivarié (HPMV par la suite), à l’estimation de l’écart de production de la zone euro. Le filtre HPMV a été développé par Laxton et Tetlow (1992), et se présente comme une extension du filtre de Hodrick-Prescott (HP), par le biais de l’intégration d’équations additionnelles. Ces équations sont retenues pour leur caractère informatif sur les tensions sur les marchés des biens et du travail. Cet article se propose de mesurer l’influence de l’intégration de cette information supplémentaire, de nature économique, sur l’évaluation de l’écart de production de la zone euro. L’identification à un modèle espace-état permet en outre d’utiliser une nouvelle technique d’estimation du filtre. Ce cadre probabiliste, présenté par Lemoine et Pelgrin (2003) dans cette même Revue, évite de calibrer un certain nombre de paramètres clefs et fournit plusieurs critères statistiques précieux pour l’évaluation des estimations de l’écart de production.

La première partie présente le cadre méthodologique, soit le filtre HPMV, les équations économiques et la méthode d’estimation retenues. La seconde partie applique cette méthodologie à l’estimation de l’écart de production de la zone euro, et discute l’impact des variables économiques retenues sur la base de divers critères statistiques (précision des estimations, statistiques de révision et capacité prédictive de l’inflation).

avec y_t la production, y*_t la production potentielle, gap_t l’écart de production et λ>0 le paramètre de lissage. Le partage entre chocs permanents et chocs transitoires, fréquemment interprété comme la distinction entre chocs d’offre et de demande [2], dépend de la valeur du paramètre λ. En effet, plus λ est élevé, plus le filtre produira une tendance lisse et un cycle ample ; à l’inverse, plus λ est faible, plus le filtre produira une tendance volatile et un cycle amorti. Le paramètre λ est généralement fixé à 1600 pour des séries trimestrielles, ce qui revient à filtrer les cycles d’une période inférieure à 8 ans [3]. King et Rebello (1993) ont montré que la valeur optimale du paramètre λ est fonction du rapport entre la variance des chocs de demande et celle des chocs d’offre (σ ² _y-y* /σ ² _Δ²y* ). Or une incertitude considérable entoure la valeur de ce rapport, et donc celle du paramètre λ, et ce d’autant plus qu’il est particulièrement difficile pour le filtre de distinguer un choc de demande persistant d’un choc d’offre, dans la mesure où la seule différence qu’il identifie réside dans le caractère persistant des chocs d’offre et temporaire des chocs de demande. Cette difficulté à dissocier les chocs d’offre des chocs de demande est propre à toutes les méthodes univariées de décomposition tendance-cycle, mais elle est amplifiée dans le cas du filtre HP. Les propriétés de symétrie du filtre HP disparaissent en effet en fin de période, de sorte qu’en l’absence d’information sur les observations futures, le filtre aura plus de difficulté à considérer un choc donné comme transitoire ou permanent. Il produira de ce fait des estimations particulièrement instables en fin d’échantillon, au moment même où l’information délivrée par le filtre peut être considérée comme la plus précieuse pour le diagnostic conjoncturel.

L’objectif premier de la version multivariée du filtre HPMV est donc d’apporter une solution aux problèmes qui viennent d’être évoqués, par le biais de trois innovations. La première est d’incorporer dans le programme d’optimisation du filtre une information de nature économique, censée aider le filtre à mieux comprendre la nature des chocs qui affectent l’économie. La deuxième est d’intégrer des contraintes statistiques visant à améliorer les propriétés de fin de période du filtre HP [4]. À ces deux innovations sont associés dans le programme d’optimisation des poids spécifiques. La troisième est de rendre la décomposition tendance-cycle plus souple en autorisant le paramètre de lissage et les poids à prendre différentes valeurs au cours du temps [5]. Le programme d’optimisation d’un filtre HPMV admet donc la représentation suivante :

où, outre les variables précédentes, ε_i,t sont les résidus de n équations économiques reliant l’écart de production à d’autres variables économiques, μ_i,t sont les poids (positifs) associés à ces relations économiques, AD_j,t sont les m contraintes statistiques additionnelles, γ_j,t sont les poids associés à ces contraintes. La tendance recherchée par ce programme doit donc à la fois minimiser l’écart de production, les variations de son taux de croissance, ajuster au mieux les n relations économiques, tout en tenant compte des m contraintes additionnelles. À chacun de ces objectifs est associé un poids, qui peut être variable au cours du temps.

Nous proposons dans cet article d’évaluer l’impact de l’intégration de relations économiques additionnelles sur l’évaluation de l’écart de production de la zone euro, ainsi que d’illustrer l’incidence de valeurs alternatives des poids associés à ces relations. Le programme d’optimisation retenu ne comprend donc pas de contrainte statistique additionnelle, et les poids sont considérés comme constants dans le temps.

L’équation d’inflation s’apparente au triangle model de Gordon (1997), et renvoie à la définition originelle d’Okun (1962) du potentiel de production comme le niveau maximum de production compatible avec l’absence de tensions inflationnistes :

avec Π_t l’inflation, mesurée comme le taux de croissance trimestriel de l’indice des prix à la consommation. L’inflation dépend d’anticipations adaptatives, de l’écart de production gap_t et de l’évolution des termes de l’échange S_t [7]. L’intégration des prix relatifs vise à tenir compte du fait que certaines évolutions de l’inflation reflètent l’effet de chocs d’offre temporaires (comme une variation du taux de change ou du prix des matières premières importées), et ne doivent de ce fait pas être attribuées à une évolution de l’écart de production. Pour s’assurer que l’équation d’inflation de long terme soit bien spécifiée en accélération, la somme des coefficients α ₁, α ₂, et α ₃ a été contrainte à 1. Dans les modèles présentés ici, la plupart des estimations conduisent à retenir un pouvoir explicatif maximal pour un retard d’ordre 1 de l’écart de production.

La loi d’Okun rend compte du lien entre les déséquilibres du marché du travail et ceux du marché des biens et services :

où UNR_t est le taux de chômage, UNR*_t le taux de chômage d’équilibre, 1/α_unr est le coefficient d’Okun. Cette contrainte vise essentiellement à intégrer une information de long terme, dans la mesure où le facteur travail est la seule contrainte jouant sur la production potentielle dans ce cas. Tout le problème réside dans la détermination du taux de chômage d’équilibre, tout particulièrement dans la zone euro, où le taux de chômage a connu une dérive importante à la hausse dans les années 1970 et 1980 et ne fluctue pas, comme dans le cas des États-Unis, autour d’une valeur stable. Le choix qui a été fait ici est d’endogénéiser l’estimation du taux de chômage d’équilibre, en le contraignant à reproduire une tendance proche de celle d’un filtre HP univarié. Cette approche est certes réductrice, mais elle a été motivée par le souhait d’estimer l’ensemble des paramètres du modèles dans un cadre de décomposition tendance-cycle homogène [8].

Enfin, utiliser le taux d’utilisation des capacités revient à prendre en compte l’idée selon laquelle le potentiel de production est limité à court terme par le stock de capital disponible :

avec CAP_t le taux d’utilisation des capacités de production issu des enquêtes auprès de l’industrie manufacturière, CAP*_t sa valeur d’équilibre, modélisée ici par une tendance linéaire pour rendre compte de possibles changements structurels du taux d’utilisation des capacités de production dans la zone euro, liés par exemple à la durée d’utilisation des équipements. L’utilisation de ce type de variable présente l’avantage d’incorporer une information « directe » sur les tensions, mais il est soumis aux inconvénients des enquêtes qualitatives, et ne couvre qu’une faible part de l’économie, de surcroît décroissante [9].

La procédure d’estimation consiste dans une première étape à réécrire le programme de minimisation du filtre HPMV sous une forme espace-état :

Le premier système d’équations regroupe les équations d’état, le second système d’équations regroupe les équations de mesure [11].

Dans ce modèle, calibrer le coefficient de lissage λ et les poids μ_i des relations économiques revient à contraindre les ratios de variances suivant :

En outre, pour estimer le taux de chômage d’équilibre comme la tendance issue d’un filtre HP, il est nécessaire de fixer le ratio de variance suivant :

[12]

Mais, excepté λ et λ_unr* qui ont été fixés à la valeur de 1 600, soit la valeur usuellement retenue pour les séries trimestrielles, ces ratios ont été estimés par maximum de vraisemblance, ce qui permet de les comparer aux valeurs habituellement retenues dans d’autres études empiriques.

Dans une seconde étape, les variables d’état y*_t et gap_t et l’ensemble des paramètres sont estimés avec le filtre de Kalman et l’algorithme EM. La mise en œuvre de ces algorithmes requière d’accorder une attention particulière aux initialisations et a été conduite comme suit :

— Initialisation du filtre de Kalman : les valeurs initiales de la production potentielle ont été estimées avec un filtre HP univarié. La production potentielle étant non stationnaire, il convient de procéder à une initialisation diffuse, c’est-à-dire de fixer sa variance initiale à un niveau élevé.

— Initialisation de l’algorithme EM : les élasticités et les variances des résidus ont été initialisées en pré-estimant par moindres carrés les équations (3), (4) et (5) avec un écart de production issu d’un filtre HP univarié.

L’analyse des statistiques descriptives des estimations économétriques et des évaluations de l’écart de production permet en premier lieu d’évaluer l’impact de l’intégration des relations économiques sur l’évaluation de l’écart de production. Il s’agit dans ce cadre d’évaluer dans quelle mesure l’utilisation d’une méthode multivariée conduit ou non à réviser sensiblement le diagnostic conjoncturel sur le positionnement de la zone euro dans le cycle en comparaison d’une méthode univariée.

Les modèles espace-état fournissent par ailleurs plusieurs indicateurs intéressants. Il est ainsi possible de tirer des variances fournies par le filtre de Kalman des intervalles de confiance, et donc d’évaluer la capacité du filtre HPMV multivarié à fournir des évaluations de l’écart de production éventuellement plus précises que le filtre univarié. L’évaluation de ce critère est menée pour les estimations lissée et filtrée de l’écart de production [15]. Ce critère consiste donc à évaluer la fiabilité du diagnostic conjoncturel délivré par le filtre, tout particulièrement en fin de période. En suivant Hamilton (1986), l’incertitude se décomposera en une incertitude paramétrique et en une incertitude filtrée (voir annexe II pour plus de détails).

Pour évaluer la capacité éventuelle du filtre multivarié à mieux dissocier les chocs d’offre des chocs de demande en fin de période, il est également intéressant d’étudier les propriétés de révision des estimations. Compte tenu de la difficulté à obtenir des jeux de données en temps réel, les révisions considérées ici mesurent l’écart entre estimations finales (lissées) et estimation « en temps quasi réel » [16]. Ces révisions incorporent la possible instabilité des paramètres estimés et la difficulté à estimer la production potentielle sans disposer d’observations futures. Elles ne tiennent donc pas compte des révisions des données (entre comptes provisoires et comptes définitifs), mais il faut garder en tête que cet effet représente une source importante de révision des évaluations de l’écart de production (voir par exemple Orphanides et van Norden 1999).

Enfin, puisque que l’un des objectifs de l’utilisation de méthodes multivariées est de fournir des évaluations de l’écart de production censées informer sur les tensions inflationnistes à venir, il est intéressant de pouvoir juger du pouvoir explicatif du filtre HPMV sur l’inflation. Deux approches sont alors possibles. La première consiste à évaluer la capacité prédictive sur l’inflation hors échantillon [17] du modèle retenu par rapport à un modèle naïf de prévision d’inflation, pour lequel on retient généralement une forme autorégressive ou une marche aléatoire. La qualité prédictive des modèles est évaluée avec les critères de RMSE (« Root Mean Squared Error ») et la performance du modèle par rapport au modèle naïf peut être appréciée par le test de Diebold Mariano [18]. La seconde consiste a évaluer la capacité du modèle à être un bon indicateur avancé des tensions inflationnistes à venir (Stock et Watson 1999). Elle est plus spécifiquement adaptée à la comparaison de modèles de structures différentes (comme le seraient par exemple un modèle vectoriel autorégressif et un HPMV), et n’a donc pas été retenue ici.

Il apparaît en premier lieu difficile de faire ressortir un impact significatif de l’écart de production sur l’inflation lorsque le modèle estimé n’intègre comme relation économique supplémentaire que la seule équation d’inflation (modèle bivarié inflation-chômage, tableau 1). Ceci est dû au fait que la procédure d’estimation retenue ici, qui consiste à estimer l’ensemble des paramètres du filtre HPMV dans un cadre intégré, à l’exception du paramètre de lissage, débouche sur des évaluations de l’écart de production qui sont quasiment identiques à celles fournies par le filtre HP univarié (graphique 1). Ce résultat confirme la relative mauvaise performance du filtre HP univarié à contenir de l’information sur les tensions inflationnistes [19]. De ce point de vue, le tableau 1 met donc en évidence l’intérêt des modèles HPMV qui intègrent d’autres sources d’information sur l’écart de production (capacités de production, chômage), dans la mesure où ils débouchent sur de plus faibles résidus de l’équation d’inflation.

En second lieu, et comme dans d’autres études empiriques sur le filtre HPMV, il ressort que l’intégration de plusieurs relations économiques additionnelles peut conduire à modifier sensiblement les évaluations de l’écart de production (tableau 2 en annexe VI et graphique 1). Les évaluations fournissent en effet dans ce cas des écarts de production et des tendances plus volatiles que dans le cas du filtre HP univarié ou du filtre HPMV bivarié (PIB, inflation). Elles font ressortir un excès de demande plus important à la fin des années 1980, et un excès d’offre plus important au moment de la récession du début des années 1990. Pour la période récente, l’intégration de plusieurs relations économiques conduit à une appréciation de la situation conjoncturelle assez différente de celle produite par le filtre HP univarié et le filtre HPMV bivarié. L’estimation fait ainsi ressortir de moindres tensions sur la demande au point haut du cycle de la fin des années 1990. Àu premier trimestre 2000, l’écart de production évalué par le filtre HPMV se monte à 0,9 %, contre 1,5 % avec le filtre HP univarié. Plusieurs explications peuvent être avancées. Le filtre tient d’une part compte du fait que la période de forte croissance de la fin des années 1990 s’est produite dans un contexte de décélération de l’inflation (graphique 2) [20].Il considère également que le recul du taux chômage engagé en 1998 est pour une bonne part [21] d’ordre structurel (graphique 3). Ces éléments contrebalancent l’apparition de tensions sur les capacités de production manufacturières, et conduisent le filtre à attribuer une part plus importante des fluctuations du PIB à des éléments structurels. Ceci se traduit par une nette accélération de la croissante tendancielle en 1998-1999 : fin 1999, la croissance tendancielle de la zone euro est estimée par le filtre HPMV intégrant plusieurs relations économiques à 2,7 % en rythme annuel, contre 2,4 % seulement avec le filtre HP univarié. Mais entre la fin 1999 et la fin 2002, l’utilisation du filtre HPMV élargi aux équations d’Okun et de capacités conduit à un infléchissement plus marqué du rythme de croissance tendanciel, de sorte que le rythme de croissance potentiel à la fin 2002 est à peine supérieur à celui du filtre HP univarié (2,1 contre 2 %). C’est donc essentiellement parce que l’on part d’un niveau de tensions plus bas début 2000 que le creux conjoncturel est plus marqué fin 2002 avec le filtre HPMV.

L’analyse des résultats présentés dans le tableau 3 fait tout d’abord ressortir que l’utilisation d’un filtre HP univarié produit des écarts de production généralement significatifs en milieu d’échantillon, c’est-à-dire lorsque l’on dispose d’un recul suffisant (statistique de Student de 3,22 pour les estimations lissées). Ce filtre fournit donc des informations utiles sur les différentes phases conjoncturelles qu’a connues la zone euro par le passé. En revanche, l’estimation filtrée de l’écart de production n’est pas significativement différente de zéro avec le filtre HP univarié (statistique de Student de 1,74 pour l’estimation filtrée). Autrement dit, ce filtre n’est pas en mesure d’informer les autorités de politique économique en temps réel. Ce problème de fin d’échantillon renvoie à la difficulté du filtre univarié à distinguer les chocs d’offre des chocs de demande, lorsque la seule différence identifiable entre ces chocs réside dans la durée future de leurs effets.

L’utilisation du filtre HPMV conduit à des erreurs-types des estimations semblables à celle du filtre HP, qu’elles soient lissées (0,27 dans les deux cas) ou filtrées (0,57 contre 0,54 avec le HP univarié). Le gain en incertitude filtrée est en effet compensé par un surplus d’incertitude paramétrique. Mais, les écarts-types lissés et filtrés de l’écart de production étant plus élevés avec le filtre HPMV (1,39 et 1,49) qu’avec le filtre HP (0,87 et 0,93), les estimations par un filtre HPMV de l’écart de production sont généralement significatives, au milieu comme en fin d’échantillon (les statistique de Student valent 5,15 et 2,61 pour les estimations lissées et filtrées). L’ajout d’information économique supplémentaire permet donc au modèle HPMV de déboucher sur un diagnostic plus tranché que le filtre HP en milieu et surtout en fin d’échantillon.

Pour mieux prendre en compte les propriétés de fin d’échantillon des filtres HP et HPMV, ces filtres ont été également estimés « en temps quasi réel » entre 1997:1 et 2002:3 [22]. L’écart entre ces estimations et les estimations finales, ou lissées, permet d’évaluer l’impact global de l’instabilité des paramètres et de la difficulté du partage entre tendance et cycle. Cette analyse confirme la plus grande précision du filtre HPMV en fin d’échantillon. L’écart-type des révisions est en effet nettement plus faible avec le filtre HPMV (0,42) qu’avec le filtre HP (0,68).

Le tableau 4 montre que l’utilisation du filtre HPMV permet en outre une meilleure prise en compte des tensions inflationnistes à venir. Lorsqu’elle est comparée à un modèle naïf de prévision (marche aléatoire), l’hypothèse nulle d’équivalence de pouvoir prédictif est en effet rejetée par le test de Diebold-Mariano au seuil de 5 %. En comparaison à un modèle auto-régressif d’ordre 2, seul le modèle HPMV élargi aux équations d’Okun et de capacités fournit de meilleures prévisions, selon le test de Diebold-Mariano à un seuil de 10 %. À défaut de fournir une explication des évolutions de l’inflation, comme le ferait une méthode structurelle, les estimations accompagnent donc les mouvements de l’inflation. En ce sens, elles sont plus conformes à la représentation de l’écart de production comme indicateur des tensions entre la demande et l’offre.

Les tableaux 5 à 8 montrent enfin l’intérêt d’utiliser un cadre espace-état pour l’estimation du filtre HPMV. Lorsque les poids des relations économiques sont estimés, ils débouchent sur des niveaux assez proches des valeurs retenues dans les études empiriques, en particulier pour l’équation d’inflation et l’équation de capacité de production (tableaux 5 et 6). Mais les évaluations peuvent s’avérer assez sensibles à la valeur des poids retenus, lorsque ceux-ci sont fixés arbitrairement (tableaux 7 et 8, graphique 4). Imposer au filtre d’accorder arbitrairement plus de poids à l’équation d’inflation dans un modèle HPMV bivarié n’intégrant comme équation supplémentaire que cette relation économique débouche sur des évaluations de l’écart de production suggérant un excès d’offre plus important lors des phases de forte décélération de l’inflation (première moitié des années 1980, et dans une moindre mesure début des années 1990), et, de manière symétrique, un excès de demande plus important lors des phase de forte accélération du rythme de l’inflation, comme dans la seconde moitié des années 1980.

Cet effet résulte du fait que la fixation arbitraire d’un poids de l’équation d’inflation supérieur à celui qui résulte de l’estimation jointe de tous les paramètres conduit à un résidu de l’équation d’inflation plus faible, associé à une valeur plus élevée du coefficient de l’écart de production dans l’équation d’inflation. Assez logiquement, l’augmentation du poids de l’équation d’inflation conduit le filtre à contenir plus d’information sur les tensions inflationnistes : le ratio du RMSE du modèle basé sur un poids de 25 et des RMSE des deux modèles naïfs de prévision d’inflation est ainsi le plus faible parmi les estimations présentées dans cet article. Mais le gain obtenu du côté de l’inflation est obtenue au prix d’une incertitude plus grande sur le niveau de l’écart de production. Le rapport entre l’erreur type et l’écart type des évaluations de l’écart de production se monte en effet à plus de 44 % avec un poids fixé de 25, contre 33 % lorsque le poids est estimé. En dépit d’une amplitude plus élevée de l’écart de production pour le modèle de poids 25 (écart-type de 1,17 contre 0,88 pour un poids estimé à 2), l’erreur-type globale augmente fortement (0,45 contre 0,28). La statistique de Student est donc fortement réduite (2,60 contre 3,14 pour un poids estimé à 2) et l’écart de production reste significatif. En conclusion, il est possible d’augmenter la qualité des prévisions d’inflation en montant le poids de son équation mais au prix d’une moindre précision des estimations de l’écart de production.

Lorsque sont ajoutées une loi d’Okun et une équation de capacités, le filtre HPMV modifie sensiblement le diagnostic conjoncturel pour la zone euro par rapport aux évaluations fournies par un filtre HP univarié. En particulier, les estimations débouchent fin 2002 sur un excès d’offre de 2 % du PIB avec le filtre HPMV contre 1 % avec un filtre HP univarié. Une croissance annuelle de 3 % serait alors nécessaire pendant deux ans pour revenir au potentiel de production, contre 2,5 % avec le filtre HP univarié.

Les résultats du filtre HPMV présentent un certain nombre d’avantages relativement à ceux du filtre HP univarié. L’écart de production connaît des révisions nettement moins importantes avec un filtre HPMV, ce qui est utile dans un contexte d’analyse conjoncturelle. De plus, la capacité prédictive de l’écart de production sur l’inflation est meilleure avec le filtre HPMV. Cet écart de production constitue donc un meilleur indicateur des tensions inflationnistes.

Un certains nombre d’améliorations sont envisageables pour de futurs travaux. Il est notamment possible d’utiliser le filtre HPMV dans un cadre de référence plus structurel, que ce soit par l’estimation par un filtre HPMV des différentes composantes d’une fonction de production, ou par l’intégration d’un modèle structurel de détermination du taux de chômage d’équilibre. Par ailleurs, la généralité et la flexibilité des modèles à composantes inobservables permettrait de relâcher certaines hypothèses normatives, notamment sur le ratio de variances et la corrélation entre le cycle et la tendance. Cela déboucherait sur une représentation moins arbitraire du partage entre chocs d’offre et chocs de demande. Une corrélation non nulle présenterait de plus l’avantage de prendre en compte les effets d’hystérèse agissant sur le marché du travail.

Le programme d’optimisation du HPMV s’écrit alors comme suit :

avec y_t * la production potentielle, gap_t = y_t – y_t * l’écart de production. λ et μ sont les poids (positifs) associés respectivement à la contrainte de lissage pénalisant les variations en différence seconde de la croissance potentielle et à la relation économique. La série η_Ï€,t représente les résidus de la relation économique :

qui relie l’inflation Ï€_t à l’inflation passée Ï€_{t- 1}, à l’écart de production et à une variable exogène S_t .

Pour formuler le modèle espace-état associé [2], il convient de définir les variables de mesures, les variables d’état et les équations associées. Le modèle peut ensuite être exprimé de manière condensée sous forme matricielle. Pour le filtre HPMV défini par le programme (1), les variables de mesure considérées sont les variables observées, soient le PIB y_t et l’inflation Ï€_t . Les variables inobservées y_t* et gap_t servent de variables d’état. Par commodité d’écriture [3],une variable d’état supplémentaire g_t * est également ajoutée pour la valeur retardée de y_t*.

Le premier système d’équations (équations de transition) explicite le processus suivi par les variables d’état (inobservables). Comme pour le filtre HP, le cycle gap_t suit un bruit blanc de variance σ ²_gap  :

et la tendance y_t* suit un modèle de « tendance douce » (Harvey, 1985) dont les innovations suivent un bruit blanc de variance σ ² _ΔΔy* = σ ² _gap / λ :

Ce modèle peut se réécrire en fonction de y_t* et g_t* :

Le second système d’équations (équations de mesure), relie les variables de mesure aux variables d’état et aux variables exogènes :

avec les résidus de l’équation d’inflation ayant pour variance σ ² _Ï€ = σ ² _gap / μ

En reprenant les équations d’état et de mesure précédentes (3, 4’, 5, 6 et 7), la forme matricielle du modèle espace-état associé au programme d’optimisation (1) s’écrit comme suit :

avec :

Où η’_t = (0,η_Ï€,t), V(η_t) = R = diag(0,σ ² _Ï€ ), ε’_t = (ε_t ^ΔΔy* , 0, ε_t ^gap), V(ε) = diag(σ ² _ΔΔy* , 0, σ ² _gap ) = Q, avec les contraintes

avec gap_t,t(θ*) l’écart de production estimé à l’instant t, connaissant le PIB observé jusqu’à la date t et l’estimateur des paramètres θ*. Le vecteur θ des paramètres contient les coefficients des équations économiques, les variances des résidus de ces équations et la variances des innovations du cycle. La variance Σ_t,t(θ*) correspond à l’incertitude filtrée et le terme de gauche correspond à l’incertitude paramétrique qui sera notée à l’avenir Σ^P _t,t(θ*).

L’incertitude filtrée est fournie directement à chaque date t par le filtre de Kalman. L’incertitude paramétrique doit être calculée séparément avec une procédure de Monte-Carlo en trois étapes qui consistent à :

De plus, la précision des estimations en fin d’échantillon peut être étudiée en comparant les estimations filtrées gap_t,t(θ*) dont les décideurs de politique économique disposent presque en temps réel [1] et les estimations lissées gap_T,t(θ*) qui ne peuvent être obtenues qu’en fin d’échantillon. Cette comparaison passe par l’évaluation de l’incertitude globale [2] qui entoure chaque estimation. Il s’avère alors généralement que l’estimation lissée permet de réduire fortement l’incertitude.

La comparaison des estimations en temps réel et en temps quasi réel reflète l’effet des révisions des données sur l’évaluation de l’écart de production. La comparaison des estimations quasi finales et quasi réelles reflète l’instabilité paramétrique du modèle sous-jacent, alors que la différence entre les estimations quasi finales et finales reflète l’importance de l’information ex post pour l’évaluation de l’écart de production.

Pour évaluer la capacité prédictive des modèles M et M₀ , on considère leurs N erreurs de prévision (η_MT+n+,i ) _i=1…N et (η _{0,T +n+i} ,) _{i=1… N} et on construit les écarts entre les carrés des erreurs de prévision (d_i = η ^² _{0,T +n+i} – η ^² _{M,T +n+i} ) _{i=1… N} . Si le modèle M est meilleur que le modèle M₀ , cet écart devrait être en moyenne positif. Si les modèle M et M₀ ont la même capacité prédictive sur y, cet écart devrait être nul en moyenne.

Pour tester l’hypothèse nulle d’une même capacité prédictive sur y des deux modèles, Diebold et Mariano (1995) proposent de calculer la statistique S_DM  :

où les (γ_i ) _i=1…n-1 sont les auto-covariances estimées pour les séries d’erreurs de prévision. La statistique S_DM suit asymptotiquement une loi N(0,1) et l’hypothèse nulle doit donc être rejetée au seuil de 5 % lorsque S_DM dépasse la valeur critique 1,96.

L’inflation est calculée sur la base des indices de prix à la consommation harmonisés publiés par Eurostat. Pour les années antérieures à 1990, les indices de prix sont rétropolés à partir des indices nationaux. La correction des variations saisonnières est réalisées avec X12 Arima. La série de taux d’utilisation provient de la Commission européenne. Elle a été rétropolée pour les années antérieures à 1991 sur la base de la série relative à l’Union européenne (UE15). La série de PIB aux prix de 1995 provient de l’agrégation des comptes nationaux publiés par Eurostat. Elle est corrigée des variations saisonnières et des jours ouvrables. Elle a été rétropolée le cas échéant sur la base des séries de PIB publiées par les offices statistiques nationaux. Pour éviter le saut lié à la réunification, la série de PIB de l’Allemagne de l’Ouest a été chaînée à celle de l’Allemagne réunifiée, en utilisant les nouvelles séries trimestrielles compatibles avec le SEC95. La série de taux de chômage harmonisé publié par Eurostat a été rétropolée pour les années antérieures à 1997 sur la base des séries trimestrielles du modèle macro-économétrique AWM de la Banque centrale européenne (Fagan et al. 2001). La série de déflateur des importations provient également du modèle AWM.

1
Estimation des paramètres des modèles

2
Statistiques descriptives des écarts de production (estimations lissées) ¹ (1981:1-2002:4)

3
Précision et révision des écarts de production (1981:1-2000:4)

4
Prévisions d’inflation hors-échantillon (statistiques estimées sur 1997:1-2002:4)

5
Poids estimés des relations économiques

6
Poids des relations économiques ^*

7
Paramètres estimés avec différentes pondérations de l’équation d’inflation

8
Sensibilité des écarts de production aux pondérations de l’équation d’inflation