Ainsi, la comparaison de la formation des salaires dans les différents pays européens, aux États-Unis et au Japon peut être riche d'enseignements pour le fonctionnement de l'UEM. Nous proposons ici l'estimation d’une équation des salaires sur un panel de 16 pays industrialisés, comprenant tous les pays participant à l'euro. L’intérêt de recourir à un panel de pays est double. D’abord, dans la mesure où ces pays présentent certaines similarités structurelles, l’estimation du comportement de chaque nation bénéficie de l’information qu’apportent ses 15 partenaires et nous pouvons obtenir ainsi des résultats plus solides et plus précis. Ensuite, cela n ous p ermet d'iden tifier des différences structurelles robustes dans la formation des salaires entre pays.

Dans une première partie, nous présentons une modélisation théorique pouvant donner lieu à une estimation économétrique simple de la formation des salaires. Celle-ci repose sur une wage curve où le coût du travail est une fonction de sa productivité, des prix, du coin salarial et du taux de chômage. Nous complétons cette équation en introduisant un élément de rigidité nominale : certains contrats de salaire fixent celui-ci pour plus d’une année, et sont donc fonctions du prix courant, mais aussi du prix futur anticipé.

La seconde partie présente la méthodologie économétrique. L’équation de salaire est estimée simultanément sur les 16 pays, en supposant que certains paramètres ont une valeur commune dans plusieurs nations. La méthode d’estimation la plus naturelle est celle des moindres carrés généralisés. Mais, la présence de variables endogènes et anticipées nous conduit à recourir à des variables instrumentales et aux moments généralisés (GMM). Une nouvelle difficulté apparaît alors : la matrice de covariance des chocs heurtant les différents pays est de grande taille et estimée sur relativement peu de périodes. Pour limiter l’imprécision qui résulterait d’une estimation directe, nous introduisons un certain degré de structure dans les covariances entre chocs en supposant qu’elles peuvent être modélisées par un petit nombre de facteurs communs. Un autre aspect économétrique important est la stratégie de tests emboîtés, allant du général au particulier, qui permet de déterminer si les paramètres prennent ou non des valeurs différentes dans les pays.

La troisième partie présente les résultats. Tous d'abord, le taux d’emploi est un bien meilleur indicateur des tensions sur le marché du travail que le taux de chômage. Ensuite les principales différences entre pays tiennent à la réponse des salaires à l'évolution de la productivité et aux tensions sur le marché du travail. Toutefois, si l’élasticité du coût du travail à l’emploi varie assez nettement entre les pays, dans les pays européens elle reste globalement de l’ordre des résultats de Blanchflower et Oswald (1995) pour lesquels l’élasticité du salaire au taux de chômage est d'environ 0,1. En revanche, le taux d'emploi n'a pas d'impact significatif sur l'évolution du salaire aux États-Unis, où les ajustements s'effectuent davantage par des flux de main-d'œuvre entre États que par une modification des salaires. Les autres paramètres de l'équation ont des valeurs communes dans tous les pays de l'échantillon. On remarque alors que la durée des contrats de salaire est relativement longue, ce qui implique une certaine rigidité nominale, et les anticipations de prix sont assez statiques. Le coin salarial a un effet positif mais faible sur le coût du travail : une hausse des cotisations sociales est donc principalement supportée par une baisse du salaire touché par le salarié, conformément aux résultats de Cotis et Loufir (1990).

WC est le coût du travail dans le secteur marchand fixé par le contrat de salaire,

PE représente le niveau de prix moyen anticipé sur la durée du contrat,

Y la production marchande,

E l'emploi marchand,

UN le taux de chômage [3] (en pour cent) et

WDG le coin salarial (wedge).

Le terme d'erreur ε résume toutes les variables non observables influençant l'issue de la négociation salariale. Parmi ces variables, qui jouent vraisemblablement un rôle important, on peut citer le pouvoir de négociation des syndicats, le pouvoir de marché des firmes, la législation sociale, qui affecte le pouvoir des insiders (par exemple la difficulté à licencier le personnel), l'indemnisation du chômage, l'utilité du loisir, etc. Ces variables non observables ont probablement une forte persistance.

On considère deux prix anticipés. Le premier correspond aux contrats dont la validité est limitée à l'année en cours et est égal au prix courant à la production des biens marchands :

Le second correspond aux contrats qui expirent au cours de l'année suivante ; il est une moyenne pondérée des prix courant et anticipé pour l’année suivante :

Notons par p p( )0 1≤ ≤ la proportion de contrats de salaire expirant dans l’année où ils sont signés et 1– p la proportion de contrats expirant l’année suivante. Notons parW_t le coût du travail moyen de l'année considérée. Nous avons l'identité comptable [4] :

Les variables WC et PE n'étant pas observables, l'estimation nécessite leur élimination grâce aux équations (1) à (3). On obtient :

Posons : (1-p) / (2- p) = r, et :

p p r r/ ( ) ( , )2 1 2 0 0 5- = - ≤ ≤. A ppelons η _{t t-1,} l’erreur sur la prévision de prix faite à la date t - 1 pour la date t : η_tt^a Log P Log P - = -( ) ( ). En _{t tt} -1 1, présence d’une hypothèse d’anticipations rationnelles, cette erreur suit une différence de martingale. Alors, l’équation (5) peut être réécrite :

Ainsi, le coût nominal du travail à la date t est fonction d’une moyenne pondérée (avec les mêmes poids) de la productivité, du coin salarial et du taux de chômage des années t à t -1. Il est aussi une fonction plus complexe du prix des années t -1 à t +1.

Nous avons noté plus haut qu'il était probable que les termes d'erreur ε et ε suivent des processus _t,1t,2 ayant une très forte persistance. Nous avons supposé que ceux-ci pouvaient se représenter par un AR(1) de paramètre ρ que nous avons estimé en quasi-différenciant l’équation dans les différents cas de figures présentés dans la deuxième partie. Nous avons toujours obtenu une valeur de ρ très proche de 1. On considère donc que le terme d’erreur de (6) suit un processus intégré d’ordre 1. Cela revient à dire que les déterminants non quantifiés du coût du travail (salaire de réservation, pouvoir de négociation des insiders par exemple) sont I(1), ce qui semble une hypothèse raisonnable et de surcroît très commode.

La conséquence est que les variables observables de l’équation (6) ne sont pas coïntégrées, ce qui n’empêche pas les valeurs des élasticités qui y figurent d’avoir un grand intérêt économique. Pour prendre en compte l'absence de coïntégration, nous estimons cette équation en différences premières, ce qui permet également d’éliminer une constante susceptible de varier d'un pays à l'autre [5].

Cependant, cette estimation soulève un certain nombre de problèmes.

WDG, qui mesure l'écart entre le pouvoir d'achat du salaire net et le coût réel du salarié pour l'entreprise, est défini de la façon suivante :

(pc/(p (1-sscr) (1-tlr)) (1+vatr90)), où pc est le prix à la consommation, sscr le taux des cotisations sociales employeurs et salariées, tlr le taux d'imposition des revenus du travail, vatr90 le taux de TVA pour l'année de base. Par ailleurs, comme le chômage est un indicateur discutable des tensions sur le marché du travail, nous utilisons également le taux d'emploi (emploi/population).

Au total, nous disposons donc d'un panel de 16 pays et nos estimations portent sur 15 ans.

Ce problème se résume à estimer sur un panel de I pays, indicés i, et sur une période de T années, indicées t, le système de I équations :

I et T sont du même ordre, compris entre 10 et 25. y _it désigne la variable expliquée, les x sont les _jit variables explicatives, f est une fonction _i représentant le comportement étudié associé au pays i, et α sont les paramètres intervenant dans _i cette fonction. Certains de ces paramètres sont spécifiques au pays i, d’autres sont communs à plusieurs pays ou à la totalité d’entre eux. ε_it est le terme d’erreur d’espérance nulle [9].

En revanche, nous supposons que les termes d’erreur sont temporellement indépendants. Une hypothèse plus raisonnable serait que le terme d'erreur suive un processus stationnaire, après éventuellement une différenciation de l'équation originale, ce qui est d’ailleurs le cas pour notre modèle de la première partie. L'estimation sous l'hypothèse que ce processus est autorégressif pour chaque pays ne serait pas très difficile (voir Kmenta, 1986,1997). Mais nous jugeons préférable de prendre en compte cette possibilité en ajoutant simplement des variables explicatives et expliquées retardées. Ceci réduit le nombre de degrés de liberté dans l’estimation, mais n’introduit pas dans sa dynamique de contraintes a priori qui ont beaucoup de chances d’être injustifiées [10]. Cependant cette procédure n’est pas une solution si le processus suivi par le terme d’erreur a une composante moyenne mobile, ce qui est d’ailleurs le cas pour notre modèle théorique [11]. Nous n’avons pas pu traiter ce dernier cas, mais des tests que nous présentons plus bas semblent montrer que cette lacune n’a pas de conséquence grave.

Si les variables explicatives étaient toutes prédéterminées, c’est-à-dire si ε était indépendant _it des variables explicatives contemporaines et passées, et si les fonctions f avaient la propriété _i que le système (7) puisse être réécrit :

celui-ci pourrait être estimé aisément par les moindres carrés non linéaires généralisés.

Toutefois, dans un souci de généralité, nous préférons supposer que la variable x est _it2 prédéterminée mais que la variable x ne l’est pas.

_it3 Cette endogénéité de x constitue une source de _it3 non convergence de ces estimateurs. De plus, la variable x^a désigne la prévision à la date t de la _{i t1 1,+} variable x pour la date t + 1. Elle n’est pas _i1 observée et, conformément à la suggestion de Wickens (1981), nous la remplaçons par son observation à la date t + 1 : x. Nous _{i t1 1,+} introduisons ainsi une erreur supplémentaire dans l’équation, qui porte sur la prévision d’une variable explicative future [12]. Le modèle que l’on cherche alors à estimer est à erreur sur les variables et, dans ce cas, la méthode des moindres carrés généralisés conduit à des estimateurs non convergents.

La solution pour surmonter ces difficultés est d’affecter à chaque équation nationale un ensemble de variables instrumentales. Par exemple, si la variable anticipée es t p rédéterminée, les instruments naturels pour l’équation relative au pays i sont y x x, , 1 et x. Nous supposons i t it it, -2 2_{i t3 1,-} par la suite que ces instruments sont au nombre de n.

Ensuite, nous utilisons une méthode de GMM en deux étapes, présentée en détail dans l'annexe 1.

Une difficulté supplémentaire est que l'estimation de la matrice de covariance Ω du système d'équation est très imprécise : on observe $ε pour _it t T= -2 1,...,, soit T – 2 observations. Or I est de l’ordre de T – 2. Cette matrice est donc presque sing ulière, voire singulière si le no mb re d’observations est inférieur à celui de pays. L'analyse factorielle permet de structurer cette matrice, donc les liens entre les chocs heurtant les différents pays, et ce d'une façon qui apparaît naturelle pour l'économiste. La présentation de cette méthode en annexe 2 est inspirée de Doz (1998, pages 85-161) qui en donne une exposition simple et rigoureuse.

Il serait possible de compléter l'analyse factorielle de la matrice de covariance des erreurs sur les équations de chaque pays, par une estimation des facteurs, ce qui poserait d'ailleurs un problème d'identification. On pourrait aussi rechercher une interprétation économique de ces facteurs. Ceci est cependant en dehors du sujet de notre article.

Pour tester l’identité ou la différence de chaque paramètre entre les pays nous avons choisi de procéder du général au particulier. Dans une première série d'hypothèses nulles, on suppose que tous les coefficients du modèle, sauf un, diffèrent selon le pays. Puis on passe à deux coefficients communs à tous les pays, et ainsi de suite jusqu’à ce que les tests nous contraignent à arrêter [15]. Dans cette succession de tests emboîtés nous utilisons toujours les mêmes variables instrumentales.

Nous présentons dans l'encadré la stratégie retenue dans le cas d'une équation comprenant trois paramètres à estimer : a b i i, et c_i.

Nous retenons la constante, et l’ensemble des variables expliquée et explicatives en niveau, retardées de trois périodes comme instruments. En effet, les variables explicatives, et donc indirectement la variable expliquée, interviennent dans l’équation avec un retard de deux périodes. Il y a donc six variables instrumentales par pays, soit un total de : 1+5 ×16=81 instruments. En retenir davantage augmenterait le nombre de degrés de liberté, mais accroîtrait le risque de biais de petit échantillon. Un problème supplémentaire est que cela conduirait à de mauv ais tests de suridentification d’Hansen.

Les résultats de l'estimation sont présentés dans le tableau 1. Ils sont décevants à plusieurs égards. En particulier, q est supérieur à 1 (même si un test ne rejette pas son égalité à 1) et surtout le taux de chômage n'est pas significatif. Ces conclusions peu convaincantes peuvent contaminer les autres résultats et laisser un doute sur le fait que les paramètres structurels auraient les mêmes valeurs dans tous les pays. Cela nous a menés à reconduire nos estimations en retenant le taux d'emploi (calculé sur les personnes dont l’âge est compris entre 15 et 64 ans) comme indicateur des tensions sur le marché du travail. On considère en effet fréquemment que le taux d’emploi est un meilleur indicateur. En particulier, il permet de prendre en compte les chômeurs découragés qui se retirent du marché du travail mais seraient prêts à travailler si on leur offrait un emploi, dont la part peut varier de façon importante au cours du cycle économique et est significativement différente entre pays. Il prend aussi en compte d'autres catégories de personnes qui sortent du chômage sans rentrer dans l'emploi (via les systèmes de formation) ou encore les jeunes qui prolongent la durée de leurs études faute de perspectives d'emploi. De même, les personnes qui sortent de l'emploi sans entrer dans le chômage, via notamment les système de préretraite ou de formation, sont prises en comptes.

Dans ce cas, le modèle retenu, au terme de la procédure de tests emboîtés, est un modèle dans lequel le taux d'emploi et la productivité ont des effets spécifiques dans chaque pays (tableau 2). Ce modèle n’est pas rejeté contre des modèles plus libres (p-values de 5,5 à 20% [17] ). Des modèles plus contraints sont rejetés contre ce modèle (p-values de l'ordre de seulement 1 %), ce qui nous conduit à ne pas les retenir. Nous avons également testé si les coefficients des taux d’emploi ou de la productivité prenaient une même valeur pour l’ensemble des pays membres de l’UEM. Ces hypothèses ont été rejetées.

Tableau 1
résultats de l'estimation avec le taux de chômage comme indicateur des tensions sur le marché du travail

Les paramètres communs ont le signe attendu et des valeurs raisonnables. En premier lieu, nous obtenons une valeur de r égale à 0,4, ce qui signifie que seulement 25% des contrats de salaire expirent l'année où ils sont signés. Les prix futurs anticipés jouent modérément dans le prix servant de référence aux contrats les plus longs (30% contre 70% pour les prix courants). L’élasticité du coût du travail par rapport au coin salarial w est égale à 0,16. Cela ₂ implique qu’une élévation des cotisations sociales employeurs ou employés ne conduit qu’à une faible hausse du coût du travail et est principalement supportée par les employés dont le salaire net baisse. Nous retrouvons ainsi un résultat déjà obtenu pour la France par Cotis et Loufir (1990).

La productivité a une influence positive et significative sur la formation des salaires dans tous les pays, sauf en Grèce et en Espagne (où elle négative mais non significative) et au Portugal (où elle est positive mais non significative). Parmi les pays de la zone Euro, on note que les chocs de productivité sont faiblement répercutés sur le coût salarial en France, en Italie et au Pays-Bas, plus nettement en Allemagne, en Finlande et surtout en Autriche. Les États-Unis et le Japon ne se distinguent pas de la moyenne de la zone euro, le Royaume-Uni est caractérisé par une répercussion plus forte.

L'impact du taux d'emploi est très significatif en Italie, au Royaume Uni, aux Pays-Bas, en Autriche, en Grèce et en Allemagne, faiblement significatif en France. On retrouve une nouvelle fois une flexibilité salariale élevée en Italie (Layard, Nickell et Jackman, 1991 ; Tyrvaïnen, 1995 ; Mc Morrow, 1996 ; Sinclair et Horsewood, 1997 ; Roeger et In’t Veld, 1997, Cadiou, Guichard et Maurel, 1999). Le résultat pour le Royaume-Uni diffère de ceux de la littérature empirique existante, où le salaire réel est généralement considéré comme peu flexible. De même l'Allemagne apparaît comme l'un des pays les plus flexibles de la zone euro, alors qu'elle est généralement considérée comme étant dans une position intermédiaire. En Grèce, cette flexibilité est particulièrement forte, ce qui doit masquer un problème dans l'équation.

Il est plus traditionnel de mesurer la flexibilité salariale par l'élasticité du coût du travail par rapport au taux de chômage et non par rapport au taux d’emploi. Cette élasticité pour le pays i, toutes choses égales par ailleurs, est égale à -w u, où u i i3_i est le taux de chômage moyen pour le pays étudié.

Dans le cas où on retient le taux d'emploi comme indicateur des tensions sur le marché du travail, on peut faire ce calcul sous l'hypothèse de travail que les taux de participation sont stables. Le résultat de ce calcul est représenté dans la troisième colonne du tableau 2. Les ordres de grandeurs semblent raisonnables au regard par exemple des résultats obtenus par Blanchflower et Oswald (1995) sur des panels d'individus au sein de chaque pays (à savoir des élasticités du coût du travail par rapport au taux de chômage proche de-0,1 dans la plupart des pays) [18].

Le taux d'emploi n'a pas d'impact significatif sur l'évolution du salaire en Belgique, au Canada, en Suède, en Irlande et aux États-Unis. Dans ce dernier pays, les flux de main-d'œuvre entre États sont importants et très sensibles aux conditions locales du marché du travail (Blanchard et Katz, 1992). Ainsi, le taux d’emploi moyen sur le pays est un indicateur peu significatif, qui n’influence que faiblement le salaire moyen (Thomas, 1994). Il est en outre important de noter que les deux marchés du trav ail les plus libéraux (É tats-Un is et Royaume-Uni) présentent des degrés de flexibilité opposés alors que les marchés du travail allemand et italien, réputés moins libéraux, présentent un degré de flexibilité élevé, proche du Royaume-Uni.

Enfin, en Finlande et surtout en Espagne, l'impact des tensions sur le marché du travail est significativement négatif. Dans ces deux cas, des éléments d'explications, liés aux particularités du marché du travail ou de la conjoncture économique, peuvent être apportés.

Tout d'abord la Finlande a connu un cycle économique très marqué à la fin des années q uatre-ving t et au d ébu t des années quatre-vingt-dix. Après une période d'expansion très rapide la Finlande connaît une grave crise financière et une récession profonde de 1990 à 1993 durant laquelle l'emploi baisse très fortement (le taux d'emploi baisse de 10 points et le taux de chômage passe de 4 à 20 % en 1994, avant de redescendre à plus de 10 %). Honkapohja et Koskela (1999) analysent cette récession et estiment sur données annuelles une équation de salaire voisine de la nôtre mais comprenant des variables supplémentaires. Ils obtiennent ainsi des résultats plus acceptables, mais sans doute assez fragiles par suite du peu de degrés de liberté de leur estimation. Ils n’examinent pas hélas la cont ributio n de chacune des variab les à l’explication de l’évolution du coût du travail, et notamment de sa rigidité face à la forte détérioration de l’emploi. La discussion qui suit leur article montre qu’il n’existe pas de réponse faisant l’objet d’un consensus à ce problème. Dans la mesure où le cycle économique des années quatre-vingt-dix est très particulier, nos résultats ne doivent pas être interprétés comme signifiant qu'à l'avenir le marché du travail finlandais réagira différemment des autres pays de la zone euro en cas de choc commun.

Le résultat que nous trouvons dans le cas espagnol est également obtenu par Franks (1994). Des estimations portant sur ce seul pays de 1976 à 1992 font apparaître un effet négatif et significatif de la productivité et positif (et significatif) du taux de chômage. L’interprétation de cet auteur est que ces résultats traduisent la très forte rigidité du marché du travail espagnol et sa profonde dualité. Les deux dernières décennies ont été marquées par une libéralisation du marché de l'emploi, principalement par l'introduction des contrats à durée déterminée. L’objectif de cette mesure était d’améliorer la flexibilité du marché du travail. En fait, ces contrats ont connu un vif succès et représentent aujourd'hui 30% de l'emploi. Toutefois, l’introduction de ces contrats, en réduisant le risque de se retrouver au chômage pour les salariés ayant un contrat à durée indéterminée, a augmenté le pouvoir de négociation de ces derniers [19] et déconnecté ce pouvoir des valeurs prises par les taux de chômage ou d’emploi. Le pouvoir des insiders, particulièrement important sur la période d’estimation, explique vraisemblablement que l'accroissement des tensions sur le marché de l'emploi ne s’est pas traduite par une baisse des salaires réels. En revanche, la forte baisse du chômage au cours de ces dernières années n’a pas été accompagnée par une flambée des salaires. Le cas espagnol est donc plus problématique que le cas finlandais. Si elle perdure, la particularité du fonctionnement du marché du travail espagnol empêchera les salaires de fournir un mécanisme d'ajustement face à des chocs macro- économiques; de plus, elle risque de conduire à une réaction très différente des autres pays de la zone euro en cas de choc commun.

Les estimations ont été reconduites en contraignant les coefficients qui avaient le mauvais signe à zéro. Ils sont également présentés dans le tableau 2. Cela ne change pas beaucoup les résultats précédents.

Tableau 2
résultats de l'estimation avec le taux d'emploi comme indicateur des tensions sur le marché du travail

(T - 2, In). La condition des moments est :

On approxime les moments théoriques par les moments empiriques et on obtient :

où ιest un vecteur colonne constitué de 1, de dimension T - 2. Cette condition ne peut pas être exactement vérifiée dans la plupart des cas, où le nombre total d’instruments est supérieur à celui de paramètres à estimer. L’écart entre le nombre d’instruments et celui de paramètres, noté s, est appelé le degré de suridentification de la méthode d’estimation. On cherche donc à minimiser la distance de 'V ι à 0, en utilisant une matrice de distance A, de dimension : (In, In), qui est symétrique, définie et positive. On minimise donc par rapport aux paramètres l’expression :

Le choix efficient de la matrice A est : A =^- Φ1, avec :

où pl désigne la limite en probabilité. Nous avons supposé que les erreurs d’une même date ont pour matrice de covariance Ω, indépendant du temps (homoscédasticité temporelle), d’élément générique ω_ij. Alors Φ a pour bloc générique : ω_{ij i j} W W T '/ ( )-2. Pour calculer A, on doit inverser cette matrice de dimension (In, In) [20].

Pratiquement on opère en deux étapes. Dans la première on suppose que la matrice Ω est proportionnelle à la matrice unité. Alors A est la matrice diagonale par blocs, dont le bloc générique est : ( ) 'W W i i -1. On minimise le critère (A1.3) et l'on obtient ainsi une première valeur des paramètres et des résidus. On calcule ensuite un estimateur des ω_ij, notés $ω_ij, comme la covariance empirique entre les résidus $ε_it attachés au pays i et ceux $ε_jt reliés au pays j. Dans la seconde étape on estime Φ par son bloc générique $ / ( ) 'ω_{ij i j} W W T -2. On estime A par Φ^-1 et on effectue la minimisation ci-dessus. La seconde étape peut être itérée.

La matrice de covariance des paramètres estimés (multipliée par ( )^/ T -21 2 ) est asymptotiquement égale à : ( '^{- -} Δ Φ Δ 1 1 ), où Δ est la matrice des dérivées partielles de '-V Tι/ ( )2 par rapport aux paramètres.

avec :

F_t vecteur colonne de dimension f et u_t vecteur colonne de dimension I, aléatoires.

Λmatrice de dimension (I, f) certaine.

[(22] [(23]

On déduit alors :

Au lieu d'estimer les I (I + 1)/2 paramètres de Ω, on n'a plus besoin d'estimer que les (f +1) I paramètres de Λet D (en fait le gain n'est significatif que si le nombre de facteurs retenus est nettement inférieur à la moitié du nombre de pays). On peut établir que l'estimateur du maximum de vraisemblance de Λet D, noté $Λet $D, est donné par les conditions :

, o ù m est le v ecteu r moyenne arithmétique des ε_t sur la période d’observation.

1 1+ +γ γ,..., sont les valeurs propres réelles positives et 1_I supposées distinctes de AD$^-1, classées par valeurs décroissantes (en fait il faut que les f premiers γ_i soient positifs pour que le calcul soit possible), Γ est la matrice diagonale de dimension (f, f) de termes diagonaux γ γ,.... 1_f Les f colonnes de $Λ sont les f premiers vecteurs propres de AD$ -1 (associés aux f plus grandes valeurs propres) qu'on norme pour vérifier la condition d'identification : Λ Λ=^- $ $ $D1.

La procédure d'estimation est itérative. On fixe d'abord une valeur initiale pour $D : D₀. On calcule alors les valeurs propres et les vecteurs propres de AD₀1^-, et en conséquence Λ₀. On calcule ensuite D₁ qui est la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les mêmes que pour A - 'Λ Λ 0 0, et on recommence. Dans les applications, il s’avère que cette p rocédure converg e faci lement, bien qu’à no tre connaissance il n’y ait pas de résultat mathématique établissant cette propriété. Des méthodes plus sophistiquées existent et sont présentées par Doz [24].

Le choix de la valeur initiale D₀ est un problème supplémentaire. On note par R_i2 le carré du coefficient de corrélation multiple entre la ième composante de ε_t et les I - 1 autres composantes, et par a_ij l'élément générique de la matrice A. Alors on choisit : d a R i ii i0 2 1= -( ).

Une autre difficulté réside dans le choix du nombre de facteurs f à retenir. Une méthode simple est de calculer une matrice de la même dimension que A, dont les termes non diagonaux représentent les corrélations entre composantes du vecteur ε_t et dont les termes diagonaux sont les R_i2. On effectue alors une analyse en composante principale de cette matrice et on retient autant de facteurs qu'il existe de valeurs propres positives et non négligeables.

Ce test a priori suffit au début d'une succession d'itérations des GMM, où il n'est pas trop grave que la matrice Φ soit un peu inexacte. Cependant un test a posteriori de la validité du choix du nombre de facteurs, plus rigoureux, doit être effectué après la dernière étape des GMM. Ce test, du rapport de vraisemblance, a pour hypothèse nulle que le nombre de facteurs est égal à f. L'hypothèse alternative est qu'il n'existe pas de contrainte sur la matrice de covariance Ω. La statistique du test est :

Cette statistique suit asymptotiquement un χ2 dont le nombre de degrés de liberté est : [( ) ( )]/I p I p- - + 2 2. Bartlett suggère de remplacer dans l'expression de ξ le nombre d'observations T -2 par : T - 2 - (2I +5) -2p /3, quand le nombre d'observations n'est pas très élevé, ce qui est le cas ici.

En revanche, en prenant comme variables instrumentales la variable expliquée et les variables explicatives du modèle, retardées de trois années, nous avons limité les conséquences du premier problème. Il reste encore à évaluer si le choix d'un retard de trois périodes pour les variables instrumentales est suffisant. Pour cela nous avons réestimé la dernière équation avec pour variables instrumentales la constante et les variables expliquée et explicatives retardées de 4 périodes. Nous avons alors calculé la statistique de Hansen et vérifié que sa p-value était élevée (elle est égale à 14,7%). Puis nous avons ajouté comme instrument la variable expliquée retardée de seulement 3 années. La p-value du test de Hansen reste élevée (19%). Nous avons alors calculé la différence des deux statistiques d'Hansen. Si le nouvel instrument est valide elle suit un χ2 à 16 degrés de liberté (le nombre de variables supplémentaires multiplié par le nombre de pays). Nous obtenons alors une p-value de 51%. Il nous semble donc justifié d'utiliser la variable expliquée retardée de seulement trois périodes comme instrument.

Nous avons effectué le même test avec chaque variable explicative tour à tour, et nous avons obtenu chaque fois une p-value élevée (plus de 20%), sauf avec le prix P pour lequel la p-value est basse (0,04%). Une interprétation est que l'inertie nominale est plus longue que ce que suppose notre spécification. Ainsi l'équation (6) omettrait une variable prix retardée de deux années, et cela invaliderait notre choix du prix retardé de trois périodes comme instrument (on rappelle que l'équation estimée est la différence première de (6)). La justification théorique ou factuelle de la présence d'un prix retardé de deux ans pour expliquer la détermination du salaire moyen de l'année nous semble cependant difficile à établir.

Nous n’avons pas effectué ce test avec la totalité des variables simultanément. En effet dans ce cas le nombre d’instruments devient égal à 11 par pays, soit un total de :

1+10×16=161. Avec un nombre aussi élevé d’instruments, le test de Hansen donne des p-values très basses.