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Economie & prévision
La Doc. française

I.S.B.N.sans
188 pages

p. 127 à 139
doi: en cours

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n^o 148 2001/2

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Faut-il s'inquiéter de la baisse du niveau des aquifères ?

Jean-Pierre Amigues [()]* Pascal Favard *[(**)]* Michel Moreaux *[(***)]*

Résumé de l'article

L'objet du présent article est l'analyse des problèmes posés par la gestion des aquifères continentaux rechargés par le passage en nappe des eaux de surface. De tels aquifères peuvent être considérés comme des mines dotées d'une certaine capacité de régénération. La thèse développée dans l'article est que l'épuisement progressif des aquifères est une conséquence du caractère minier de ces ressources. Nous montrons ce résultat sous diverses hypothèses concernant les différentiels de coûts d'exploitation entre réserves en nappe et eaux de surface dans un modèle endogénéisant l'offre de travail nécessaire à l'exploitation de la ressource. L'analyse exhaustive de différentes configurations des paramètres du modèle (niveau initial des réserves, importance des recharges et demandes pour la ressource) démontre la robustesse de ce résultat. This paper analyses the problems raised when managing continental aquifers replenished by the trickledown of surface water. These aquifers can be regarded as natural wells with a certain amount of regeneration capacity. The theory developed in this paper is that aquifers are gradually depleted due to their being used as wells. This is shown using different assumptions for the cost differences between using ground water reserves and surface water in a model that endogenises the labour supply required to exploit the resource. Our findings are shown to be robust by a thorough analysis of the model’s different parameter configurations (initial level of reserves, importance of replenishment and demand for the resource).

Plan de l'article

• Le modèle

• Les régimes permanents optimaux dans un système hydrologique où le coût de prélèvement en nappe est inférieur au coût de prélèvement en surface

• Les transitions vers les régimes permanents

— Cas d'un régime permanent de type ii

— Cas d'un régime permanent de type iii

— Cas d'un régime permanent de type iv

• Conclusion

• BIBLIOGRAPHIE

Nous remercions P. Malgrange et les deux rapporteurs anonymes dont certaines remarques ont permis d'améliorer la version préliminaire de cet article.

Les ressources que constituent les aquifères d'eau douce ont tendance à se détériorer dans la plupart des zones où l'eau n'est pas surabondante [1]. Cette détérioration présente deux aspects. Le premier aspect est d'ordre qualitatif. Dans de nombreuses régions, la qualité de la ressource est gravement affectée par le passage en nappe de rejets polluants d'origines industrielle, agricole et domestique. Le second aspect, dont traite cet article, est d'ordre quantitatif. Nombreuses sont en effet les régions du monde où le niveau de la nappe a considérablement baissé au cours des dernières décennies. L'exemple le plus frappant peut-être est celui du grand aquifère d'Ogallala, situé sous les Grandes Plaines aux États-Unis, qui s'étend sur plus de treize cents kilomètres, du Dakota du Sud au Texas, et qui est considéré comme la plus grande réserve d'eau douce de la planète [2]. Cet aquifère fournit environ trente pour cent de la totalité de l'eau d'irrigation du pays et alimente vingt pour cent de l'ensemble des surfaces irriguées. Depuis 1940, le niveau moyen de la nappe a baissé d'à peu près trois mètres, la chute pouvant atteindre trente mètres en certains points. Au dire des experts [3] la poursuite des prélèvements à ce rythme devrait conduire à la disparition de l'aquifère et, à l'horizon 2002, cinq millions d'acres de terres aujourd'hui irriguées devraient changer de méthode culturale pour passer en dry-farming. En France, plusieurs aquifères présentent certains signes de surexploitation bien que la pauvreté des données, en particulier l'absence de séries statistiques longues et fiables, incite à une certaine prudence dans l'interprétation d'événements récents.

La baisse du niveau des nappes pose des problèmes qui diffèrent d'un type de nappe à l'autre. Dans certaines nappes au réseau d'alimentation complexe, le système d'alimentation subit des dégradations irréversibles dès que le niveau passe au-dessous d'un seuil critique. La nappe n'est plus alors ni rechargée, ni rechargeable, ce qui est plus grave. Les problèmes posés par ce genre d'irréversibilité ont été récemment étudiées par Tsur et Zemel [4]. Pour les aquifères côtiers, la baisse du niveau provoque des intrusions d'eau de mer. Ces intrusions sont le plus souvent réversibles [5]. L'objet du présent article est l'analyse des problèmes posés par la gestion des aquifères continentaux rechargés par le passage en nappe des eaux de surface. L'exploitation optimale de ces aquifères peut se concevoir comme l'exploitation d'une mine un peu particulière dont les réserves sont en permanence réalimentées, le flux d'alimentation pouvant lui-même faire l'objet de prélèvements avant son passage en nappe. À ce titre, et parce qu'une mine exploitable doit être exploitée, l'épuisement progressif du stock de la ressource ne devrait pas surprendre, c'est du moins la thèse que nous soutenons. Ce dont il faudrait s'inquiéter c'est donc moins du fait que le niveau des aquifères a tendance à baisser que, peut-être, de la vitesse à laquelle il baisse.

L'article est organisé comme suit. Le modèle que nous utilisons pour mener l'analyse est exposé en première partie. On examine à la deuxième partie le cas dans lequel le coût des prélèvements en nappe est inférieur à celui des prélèvements sur le flux de recharge et en troisième partie la transition vers le régime régulier. On conclut brièvement en dernière partie.

Le modèle

On considère un territoire et sur ce territoire une population d'effectif N, constant. A tout instant t chaque individu peut voir mis à sa disposition une quantité c ( t ) de bien de consommation et devoir consacrer au travail une fraction ω( )t de son temps ( ( )0 1≤ ≤ω t ), de sorte que le loisir dont il bénéficie est égal à l ( ) ( )t t= -1 ω. Soit U c t t( ( ), ( ))l l'utilité qu'il en retire, la même quel que soit l'individu considéré. On suppose que la fonction U définie sur R₊ ×[0,1] est strictement concave et que le bien de consommation et le loisir sont des biens essentiels :

On suppose de plus que ∂ ∂ ∂ 2 0U c/ l ≥ : l'utilité marginale de la consommation croît avec le loisir et réciproquement. Cette hypothèse implique que les isoclines sont croissantes. Notons I_σ le lieu des cou ples ( , ) [ , ) [ , ]c l ∈ ∞ ×0 0 1, tels que ∂ ∂ ∂ ∂ σ σU c U/ / / , l = >0. Sous l'hypoth èse ∂ ∂ ∂ 2 0U c/ l ≥, on peut voir ce lieu comme le graphe d'une fonction croissante, qu'on notera aussi I I σ σ, :[ , ) [ , ]0 0 1∞ →, qui à to ut niveau de consommation c∈ ∞[ , )0 fait correspondre le niveau de loisir I c σ ( ) [ , ]∈ 0 1. Cette hypothèse implique aussi que le long de toute droite l = - > >a bc a b, ,0 0, les valeurs absolues des pentes des courbes d'indifférence sont des fonctions décroissantes de c. Les deux propriétés simplifient la détermination des sentiers optimaux d'utilisation des ressources. Sous l'hypothèse ∂ ∂ ∂ 2 U c/ l <0 ou ∂ ∂ ∂ 2 U c/ l de signe quelconque, la structure des sentiers optimaux peut être beaucoup plus complexe.

La production totale instantanée du bien de consommation ainsi que le travail nécessaire à sa production sont, àchaque instant, également répartis entre tous les membres de la population. Le planificateur actualise les utilités à un taux constant ρ > 0 et se propose de maximiser la somme des utilités instantanées actualisées sur l'ensemble des effectifs présents et à venir, c'est-à-dire de maximiser la fonction de bien-être social U définie par :

La production du bien de consommation requiert du travail et une ressource naturelle. Cette dernière est disponible soit sous forme de flux, l'eau de ruissellement, soit sous forme de stock, l'eau en nappe. Le flux est indéfiniment renouvelé, et d'intensité constante x, de sorte que sur l'intervalle de temps (t, t + dt) la société peut utiliser la quantité xdt de la ressource en question. La ressource est également disponible sous forme d'un stock en nappe, de niveau Y ( t ) à l'instant t. On note Y le ₀ niveau initial de ce stock. La nappe est approvisionnée par cette partie du flux qui n'a pas été directement utilisée dans la production du bien de consommation, tant que sa capacité de stockage n'est pas saturée. Notons Y la capacité de la nappe. Pour aller à l'essentiel on pose que, à l'instant t, si le stock en nappe est inférieur à la capacité, Y t Y( )<, et si le prélèvement sur le flux x (t) est inférieur aux apports x, alors une partie a x x t a( ( )), ( , )- ∈ 0 1, du flux non directement utilisé passe en nappe, tandis que l'autre partie (1– a) (x x t- ( )) est irrémédiablement perdue. Si les réserves en nappe sont à leur niveau maximal Y, la totalité du flux non-utilisé est perdue.

Il est clair par ailleurs qu'on ne peut pas prélever, dans une nappe à son niveau le plus bas, plus que le flux des apports qui lui parviennent :

L a tech nique de p rod uctio n du bien de conso mmation est du typ e à facteurs complémentaires et à rendements constants. Pour produire une unité de bien de consommation il faut une unité de ressource [6] et une unité de travail [7]. Les techniques d'exploitation de la ressource sont également à facteurs complémentaires et à rendements constants [8]. Afin de disposer d'une unité de ressource utilisable par l'industrie de production du bien de consommation, il faut, si on exploite le flux, une unité de ressource-flux et η unités de travail, et, si on exploite la nappe, μ unité de travail [9]. Selon les cas [10], le coût en travail nécessaire pour exploiter le flux peut être inférieur, égal ou supérieur au coût en travail nécessaire pour exploiter la nappe. Il est parfois plus simple de considérer le secteur productif comme un secteur intégré qui transforme directement le travail et la ressource à l'état naturel, en bien de consommation, une partie du secteur exploitant le flux, l'autre partie la nappe. Les coefficients techniques de la partie du secteur qui exploite le flux sont 1 pour la ressource et 1 + η pour le travail; ceux de la partie du secteur qui exploite la nappe, 1 et 1+μ. On note respectivement η et μ les coefficients 1 + η et 1 + μ.

Le programme déterminant les trajectoires, socialement optimales, des prélèvements sur chaque type de ressource admet la formulation (P.1) suivante si le secteur productif est intégré :

Y Y( )0₀ = donné

La contrainte a x x t y t( ( )) ( )- - ≥ 0 si Y t( ) =0, garantit que, pour toute trajectoire admissible, on a Y t( ) ≥ 0.

Lorsque le coût de prélèvement dans la nappe est supérieur au coût de prélèvement sur le flux, il est clair qu'il faut en priorité exploiter le flux et que la nappe ne doit être exploitée que si l'utilisation de la totalité du flux ne suffit pas à satisfaire les besoins.

Considérons le programme (P.2) suivant :

Alors, de deux choses l'une :

ou bien la solution x_r^* de ce programme est telle que la contrainte x x- ≥ 0 n'est pas saturée et dans ce cas il n'y a pas lieu d'exploiter la nappe, la solution du pro gramme (P.1) étant alors x t x_r ( )^* = et y t t( ) ,= ≥0 0;
ou bien la solution x_r^* de ce programme est égale à x et il convient alors d'exploiter la totalité du flux.

Dans ce cas, il faut considérer Y comme une mine ₀ c'est-à-dire un stock de facteur non-renouvelable dans lequel on peut puiser. Le problème de l'épuisement optimal de cette mine peut se formuler comme suit :

Ce problème qui est un problème classique d'exploitation minière est traité en détail dans Amigues et alii (1999).

Plus intéressant est le cas où le coût de prélèvement dans la nappe est inférieur au coût de prélèvement en surface.

Les régimes permanents optimaux dans un système hydrologique où le coût de prélèvement en nappe est inférieur au coût de prélèvement en surface

Lorsque les coûts de prélèvements en nappe sont inférieurs au coût de prélèvement sur le flux il existe quatre types de régimes permanents optimaux, selon les valeurs prises par les fondamentaux du modèle. Caractérisons ces quatre régimes.

Le coût d'exploitation en nappe étant inférieur au coût d'exploitation directe du flux, mieux vaudrait laisser celui-ci passer en nappe avant de l'exploiter. Cette politique est la politique évidente si l'intensité du flux après transfert, ax, est suffisamment importante. Si au contraire ax n'est pas très élevé, on doit se demander s'il n'est pas plus pertinent de procéder à une exploitation directe du flux d'apports, sinon totalement tout au moins partiellement, pour disposer d'une quantité supérieure de bien de consommation, quitte à travailler plus.

Notons x cette partie du flux exploitée directement. Considérons le problème (P.4) suivant :

L'ensemble des couples ( , )c l qu'il est possible d'atteindre sous les contraintes du programme (P.4) est illustré à la figure 1 ci-dessous. Surcette figure, la ligne ABC représente la frontière supérieure des possibles. Le segment AB de pente -μ correspond à ce qu'il est possible de produire en n'exploitant le flux qu'après passage en nappe. Le segment AC de pente -η, correspond à ce qu'il serait possible d'obtenir par exploitation directe du flux. Le coût en travail est plus élevé mais la quantité maximale de bien de consommation qu'il est possible d'obtenir est plus importante. Le segment BC correspond aux couples ( , )c l qu'on peut obtenir en combinant l'exploitation directe du flux et son exploitation après transfert en nappe. Si par exemple la partie Nd / a du flux est exploitée après transfert, de sorte que les prélèvements en nappe s'élèvent à Nd, et la partie x Nd a- / est exploitée directement, il est possible d'obtenir un couple consommation-loisir par tête égal à ( ', ')c l, indiqué par le point D'sur la figure 1 où le segment D'D'' est de pente -η.

Quelle est la pente du segment BC, lieu des points efficaces de transformation du loisir par tête en consommation par tête lorsque la société combine l'exploitation directe du flux et son exploitation après passage en nappe ? Partons d'un point intérieur au segment B C. Po ur obtenir une unité supplémentaire de bien de consommation il faut augmenter les prélèvements directs sur le flux d'un montant 1 / (1 - a). Le travail additionnel qu'il faut fournir pour disposer de cette unité supplémentaire s'élève donc à η μ/ ( ) / ( )1 1- - -a a a, le premier terme représentant l'augmentation induite par l'accroissement d'exploitation directe du flux, le second la réduction du travail affecté à l'exploitation de la nappe. L'accroissement net de travail auquel il faut consentir pour obtenir l'unité additionnelle de bien de con sommation est donc ég al à ( ) / ( )η μ- -a a1.

Selon les valeurs des paramètres x a, , ,η et μ selon la forme de la fonction U, le programme (P.4) peut admettre l'un des quatre types suivants de solution ( , ) * * x y r r :

Type i : n'exploiter qu'une partie du flux après transfert en nappe, parce que le flux est abondant : x ax y r r* * = > >0 0et.

Figure 1

régimes stationnaires optimaux de types i et iii

C'est le genre de solution illustrée au point E sur la figure 1. La courbe d'indifférence de niveau d'utilité le plus élevé parmi celles qui ont un point commun avec le domaine des couples ( , )c l techniquement réalisables est tangente au segment AB. La totalité de l'apport àla nappeà chaque instant n'est pas exploitée et la nappe se remplit progressivement.

Type ii : n'exploiter la totalité du flux qu'après passage en nappe, bien que les apports ne soient pas très importants : x y ax r r* * = =0 et.

Cegenrede solution est illustré au point B de lafigure 2. À n'exploiter qu'après passage en nappe, la société doit exploiter la totalité du flux. Mais la pente de la courbe d'indifférence passant par B est en valeur absolue supérieure à μ [11] et inférieure à (η μ - -a a) / ( )1, la valeur absolue de la pente du segment BC. Au coût marginal en travailμ, la société serait prête à travailler plus pour consommer plus. Mais au coût marginal en travail (η μ - -a a) / ( )1 chacun préfère ne consommer que ax N/.

Type iii : exploiter la totalité du flux, pour partie directement et pour partie après passage en nappe : * 0 0< < < = - <x x y a x x ax r r r* * ( )et.

Ce genre de solution est illustrée au point D' de la figure 1. La courbe d'indifférence de niveau d'utilité le plus élevé ayant un point commun avec l'ensemble des possibles est tangente au segment BC.

Type iv : exploiter directement la totalité du flux : x x y r r* * < =et 0.

Ce type de solution est illustré en C sur la figure 2. La courbe d'indifférence de niveau d'utilité le plus élevé ayant un point commun avec l'ensemble des possibles passe par C et sa pente, en valeur absolue, est supérieure à celle du segment BC [12] et donc aussi supérieure à η. Chacun serait prêt à consommer plus au coût marginal en travail η.

Figure 2

régimes stationnaires optimaux de types ii et iv

Montrons maintenant que s'il n'y a pas de ressource initialement en nappe, la solution du problème du planificateur est le sentier stationnaire qui reproduit à chaque instant la solution du problème statique (P.4). C'est évident si la solution de (P.4) est du type i. Le flux d'apport est tellement abondant qu'en prélevant en nappe ce que l'on veut prélever on n'épuise pas les apports ax. Considérons donc les autres cas et remarquons que partant des sentiers stationnaires reproduisant la solution de (P.4), les seules substitutions intertemporelles possibles sont l'un des deux genres suivants.

Le premier genre de substitution est praticable lorsque la solution de (P.4), ( , ) * * x y r r, commande qu'on prélève en nappe y_r^* >0. Une option est alors de réduire légèrement le prélèvement en nappe d'un montant dy à chaque instant d'un premier intervalle de temps, de laisser en nappe cette ressource non-utilisée et d'augmenter ultérieurement les prélèvements d'un même montant à chaque instant d'un second intervalle de temps de même durée. En procédant ainsi, si on néglige provisoirement l'actualisation, au premier ordre, le gain est nul. À chaque instant du premier intervalle de temps, la perte d 'utilité par tête s'élève à [ / / ]∂ ∂ μ∂ ∂U c U dy /N- l, les d érivées étant évaluées en c x y N r r r* * * ( ) /= + et l_r _r _r x y N * * * [ ] /= - +1 η μ et à chaque instant du second intervalle, le gain est le même. Donc :

ou bien ∂ ∂ μ∂ ∂U c U/ /= l, ce qui est alors le cas lorsque la solution de (P.4) est du type i, et alors même en tenant compte de l'actualisation le bilan reste nul [13];
ou bien ∂ ∂ μ∂ ∂U c U/ /> l, ce qui est le cas si la solution de (P.4) est d'un autre type que le type i, et alors, lorsque l'on tient compte de l'actualisation apparaît une perte : les gains à attendre du report, à chaque instant du second intervalle sont, du fait de l'actualisation, inférieurs aux pertes subies à chaque instant du premier.

Le second genre de substitution est possible lorsque la solution de (P.4) implique un prélèvement direct sur le flux d'apports, x_r^* >0. On peut alors réduire légèrement le prélèvement direct sur le flux d'un montant dx à chaque instant du premier intervalle de temps, laisser passer en nappe cette partie non-utilisée du flux et l'y conserver pour ultérieurement accroître le prélèvement en nappe d'un montant adx à chaque instant d'un second intervalle de même durée. Distinguons selon que le prélèvement en nappe y_r^* est positif ou nul. Si y_r^* >0, on est dans le cas de type iii où y_r^* >0 et x_r^* >0 de sorte que ∂ ∂ η μ ∂ ∂U c a U a/ ( )( / )( )= - -l 1. Au co urs du premier intervalle de temps, la perte d'utilité par tête à chaque instant est au premier ordre égale à {[( ) / ( )] }η μ η- - -a a1 ( / / [ ( )∂ ∂ ) η μU dx N al = - / ( )]( / ) /1- a U dx N∂ ∂l, tandis que le gain par tête, à chaque instant du second intervalle, n'est égal qu'à [ ( ) / ( )]( / ) /a a U dx N 2 1η μ ∂ ∂- - l. L e bilan est donc négatif en négligeant l'actualisation et la prise en compte de celle-ci ne l'améliore pas. Si y_r^* =0, on est dans u ne situation de type iv et ∂ ∂ η μ ∂ ∂U c a U a/ ( )( / ) / ( )> - -l 1. La perte subie à chaque instant du premier intervalle de temps, ( / / ) /∂ ∂ η∂ ∂U c U dx N- l, est supérieure au gain a U c U dx N[ / / ] /∂ ∂ η∂ ∂- l permis à chaque instant d u secon d intervalle lorsqu'on néglige l'actualisation. La prise en compte de celle-ci détériore un bilan déjà dans le rouge.

Les transitions vers les régimes permanents

Examinons maintenant le cas dans lequel il existe des réserves initialement en nappe.

Puisque les réserves initialement disponibles sont d'un coût d'accès inférieur au coût d'accès direct au flux, il faut toujours les exploiter. L'actualisation des utilités instantanées suggère que les sentiers optimaux comprennent deux phases. La première est une phase pendant laquelle on épuise les réserves et, éventuellement, on prélève aussi directement sur le flux. À l'issue de cette première phase, les réserves étant épuisées, le sentier est l'un des régimes stationnaires que l'on vient de caractériser.

Notons U_r^* le niveau d'utilité par tête en régime stationn aire, quel que soit son type, i.e. * U U c r r r* * ( , )= l. Soit T la date d'épuisement des réserves. On peut alors réécrire la fonction d'objectif du problème (P.1) sous la forme (P.5) suivante :

Les contraintes du problème restent les mêmes que celles du problème (P.1) sur l'intervalle [0,T].

Il n'y a évidemment de problème économique à résoudre que si le flux d'apports x n'est pas abondant. On conduit donc l'étude en fonction des trois types, ii, iii, et iv, de régimes stationnaires susceptibles de s'instaurer après épuisement des réserves, dans lesquels la contrainte x y a x- - ≥( / ) 0 est active.

Cas d'un régime permanent de type ii

Puisqu'en l'absence de réserves il n'est pas optimal d'exploiter directement le flux, a fortiori lorsqu'il existe des réserves, celui-ci ne devrait jamais être exploité. Montrons qu'on peut construire un sentier qui vérifie les conditions de premier ordre de maximisation du hamiltonien et la condition de transversalité, le long duquel x t( ) =0, sentier qui est donc un sentier optimal sous les hypothèses du présent modèle.

Compte tenu du fait que les hypothèses posées sur U impliquent que la contrainte de saturation de l'offre de travail n'est jamais active, les conditions de premier ordre de maximisation du hamiltonien par rapport à y t( ) et x t( ), en tout t tel que Y t Y y t( ) ( , ), ( )∈ >0 0 et x t( ) =0, sont respectivement :

où v t x ( ) est le multiplicateur associé à la condition de non-négativité de x t( ).

La condition de transversalité a pour expression :

Pour déterminer la solution, procédons comme suit. Soit λ α=_r a/, où

les dérivées étant évaluées en c_r^* et l_r^*, est la valeur du multiplicateur associé à la contrainte d'utilisation du flux x y a x- - ≥( / ) 0 dans le régime permanent de type ii. Pour tout λ λ∈ ( , )0, définissons T( )λ comme la solution de l'équation λ λ λ ρ e T t =. ( ) est une fonction décroissante de λ et lim ( )λ =+∞T, et, λ↓ 0 lim ( )λ =T 0. Pou r tout λ λ∈ ( , )0 et tout λ λ↑ t T∈ [ , ( ))0 λ, soit y t( , )λ la solution de l'équation (1) obtenue en posant c = y /N et l = -1 μ λy N y t/ ; ( ; ) est une fonction décroissante de t qui tend vers ax N/ lorsque t tend vers T( )λ. Pour tout λ λ∈^- ( , ( )01 T t)), y(t ; est une fonction décroissante de λ qui tend vers ax N/ lorsque λ tend vers T t -1 ( ). Enfin lorsque λ tend vers 0, ( ; )y t λ tend vers y solution de :

La solution de cette équation correspond au point G de la figure 3.

Pour tout λ λ∈ ( , )0 on définit $( )Y λ comme les réserves dont il faut initialement disposer pour prélever y t( ; )λ dans la nappe durant l'intervalle de temps [ , ( ))0 T λ, compte tenu du fait que celle-ci est en permanence rechargée par le flux d'apports qui n'est pas directement exploité :

L a fon ction $( )Y λ est décroissante et lim $( ) λ λ ↓ = +∞ 0 Y, et, lim $( ) λ λ λ ↑ =Y 0. L'équation :

possède donc une solution uniqueλ^* et la solution du problème (P.5) est

Par construction en effet, y t * ( ) vérifie la condition (1) de maximisation du hamiltonien par rapport à y t( ) sur l'intervalle [ , ) * 0 T. Remarquons maintenant que

, les dérivées étant évaluées en c t y t N( ) ( ) / * = et l( ) ( ) / * t y t N= -1 μ, est positive sur l'intervalle [0,T*) [14]. Si donc on pose

, la condition (2) de maximisation du hamiltonien par rapport à x (t) est également vérifiée. Enfin en

et, l^* ^* ( ) /T a x N= -1 μ, de sorte que les membres droit et gauche de l'égalité (3) sont tous deux nuls, et la condition de transversalité est satisfaite.

Figure 3

sentier optimal. Cas où le régime permanent optimal est de type ii

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Le sentier optimal est représenté à la figure 3. Il démarre en un point k situé sur la partie GB de la droite de transformation de pente -μ, d'autant plus près de G que les réserves initiales sont élevées, et parcourt le segment k B, le point B étant atteint en T*. Au cours de cette phase la consommation par tête diminue et le loisir augmente. Ensuite consommation et loisir restent indéfiniment en B =(c_r _r^* ^* )l.

Cas d'un régime permanent de type iii

Dans un régime stationnaire de type iii le flux est pour partie exploité directement et pour partie exploité après passage en nappe :

. De plus, en

on a :

Montrons que si les réserves initiales sont suffisamment importantes la phase d'épuisement des dites réserves comprend deux périodes : pendant la première, seule la nappe est exploitée tandis que pendant la seconde le flux est exploité directement ainsi que la nappe ; si les réserves sont peu importantes, la phase d'épuisement ne comprend qu'une période pendant laquelle la société a recours aux deux modes d'exploitation.

Pendant une période d'exploitation de la seule nappe, les conditions de premier ordre de maximisation du hamiltonien par rapport à y(t) et x(t) sont les conditions (1) et (2) établies à la section précédente pour ce genre de période. Pendant une période où le flux est directement exploité ainsi que la nappe, ces conditions sont respectivement :

et,

Les relations (7.1) et (7.2) impliquent que

, et donc que :

Pendant une période d'exploitation simultanée du flux d'apport, directement, et de la nappe, le sentier de la consommation et du loisir par tête doit donc suivre l'isocline I a a σ σ η μ, ( ) / ( )= - -1 [15].

Figure 4

sentier optimal. Cas où le régime permanent optimal est de type iii

Enfin la condition de transversalité prend la même forme que la conditio n (3) av ec * U U x y N r r r* * ( ) / ,= + 1- ( ) /η μx y N r* r* + ).

La construction de la solution est illustrée à la figure 4. Sur cette figure D c_r _r =( , ) * * l est le point de la partie BC d'utilisation conjointe en régime des deux formes de la ressource, correspondant au régime stationnaire optimal. D est le point d'intersection de l'isocline I_σ et du segment BC. Notons E c μ μ μ =( , )l le point d'intersection de cette isocline avec la droite l = -1 μc. Puisque le segment BC est situé sous cette droite d'une part et puisque les isoclines sont croissantes d'autre part, on a c c r* <_μ et l l r* <_μ.

Distinguons deux valeurs critiques de λ λ,₁ et λ λ λ 2 1 2, <, définies comme suit :

évaluées en E_μ.

évaluées en D.

Les égalités

, dans (9)

et (10) viennent du fait que E_μ et D sont tous deux situés sur l'isocline I_σ. L'inégalité λ λ 1 <₂ résulte du fait que d'une part

est une fonction décroissante de c le long de l'isocline [16] et que d'autre part c c r* <_μ (cf. supra).

Pour λ λ∈ ( , )0 c'est-à-dire si les réserves initiales ₁ sont suffisamment élevées, la phase d'épuisement des réserves est constituée des deux périodes évoquées plus haut ; pour λ λ λ∈ [ , ], la phase 1 2 d'épuisement des réserves ne comprend qu'une période pendant laquelle les deux formes de la ressource sont simultanément exploitées.

Pour tout λ λ∈ ( , )0 définissons T ( )λ comme la soolution de ₁₁lution de λ λ ρ e^t = et T ( )λ comme la s ₁₂ λ λ ρ e^t =. T T( ) ( )λ λ-, solution de λ λ 1 ρ e^t =, est ₂ 2 1₂ une constante.T ( )λ est une fonction décroissante de ₁ λ qui tend vers 0 siλ tend versλ, et vers +∞ si λ tend ₁ vers 0. Pour tout λ λ∈ ( , )0 et pour tout t T∈ [ , ( )]0 λ ₁₁ soit x t 0( ; )λ = et y t( ; )λ la solution de (1) obtenue 1 1 en posant c = y / N et l = -1 μc. Cette fonction est la même que la fonction y t( ; )λ de la section précédente. Elle possède donc les mêmes propriétés et lim ( ; )y t Nc=λ. Pour t T T∈ [ ( ), ( ))λ λ μ ( )t T↑ 1 1λ 1 2 soit ( ( ; ), ( ; ))x t y tλ λ la solution du système 2 2 d'équations (7.1)-(7.2), système qui possède une solution unique. Au cours de cette seconde période, [ ( ), ( )], ( ; )T T x t 1 2 2 λ λ λ est une fonction croissante de t, de x T 2 1 0( ( ); )λ λ = à x T x_r2 2 ( ( ); )^* λ λ =, tandis que y t( ; )λ décroît de y T Nc 2 1 ( ( ); )λ λ_μ = à 2 y T y_r2 2 ( ( ); )^* λ λ = [17].

Pour tout λ λ λ∈ [ , ], on définit T ( )λ de la même 1 2₂ façon qu'à l'alinéa précédent, ainsi que les fonctions x t 2 ( ; )λ et y t 2 ( ; )λ.

Pour tout λ λ∈ ( , )0₂ on définit $( )Y λ comme le montant des réserves initiales qui permet de suivre successivement les sentiers y t t T0( ; ), [ , ( ) )λ λ∈ et 1 1 y t t T T 1 ( ; ), [ ( ), ( ) )λ λ λ∈ lorsque λ λ∈ [ , ]0 et le 2 2₁ sentier y t t T0( ; ), [ , ( ))λ λ∈, lorsque λ λ λ∈ [ , ), 2 2 1 2 compte tenu du fait que la nappe est alimentée par la partie du flux non directement exploitée :

La fonction $( )Y λ est décroissante, de +∞ pourλ =0, à 0 pour λ λ=₂, de sorte que l'équation :

possède une solution unique λ^*, et le programme (P.5) admet la solution suivante :

pour tout λ λ λ * * * ( , ): ( )∈ =0₂ ₂ T T
pour λ λ * ( , ):∈ 0₁
et
pour λ λ λ * ∈ [ , ] 1 2 :

Un argument identique à celui développé en première section montrerait que les conditions (1)-(2) de maximisation du hamiltonien sont vérifiées au cours de la période d'exploitation de la seule nappe lorsqueλ λ * ∈ ( , )0. Par construction les ₁ conditions de maximisation (7.1) et (7.2) sont satisfaites pendant la période d'exploitation des deux fo rmes d e la ressou rce. Enfi n, en T x T x_r* * * *, ( ) = et y T y_r* * * ( ) =, de sorte que les membres droit et gauche de (3) sont tous deux nuls et la condition de transversalité est également satisfaite.

Pour des niveaux des réserves initiales suffisamment impo rtants, Y Y 0 1 > $( )λ, le sentier de la consommation et du loisir par tête part d'un point k de la partie GE_μ de la frontière l = -1 μc et parcourt cette droite en direction de E_μ qui est atteint en T₁ ( ) * λ. Pendant cette première période la consommation décroît mais le loisir augmente, et le niveau d'utilité par tête décroît. À partir de T₁ ( ) * λ le sentier suit l'isocline I_σ, de E_μ en direction de D qui est atteint en T*. Au cours de cette seconde période, consommation et loisir décroissent tous les deux. Ensuite le sentier reste indéfiniment au point D. Le point de départ du sentier est situé d'autant plus près du point G, où une courbe d'indifférence est tangente à la droite de transformation l = -1 μc, que les réserves initiales sont élevées. Pour des niveaux plus faibles des réserves initiales, Y Y 0 1 < $( )λ, la phase d'épuisement de celles-ci ne comprend que la seule période d'exploitation simultanée des deux formes de la ressource. Le sentier de la consommation et du loisir par tête part d'un point situé sur l'isocline I_σ entre E_μ et D et parcourt l'isocline en direction de D qui est atteint en T*.

Cas d'un régime permanent de type iv

Dans un régime stationnaire de type iv, la totalité du flux est exploitée directement :

Montrons que dans ce cas, si les réserves initiales sont suffisamment importantes, la phase d'épuisement des réserves comprend trois périodes : une période d'exploitation de la seule nappe, une période d'exploitation conjointe des deux formes de la ressource au cours de laquelle la nappe continue d'être rechargée et enfin une période d'exploitation conjointe au cours de laquelle la totalité du flux d'apport est exploitée directement. Si les réserves initiales ne sont pas très importantes, la première période disparaît. Si les réserves initiales sont très faibles, les deux premières périodes disparaissent.

Figure 5

sentier optimal. Cas où le régime permanent optimal est de type iv

On a déjà établi aux deux sections précédentes les conditions de maximisation du hamiltonien pendant les deux premières périodes. Pendant une période où la totalité du flux est exploitée directement et où la nappe est aussi exploitée, ces conditions prennent la forme :

où ξ_x t( ) est le multiplicateur associé à la contrainte x x- ≥ 0 qui est saturée pendant cette période.

La construction de la solution est illustrée à la figure 5. Sur cette figure le point C c_r _r =( , ) * * l correspond au régime stationnaire. Le segment de droite CH est de pente -η. Tout point de ce segment correspond à une situation où la totalité du flux est exploitée directement ainsi que la nappe. Si le régime stationnaire est du type iv, alors la pente de la courbe d'indifférence de niveau d'utilité U_r^*, en c c_r _r =( , ) * * l, est en valeu r abs olue s upérieure à σ η μ= - -( ) / ( )a a1 [18]. Il en résulte que l'isocline I_σ a un point d'intersection avec le segment CH [19]. On note E c η η η =( , )l ce point d'intersection. On a donc c c r* <_η, et, puisque l'isoclineest croissante, c c η μ <.

Distinguons trois valeurs critiques de λ λ λ, , et 1 2 λ λ λ λ 3, < <, définies comme suit. λ est définie ₁ ₂ ₃₁ comme àla section précédente (cf. équation (9))et :

évaluées en E_η

évaluées en C

L'inégalité λ λ 1 2 < résulte du fait que d'une part

est une fonction croissante le long de l'isocline [20] et que d'autre part c c η μ <. L'inégalité λ λ 2 3 < résulte du fait que d'une part

est une fonction décroissante de c le long de CE_η et que d'autre part c c r* <_η.

Pourλ λ∈ ( , )0 on définitT ( )λ comme la solution de λ ρ e^t et ₁₁ λ= T ( )λ comme la solution de λ λ ρ e^t = ₁₂₂ T ( )λ comme la solution de λ λ ρ e^t =. T T( ) ( )λ λ₃₃ 2 1 et T T( ) ( )λ λ- sont indépendants de λ, et T ( )λ qui 3 2₁ est définie comme en deuxième section [21], possède les propriétés déjà mises en évidence, en particulier T ( )λ décroît de +∞ pour λ = 0 à 0 pour λ =λ₁. Pour ₁ tout λ λ∈ ( , )0 soit x t( ; )λ, y t( ; )λ, t T∈ ( , )0 (λ) et ₁ 1 1₁ x t( ; )λ, y t( ; )λ, t T T∈ ( , )(λ) (λ) les fonctions 2 2 1 2 définies à la section précédente. Ces fonctions ont d onc les mêmes propriétés ; d e p lus

Posons x t x( ; )λ = et définissons y t( ; )λ comme la 3 3 solution de (1) obtenue en posant c x y N= +( ) / et l = - +1 ( ) /η μx y N. La fonction y t( ; )λ décroit sur 3 l'intervalle [ , )T T 3 (λ) (λ) de y T Nc x 3 2 ( ( ); )λ λ_η = - 2 à y T 3 3 0( ;( ); )λ λ =.

Pourλ λ λ∈ [ , ) 1 2 on poseT₁ 0( )λ = et on définitT₂ ( )λ et T ( )λ de la même façon qu'à l'alinéa précédent ₃ ainsi que les fonctions x t 2 ( ; )λ, y t 2 ( ; ),λ x t 3 ( ; )λ et y t 3 ( ; )λ.

Pour λ λ λ∈ [ , ) on pose T T 0( ) ( )λ λ= = et on 2 3 1 2 définit T ( )λ comme ci-dessus ainsi que les ₃ fonctions x t 3 ( ; )λ et y t 3 ( ; )λ.

Définissons $( ), ( , )Y λ λ λ∈ 0₃ comme les réserves nécessaires pour procéder aux prélèvements dans la nappe prescrits par les fonctions y t i( ; ),, ,λ =1 2 3, i compte tenu des apports qu'elle reçoit :

$( )Y λ est décroissante, de +∞ pour λ =0 à 0 pour λ λ=₃. L'équation :

possède donc une solution uniqueλ^* et la solution de (P.5) est la suivante :

pour tout λ λ λ * * * ( , ), ( )∈ =0₃ ₃ T T;
pour λ λ * ( , ):∈ 0₁
et,
pour λ λ λ * ∈ [ , ) la première sorte de période 1 2 disparaît et le sentier débute par une période de la seconde sorte, sur [0, T₂ ( )) * λ;
pour λ λ λ * ∈ [ , ) les deux premières périodes 2 3 disparaissent et la phase d'épuisement ne comprend qu'une période de la troisième sorte, sur [ , ) * 0 T.

Des arguments identiques à ceux développés en deuxième section de la présente partie montreraient qu'au cours des périodes de la première et de la deuxième sortes, les conditions de maximisation du hamiltonien sont satisfaites. Remarquons maintenant que

, les dérivées étant évaluées en c t x y t N * * ( ) ( ( )) /= + et l^* ^* ( ) ( ( )) /t x y t N= - +1 η μ, est po sitive sur l'intervalle[ ( )T 2 λ [22]. Si donc on poseξ_x t( )égal ), * * T à cette différence, la condition (11.2) de maximisation du hamiltonien par rapport à x (t) est satisfaite sur [ ( ), ) * * T T 2 λ. Par construction de y t 3 ( ; ) * λ la condition de maximisation par rapport à y t( ) est aussi vérifiée sur cet intervalle. Enfin en T* les membres droit et gauche de (3) sont tous deux nuls et la condition de transversalité est également vérifiée.

Pour des réserves initiales élevées, Y Y 0 1 > $( )λ, le sentier de consommation et de loisir par tête part d'un point k de la partie E G μ de la droite l = -1 μc et parcourt le segment kE_μ en direction de E_μ qui est atteint en T₁ ( ) * λ. Pendant cette phase la consommation par tête décroît tandis que le loisir augmente. Ensuite lesentiersuit l'isocline I_σ de E_μ à E_η qui est atteint en T₂ ( ) * λ. Pendant cette période, consommation et loisir par tête diminuent tous les deux. Au cours de la dernière période [ ( ), ) * * T T 2 λ, le sentier décrit le segment E_η C; la consommation par tête continue de décroître tandis que le loisir croît à nouveau. À partir de T* le régime stationnaire est atteint et le sentier reste indéfiniment en C. Si les réserves so nt moi ns importan tes, $( ) $( )Y Y Yλ λ 2 0 1 < <, le sentier part d'un point de la partie E_μ E_η de l'isocline I_σ. Si enfin les réserves sont faibles, Y Y 0 2 < $( )λ, le sentier part d'un point du segment E_η C.

Conclusion

Nous avons montré, en nous plaçant dans un cadre d'équilibre général, que l'exploitation optimale des aquifères peut impliquer à long terme la baisse de leur niveau lorsqu'on ne considère que l'aspect fourniture de facteur de production. Ce sera le cas lorsque le flux d'apport n'est pas très élevé et ce, que le coût de prélèvement en nappe soit inférieur ou supérieur au coût de prélèvement sur les ruissellements de surface. La prise en compte des amén ités de stock ne modifierait pas fondamentalement les conclusions. Simplement, au lieu d'épuiser les réserves en nappe lorsqu'il faut les exploiter, il serait optimal de n'en utiliser qu'une partie [23]. Pour revenir au cas de l'aquifère d'Ogallala évoqué dans l'introduction, le problème est moins celui de la substitution du dry-farming à l'irrigation dans certaines zones, que celui de la date à laquelle cette substitution devrait s'effectuer.

Il est clair que de toute façon il faut facturer aux usagers les prélèvements qu'ils opèrent [24]^, [25]. En l'absence de redevance pour épuisement de la ressource suffisamment élevée, celle-ci sera gaspillée et la vitesse d'épuisement des nappes sera trop élevée. Le fait que dans certains pays de nombreux usagers, qui sont précisément ceux qui utilisent le plus intensément la ressource (et accessoirement la polluent) réussissent pour l'essentiel à se soustraire aux redevances ne manque pas d'être préoccupant.

Annexe 1 : conséquences des hypothèses posées sur la fonction d'utilité

Considérons une isocline I_σ σ, > 0. Tout mouvement le long de cette isocline doit vérifier :

D'où pour tout dc d/ l tel que ( / )/ ( / )∂ ∂ ∂ ∂ σU c U l =

Pour tout déplacement le long d'une droite l = - >a bc a, 0et b > 0, on a : d bdcl =, de sorte que :

Considérons l'utilité marginale nette

qu'implique l'exploitation d'une ressource de coût moyen d'exploitation en travail égal à γ γ η μ, { , }∈. La dérivée de cette utilité margi nale le l ong de la frontière de production l = - >a c aγ, 0, a pour expression, puisque d dcl / = -γ :

Le long de l'isocline I a a σ σ η μ η μ, ( ) / ( ),= - - >1, les dérivées des utilités marginales nettes

ont respectivement pour expression, compte tenu de (A-1) :

Annexe 2 : non négativité de ν_x t( ) et ξ_x t( )

, <0 est équivalent à

et donc équivalent à

Pendant la seule période d'épuisement des réserves dans le cas d'un régime stationnaire de type ii, ou pendant les périodes d'exploitation de la seule nappe lorsque les régimes stationnaires sont des types iii, ou iv,

, car le sentier ( ( ), ( ) * * c t tl ) décrit la partie d'une droite l = -a cμ avec c t c( )>_μ d'une part, et d'autre part

est une fonction décroissante de c le long d'une telle droite, donc

Pendant la dernière période de la phase d'épuisement des réserves, lorsque le régime stationnaire est de type iv, on a

, car le sentier ( ( ), ( ) * * c t tl ) décrit la partie d'une droite l = -a cμ avec c t c * ( )< '_μ, d'une part, et, d'autre part,

est une fonction décroissante de c le long de c ett e d ro it e, par co nséqu ent ξ_x t( ) =

**Annexe 3 : étude des fonctions x t 2 ( ; )λ et y t 2 ( ; )**λ

Différentions totalement les conditions (7.1) et (7.2). On obtient :

Le déterminant de la matrice du système a pour expression :

Puisque η μ> et a a< - >1 0, ,η μ et donc dx dt 2 0/ > et dy dt 2 0/ <.

BIBLIOGRAPHIE

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· Amigues, J.P., Favard P. et Moreaux M. (1999). Faut-il s'inquiéter de la baisse du niveau des auquifères ?, LEERNA D.P. 99.02.22, Université de Toulouse I.

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· Kromm D.E. et White S.E. (1992). Groundwater Exploitation in the High Plains, University Press of Kansas, Lawrence.

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· Tsur Y. et Zemel A. (1995). Uncertainty and Irreversibility in Groundwater Resource Management, Journal of Environmental Economics and Management, 29, pp. 149-161.

· Wahl P.A. (1989). Markets for Water, Resources for the Future, Washington, D.C.

NOTES

[(*)]

LEERNA, IDEI, INRA et Université de Toulouse I.

[(**)]

Université de la Rochelle et LEERNA.

[(***)]

LEERNA, IDEI et IUF - Université de Toulouse I. E-mail : mmmoreaux@ cict. fr

[(1)]

La ressource en eau est une ressource naturelle qui présente un certain nombre de caractéristiques très spécifiques. On en trouvera une recension dans J.P. Amigues, P. Favard, G. Gaudet et M. Moreaux (1994).

[(2)]

D'après T.L. Anderson et P. Snyder (1997). Voir en particulier le chapitre 8 : Ground-Water Deeds.

[(3)]

Cf. par exemple D.E. Kromm et S.E. White (1992).

[(4)]

Cf. Y. Tsur et A. Zemel (1995).

[(5)]

Les problèmes posés par la gestion de ce genre d'aquifère sont abordés dans B. Caussade, M. Moreaux et A. Reynaud (2000).

[(6)]

Sur les valorisations multiples de l'eau qu'à dessein ici nous réduisons à la seule production du bien de consommation, on consultera Amigues et alii (1995).

[(7)]

Le choix des unités de mesure des trois biens est fixé, à un même facteur multiplicatif près, par cette normalisation à un des deux coefficients de la technique de Leontiev.

[(8)]

Poser que le coût de prélèvement en nappe ne dépend pas de son niveau Y (t) est une approximation admissible lorsque la nappe n'est pas trop épaisse, quelle que soit la profondeur à laquelle elle se trouve. On traite dans une autre étude le cas des nappes épaisses.

[(9)]

On néglige les pertes de ressource qu'implique leur exploitation.

[(10)]

La nature du terrain, sa morphologie, le régime des pluies, le régime des températures, celui des vents et l'ensoleillement.

[(11)]

On néglige ici, comme dans toute cette section, le cas anecdotique où on aurait x y ax r r* *,= =0 et ∂ ∂ ∂ ∂ μU c U/ / / l = en (c_r _r^* ^*, l ).

[(12)]

On néglige ici, comme dans toute cette section, le cas dégénéré dans lequel on aurait x x y r r* *,= = 0 et ∂ ∂ ∂ ∂ η μU c U a a/ / / ( )/ ( )l = - -1 en (c_r _r^* ^*, l ).

[(13)]

On montre aisément, qu'au second ordre, le bilan est négatif.

[(14)]

Cf. Annexe 2.

[(15)]

On notera σ la valeur du rapport ( )/ ( )η μ- -a a1 dans tout le reste de l'article.

[(16)]

Cf. Annexe 1.

[(17)]

Cf. Annexe 3.

[(18)]

Sauf cas anecdotique qu'on négligera.

[(19)]

C'est une conséquence immédiate du fait que le long de toute droite l = - > >a bc a b, ,0 0, la valeur absolue des pentes des courbes d'indifférence le long de la droite, décroît avec c (cf. Annexe 1).

Cf. Annexe 1.

Cf. Annexe 1.

Cf. Annexe 2.

Cf. Berck (1981) pour le cas d'une ressource renouvelable classique et Krautkraemer (1985) pour le cas d'une ressource non renouvelable.

[(24)]

Pour une analyse du système de prix face auquel il faudrait mettre les différents agents dans le modèle étudié dans cet article, se reporter à Amigues et alii (1999).

[(25)]

Pour une revue rapide des problèmes posés par l'instauration de marchés de l'eau on pourra consulter Babillot et Le Lourd (1998). On trouvera dans Spulber et Sabbaghi (1998) un cadre d'analyse classique de l'ensemble des problèmes posés pour la gestion de ce genre de ressources. L'ouvrage que nous voudrions recommander, tant pour la finesse de ses analyses que pour la diversité des expériences dont il rend compte, est le livre de Easter, Rosegrant et Dinar (1998). Pour certaines formes d'adaptation de l'offre à la demande à court terme, on pourra consulter Miller (1996). On trouvera dans Wahl (1989) une étude très documentée des dérives auxquelles peuvent donner lieu une gestion politico-administraive niant la nécessité de l'instauration des marchés, qui n'est pas sans rappeler par certains aspects l'expérience française, notamment pour ce qui concerne la concurrence pour la captation des rentes.

no 148 2001/2

Faut-il s'inquiéter de la baisse du niveau des aquifères ?

Jean-Pierre Amigues [(*)] Pascal Favard [(**)] Michel Moreaux [(***)]

Le modèle

Les régimes permanents optimaux dans un système hydrologique où le coût de prélèvement en nappe est inférieur au coût de prélèvement en surface

Les transitions vers les régimes permanents

Conclusion

Annexe 1 : conséquences des hypothèses posées sur la fonction d'utilité

Annexe 2 : non négativité de νx t( ) et ξx t( )

Annexe 3 : étude des fonctions x t 2 ( ; )λ et y t 2 ( ; )λ

BIBLIOGRAPHIE

NOTES

n^o 148 2001/2

Jean-Pierre Amigues [()]* Pascal Favard *[(**)]* Michel Moreaux *[(***)]*

Annexe 2 : non négativité de ν_x t( ) et ξ_x t( )

**Annexe 3 : étude des fonctions x t 2 ( ; )λ et y t 2 ( ; )**λ