De nombreuses pêcheries sont, à l’échelle mondiale, perçues comme surexploitées et certaines sont gravement menacées d’épuisement en l’absence de régulation efficace des captures. Certaines ont été réglementées en restreignant l’accès ou en limitant l’usage de certains intrants, comme par exemple le nombre ou la taille des bateaux. La seule limitation de l’accès par des licences n’est pas suffisante pour inciter les agents à prendre en compte l’effet de la capture totale sur la reproduction et le coût d’opportunité correspondant de la ressource prélevée.

Plusieurs auteurs ont attiré l’attention sur les inefficacités qui résultent de structures de coût déformées par des restrictions particulières comme le temps de pêche. Les inefficacités viennent de la substitution de facteurs de production libres à ceux qui sont contraints. Les pêcheurs individuels maximisent leur revenu privé en s’efforçant de maintenir (ou d’augmenter) leurs captures par une intensification en capital ou en travail. On a observé, dans ces situations, une érosion des revenus à cause de la surcapitalisation de la flotte et de la surexploitation de la ressource qui perdure. En effet, le contrôle du facteur restreint s’avère souvent inefficace et la fraude importante.

On cherche ici à mesurer cette inefficacité allocative dans le cadre d’un modèle dynamique et d’une technologie flexible. L’expression de la substitution entre facteurs, à l’origine des surcoûts d’exploitation, est difficile à identifier dans les modèles classiques de pêcheries construits dans la tradition de Schaefer où la technologie de la capture est représentée par un index agrégé des facteurs de production appelé “effort de pêche” qui est supposé représenter l’ensemble des facteurs variables (c’est le cas de Clark dans son ouvrage classique, 1976). Cet index est souvent assimilé au seul facteur capital, ce qui rend la fonction de production facilement inversible pour trouver une relation entre le coût moyen et le stock. La solution du problème de contrôle optimal avec une seule variable de décision est alors simplifiée. Clark et Munro (1975) utilisent aussi cette approche à l’aide d’une expression du coût unitaire qui dépend du stock de ressource mais non explicitement des prix des facteurs variables, ce qui ne permet pas d’étudier leur demande dérivée et donc le niveau optimal des divers facteurs variables. L’hypothèse de rendements constants est souvent retenue.

Smith (1968,1969), dans son article classique, étudie la dynamique d’une pêcherie en utilisant une fonction de coût dont les arguments traduisent les externalités et non la combinaison factorielle. L’in efficacité allocative rés ultan t d’un rationnement de facteur ne peut être étudiée avec ce modèle. D’autre part, les équations différentielles, décrivant l’état de la pêcherie, ne sont pas tirées d’une optimisation dynamique puisqu’il traite le cas du propriétaire unique en considérant la fonction de reproduction comme une contrainte statique. Ses solutions s’avèrent cependant proches de l’optimum si le taux d’actualisation est faible.

La dissipation de la rente à cause de la substitution factorielle en présence de rationnement a été étudiée par Squires (1987) et par Dupont (1990) à l’aide d’une approche duale utilisant la fonction de profit restreint. Ces approches mettent en évidence de sérieuses inefficacités et des pertes de rente estimées à 42 % de la recette brute (Dupont, 1990, p. 42). Elles sont cependant statiques et ne permettent pas de comparer la situation observée sous restriction avec une situation où le niveau de capture et le stock sont également optimisés.

Le problème de la régulation inefficace par rationnement de facteur est étudié ici en représentant la technologie de la capture par une fonction de coût restreint générale dans un cadre d’optimisation dynamique. Selon une tradition répandue en économie des ressources, l’effort de pêche et la fonction de coût sont dans un premier temps définis de façon agrégée au niveau de la branche. La condition optimale sur la capture est formellement proche de celle de Clark, mais elle s’interprète aussi, du fait des rendements non constants, comme la capture telle que le coût marginal est égal au prix diminué de la valeur adjointe de la ressource. L’accent étant mis sur l’inefficacité allocative, on s’intéresse surtout aux états stationnaires. Des conditions suffisantes sont définies pour l’existence de la solution stationnaire et pour sa stabilité locale conditionnelle. Les demandes de facteurs variables sont déduites de la fonction de coût en ce point, précisant la combinaison productive correspondant à la capture optimale.

Quand un facteur variable est rationné, les pêcheurs optimisent le revenu net sous la seule contrainte correspondante tout en négligeant la fonction de reproduction. Il en résulte un équilibre sous optimal. La perte d’efficacité en présence de restriction d’un facteur peut alors être estimée par une statique comparative de la fonction de profit entre les deux solutions. Une application à l’exploitation de la coquille Saint-Jacques en baie de Saint-Brieuc est présentée. Cette ressource est réglementée à la fois par le nombre de navires et par le temps de pêche par bateau. L’augmentation rapide de la puissance des navires laisse présager une surcapitalisation que l’on peut attribuer en partie à cette forme de régulation du temps de pêche par bateau.

On étudie ensuite un modèle désagrégé avec plusieurs unités de capture. L’exploitation optimale en situation coordonnée par un planificateur exige alors que les coûts marginaux individuels soient égaux entre eux et que toutes les unités d’extraction respectent le même écart entre prix et coût marginal. Cet écart est la valeur adjointe de la ressource. Un système de Quotas Individuels Transférables (QIT) est alors analysé en prenant en compte les fonctions de coût individuelles. On peut ainsi faire le lien formel entre l’équilibre issu d’un marché de location des quotas et l’optimum.

L’efficacité d’exploitation peut être restaurée par la fixation de la capture autorisée totale (CAT) correspondant au niveau optimal du stock et par l’attribution de QIT. L’équilibre sur le marché des QIT détermine un prix de location égal à la valeur adjointe de la ressource, c’est-à-dire au différentiel entre le prix de la capture et les coûts marginaux individuels requis par les conditions nécessaires d’optimalité. Il est ainsi montré que l’optimum peut être soutenu par les QIT.

L a première partie présen te le modèle d’exploitation agrégé de la pêcherie, avec une fonction de coût pour l’ensemble de la pêcherie. La deuxième partie traite de la mesure de l’inefficacité induite par la restriction d’un facteur et présente l’illustration concrète. La troisième partie traite du modèle désagrégé avec des coûts individuels, analyse un système de QIT et formalise la relation entre le marché de location des quotas et la solution stationnaire de l’exploitation optimale.

où Z_t est le stock de la ressource ou biomasse, &Z_t la dérivée du stock par rapport au temps, Y le _t prélèvement ou capture et F Z_t ( ) la fonction de reproduction naturelle de la ressource. On considère une ressource dont la croissance est positive lorsque le stock est positif et compris entre une valeur basse Z et une valeur haute Z qui correspond à la capacité maximale du milieu naturel. Le seuil inférieur (positif) du stock, en deçà duquel la croissance devient négative, traduit la possibilité d’extinction. La fonction F (Z) est supposée strictement concave avec un maximum en Z qui définit le rendement _M maximum soutenable (RMS) ou maximum biologique. La forme quadratique, qui donne une évolution naturelle du stock en fonction du temps, d’allure logistique, est en effet souvent retenue par les biologistes. On pose donc sur la fonction F, les hypothèses suivantes assez classiques :

pour

où F et F désignent les dérivées premières et _ZZZ secondes de la fonction F ( Z ). (Ces notations s’appliqueront aux dérivées partielles des autres fonctions utilisées).

Pour étudier les conditions d’une exploitation optimale et les conséquences des restrictions sur certains facteurs, la technologie de capture doit représenter l’ensemble des facteurs et leurs possibilités de substitution. Cette technologie est représentée ici par une fonction de coût restreint global pour la branche dont les arguments sont : Y le volume d’output, c’est-à-dire le niveau des captures, w le vecteur des prix des facteurs de ₀ production variables à court terme (dont les quantités sont dénotées par le vecteur X), K le capital et Z le stock de ressource.

sous la contrainte Y T X K Z∈ ( , , )

où T (.) est l’ensemble de production supposé strictement convexe. La fonction de coût restreint possède les propriétés de régularité suivantes : elle est croissante en Y, croissante et concave en w, ₀ décroissante en K et Z et strictement convexe en Y, K et Z (Diewert, 1973). On suppose que la fonction de coût est deux fois différenciable. D’un point de vue statique, la ressource joue le rôle d’un facteur quasi-fixe comme le capital. La décroissance du coût par rapport à Z traduit aussi l’externalité de stock, c’est-à-dire la plus grande difficulté de capture quand le niveau de la ressource est bas. La technologie de capture est donc supposée être à rendements marginaux et globaux décroissants.

Dans l’application qui suit, où l’on compare des situations d’état stationnaire de long terme, on n’a pu prendre en compte le coût d’ajustement du capital. L’exploitation optimale sera étudiée comme si le capital s’ajustait instantanément, donc en utilisant la fonction de coût à long terme. Celle-ci peut être déduite de la minimisation du coût total restreint de court terme par rapport au capital en prenant le coût d’usage du capital comme prix de ce facteur (Haavelmo, 1960 ; Lucas, 1967).

où w v r K = +( )δ,

où v est le prix d’acquisition de l’investissement, r le taux d’actualisation et δ le taux de dépréciation du capital. Comme la fonction de coût dans (4) est strictement convexe en K, la solution est donnée par :

qui définit le niveau optimal de capital K Y w w Z( , , , ) et la fonction de coût de long K0 terme (6) en remplaçant cette expression de K dans (3). On note que la fonction de coût (6) n’est plus restreinte que par le niveau du stock de la ressource :

où w w w_K = ( , ) 0

Le problème est traité avec un horizon de temps infini en supposant implicitement que les utilisateurs sont un continuum d’héritiers avec un même taux d’actualisation. Dans le cas des ressources renouvelables, la variable d’état correspondant à l’exploitation optimale converge sous certaines conditions vers une valeur stationnaire. C’est sur la base des états stationnaires que nous comparerons les modes de régulation de l’exploitation.

L’exploitation optimale est définie classiquement comme le problème d’un propriétaire unique ou d’un planificateur central qui vise à obtenir la valeur actualisée maximale du flux de revenu net tiré de la ressource, sans restriction sur les facteurs autre que la fonction de reproduction de la ressource. Les prix des facteurs et du produit de la capture sont supposés concurrentiels et sans distorsion.

sous la contrainte (1) et les suivantes :

Les hypothèses sur la technologie et la fonction de coût se traduisent par les expressions :

On y ajoute les hypothèses suivantes qui s’appliquent au cas pratique et facilitent l’étude de la solution du problème I.

et C w ZZ ( , , )0 0= pour Z C Y w ZYZ > <0 0, ( , , )

Le problème I est un problème de contrôle optimal autonome et à horizon infini. Le Hamiltonien courant correspondant est défini par :

oùe à la μ_t est la variable adjointe courante relié rt variable adjointe actualisée λ_t par μ λ t t e= Les conditions nécessaires sont déduites de la maximisation du Hamiltonien courant par rapport à la commande Y sous la contrainte de non-négativité de celle-ci (9). L’évolution de la variable adjointe par rapport au temps est donnée par la dérivée du Hamiltonien par rapport à Z. L’équation de mouvement (1) doit en outre être vérifiée. Les contraintes de valeurs admissibles du stock ne sont pas p rises en compte explicitement dans l’optimisation, mais on vérifiera qu’elles sont satisfaites par la solution d’état stationnaire. Les conditions nécessaires sont les suivantes (en omettant désormais l’indice temps pour alléger les notations) :

et

qui est l’équation de mouvement (1)

Le Hamiltonien étant dérivable et strictement concave en Y, la condition (15) maximise le Hamiltonien. On a supposé dans la condition (12) que le coût marginal est nul quand la capture est nulle et le stock positif. Les conditions (15) définissent alors la valeur du contrôle Y en fonction de Z p, ,μ et de w :

Pour μ < p, la fonction Y p w Z( , , )- μ a les propriétés d’une fonction d’offre restreinte car elle est définie par la relation p C Y w Z- =( , , ) μ. Y Elle est donc croissante en p et Z et décroissante en μ, ce que l’on vérifie en différenciant (15i).

Dans (14) et (15), la variable adjointe courante μ s’interprète comme la valeur courante de la ressource en stock. On sait que, la fonction de valeur à optimiser étant croissante en Z, la variable adjointe sera positive le long de la trajectoire optimale (Léonard et Van Long, 1992, p. 163).

La condition (15) exige que, sur le sentier optimal, la différence entre le prix et le coût marginal de la capture (que nous appellerons « marge brute ») soit inférieure ou égale à la variable adjointe courante.

Pour que l’exploitation ait lieu ( )Y > 0, il faut que (15) soit satisfaite à l’égalité, c’est-à-dire que le coût marginal soit égal au prix de la capture diminué de la valeur adjointe de la ressource en stock qui est le coût d’opportunité du prélèvement d’une unité supplémentaire de ressource. Le prix diminué de μ s’interprète comme la valeur collective ou sociale du produit de la capture, le prix p ne représentant que la valeur privée. La gestion optimale requiert donc, pour un niveau du stock donné, un volume de capture inférieur à celui qui correspond au régime décentralisé sans régulation où la capture est poussée jusqu’au point où le coût marginal est égal au prix de marché. Si le coût marginal est supérieur à cette valeur collective de la ressource quand Y tend vers zéro, la capture doit être nulle (condition (15ii)).

Si une solution au problème existe pour des valeurs admissibles de Z, les conditions nécessaires sont aussi suffisantes dans le cas des hypothèses posées sur la technologie. La fonction de valeur à optimiser est en effet concave en Y et Z, du fait de la convexité de la fonction de coût, de la concavité de la fonction de reproduction et du signe de μ.

À l’état stationnaire, le coût marginal est égal à la valeur sociale de la capture, c’est-à-dire au prix diminué de la valeur de la variable adjointe du stock de ressource. À l’état stationnaire, cette dernière est égale (au signe près) à la « valeur actualisée » de l’externalité de stock (le taux de l’actualisation utilisé pour cela étant la somme du taux r et de la pente de la fonction de reproduction). Cette valeur adjointe ou coût d’opportunité actualisé de la ressource doit donc être égale à la marge brute courante tirée de la capture. On note que μ^* étant positif et C_Z négatif, Z^* doit être supérieur au niveau $Z où F Z r Z ( $ ) =.

Cette relation peut se mettre sous une forme proche de celle de Clark (1976), la fonction de coût étant ici non-linéaire par rapport à la capture :

L’interprétatio n classique est qu’à l’état stationnaire, la productivité marginale du stock (pente de la fonction de reproduction) doit être inférieure au taux d’actualisation r d’un montant égal au « taux d’externalité » (défini par le rapport de l’externalité de stock à la marge brute). Le stock doit donc être maintenu à un niveau d’autant plus élevé que le coût est sensible au niveau du stock.

Une dernière présentation (20) de la même expression permet de souligner la parenté classique entre la règle d’or d’utilisation du capital (l’expression (5)) et celle de l’exploitation d’une ressource renouvelable. Dans les deux cas, la profitabilité marginale de l’actif, naturel ou fabriqué, mesurée par l’opposé de C ou de C doit _ZK être égale au coût d’usage de l’actif. Dans le cas de la ressource, la marge brute de la capture représente le prix de l’actif investi et (l’opposé de) la pente de la fonction de reproduction de la ressource joue le rôle du taux de dépréciation du capital.

Les niveaux optimaux des facteurs variables à l’état stationnaire sont obtenus à partir du Lemme de Shephard au point correspondant :

L a courbe représentant la fo nctio n & ( , )μ μ= =M Z 0 définit μ comme une fonction positive et décroissante en Z et part du point ( , $ )p Z, où $Z Z_M < est défini par F Z r Z ( $ ) =. La courbe représentant & ( , )Z S Z= =μ 0 qui définit la seconde fonction de μ par rap port à Z n’est pas nécessairement monotone en Z. Elle passe par les points ( , )p Z et ( , )p Z et présente un minimum pour un niveau de Z inférieur au RMS. Les deux courbes se croisent donc nécessairement dans l’intervalle $, )Z Z.

Proposition 1 : Sous les hypothèses (2), (11) et (12) l’exploitation optimale d’u ne res source renouvelable définie par le problème I possède une solution stationnaire telle que le stock soit compris entre $Z et Z, où $Z est tel que F Z r Z ( $) = et Z est la capacité maximale du milieu naturel.

Examinons la stabilité de la solution stationnaire. Le problème de contrôle optimal I est du type autonome avec un taux d’actualisation positif. Si un état stationnaire existe, il ne peut être au mieux qu’un point selle, c’est-à-dire localement stable seulement le long d’une trajectoire définie (Kurz, 1968 et Kamien et Schwartz, 1981). L’étude des équations différentielles au voisinage de l’état stationnaire et du diagramme en phase montre qu’une condition suffisante pour que la solution soit un point selle, est, lorsque le Hamiltonien est concave, ou bien que la solution pour Z soit à droite du RMS ou que le taux d’actualisation r soit faible.

On a donc formulé des conditions suffisantes pour l’existence et la stabilité conditionnelle d’une solution stationnaire. La trajectoire optimale pour un niveau donné Z du stock consiste à choisir μ sur ₀₀ la branche stable du point selle (Léonard et Van Long, p. 297). La capture correspondante Y p w Z( , , )- μ permet d’atteindre l’état _{0 0} stationnaire. Les conditions suffisantes identifiées ci-dessus sont fortes et non strictement nécessaires. Il est possible qu’une solution stationnaire existe dans le cadre d’hypothèses plus faibles en particulier sur la technologie. C’est d’ailleurs le cas dans l’application.

On s’attend à ce que la gestion correspondante soit sous-optimale, la restriction sur un facteur conduisant les agents à maximiser leur profit sous contrainte. On a pu constater qu’en particulier, les pêcheurs substituent les autres facteurs comme la puissance (des bateaux et des équipements) et le travail (nombre de marins par bateau) au temps de pêche autorisé. On observe alors une perte de revenu net et plus particulièrement de revenu du travail.

Partant de l’analyse précédente, le vecteur des facteurs de production variables X est séparé en deux. X est le vecteur correspondant aux facteurs ₁ toujours libres de s’ajuster et X le vecteur des ₂ facteurs contraints. Pour simplifier la présentation, on considère un seul facteur de production variable ( X au prix w₁ ) et un seul facteur contraint (X₂ au ₁ prix w₂ ).

Le manque de données individuelles détaillées nous conduit à traiter le problème au niveau agrégé en utilisant la fonction de coût de la branche. Comme la seule contrainte sur le choix de chaque patron pêcheur est le temps d’accès à la ressource, on postule qu’il maximise la valeur actualisée du revenu net et choisit les niveaux d’équipement et de facteurs variables en conséquence, sans prendre en compte l’équation dynamique du stock de ressource, puisque c’est encore une ressource commune dans ce cas. Les pêcheurs subissent cependant la fonction de reproduction qui détermine l’équilibre de la branche. Le modèle correspond alors au problème étudié par Gordon (1954) et par Schaefer (1957), mais avec ici des coûts croissants et un facteur rationné. Le problème est une optimisation statique sous la contrainte du facteur rationné.

Les arguments ne peuvent prendre de valeurs négatives. La condition (23) est l’équation d’équilibre de la branche, elle est subie par les pêcheurs et n’est pas une contrainte prise en compte dans l’optimisation. La solution doit satisfaire la condition du premier ordre (24) c’est-à-dire (en supposant '>Y 0) :

et la relation (23). En exprimant (24) sous la forme de la fonction d’offre ' ' 'Y p w X Z Z( , , , ),, sera 1 2 solution de la relation d’équilibre (25) ci dessous :

La fonction de reproduction est positive pour Z Z Z< < et strictement concave et la fonction d’offre restreinte est croissante en Z. L’expression (25) aura par suite zéro, une ou deux solutions pour 'Z, selon les valeurs de p, de w et du rationnement de X. Dans le cas où il y a deux solutions, seule la ₂ valeur supérieure satisfera (22).

Le niveau du facteur variable, évalué au sous-optimum contraint par le niveau du facteur X₂, est la dérivée du coût restreint par rapport à w₁ :

Le prix virtuel du facteur régulé X est l’opposé de ₂ la dérivée de la fonction de coût, par rapport au facteur contraint X, évaluée pour des valeurs ₂ d’équilibre des variables endogènes,

La perte de revenu net permanent dans le cas régulé par rapport à l’optimum est obtenue par la différence entre les niveaux de profit dans les deux situations désignées respectivement par les points '= ' ' ' Y X X Z( , , , ), solution d’équilibre sous 1 2 con trainte du problème II, et E Y X X Z * * * * * ( , , , )=_{1 2}, solution optimale du problème I. À l’optimum, le profit perçu s’écrit :

En E’, le profit sous régulation tient compte de la rémunération du facteur rationné en plus du coût restreint du facteur variable et s’écrit :

Si les points sont voisins, la perte de revenus nets peut être tirée d’une approximation au premier ordre par différenciatio n du profit sous rationnement au point 'E. Pour cela, il est commode d’exprimer d’abord (29) sous la forme de la fonction de coût non restreint évaluée au même point mais en termes du prix virtuel de la contrainte 'w défini par (27) et du coût du facteur rationné, soit ₂ 'w X 2 2.

avec ' ' ' '=X Y w w Z X 2 1 2 2 ( , , , )

L’expressi on (31) ci-dessous décrit l’approximation au premier ordre de la perte du flux de revenus nets procurés par l’activité de pêche en régime rationné par rapport à la situation optimale définie dans le problème I.

La notation '( ) signifie que la fonction de coût non restreinte est évaluée au point 'E. Compte tenu de la condition du premier ordre (24) et du fait que ( )C X X w 2 2 2 '= '=, l’approximation au premier degré de la perte de revenu se réduit à deux composantes : l’effet du stock sur le coût et l’effet dû au rationnement de X₂.

Le signe du second terme est positif si la contrainte est effective, le prix virtuel du facteur 2 étant supérieur au prix réel. Mais le signe du premier terme n’est pas défini de façon générale. S’il n’y avait pas de rationnement dans le problème II, on pourrait montrer que le niveau de 'Z est inférieur à Z^*. En effet, dans ce cas, la fonction d’offre optimale, qui est restreinte seulement en Z et s’écrit Y p w w Z( , , , ) * - μ_{1 2}, ne peut rencontrer la courbe F(Z) qu’en un point où Z est supérieur à 'Z, solution de Y p w w Z F Z( , , , ) ( )'= 'et de la maximisation 1 2 du profit, parce que μ^* est positif et l’offre est décroissante en μ^*. Dans le cas rationné, rien ne prouve que le niveau 'Z de la biomasse ne sera pas supérieur à l’optimum, car on ne peut affirmer en général que la pente par rapport à Z de la fonction d’offre rationnée Y p w X Z( , , , ) sera plus forte 1 2 que celle de la fonction d’offre optimale. En effet, si la contrainte sur le temps de pêche est très restrictive (empêchant une compensation de la perte de capacité de capture par substitution des facteurs libres, avec pour cas limite l’interdiction de pêcher), alors le niveau de la biomasse sous rationnement peut être supérieur à celui de l’optimum. Le signe de l’expression (32) est donc une question empirique.

Compte tenu de l’écart important entre 'Z et Z^*, le calcul direct des deux niveaux de profit a été préféré à l’approximation locale. L’inefficacité du système actuel de régulation par une contrainte sur le temps de pêche autorisé est confirmée par les résultats. Elle se traduit par une perte de revenu net significative pour l’ensemble de la pêcherie.

Sur la base de ces résultats, les pêcheurs choisiraient d’augmenter le nombre d’heures de pêche de près de la moitié (90 heures au lieu des 65 heures autorisées sur l’année observée), en l’absence de la restriction sévère du nombre d’heures de pêche. Par contre, ils utiliseraient beaucoup moins de capital et de salariés. Ils seraient alors moins incités à investir dans des équipements très puissants. Le capital utilisé diminuerait d’un quart, par rapport à la situation où le temps de pêche est restreint. Quant à la main-d’œuvre employée (des matelots), elle devrait baisser de plus de 40 %. Cette nouvelle allocation des facteurs de production permettrait de diminuer les coûts.

Le stock de la ressource augmenterait fortement, réduisant les coûts de capture. Le niveau des captures augmenterait également, ce qui a un effet positif sur les recettes et donc sur le revenu. On vérifie que les pêcheurs régulés par une contrainte sur le temps de pêche choisissent par contre un niveau de capture 'Y (2 781 tonnes) qui correspond à un niveau de biomasse 'Z (7 000 tonnes) proche de celui observé actuellement et à des coûts élevés. À l’optimum ( ) * E le niveau de capture est Y^* (3 667 tonnes), supérieur de 1000 tonnes à celui estimé en 'E. Le niveau optimal de biomasse correspondant Z^* est plus élevé (19 907 tonnes), ce qui fait baisser les coûts d’exploitation.

L’efficacité des QIT a été surtout étudiée dans le cadre d’une approche statique (Squires et Kirkley, 1991; Weninger, 1998). Anderson (1991) a montré dans un modèle statique que l’existence de gros acteurs sur le marché des quotas leur donne un pouvoir de marché susceptible de compromettre les conditions d’égalisation des coûts marginaux. Copes (1986) a aussi mis en doute la capacité des QIT à réguler de façon efficace une pêcherie en soulignant qu’ils rendent plus difficile le suivi de la ressource à cause de l’incitation à la fraude sur les quantités prélevées et débarquées. Boyce (1992) a analysé les conséquences des QIT sur la répartition des captures dans une campagne donnée. Il souligne la tendance à la concentration des captures en début de campagne et les inefficacités qui en découlent à cause des externalités entre agents. Il montre que le système des QIT est en mesure de résoudre les externalités de stock mais pas celles liées à la technique de capture. Il est clair que les QIT ne résolvent pas toutes les inefficacités et tous les problèmes d’une régulation.

Garcia-Gil (1998) a construit un modèle de pêcherie à deux flottes appliqué à la pêche au merlu de la zone ibéro-atlantique et analyse dans un cadre dynamique un problème semblable à celui traité ici. La différence principale est que la technologie y est représentée sous l’angle primal alors qu’ici nous abordons la question sous l’angle dual. L’avantage de l’approche de la fonction de coût est la possibilité d’écrire formellement le marché des quotas et de caractériser plus facilement son équilibre.

Tableau 1
comparaison des situations contrainte et optimale de la pêcherie

avec

sous les mêmes contraintes (1), (8), (10) et la contrainte de non négativité des yⁱ, remplaçant la contrainte (9). Les yⁱ sont les niveaux individuels de capture et Cⁱ (.) les fonctions de coût individuelles (l’indice t est omis pour alléger les notations).

Les mêmes hypothèses sont posées sur les fonctions de coût individuel et la fonction de reproduction. Les conditions nécessaires sont présentées en annexe III. L’analyse de la solution stationnaire est parallèle à celle du problème I et montre qu’une solution unique existe pour μ^* et Z^*, sous les mêmes conditions suffisantes (en particulier les coûts marginaux nuls pour yⁱ = 0et Z > 0). La solution est aussi un point selle sous les mêmes hypothèses que dans le problème I. Les solutions stationnaires pour les captures individuelles optimales doivent alors satisfaire :

Pour la valeur de μ^* et Z^* d’équilibre stationnaire, ces relations définissent de façon unique les niveaux de captures optimales individuelles. En effet, Z^* détermine le niveau global de capture Y^* de façon unique et, comme les coûts marginaux sont croissants par rapport aux niveaux de capture, il n’y a qu’une valeur y^i* des yⁱ qui satisfasse l’égalisation des coûts marginaux pour une somme des yⁱ donnée. Les relations (34) et (35) peuvent se résumer en une seule (36) en tirant de (34) les fonctions d’offre restreinte individuelles y y p w Z i i* * * ( , , )= - μ et en les reportant dans (35).

L’efficacité allocative dans un e gestio n décentralisée de la ressource peut alors être rétablie par la mise en place d’un système de QIT. Il s’agit ici d’un marché de location des QIT en régime stationnaire. Un marché d’acquisition définitive des quotas nécessiterait la prise en compte des anticipations sur le mode de régulation, les prix et le changement technique, et traiterait alors de l’évolution structurelle de la branche.

La possibilité d’échanger les quotas permet aux p êcheurs d ont les co ûts marginaux so nt relativement faibles d’acheter des unités de quota (désignées par eⁱ > 0). D’autres pêcheurs seront prêts à céder en location une partie de leur quota ( )eⁱ < 0 si leurs coûts marginaux sont élevés.

Pour un pêcheur individuel, le prix de marché des quotas est donné si les agents sont suffisamment nombreux pour que le marché des quotas soit concurrentiel. Il est désigné par μ. Le problème du pêcheur individuel est alors de prendre en location ou de mettre en location une quantité de quota suffisante pour avoir un niveau de capture optimisant son profit en tenant compte du prix de location. Le programme d’optimisation du pêcheur en régime de location de QIT est le suivant :

où yⁱ est le quota individuel alloué au départ au pêcheur i. Les conditions du premier ordre sont alors :

où $yⁱ est le niveau optimal de capture pour le pêcheur individuel en présence d’un marché des QIT. La quantité désirée de quotas par le pêcheur i sera alors $eⁱ telle que $ $y y e i i i = +. L’hypothèse que les coûts marginaux sont nuls pour un niveau nul de capture, a pour conséquence que tous les pêcheurs produisent tant que le prix de location est inférieur à p, c’est-à-dire toujours, sinon le profit sera négatif pour tout le monde. La première condition du premier ordre dans (38) est donc satisfaite à l’égalité. Certains pêcheurs i souhaiteront acheter des unités de quotas tant que p C y w Z yi i - - >( , , ) μ 0. Les autres pêcheurs j vont inversement céder des unités de quotas tant que p C y w Z yj j - - <( , , ) μ 0, et ce jusqu’à ce qu’il y ait égalité entre les offres et les demandes de QIT.

En utilisant la monotonicité des fonctions de coût marginal, et en résolvant les expressions (38) pour obtenir les yⁱ, on trouve les fonctions d’offre individuelles en présence d’un marché de location des quotas, soit $ $ ( , , )y y p w Z i i = - μ. Le prix d’équilibre $μ sur le marché des quotas est déduit de l’égalisation entre les fonctions d’offre et de demande de quotas, soit encore entre la somme des offres de capture et le niveau de la capture autorisée totale Y (CAT) :

Le prix d’équilibre du marché des QIT est donné par l’équation (40).

Les fonctions d’offre $ (.)yⁱ, et donc Σ $ (.)yⁱ, sont monotones, croissantes en p et décroissantes en μ, la fonction d’excès de demande de quotas Σ $ (.)eⁱ est donc monotone et décroissante en μ. Il existe alors, pour un niveau du stock donné, un prix de marché des quotas $μ unique, déterminé par l’équilibre entre l’offre et la demande de quotas.

Lorsque la capture admissible totale (CAT) est fixée de façon optimale en Y^* et quand le stock est en Z^*, les quotas individuels yⁱ alloués au départ à chaque pêcheur vérifient Σ y Y i =^*. Le prix d’équilibre $μ des quotas sera alors défini par l’égalité (41). Il est donc égal à la valeur adjointe μ^* de l’équilibre stationnaire puisqu’il vérifie également (36).

En effet, les fonctions d’offre individuelles sont issues des mêmes fonctions de coût évaluées au niveau optimal de la ressource. Elles sont donc les mêmes et sont monotones en p et μ. Ces deux équations sont donc vérifiées pour une même valeur de μ. Pour une CAT optimale de Y^* et un niveau optimal du stock de Z^*, la solution $μ du marché des quotas qui est unique est égale au niveau μ^* donné par l’état stationnaire. Les conditions d’une restauration de l’exploitation optimale par la mise en place du marché de location des quotas sont résumées dans l’expression (42).

tels que

À l’équilibre sur le marché des quotas, la somme des coûts est par suite minimisée. Au niveau optimal du stock et de la capture totale (CAT), solutions de l’optimisation dynamique, correspond une allocation individuelle optimale des captures. Cette allocation peut être assurée par le système des QIT. L’efficacité économique, à la fois dans un sens statique et dynamique, peut être ainsi restaurée par les QIT, dans le cadre de nos hypothèses.

Proposition 2 : Sous les hypothèses (2), (11) et (12), l’état stationnaire de l’exploitation optimale d’une ressource renouvelable par des agents individuels, défini au problème III, peut être assuré par un marché de location des QIT, si le stock et la CAT sont tous deux à leur niveau optimal.

De même que dans le cas du problème I, la trajectoire optimale vers l’état stationnaire, est définie par la branche stable du point selle, dans l’espace ( , )μ Z. Pour Z_t^* et μ_t^*, donnés sur cette branche, il existe une capture totale annuelle Y_t^* optimale. Chaque année, le marché des QIT pour cette CAT optimale définit le prix de location d’équilibre de façon unique et égale à μ_t^*.

Proposition 3 : Une trajectoire optimale ( , , ) * * * Y Z t t t μ convergeant vers l’état stationnaire et partant d’un stock Z Z 0 > $, proche de l’état stationnaire Z*, peut être mise en œuvre par un marché des QIT, en fixant les CAT annuelles aux niveaux Y_t^*, correspondant aux points ( , ) * * Z_{t t} μ vérifiant la branche stable du point selle.

Le graphique 2 illustre la formation de l’équilibre sur le marché de location des quotas dans le cas de deux pêcheurs. Les coûts marginaux sont croissants. La disposition des courbes de coût marginal et la répartition initiale des quotas sont telles que le pêcheur 1 a un coût marginal relativement faible par rapport au pêcheur 2. Chaque pêcheur a un quota yⁱ. La longueur du segment 0 0 est égale à la CAT. La possibilité 1 2 d’échanger des quotas entre les individus incite le premier à acquérir des unités de quotas car son coût marginal évalué au niveau de son quota initial est plus faible que celui du pêcheur 2. Sa rente marginale est plus élevée dans la dotation initiale. Le second, qui a un coût marginal plus élevé au niveau de son quota initial et donc une rente plus faible, sera prêt à céder une partie de ses droits de capture. Tant que le prix du quota offert par le pêcheur 1 sera supérieur à la rente du pêcheur 2, ce dernier tirera un gain des unités cédées. L’équilibre sur le marché des quotas est en A. Il est tel que $ $y y y e y e y y 1 2 1 1 2 2 1 2 + = + + + = +. E n ce point, la surface sous les coûts marginaux est minimisée.

En pratique, lorsque la fonction de reproduction naturelle a un maximum, il y a deux niveaux du stock compatibles avec un niveau de CAT. La fixation de la CAT, au niveau de l’état stationnaire, n’assure pas que l’exploitation soit optimale, s’il n’est pas vérifié que le stock est aussi au niveau optimal. S’il advenait que le régulateur ouvre un marché des licences pour un niveau optimal de CAT, le stock étant inférieur à l’état stationnaire, les courbes de coût marginal seraient décalées vers le haut car le stock a un effet négatif sur le coût marginal.

Cette situation donnerait lieu à un prix de location des quotas plus faible qu’à l’optimum. Le coût total de capture ne serait pas minimisé, le niveau faible du stock obérant les coûts. Le niveau de prix des licences n’est donc pas défini de manière unique par la fixation de la seule CAT. Comme le suggère le bon sens, le quota global ne peut être fixé indépendamment du niveau du stock et de la connaissance de la fonction de reproduction. Un faible prix de location des licences est un indice de surexploitation de la ressource complémentaire à celui du niveau du stock.

Le modèle est appliqué à l’évaluation de la perte d’efficacité qui découle de la régulation d’une pêcherie par un rationnement de facteur. Dans le cas d e la coqui lle Saint-Jacq ues en baie de Saint-Brieu c, la perte de rev enu du e au rationnement du temps journalier de pêche pourrait être de l’ordre de 50 % par bateau.

Avec le même modèle, on a montré que sous les mêmes hypothèses un sys tème de quotas individuels transférables peut restaurer l’optimum, dynamique et statique, en fixant la capture autorisée totale (CAT), au niveau optimal conjoint du stock et de la capture. Les QIT obligent les pêcheurs à prendre en compte les externalités de stock et le coût d’opportunité de la ressource. Le prix d’équilibre de location des QIT est égal à la valeur d’opportunité de la ressource en stock à l’état stationnaire de la solution optimale.

Les conditions suffisantes sont assez restrictives et ne sont pas strictement nécessaires. Elles mériteraient d’être relâchées pour se rapprocher de conditions nécessaires et suffisantes. L’application pratique est limitée par les données disponibles et doit être considérée comme indicative. Enfin, l’efficacité des QIT invoquée ici ne porte que sur la minimisation des coûts dans le cas de rendements décroissants. Elle ne suffit pas à justifier les QIT dans toutes les situations concrètes.

et

En reportant Y p w Z( , , )-μ dans les équations (1) et (14), on obtient le système d’équations différentielles suivant :

Un équilibre stationnaire existe s’il satisfait les relations (A.2) et (A.3) pour &Z = 0 et &μ = 0 et pour des valeurs admissibles de μ, Y et Z, soit :

D’après (15), Y e st nul si p C w ZY - ≤( , , )0 μ, c’est-à-dire par la condition (12) si μ ≥ p. Comme Y ≥ 0 ne peut satisfaire (A.4) quand Z Z>, l’espace des solutions est borné supérieurement par le point ( , )p Z.

On étudie deux points remarquables satisfaisant S Z p Z( , ) : ( , )μ = 0 et ( , )p Z.

alors la valeur de μ est μ^S Z p( ) ≥.

alors la valeur de μ est μ^S Z p( ) ≥.

L’expression (A.4) nous permet de définir une fonction μ^S Z( )telle que :

Comme C_YZ < 0 et C ZYY S > 0, ( )μ est une fonction croissante de Z, lorsque Z se situe au-delà de Z_M. La dérivée de μ^S Z( ) est null e au poi nt Z₁ où F Z C CZ YZ YY ( ) 1 1 0= - > -, c’est-à-dire en un point Z Z_M1 ≤. Comme F_Z est monotone et décroissante, la dérivée de la fonction μ^S Z( ) est négative pour Z Z Z< <₁. La fonction μ^S Z( )a donc une valeur unique pour tout Z et présente un minimum en Z RMS 1 <.

Le long de &μ = 0, les variables μ et Z sont définies par (A.5). Si μ ≥ p et Z ≥ 0, alors Y = 0. D’après les hypothèses (12) sur la fonction de coût, l’expression (A.5) devient ( )r F_Z - =μ 0. Celle-ci est vérifiée si μ = 0 (mais μ ≥ >p 0) ou F r Z =. Il existe donc un point ( , $ )p Z, défini par F Z r Z ( $ ) = > 0 et donc tel que Z ZM > >$ 0, satisfaisant la relation (A.5). Si μ < p et Z > 0 alors Y p w Z( , , )- >μ 0. L’expression (A.5) nous permet de définir une fonction μ^M Z( ) qui est monotone car :

quand Z Z> $

La fonction μ^M Z( ) est donc décroissante en Z, pour les valeurs de μ admissibles, c’est-à-dire inférieures à p. En Z Z C Y p w Z w ZZ = - =$, ( ( , , $ ), , $ )μ 0, ce qui n’est vrai que pour Y p w Z( , , $ )- =μ 0, la valeur de μ est donc μ^M Z p( $ ) ≥. On vérifie, le long de M p( , )μ = 0, que μ reste positive en Z Z=. En effet la relation (A.5) devient :

Com me μ < p, d’a près la condit ion (17), Y p w Z( , )- >μ 0, comme - >C_Z 0 et F Z r( ) < <0, alors la valeurμ^M Z( )vérifiant (A.8) est Z bien positive, pour $Z Z Z< <.

L’intersection des courbes le long desquelles &Z = 0 et &μ = 0 définit donc un unique point d’équilibre ( , ) * * μ Z, où 0 < <μ^* p et $ * Z Z Z< <. En ce point, on a la relation (18).

Le problème I étant du type autonome avec un taux d’actualisation positif, sa solution ne peut être que stable localement et n'être au mieux qu’un point selle (une racine réelle négative). La stabilité locale de l’équilibre stationnaire est étudiée en linéarisant le système d’équations différentielles autour du point d’équilibre. Une approximation de Taylor au premier ordre donne :

où ε μ( , ) * * Z → 0 et '→ε μ( , ) * * Z 0

L’équation caractéristique associée à la matrice définie par

a deux racines. Si ces racines sont réelles, la plus grande est positive et l’autre sera négative si les termes de la matrice, c’est-à-dire les dérivées secondes des fonctions de coût et de reproduction, satisfont :

Une condition suffisante, pour que (A.12) soit satisfaite, est que le Hamiltonien soit concave en Z et Y (ce qui est assuré par nos hypothèses, par ailleurs fortes), et également ou bien que Z Z_M* > ou bien que r soit petit. Dans le cas où r tend vers zéro, si Z Z * <, il en est _M proche, car $Z tend alors vers Z_M. Sous ces deux dernières conditions, il existe donc deux trajectoires passant par l’équilibre stationnaire, l’une stable sur laquelle Z converge vers l’équilibre et l’autre instable. Cet équilibre sta tionna ire est ai nsi st able loca leme nt m ais conditionnellement.

Nous avons fait l’hypothèse que la fonction de reproduction avait une forme quadratique. C’est ce qui est supposé en général dans la littérature sur ce sujet, bien que d’autres fonctions, où la dérivée de la fonction de reproduction par rapport au stock reste positive et décroissante, soient pertinentes dans certains cas. Il n’est pas certain que ce soit la meilleure spécification, mais elle simplifie la résolution analytique et permet de déterminer plus facilement les solutions d’équilibre stationnaire.

où Z est la capacité biotique de la ressource et ρle taux de croissance intrinsèque de la ressource.

Les résultats des estimations sur données globales de la pêcherie sont les suivants : ρ = 0,535, ρ / Z = 0,176x10^-4 . Les t de Student sont respectivement de 3,01 et 2,6. Le R2 est de 0,4 et le Durbin Watson de 2,16. L’ajustement n’est pas très bon ce qui peut être en partie dû à la mauvaise connaissance du stock de biomasse.

La technologie

Le manque de données, pour une estimation correcte de la fonction de coût d’exploitation, nous a conduit à retenir un calibrage, afin de pouvoir évaluer l’inefficacité de la régulation par une restriction du temps de pêche. La technologie de production retenue est de type Cobb-Douglas. Ce choix n’est justifié que pour sa simplicité. Il impose une élasticité de substitution unitaire entre facteurs, sans doute excessive. Cette fonction s’écrit dans le cas présent :

La variable X₀ est le nombre de patrons pêcheurs, supposé fixe (en raison du système de licences de pêche), X₁ représente le travail des matelots, X₂ est le nombre d’heures de pêche autorisées pour l’activité coquille, dont le coût est lié aux consommations intermédiaires correspondantes, X₃ est le capital (représenté par la puissance motrice des bateaux) et Z la biomasse disponible exploitable. Les a_i sont les élasticités associées aux facteurs. s est l'élasticité associée à la biomasse.

La fonction de coût dual associée à cette technologie de production est obtenue en minimisant la somme des coûts des facteurs variables. Dans le régime optimal où les seuls facteurs fixes sont le nombre de bateaux (représenté par le nombre de patrons pêcheurs) et le stock de la ressource, la fonction de coût est :

w_i est le prix du facteur X_i, σ est la somme des élasticités des facteurs variables et du facteur rationné.

Cette fonction de coût fait bien apparaître l’existence d’externalités de stock, puisqu’elle est décroissante en Z. Elle possède les propriétés suivantes, croissante et convexe en Y, croissante et concave par rapport aux prix des facteurs de production et décroissante et convexe par rapport aux facteurs quasi-fixes. Elle est conjointement concave en (Y, Z) si σ + ≤s 1.

Le calibrage sur une année de la fonction de coût ainsi définie et de la fonction d’offre qui correspond à l’état observé sous régulation nous a permis de déterminer des valeurs pour les termes A (2,51.10^-5 ), σ (0,94), s (0,8), a₁ (0,37), a₂ (0,42) et a₃ (0,15).

La fonction de coût (A.15) que nous venons de définir, est équivalente à la fonction de coût (5) si w₃ est défini comme le prix virtuel du capital : w r w 3 = +( )γ.

La solution optimale du Problème I, c’est-à-dire sans aucune régulation, doit satisfaire la condition suivante :

Z^* doit vérifier l’expression ci-dessous :

avec F Z Y( ) * * =

Le fait que nos hypothèses soient trop fortes est confirmé par l’existence d’une solution stationnaire avec des rendements croissants sur l’ensemble des facteurs y compris la ressource.

Les demandes dérivées des facteurs 1,2,3, sont obtenues à partir de la relation (21), évaluées à l’optimum.

Dans le problème II, le facteur X₂ est contraint au niveau X₂. L’expression de la fonction de coût, après minimisation des coûts variables liés à X₁ et X₃, en fixant X X 0 2, et Z est donc :

La solution d’équilibre du problème II devant satisfaire la condition (23) d’équilibre de la branche et la condition du premier ordre (24), on en déduit la fonction d’offre :

Les demandes de facteurs variables, c’est-à-dire l’effectif et le niveau de capital sur l’ensemble de la pêcherie, sont évaluées à partir de l’expression (26). Le prix virtuel du facteur rationné X₂ calculé à l’équilibre sous régulation par rationnement est donné par l’expression (27).

sous les contraintes :

Le Hamiltonien courant de ce problème est défini par :

où μ est la variable adjointe courante associée à l’équation d’état sur le stock de la ressource.

Les conditions nécessaires sont les suivantes :

et

pour i = 1 , ... , n

La valeur du contrôle est

c’est une fonction de p - μ, w et de Z. La fonction d’offre y p w Z i ( , , )- μ définie par (A.26i) est croissante en p et Z et décroissante en μ :

et

En reportant y p w Z i ( , , )- μ dans les équations (A.25) et (A.27), on obti ent le systèm e d’équati ons différentielles suivant :

On peut montrer qu’une solution stationnaire existe si l’on pose les mêmes hypothèses sur les fonctions de coût individuel que celles faites sur la fonction de coût agrégé dans le cadre du problème centralisé. La solution d’équilibre stationnaire est telle que S Z Z( , ) &μ = = 0 et M Z( , ) &μ μ= = 0; elle est définie par les relations (34) et (35). Cette solution est telle que le stock de la ressource se trouve dans l’intervalle ( $, )Z Z.

La stabilité locale de l’état stationnaire est étudiée en linéarisant le système d’équations différentielles autour de l’équilibre, par une approximation de Taylor au premier ordre :

Comme dans le problème centralisé, sous nos hypothèses, l’état stationnaire est un point selle, à la condition suivante :

Une condition suffisante pour que (A.33) soit satisfaite, est que, d’une part le Hamiltonien soit concave (ce qui est assuré par nos hypothèses) et, d’autre part, que la solution Z* se trouve à droite du RMS, ou bien, que le taux d’actualisation r soit petit.