L’objectif de cet article est de montrer comment des méthodes récentes en séries temporelles non-linéaires peuvent être mises en œuvre et quelle peut être leur utilité. Nous étudions plus particulièrement la classe des modèles à seuil. Ces modèles permettent en effet d’engendrer des asymétries, puisqu’ils sont définis par plusieurs régimes aux dynamiques distinctes, qui entrent en action selon la réalisation antérieure du processus par rapport à un seuil. On peut donc espérer, avec de tels modèles, repérer des régularités distinctes dans les phases ascendantes et descendantes. Ces modèles permettent de plus de rendre compte de ruptures de grande ampleur dans l’évolution des variables ou d’ajustements non continus. Par exemple, la présence de coûts fixes conduit les agents à ne pas s’ajuster de manière continue. C’est seulement quand la déviation à l’équilibre atteint un certain seuil qu’il y a ajustement. Ce type de modélisation a été utilisé pour expliquerla dynamique des stocks, des prix ou de l’emploi. La présence d’ajustements discrets peut correspondre aussi aux interventions de politique économique. Par exemple, dans le cadre d’une zone de change, les taux de change peuvent varier à l’intérieur d’une bande, mais s’ils atteignent des valeurs correspondant aux bornes, les Banques centrales interviennent de manière ponctuelle sur le marché des changes. Ces divers exemples illustrent le regain d’intérêt pour la famille des modèles à seuils.

Parmi les modèles à seuil existants, nous retenons ceux dans lesquels la transition entre les régimes est brutale. Ces modèles fournissent un cadre privilégié de l’étude des fluctuations cycliques asymétriques et permettent de révéler les cycles limites et les diverses ruptures. Parallèlement à la modélisation des asymétries cycliques et des changements de comportements, ces modèles ont été utilisés pour traiter des enjeux de non-stationnarité. Ainsi, la non-stationnarité d’un processus (établie dans un cadre linéaire) peut être remise en cause dans un cadre non-linéaire. Cela peut être le cas d’un processus qui suit une marche aléatoire dans une zone centrale mais qui aurait un comportement stable dans les régimes extrêmes (voir Caner et Hansen, 1997). Une application directe de cette littérature concerne l’existence de relations de cointégration qui ne deviennent actives que dans certains régimes, notamment quand le système s’éloigne trop de l’équilibre (voir Balke et Fomby, 1997 ; Martens, Kofman et Vorst, 1998).

Bien que la littérature empirique dans ce domaine soit en pleine expansion, les travaux concernant la spécification de ces modèles n’en sont qu’à leurs débuts. Comme l’intérêt est autant de détecter des non-linéarités que de les caractériser et de les estimer, nous étudierons les tests de linéarité définis contre l’alternative donnée par les modèles à seuil. Il existe en effet d’autres tests de linéarité, décrits dans les ouvrages de Tong (1990) et Guégan (1994), qui ne reposent pas sur une alternative non-linéaire précisément spécifiée. Il est alors difficile de choisir un modèle pour les données étudiées quand l’hypothèse de linéarité est rejetée.

Dans cet article sont présentées deux procédures de spécification distinctes, développées respectivement par Tsay (1989) et par Hansen (1996a). Elles intègrent chacune un test de linéarité contre l’alternative fournie par les modèles à seuil. La difficulté inhérente à ces modèles est la présence de paramètres de nuisance non identifiables sous l’hypothèse nulle de linéarité. Les tests de linéarité ne sont alors pas usuels et requièrent un traitement particulier pour ces paramètres. De même l’estimation de ces paramètres ne peut s’appuyer sur les méthodes usuelles, telle que celle du maximum de vraisemblance. Les deux auteurs proposent alors une procédure de sélection de ces paramètres.

Les deux méthodes présentées ici diffèrent par le traitement des paramètres de nuisance dans la construction des statistiques de tests. Nous proposons alors de comparer leurs performances par une étude à distance finie des propriétés des deux méthodes de tests. Nous effectuons pour cela des expériences de simulations afin de comparer leur taille et leur puissance selon différents paramètres d’intérêt (nombre d’observations, coefficients du modèle). Afin d’illustrer la mise en œuvre de ces méthodologies, mais aussi leur utilité, nous proposons enfin une application empirique. Nous testons la linéarité du processus du taux de croissance du Produit Intérieur Brut de huit pays de l’OCDE, et estimons les dynamiques non-linéaires quand la linéarité est rejetée.

La première partie présente les différentes représentations des modèles à seuil, et discute des difficultés associées à la spécification de ces modèles. La procédure de Tsay (1989), tests de linéarité et détection du seuil définissant les deux régimes, est exposée dans la deuxième partie. La troisième partie présente la procédure de Hansen (1996a). Dans la quatrième partie, nous comparons les deux stratégies de tests à l’aide de calculs de taille et de puissance pour différentes alternatives de modèles à seuil. La cinquième partie est consacrée à une application de ces procédures au taux de croissancedu PIB pour huit pays de l’OCDE.La dernière partieconclut.

Le processus Y_t, supposé stationnaire [2], suit un modèle à seuil à deux régimes défini de la façon suivante :

où ε_t t, n étant le nombre ^j j n ( ), , , ,...,= =1 2 1, deux bruits blancs indépendants de variance σ 2 _{( )}j d’observations X Y Y V V t t t p k = '- - ( ,..., , ,..., ) 1 1, et ( ) Ï• , m m p k= + 1. LesV i k i, ,...,=1 sont Ï• Ï• ( ) ( ) ( ),..., j j j = des variables explicatives. Ce modèle correspond à une régression non-linéaire [3]. Quand X Y Y t t p = '- ( ,..., ), le modèle est alors autorégressif par morceaux et l'on parle de modèle TAR, pour t -1 Threshold AutoRegressive.

La variable de transition, Z_t, est une des variables de X_t, c’est-à-dire une endogène retardée,Y (et d est appelé _{t d-} le paramètre de délai), ou une variable explicative [4]. Le choix de la variable de transition peut être guidé par la théorie économique, mais une solution athéorique est aussi envisageable. Comme nous le verrons ensuite, la procédure de spécification du modèle à seuil permet alors de décider quelle variable retenir.

Le paramètre s est le seuil, pour lequel il y a changement d’état du système. Dans le cadre d’études conjoncturelles, une valeur du seuil égale à zéro définit deux régimes : un régime de croissance positive et un régime de croissance négative. La valeur du seuil fournit une première interprétation économique des régimes définissant la dynamique du processus. Il est donc important de trouver une bonne méthode d’estimation ou de détection de ce seuil.

Lorsque les observations de la variable de transition ont une valeur inférieure au seuil s, la dynamique de Y est caractérisée par les paramètres Ï•_i i m ( ), ,..., 1 0=. Quand la variable de transition prend des valeurs supérieures au seuil, la dynamique de Y est expliquée par les coefficients Ï•_i i m ( ), ,..., 2 0=. Ainsi, la dynamique de Y est linéaire par morceaux et permet de rendre compte de comportements différents selon les valeurs prises par la variable Z. Le modèle dépend ainsi d’une manière non-linéaire du paramètre définissant la variable de transition (le délai) et du seuil. Il est possible d’étendre cette spécification à un modèle àplus de deux régimes en définissant alors plusieurs seuils.

Une écriture équivalente du modèle à seuil (1) est obtenue en introduisant une fonction de transition :

où ε_t est une séquence de bruits blancs i.i.d. qui vaut ε_t^{( )1} 1{Z s t ≤ }+ε_t^{( )2} 1{Z s t > }, et de variance

1{.} est une fonction indicatrice qui vaut 1 quand l’inégalité est vérifiée et 0 sinon. Il existe donc deux régimes distincts et la transition entre ces deux régimes est brutale. Ceci est un cas particulier des modèles à seuil à transition lisse proposés par la suite par Teräsvirta (1994), sous le vocable de modèles STAR pour Smooth Transition AutoRegressive. Teräsvirta considère notamment une fonction de transition de type logistique, [ exp( ( ))]11 + - -^- γ Z s t, qui généralise la fonction de transition brutale. Le paramètre gouverne la vitesse de transition entre les régimes. Plus il est élevé, plus la fonction logistique s’approche d’une fonction indicatrice (voir figure 1).

Avant de présenter les procédures de spécification des modèles à seuil à transition brutale proposées par Tsay (1989) et par Hansen (1996a), quelques stratégies communes aux deux méthodes de spécification sont d’abord énoncées.

Une seconde possibilité consiste à tester un modèle linéaire contre un modèle non-linéaire donné. En effet, pour la plupart des modèles non-linéaires envisagés dans la littérature, on peut définir des contraintes pour lesquelles le modèle devient linéaire. L’hypothèse de linéarité revient alors à tester cet ensemble de contraintes. Dans ce cas, si la linéarité est rejetée, on connaît l’alternative à considérer. Pour ces tests, la présence éventuelle de paramètres de nuisance non identifiables sous l’hypothèse nulle de linéarité conduit souvent à utiliser une approximation du modèle sous l’hypothèse alternative (par exemple, en utilisant un développement limité de la partie non-linéaire). Cette stratégie peut conduire à une situation où le test est puissant contre différentes alternatives [6]. L’estimation du modèle non-linéaire permet alors de conclure quant au choix de l’alternative. Il est important de noter que le non-rejet de la linéarité ne signifie pas forcément que le processus est linéaire, l’alternative peut aussi être mal spécifiée.

Nous choisissons de tester l’hypothèse de linéarité contre l’alternative fournie par les modèles à seuil. Il s’agit alors de tester l’hypothèse nulle suivante :

contre l’alternative fournie par le modèle à seuil (1). Ainsi, le test requiert la spécification préalable du modèle linéaire, i.e. le choix des m régresseurs.

Il faut noter que, sous l’hypothèse nulle delinéarité, le paramètre dedélai – ou la variable detransition – et le seuil ne sont pas identifiables. En effet, la valeur de la vraisemblance du modèle linéaire ne dépend pas de ces paramètres si on suppose que la variance des deux bruits blancs est la même dans les deux régimes. Ainsi, ils peuvent prendre n’importe quelles valeurs sans changer la fonction de vraisemblance. Les tests usuels d’un modèle contre un autre (statistiques de Wald, du ratio de vraisemblance ou du multiplicateur de Lagrange) ne sont alors pas applicables. Face à ce problème, Tsay (1989) et Hansen (1996a) proposent deux méthodes distinctes, comme nous le verrons lors de la présentation de ces procédures. Elles diffèrent notamment quant au traitement du seuil, la variable de transition étant traitée de la même manière. En effet, les deux procédures de test sont développées pour une variable de transition choisie préalablement. Les paragraphes suivants exposent le choix des régresseurs et de la variable de transition.

La variable de transition est alors choisie par une procédure particulière, basée sur les résultats des tests de linéarité. L’idée est que la linéarité sera d’autant plus fortement rejetée que le modèle à seuil est bien spécifié. Ainsi les tests de linéarité sont menés pour une variable de transition donnée. Cependant, celle-ci n’étant pas connue, on construit le test de linéarité pour toutes les variables de transition possibles, i.e. pour l’ensemble des variables X_t ou pour toutes les valeurs du paramètre de délai d telles que1 ≤ ≤d p dans le cas du modèle TAR. On retient ensuite la variable de transition pour laquelle la linéarité est la plus fortement rejetée, c’est-à-dire celle qui minimise la probabilité du test. En effet, le test de linéarité est d’autant plus puissant que la variable de transition est bien choisie.

où K j( ) est l’ensemble { p t n Z_t < ≤ : appartient au régime j}. L’estimateur de la matrice de variance-covariance des coefficients estimés est donné par :

où

et n_j est le nombre d’observations dans le régime j.

Les méthodes de spécification du modèle à seuil proposées par Tsay (1989) et par Hansen (1996) incorporent un test de linéarité et une procédure de détection du seuil. Leur méthode respective est présentée afin d’en souligner les différences et les similitudes. Cette comparaison se poursuit par l’examen des performances de chaque test de linéarité à travers des exercices de puissance.

L’originalité de la méthode de Tsay (1989) est de se débarrasser du paramètre de nuisance (le seuil), dans la logique des tests CUSUM, adaptés aux modèles à seuil par Petrucelli et Davies (1986). Tsay réécrit l’alternative du test de linéarité en réarrangeant toutes les observations selon l’ordre croissant de la variable de transition (voir encadré 1). La régression ordonnée ainsi obtenue est constituée d’une première régression linéaire pour les r observations correspondant aux valeurs de la variable de transition inférieures au seuil. La deuxième régression correspond à l’autre régime (ou aux autres si le modèle (1) est constitué de plus de deux régimes) .

La régression ordonnée (3) est alors estimée de façon récursive (voir Ertel et Fowlkes, 1976 et Tsay, 1989). L’intérêt de cette écriture (et de l’estimation récursive) est qu’elle ne nécessite pas la connaissance du seuil ni du nombre d’observations dans le premier régime (soit r).

En effet, si le processus sous-jacent aux données est linéaire, toutes les observations appartiennent au même régime, les résidus récursifs ainsi obtenus sont des bruits blancs asymptotiquement et sont orthogonaux aux régresseurs. En revanche, s’il existe deux régimes distincts, la suite de résidus récursifs à partir de l’observation correspondant au seuil n’est plus orthogonale aux régresseurs. Elle devient fonction des régresseurs. Dans ce cas, la projection de la série de résidus récursifs sur les régresseurs conduit à des coefficients estimés significativement différents de zéro. Le test de linéarité revient à tester la nullité de ces coefficients. La statistique de test est alors indépendante du paramètre de nuisance s et suit un Fisher standard. Elle dépend par contre du paramètre de délai et du nombre de régresseurs m que l’on suppose fixés pendant le test.

Prenons l’exemple de la statistique de Student afin de donner l’idée de cette procédure : tant que les observations sont inférieures à la valeur du seuil, le modèle est linéaire. De plus, si un coefficient est significatif, son Student converge progressivement vers une valeur au fur et à mesure qu’on ajoute des observations. Quand le seuil est atteint, les estimations changent et la statistique de Student aussi (elle change parfois de direction pour la valeur du seuil). Tsay fait remarquer que les représentations des statistiques de Student sont intéressantes, puisqu’elles indiquent, en plus des changements de direction ou des sauts, la significativité des variables. De plus, le Student de la constante est important dans la mesure où il révèle les changements dans le niveau. L’analyse du coefficient du régresseur correspondant à la variable de transition permet, en plus de localiser le seuil, de repérer la nature de la transition : lisse ou brutale, logistique ou exponentielle.

La détection des seuils consiste alors à localiser les ruptures dans les différentes représentations graphiques. Seule la première rupture est pertinente puisqu’au delà de ce seuil, la régression ordonnée peut être une combinaison de plusieurs régimes. Ainsi, une fois le seuil détecté, il est alors possible de ré-estimer les régressions ordonnées sur les observations pour lesquelles la variable de transition est supérieure au seuil détecté, afin de vérifier s’il n’existe pas d’autres régimes. On retient pour valeur du seuil celle qui minimise le critère AIC (des modèles à seuil) au voisinage de la valeur du seuil précédemment localisé.

En présence de points aberrants, ou outliers, suffisamment importants, les statistiques récursives peuvent être biaisées. Cependant, seuls les points aberrants de signe négatif affectent la procédure de sélection des seuils.

Si la valeur du seuil correspond à une observation qui a servi à l’initialisation des estimations récursives, la méthode de Tsay ne permettra pas d’identifier ce seuil. Ce problème peut arriver aussi si la valeur du seuil est très élevée, de telle sorte que le nombre d’observations intégrées avant la rupture est très grand. Une possibilité est alors de réordonner les observations, non pas dans le sens croissant de la variable de transition, mais dans le sens décroissant. Cependant, Tsay (voir aussi Petrucelli et Davies, 1986 ; Petrucelli, 1990) suggère uniquement le réarrangement des observations selon l’ordre croissant de la variable de transition.

Même si cette méthode n’est qu’une procédure graphique, elle fournit des indications utiles sur la localisation des seuils et sur le nombre de régimes du modèle à seuil.

La statistique de test. Il choisit d’utiliser des statistiques de tests usuelles, telles que LM (Lagrange Multiplier), Wald et LR (Likelihood Ratio), qui vont dépendre de s et de d. Comme ces paramètres sont choisis, non pas a priori c’est-à-dire indépendamment des observations, mais en vue de maximiser la fonction de vraisemblance, le test et sa distribution ne sont pas connus. Parmi les trois statistiques de tests, LM est retenue dans la mesure où elle ne requiert que l’estimation du modèle sous H₀, donc du modèle linéaire.

Pour une variable de transition donnée, on calcule alors une séquence de statistiques LM(s) à partir d’un balayage sur toutes les valeurs possibles du paramètre de seuil s, c’est-à-dire sur toutes les observations de la variable de transition [8].

Le test le plus puissant contre l’alternative de modèles à seuil correspond à la statistique la plus élevée. Ainsi, à partir de cette séquence de statistiques LM(s), Davies (1977) préconise de prendre Sup LM s s ( ), puisque la statistique LM est une fonction monotone du paramètre de seuil. Andrews et Ploberger (1994) montrent que les tests optimaux en présence de paramètres de nuisance non identifiés sous l’hypothèse nulle ont une forme moyenne exponentielle. Les statistiques de test de linéarité utilisées sont : la statistique Sup LM, ainsi que la moyenne de la séquence de statistiques LM (s) obtenue en intégrant par rapport à s (notée ensuite AveLM) et le logarithme de la moyenne de la séquence des statistiques LM(s) transformées de la façon suivante :

(notée ensuite ExpLM). La variable de transition retenue est alors celle qui maximise les statistiques de tests SupLM, AveLM, et ExpLM.

La distribution asymptotique. La distribution asymptotique de ces statistiques n’étant pas connue, Hansen propose de l’approximer par une méthode de bootstrap. Ceci consiste à calculer un point de la distribution asymptotique à partir d’un tirage particulier dans l’ensemble des résidus du modèle. En répliquant cette procédure, on obtient l’estimation de la distribution asymptotique et, à défaut des valeurs critiques qui ne peuvent être tabulées, les probabilités de test correspondantes. On obtient ces probabilités en calculant, parmi les J statistiques de test simulées [9], la proportion de celles qui excèdent la valeur estimée de la statistique considérée.

Ces estimations sont effectuées pour toutes les valeurs possibles du seuil, c’est-à-dire pour toutes les observations de la variable de transition. L’estimation du seuil est alors la valeur qui minimise la variance résiduelle :

Hansen (1996b) propose un intervalle de confiance pour le paramètre s, basé sur la distribution asymptotique de la statistique du rapport de vraisemblance. L’intervalle de confiance est alors donné par :

où c_ξ β( ) est la valeur critique au niveau β tabulée par Hansen (1996b).

Hansen examine la puissance de son test selon la valeur de p ∈ {1,2,3}, de n (100 ou 200), du saut dans la constante ( ) ( ) ( ) Ï• Ï• 01 02 - et du changement de pente ( ) ( ) ( ) Ï• Ï• 11 12 -. La puissance est une fonction croissante du nombre d’observations, du changement dans la constante et du changement de pente. Contre le changement de constante, SupLM est le plus puissant tandis que AveLM est meilleur contre des changements de pente.

Ces exercices de puissance révèlent l’importance du choix de p et l’effet de la correction de l’hétéroscédasticité. La surestimation de p est très coûteuse en termes de puissance tandis que la correction de l’hétéroscédasticité altère la puissance des tests.

Nous proposons ici de comparer les performances des tests de linéarité de chaque auteur par des exercices de calcul de taille et de puissance. Nous adoptons pour cela la méthode graphique proposée par Davidson et McKinnon (1994). Elle comporte en effet plusieurs avantages relativement aux présentations traditionnelles en tableau reportant la taille ou la puissance d’un test pour différentes valeurs des paramètres. Tout d’abord, la représentation graphique fournit de l’information sur l’ensemble de la distribution de la taille ou de la puissance en échantillon fini pour la statistique de test, et non pas sur quelques points uniquement (à 1 %, 5 % ou 10 %). Ensuite, elle permet de visualiser très facilement les différences de performances selon différents paramètres d’intérêt (nombre d’observations, paramètres du modèle, etc). Les résultats sont finalement moins fastidieux à lire que dans un tableau. Un autre point souligné par Davidson et McKinnon (1994) est l’importance de tenir compte de la taille empirique des tests quand on compare leur puissance. Ils proposent alors de construire des représentations graphiques de la puissance en fonction de la taille du test.

Nous calculons la taille des tests en simulant J [10] réplications d’un modèle linéaire. Sur ces séries simulées, nous appliquons les tests de linéarité de Tsay et de Hansen (corrigés et non corrigés de l’hétéroscédasticité) : nous obtenons alors J valeu rs pou r chaq ue statistiqu e de tests, soit T j J j, ,...,=1, avec T = {Q, SupLM, AveLM, ExpLM, SupLMh, AveLMh, ExpLMh} [11] et J valeurs pour les probabilités des tests associés, soit $p^j. Nous calculons finalement la distribution empirique des probabilités des tests de la manière suivante :

Nous choisissons x = 0,001,0,002,..., 0,10,0,15, …, 0,990,0,991,..., 0,999 comme le proposent Davidson et McKinnon (1994).

Le modèle linéaire simulé est le suivant :

Nous étudierons l’influence du nombre d’observations n sur la taille comparée des tests de linéarité, en prenant n = 50,100,200 [12].

Pour calculer la puissance des tests, nous procédons de manière équivalente sur des séries simulées d’un modèle à seuil :

Nous supposerons tout d’abord l’absence d’hétéroscédasticité, soit σ σ NL L = =1. Comme nous l’avons fait remarquer précédemment, la puissance des tests augmente quand le modèle à seuil s’éloigne de l’hypothèse de linéarité. Afin de comparer les procédures de tests selon l’alternative fournie par le modèle à seuil, nous avons retenu soit φ₀ 0 3=, et φ₁ ={0 ; -0,5; -0,9}, soit φ₁ = 0,5 et φ₀ ={0; -0,3; -1} pour n =100.

Enfin, nous étudions l’effet sur la taille et la puissance de surestimer le retard p des modèles linéaire et non-linéaire. Nous retenons alors p = 2 lors de l’application des tests de linéarité pour une valeur de d = 1 (vraie valeur) ou 2.

Comme on pouvait l’imaginer, la puissance des tests augmente quand le modèle à seuil s’éloigne de l’hypothèse de linéarité [17]. Pourφ₀ 0=, le modèle à seuil est très proche du modèle linéaire et la puissance reste proche de la taille. On remarque que la puissance augmente plus vite quand l’alternative s’éloigne de l’hypothèse de linéarité par un changement dans le paramètre autorégressifque par un changement dans la constante. Enfin, on peut noter que les statistiques Exp et Sup sont plus puissantes dans le cas d’un changement dans la constante, alors que Ave donne les meilleures performances dans le cas d’un changement dans le paramètre autorégressif. Alors que la statistique de Tsay est décevante relativement aux statistiques de Hansen dans le premier cas, elle domine Sup dans le second.

Alors que la taille n’était que très peu influencée par une surestimation de p ou de d, on remarque que la puissance est diminuée, tout particulièrement en cas d’erreur sur le paramètre de délai [18]. Cela vient valider le critère de choix de la variable de transition, reposant sur la statistique de test la plus élevée.

Les résultats concernant, d’une part, la présence ou non d’hétéroscédasticité dans le modèle à seuil simulé (σ =1ou 2 sachantσ =1) et, d’autre part, la correction de l’hétéroscédasticité dans la statistique de test, sont _NLL mitigés [19]. Alors que dans le cas d’un changement dans la constante, la présence d’hétéroscédasticité diminue la puissance des tests corrigés ou non, on observe le résultat contraire en cas de changement dans le paramètre autorégressif. De plus, dans ce second cas, corriger l’hétéroscédasticité altère toujours la puissance, qu’il y ait ou non de l’hétéroscédasticité. En revanche, aucune conclusion claire n’apparaît en cas de changement dans la constante (il vaut mieux utiliser SupLMh en l’absence d’hétéroscédasticité et SupLM s’il y a de l’hétéroscédasticité).

Ainsi, à l’issue de ces quelques expériences, il s’avère que les performances des différents tests sont acceptables, mais qu’il est difficile de conclure sur la supériorité de l’un des tests et sur la nécessité de corriger l’hétéroscédasticité.

Tableau 1
moyenne et écart-type des valeurs des seuils estimés

Pour chacune des J [20] réalisations simulées d’un modèle àseuil (cf. section précédente), nous estimons la valeur du seuil par la méthode de Hansen.

Il apparaît [21] que le seuil est estimé de plus en plus précisément quand le modèle s’éloigne de l’hypothèse de linéarité (voir aussi tableau 1). Cependant, dans le cas d’un changement dans le paramètre autorégressif, il apparaît que la procédure de sélection du seuil est peu satisfaisante, puisque la distribution est très étalée.

Ainsi, il apparaît qu’il ne faut pas se contenter de la méthode de minimisation de la variance résiduelle proposée par Hansen pour obtenir une estimation du seuil. La confrontation avec les résultats de la méthode graphique de Tsay paraît indispensable.

L’étude empirique porte sur le PIB de huit pays de l’OCDE : Allemagne, Canada, Espagne, États-Unis, France, Italie, Japon et Royaume-Uni de 1960 :1 à 1996 :4. Les données sont issues de la base Business Sector Data Bank de l’OCDE. Le logarithme du PIB étant intégré d’ordre un selon les résultats des tests de racine unitaire de Dickey-Fuller et de Schmidt-Phillips, les procédures de Tsay et de Hansen sont alors appliquées sur le taux de croissance des séries.

La première étape consiste à déterminer un modèle linéaire de base. Il s’agit de trouver l’ordre du processus autorégressif ajustant au mieux la série. Ce choix est réalisé à l’aide des critères d’information (AIC, BIC, Hannan) et du test de significativité du dernier retard introduit dans la régression. En effet, Tsay préconise de spécifier le retard du processus AR à partir de l’étude des autocorrélations partielles, et non pas uniquement à partir des critères d’information, ceux-ci étant souvent trop parcimonieux (les résultats sont donnés dans la première colonne du tableau 2).

Les résultats des tests de linéarité deTsay, reportés dans le tableau 2, et de Hansen, reportés dans le tableau 3, sont donnés pour la valeur du paramètre de délai d qui maximise la probabilité de rejeter l’hypothèse nulle de linéarité sachant d p≤.

Dans sa procédure, Tsay (1989) propose d’ordonner les observations uniquement dans l’ordre croissant. Cependant, si la valeur du seuil est très élevée, il peut être pertinent de classer les observations dans le sens décroissant. En effet, la procédure ne permet plus de détecter des ruptures quand le nombre d’observations intégrées avant la rupture est très grand (le changement dans la valeur de la statistique considérée devenant alors mineur). Nous choisissons alors d’appliquer la procédure pour des observations ordonnées selon l’ordre croissant et décroissant de la variable de transition. On remarque que les résultats ne sont pas identiques selon l’ordre du classement. En effet, dans le cas du Canada, de la France et du Japon, la linéarité peut être acceptée ou rejetée selon l’ordre retenu. Dans le cas de l’Espagne, l’ordre du classement influe sur le choix du délai.

Tableau 2
résultats des tests de linéarité de Tsay

Tableau 3
résultats des tests de linéarité de Hansen

Ces résultats sont confrontés à ceux obtenus par l’application des tests de Hansen. La première étape de sa méthodologie consiste à tester l’homoscédasticité dans le modèle linéaire. Deux tests sont utilisés ici : le test de Pagan et le test de White. Cette première étape est importante puisque la valeur des statistiques de test de linéarité et l’estimation des écarts-types des paramètres dépendent de la correction ou non de l’hétéroscédasticité.

Il apparaît tout d’abord que la linéarité ne peut être rejetée, selon les deux méthodologies, dans le cas des États-Unis. Ensuite, les tests concluent aux mêmes résultats, i.e. la linéarité peut être rejetée dans la plupart des pays : l’Allemagne, le Canada, l’Espagne, la France, le Japon. Cependant, les résultats diffèrent pour deux pays : alors que les tests de Tsay conduisent à rejeter la linéarité pour l’Italie, les tests de Hansen concluent à un processus linéaire. À l’inverse, dans le cas du Royaume-Uni, la linéarité ne peut être rejetée au seuil traditionnel de 5 % selon les tests de Tsay alors qu’elle l’est à ce même seuil selon les tests de Hansen. Quand la linéarité peut être rejetée, même si les tests sont en désaccord, on peut penser que le processus est malgré tout non-linéaire. Ainsi, nous estimerons le modèle non-linéaire dans tous les cas (sauf pour les États-Unis où la linéarité ne peut jamais être rejetée) et nous comparerons les performances des modèles linéaire et non-linéaire sur la base des estimations. Afin d’estimer le modèle non-linéaire, l’étape suivante consiste à déterminer la valeur du seuil pour le paramètre de délai sélectionné par les tests de linéarité.

Tableau 4
détection du seuil

Pour l’Italie, nous avons estimé deux modèles avec respectivement un et deux seuils. Le critère AIC nous donne cependant un classement qui privilégie la linéarité, puisque le modèle à 3 régimes a le plus grand AIC. En outre, les prévisions basées sur les modèles à seuil sont moins performantes que dans le cadre linéaire. Ce résultat n’est pas surprenant puisque les tests de linéarité de Hansen n’avaient pas permis de rejeter la linéarité [23].

Pour l’Allemagne, la non-linéarité détectée caractérise très peu d’observations (15 %) et apparaît en ce sens peu pertinente puisqu’elle capture presque essentiellement la période de la réunification [24].

Pour le Canada, l’estimation du modèle à deux régimes conduit à séparer les retournements, suite à un creux conjoncturel marqué, des ajustements plus graduels [25]. Ceci se traduit alors par un régime bas à la dynamique explosive (la racine est de module supérieure à 1) regroupant un petit nombre d’observations (au plus un cinquième de l’échantillon). Même si le régime haut est caractérisé par une racine de module inférieure à 1, cette représentation non-linéaire du PIB canadien est globalement instable. Quand bien même les critères d’ajustement favorisent le modèle non-linéaire, son instabilité ne permet pas de le retenir comme modèle explicatif.

Le régime haut regroupe les périodes de chute brutale du taux de croissance, qui suivent des pics marqués (un taux de croissance supérieur à 1 %). Il s’observe essentiellement sur les dix premières années de l’échantillon. En effet, les années suivantes sont caractérisées par une croissance plus lisse du PIB [26].

Tableau 5
Espagne : estimation

Tableau 6
France : estimation

Tableau 7
Japon : estimation

Tableau 8
Royaume-Uni : estimation

Pour les autres pays, le modèle à seuil capture bien la dynamique conjoncturelle du PIB. En outre, les prévisions hors échantillon calculées à partir de ce modèle sont toujours meilleures (au moins jusqu’à un horizon de 1 an).

Tableau 9
prévision (erreur quadratique moyenne)

Les expériences à distance finie ne permettent pas de conclure sur la supériorité de l’une ou l’autre statistique de test. On montre que la statistique de Tsay et SupLM donnent des résultats très proches. Cependant, selon l’alternative choisie, la puissance associée à AveLM domine celle des deux statistiques précédentes.

Nos résultats de tests et d’estimations indiquent que le taux de croissance du PIB en Espagne, en France, au Japon et au Royaume-Uni serait caractérisé par des non-linéarités de type modèle à seuil, contrairement au cas des États-Unis où le processus semble linéaire. Dans le cas de l’Italie, du Canada et de l’Allemagne, malgré des signes de non-linéarités, il semble que les modèles à seuil ne soient pas les plus pertinents pour modéliser le taux de croissance du PIB.