L’irréversibilité partielle et la possibilité de retarder les décisions d’investissement et les décisions de d émantèlement gén èren t u ne optio n d’investissement et une option de désinvestissement (ou démantèlement). Lorsque la firme modifie ses capacités, elle exerce so it son optio n d’investissement, soit son option de démantèlement. Elle renonce alors à la possibilité d’attendre de nouvelles informations susceptibles d’affecter la désirabilité ou la durée de l’investissement. La firme pourra toujours désinvestir si les conditions du marché lui deviennent défavorables, mais elle ne recouvrera pas tous ses coûts. De même, si elle décide de fermer de manière définitive certaines de ses unités et si les conditions du marché lui deviennent favorables, elle ne pourra pas réouvrir sa centrale et sera obligée d’investir dans de nouvelles capacités. La valeur de ses options perdues est un coût d’opportunité qui doit être considéré lors de la prise de décision. L’option d’accroître ou l’option de diminuer les capacités productives du secteur électrique s’inscrit dans le domaine des applications de la théorie des décisions d’investissement irréversibles prises en environnement incertain.

Dans cet article, nous appliquons la théorie des options réelles aux choix concernant le parc électronucléaire français. Le modèle théorique que nous construisons fournit une lecture a posteriori des choix d’investissement qui ont été faits depuis les années soixante-dix et donne quelques éléments de réponse à la question de savoir s’il faudrait aujourd’hui démanteler certaines unités. Cette question est d’actualité puisque, du fait des prévisions passées optimistes sur la croissance de la d emande in térieu re d’électricité, le parc électronucléaire français est actuellement surdimensionné.

La littérature relative aux décisio ns d’investissement irréversibles en environnement économique incertain s’est énormément enrichie durant les dernières décennies avec les contributions de McDonald et Siegel (1986), Pindyck (1988), Caballero (1991), Abel (1983), Smith (1994) et Dixit (1995). Ces auteurs considèrent une firme qui prend des décisions d’investissement totalement irréversibles mais les possibilités de fermer provisoirement ou définitivement les unités productives sont rarement modélisées. Leurs modèles ne peuvent donc pas être utilisés tels quels pour définir les décisions de construction de centrales électriques. Le modèle théorique proposé par Dixit (1989), qui traite simultanément des stratégies d’investissement et de fermeture, et celui de Pindyck (1988), qui considère que certaines unités de capital peuvent ne pas être utilisées sous certaines conditions du marché, sont davantage appropriés aux décisions d’investissement, de démantèlement et de fermeture provisoire que doit prendre le décideur d’une compagnie qui produit de l’électricité. Dans ces deux articles cependant, c’est sur le prix du bien final ou sur la demande que porte l’incertitude et les décision s o ptimales d’investissement et de fermeture sont alors déterminées sous l’hypothèse qu’aucune incertitude ne pèse sur l’évolution des coûts variables. Cette dernière hypothèse n’est pas valable pour le secteur électrique où les effets des aléas relatifs au prix des intrants peuvent être plus conséquents que ceux induits par les aléas de demande.

Par ailleurs, si l’intérêt porte sur les décisions d’investissement et de démantèlement dans des centrales électriques, non seulement les prix des intrants doivent être aléatoires mais de plus le modèle doit inclure des contraintes de capacité et une demande qui puisse être relativement inélastique au prix afin de rendre compte du mieux que possible des caractéristiques spécifiques à l’industrie électrique. Nous proposons donc une version légèrement modifiée du modèle de Chaton (1997) afin d’établir une règle d’investissement et une règle de démantèlement pour des centrales nucléaires. Ces règles sont chacune définies par un seuil du prix de l’intrant, fonction de la capacité installée, et peuvent être résumées ainsi :

investir (désinvestir) immédiatement si le prix courant de l’intrant est inférieur (supérieur) au seuil de prix d’investissement (de démantèlement).

La première partie de cette étude expose les hypothèses du modèle et les données. Les règles de production sont déterminées. Dans la deuxième partie, les règ les d’investissement et de désinvestissement sont définies. Le système d’équations permettant de dériver ces règles n’a pas de solution analytique, plusieurs simulations ont été réalisées. Les résultats de celles-ci sont présentés dans la troisième partie dans le cas d’une application au parc électronucléaire français.

À capacité de production donnée, l’énergie électrique fournie par un moyen de production (nucléaire, charbon, gaz, fuel,...) est déterminée à partir des énergies fournies par les autres types de centrale et de la monotone. En effet, cette énergie est calculée par empilement des moyens de production dans la monotone de charge en fonction de leur ordre de mérite, c’est-à-dire par ordre croissant des coûts de production de court terme.

En France, le parc nucléaire est consacré à la satisfaction de la demande de base (puissance minimale appelée durant une année) et une partie de la demande de semi-base et des exportations. Ces demandes s’élèvent actuellement en France à 35 GWe pour la demande de base et environ à 50 GWe pour la demande de semi-base et peuvent être considérées comme peu aléatoires, contrairement à la demande de pointe (puissances appelées un très petit nombre d’heures dans une année).

Même si la demande d’électricité est réputée peu élastique au prix, le modèle utilisé n’impose a priori aucune restriction sur la valeur de cette élasticité.

Considérons une firme qui produit de l’électricité à partir d’une seule technologie (la technologie nucléaire) pour satisfaire la demande de base et de semi-base. La firme fait face à l’équation inverse de demande

où P est le prix de l’électricité, Q le flux courant de _B bien (l’électricité), Y et δ des constantes et

l’élasticité prix de la demande.

Remarques :

La façon dont les paramètresY, δ et εont été calibrés pour les applications du modèle sera précisée dans la suite de l’article.

Selon l’étude “Les coûts de référence de la production électrique” réalisée par la DIrection du Gaz, de l’Électricité et du Charbon (DIGEC), en mai 1997, la disponibilité des centrales nucléaires s’élève à 84% pour un fonctionnement en base. Cette disponibilité est égale à (1 – le taux d’indisponibilité fortuite)×(1 – le taux d’entretien). Pour les centrales nucléaires, le taux d’indisponibilité fortuite est de 3 %. Le taux d’entretien moyen, fonction du nombre d’heures d’appel, s’élève à 13,4 % pour un fonctionnement en base. Par suite, pour une capacité effectivement disponible de 35 GWe pour un fonctionnement en base, il faut une capacité installée de 41,6 GWe. Le taux d’entretien moyen s’élève à 10% pour une durée d’appel de 5 000 heures. Pour satisfaire les demandes de base et semi-base (50 GWe), en supposant une disponibilité uniforme de 80% au cours de l’année, la capacité installée doit donc s’élever à 62,5 GWe (en 2001 la capacité installée est de 62,95 GWe). Pour une capacité installée K Q c≥ /, la production de Q unités engendre un coût total, noté C(Q, K, P ), où P est le prix de l’uranium. Ce coût total (hors coût d’investissement) est supposé être une fonction séparable des coûts d’opération, notés CV, et des coûts d’exploitation, notés CF. Ces deux coûts sont définis comme suit

et par conséquent C(Q, K, P) = bPQ + aK.

La valeur des coûts est calibrée sur celle des coûts des futures centrales nucléaires françaises. Ces valeurs (voir tableau 1) ont été extrapolées de l’étude DIGEC (1997). Ce coût de production hors investissement (le coût d’opération 0,0027 × 400 plus le coût d’exploitation 6,6 centimes de franc par kilowatt heure (cF/kWh) est évalué à 7,68 cF/kWh pour un kg d’uranium à 400 F. Les coûts d’exploitation englobent ici les charges d’exploitation et le coût fixe lié, entre autres, à l’immobilisation du combustible dans le cœur.

Les décisions de production sont faites en environnement certain. Cette hypothèse est vérifiée, si nous nous intéressons au secteur électrique. En effet, le producteur connaît le prix du combustible qu’il utilise pour générer de l’électricité. De plus, l’électricité est un bien qui ne peut pas être stocké. En conséquence, il ne peut pas décider de produire maintenant sous prétexte que demain le prix de l’intrant va augmenter. Il pourrait au mieux stocker les combustibles. Nous supposerons ici qu’il n’en est rien. De même, pour simplifier l’analyse, l’ouverture à la concurrence du marché de l’électricité n’est pas considérée.

Tableau 1
paramètres économiques de l’installation

Lorsque le prix courant de l’intrant est égal à P et si la capacité installée est K, le surplus social maximal est donné par S(K,P) = max (U(Q) – C(Q,K,P)) sous les contraintes 0 ≤ ≤Q cK.

Trois cas sont à envisager :

alors l’équipement est utilisé à pleine capacité. La production optimale est alors Q cK 1* = et le surplus social net maximal est

Si

alors l’équipement est partiellement utilisé. La production est alors

et la valeur maximale du surplus social est

Enfin, sous l’hypothèse que

le niveau de production est nul, Q₃ 0 * =, et le surplus social net maximal négatif est

Les hypothèses faites sur les formes fonctionnelles des fonctions d’offre et de demande d’électricité nous permettent d’identifier la valeur maximale que le paramètre d’échelle Y peut prendre. Le raisonnement est le suivant : à parc de production électrique donné (nucléaire, charbon, gaz, fuel), l’énergie qui peut concurrencer le nucléaire est le charbon. En effet, les centrales au charbon suivent les centrales nucléaires dans l’ordre de mérite (type de centrales ayant les coûts variables les plus faibles après le nucléaire). Sous l’hypothèse que le coût de production des centrales à charbon s’élève à 13,3 cF/kWh (coût d’exploitation 4,1 cF/kWh + coût du combustible 9,2 cF/ kWh), compte tenu du coût fixe de production et du paramètre de coût variable pour les centrales nucléaires, il est préférable de faire fonctionner les centrales au charbon avant les centrales nucléaires si le prix de l’uranium est supérieur à (13,3 – 6,6/0,84)/0,0027 soit 2015 F/kg. À titre d’indication (voir graphique 3) ce raisonnement a été effectué sur les données issues des historiques des exercices PEON (la commission PEON est une commission consultative pour la production d’électricité d’origine nucléaire) et DIGEC. Jusqu’en 1974, l’énergie concurrente du nucléaire était le fuel. À partir de 1976, le coût futur de production (hors coût d’investissement) des centrales nucléaires est comparé au coût futur de production des centrales au charbon. Les pics correspond ent au premier choc pétro lier (1973-1974), au second et à l’après-choc (1979-1984).

Sous l’hypothèse que les capacités des centrales au charbon soient suffisantes pour satisfaire la demande de base, que le coût de production des centrales à charbon s’élève à 13,3 cF/kWh et si les valeurs des paramètres deδetεsont celles du tableau 2, on déduit du cas, évoqué ci-dessous, dans lequel l’entreprise ne produit pas

que Y < 5 4, [1]. Dans la suite de l’étude, on prendra Y = 6.

D’après les données de l’étude DIGEC, le coût d’investissement est évalué à 10800 F/ kW pour un taux d’actualisation à 5%. Il comprend les coûts de construction, les frais de maîtrise d’œuvre, les frais d’exploitation et les aléas sur le planning. Les coûts de démantèlement sont estimés à 15 % du coût complet d’investissement, soit 1620 F/kW.

Par hypothèse, ce prix, exogène, suit le mouvement brownien géométrique suivant

où dz est l’incrément d’un processus de Wiener, la constanteα est le paramètre du taux de croissance du prix de l’intrant et la constante σ est le paramètre de variance proportionnelle. Cette forme fonctionnelle permet de décrire l’évolution d’une variable toujours positive, tel les prix.

Soulignons que plusieurs marchés de l’uranium existent et donc plusieurs prix. Il est possible de distinguer les prix dit « de contrats » qui concernent les échanges sous contrat à long terme et les prix « spots » valables pour les transactions de très court terme. Les contrats long terme sont signés cinq à dix ans avant la livraison. Ils font l’objet de rajustement au moment de cette livraison afin de tenir compte de l’évolution du marché et de la tendance des prix spots. Dans la mesure où le nombre d’intervenants (acheteurs et vendeurs) est limité, il est difficile de d issimuler dans une valeu r moy enne les informations à caractère commercial. Ceci peut expliquer pourquoi il n’y a pas de données statistiques officielles portant sur les prix de contrats. Toutefois, il est possible d’avoir certaines informations éparses dans la presse spécialisée (par exemple «Nuclear Fuel »). Bien que les prix spots ne concernent que quelques pourcentages en volume de transactions, ils ont des impacts sur le marché. En effet, ils servent d’indicateur à l’établissement des prix des contrats long terme. Ces prix font l’objet de publication par NUKEM. De plus, le Commissariat à l’Énergie Atomique (CEA) publie, tous les ans, dans son « Mémento sur l’Énergie » les prix moyens de l’uranium pondérés des contrats à long terme et les prix moyens annuels des échanges à court terme. Ne disposant pas de données suffisantes pour estimer les paramètres de spécification de prix, une forme fonctionnelle facilitant les calculs analytiques a été retenue, à savoir le mouvement brownien géométrique (équation (5)). Les valeurs des paramètres ( , )α σ du processus de prix ainsi que celles des paramètres δ et ε de la fonction de demande ont été calibrées en supposant que les décisions passées d’investissement étaient optimales compte tenu des informations disponibles et des prévisions (optimistes) de l’époque.

avec

Le taux de croissance espéré du prix de l’intrant, α, doit être inférieur au taux non risqué, r. Dans le cas contraire, il n’y aurait pas d’optimum car l’attente serait toujours une meilleur politique que l’investissement ou le démantèlement. En effet l’intégrale

serait indéfinie.

Soit W (K, P) la valeur maximale de la fonction objectif définie ci-dessus, en fonction de l’état initial (K, P), c’est-à-dire la fonction valeur de Bellman. Une variation du capital d’un montant dK génère un coût irrécupérable P_v dK et modifie la fonction valeur d’un montant W K P dKK ( , ).

La politique optimale d’investissement et celle du démantèlement de certaines unités productives vont être déterminées à l’aide de deux seuils de prix.

P K inv ( ), le seuil de prix pour l’investissement, c’est-à-dire pour tout prix de l’intrant situé en dessous de ce seuil d’investissement il est optimal d’accroître à la marge les capacités de production.

P K abon ( ), le seuil de prix pour la fermeture permanente, c’est-à-dire pour tout prix de l’intrant situé au-dessus de ce seuil de fermeture il est optimal de réduire à la marge les capacités de production.

Sur l’intervalle ] ( ), ( )[P K P K inv abon la firme n’a pas intérêt à modifier ses capacités. Puisque rien ne prouve que la firmefermera ses portes si et seulement si sa production est nulle, les deux cas suivants doivent être considérés.

Cas 1 : La firme peut fermer certaines de ses unités même si sa production est positive.

Cas 2 : La firme peut fermer certaines de ses unités seulement si sa production est nulle.

Par suite, il y aura deux systèmes de quatre équations à résoudre où les inconnues seront les deux seuils de prix et les valeurs marginales des options d’investissement et de démantèlement. Il sera constaté que ces deux systèmes sont équivalents. En conséquence, aucune hypothèse relative à la région de démantèlement n'aura besoin d’être imposée.

Posons

Cas 1

Dans ce cas, on a P K P abon B ( ) ( )< 0. Donc, lorsque le prix courant de l’intrant, P, est dans l’intervalle défini par ] ( ), ( )[P K P K inv abon (c’est-à-dire lorsqu’il est optimal que la capacité productive reste constante), l’espérance de l’utilité sociale actualisée s’écrit

avec

( preuve : voir annexe )

L’interprétation économique des différents termes des égalités (8) et (9) est la suivante.

La somme des deux derniers termes du membre de droite de l’équation (8) est l’espérance du surplus social actualisé,

Or, ceci sous-estime le surplus social. En effet, la firme peut avoir intérêt, dans le futur, à investir, à ne pas produire à pleine capacité ou à démanteler certaines unités de production. Par suite, la somme des deux premiers termes du membre de droite de (8) représente la valeur additionnelle

La somme des trois derniers termes du membre de droite de l’équation (9) est l’espérance du surplus social actualisé s’il y a toujours surcapacité et pas de modification de cette capacité. Mais la probabilité qu’à certaines dates futures le processus du prix de l’input devienne inférieur à P cK( ) ou supérieur à B P K abon ( ) est positive. Par suite, utiliser entièrement la capacité, investir ou démanteler peut devenir optimal. En conséquence, la somme des deux premiers termes du membre de droite de l’équation (9) représente la valeur actualisée espérée des flux futurs générés par la possibilité :

Sur la frontière où il devient optimal d’investir, P K inv ( ), la valeur de l’espérance actualisée de l’utilité sociale de l’unité marginale est égale au coût de cette unité marginale, soit

De plus, la fonction W doit respecter la condition de « lissage » (smooth pasting), ce qui donne

Sur la frontière où il devient optimal de fermer à la marge une unité productive les conditions de continuité (« value-matching ») et de lissage doivent aussi être vérifiées. Ainsi

D’autre part, la fonction valeur ne peut pas changer de manière abrupte entre les deux régions de prix délimitées par

Parsuite, on a

Des équations (14) et (15) on obtient

avec

Les conditions de continuité et de lissage (équations (10)-(13)) permettent d’écrire le système S1 (voir annexe) qui doit être résolu pour déterminer les seuils P K inv ( ) et P K abon ( ). Ce système n’a pas de solution analytique. Des simulations seront effectuées dans la prochaine partie afin de déterminer les seuils de prix de l’intrant.

Cas 2

Dans ce cas, on a P K P abon B ( ) ( )> 0. Par suite, lorsque le prix courant de l’intrant est dans l’intervalle défini p ar ] ( ), ( )[P K P K inv abon, (c’est-à-dire lorsqu’il est optimal que la capacité productive soit constante), l’espérance de l’utilité sociale actualisée s’écrit

avec

De plus, les conditions de continuité et de lissage (voir annexe) donnent

avec

et la valeur de C (respectivement C_s ) est définie par _i l’équation (18) (respectivement (19)).

L’interprétation économique des différents termes des équations (21)-(23) est la suivante.

L’interprétation de la somme des deux derniers termes du membre de droite de l’équation (21) est la même que dans l’équation (8). La somme des deux premiers termes du membre de droite de (21) représente la valeur additionnelle :

La somme des trois derniers termes du membre de droite de l’équation (22) est l’espérance du surplus social actualisé s’il y a toujours surcapacité, production et aucune modification de capacité. Mais, la probabilité qu’à certaines dates futures le processus du prix de l’input devienne inférieur à P cK( ) ou supérieur à P ( )0 est positive. Par suite, B_B dans le futur, investir, utiliser entièrement la capacité, ne pas produire ou démanteler peut être optimal. En conséquence, la somme des deux premiers termes du membre de droite de l’équation (22) doit représenter la valeur actualisée espérée des flux futurs générés par la possibilité :

La somme des trois derniers termes du membre de droite de l’équation (23) est l’espérance du surplus social actualisé s’il n’y a aucune production et pas modification de capacité. Or, la probabilité qu’à certaines dates futures le processus du prix de l’input devienne inférieur à P ( )0 ou supérieur à P^abon (K) _B est positive. Par suite, produire (à pleine capacité ou non), investir ou démanteler peut être optimal ultérieurement. En conséquence, la somme des deux premiers termes du membre de droite de l’équation (23) doit représenter la valeur actualisée espérée des flux futurs générés par la possibilité :

La résolution du système S2 (voir annexe), lequel est défini à partir des conditions de continuité et de lissage, permet de déterminer les seuils P K inv ( ) et P K abon ( ).

Remarque : Les systèmes S1 et S2, situés dans l’annexe, qui permettent de déterminer les seuils de prix dans les deux cas, sont équivalents. Par conséquent, aucune hypothèse quant à l’état de la production n’a besoin d’être faite pour déterminer les seuils de prix définissant les zones de démantèlement, d"inaction" au sens de la variation des capacités et d’investissement.

Sauf cas signalé dans ce qui suit, les valeurs de δ ε α, , ,r et σ sont résumées dans le tableau 2 et K est égale à 41,6 GW. Ces paramètres ont été calibrés en su pposant q ue les décisi ons p assées d’investissement étaient optimales compte tenu des informations disponibles et des prévisions de l’époque. Cela signifie que pour les années d’investissement, le prix courant est en dessous du seuil d’investissement. Ce seuil d’investissement, détermine un niveau de prix seuil en dessous duquel il est optimal d’investir (c’est-à-dire si le prix courant de l’uranium est en dessous de ce seuil alors il optimal d’investir immédiatement). Une simulation des règles optimales passées et leur comparaison avec les décisions qui ont été prises nous conduisent à retenir α σ= =0 069 0 38, , , et r = 7 % [2].

Tableau 2
paramètres de demande, du processus de prix et taux d’intérêt

Compte tenu des informations et estimations passées, nous obtenons le graphique 4. Les seuils d’investissement ont été déterminés en fonction de la capacité installée de l’année considérée pour satisfaire en partie (jusqu’en 1985) ou entièrement la demande de base.

D’après les résultats, en retenant les valeurs des tableaux 1 et 2, compte tenu du prix courant de l’uranium (300-400 F/kg) il est optimal de ne pas modifier la capacité actuelle (62,950 GWeen 2001).

Évidement, comme l’intuition nous le suggère, les deux fonctions P K inv ( ) et P K abon ( ), décroissent lorsque la capacité installée croît (cf graphique 5) et la limite entre les deux seuils de prix lorsque la capacité installée tend vers l’infini est nulle. Par suite, une plus grande capacité réduit la région où le niveau de la capacité doit rester constant. En effet, lorsque la capacité installée tend vers l’infini, le seuil de démantèlement ten d vers le seuil d’investissement et le seuil d’investissement tend vers zéro (cf graphique 10.a). En conséquence, même pour un prix de l’intrant relativement faible, il est optimal à la marge de diminuer la capacité.

Le graphique 6 montre qu’une augmentation du paramètre de taux de croissance, α, du prix de l’intrant, P, déplace vers le haut les seuils de prix, donc accroît « la valeur de la capacité optimale ». Notons que le seuil de démantèlement croît plus fortement que le seuil d’investissement (graphique 11.b). En conséquence, dans ce modèle, un accroissement du paramètre du taux de croissance de l’intrant accroît la région où la capacité doit rester constante.

Un paramètre de variance proportionnelle, σ, plus élevé accroît le prix de l’intrant en dessous duquel il est marginalement optimal d’investir, P K inv ( ) et accroît le prix de l’intrant au-dessus duquel il est marginalement optimal de démanteler, P K abon ( )

(voir le graphique 7). La croissance du seuil de démantèlement est plus forte que celle du seuil d’investissement. En effet, le seuil de démantèlement dépend fortement de la volatilité. Par conséquent une incertitude plus grande quant au prix de l’intrant accroît l’investissement, retarde le démantèlement et élargit la région où la capacité doit rester constante. Ceci est contre-intuitif.

U ne an alys e d e s ensib ilité des seuils d’investissement et de démantèlement par rapport au paramètre δ de la fonction de demande a permis de montrer que ces seuils sont des fonctions constantes de δ.

Comme l’intuition le suggère, les deux seuils de prix sont des fonctions croissantes de Y (cf. graphique 8). Plus Y est élevé, plus la pente de ces fonctions est faible. La zone où il est optimal de ne pas modifier la capacité est une fonction croissante de Y (cf. graphique 11.c).

Une augmentation du paramètre ε (paramètre de la fonction de demande), diminue l’élasticité de la demande. En effet

Donc, d’après le graphique 9, plus la demande est élastique, plus le prix de l’intrant en dessous duquel il devient optimal, à la marge, d’investir est haut, et plus le prix de l’intrant à partir duquel il est optimal, à la marge, de démanteler est élevé. Et, plus la demande est élastique, plus la zone où il n’est pas optimal de modifier la capacité est large (cf graphique 10.e).

Finalement, une augmentation du taux d’intérêt induit une décroissance des prix critiques (graphique 9). La raison est qu’une augmentation de r réduit la valeur actualiséedu coût d’investissement et celle du coût de démantèlement, par conséquent décroît le coût d’opportunité d’augmenter immédiatement la capacité, et accroît le coût d’opportunité de diminuer immédiatement la capacité. Cela implique que le prix courant de l’intrant doit être plus faible. Ainsi, comme dans les modèles standards, un taux d’intérêt plus élevé se traduit par une diminution de l’investissement. Il se traduit aussi par une augmentation des démantèlements. Par conséquent, un taux d’intérêt plus élevé réduit la zone d’inaction en terme de capacité.

Ces règles ont été calculées pour le parc électronucléaire français. Compte tenu du prix courant de l’uranium et sous les hypothèses relatives à la spécification des fonctions de demande et de prix de l’intrant, il est optimal actuellement de ne pas modifier les capacités électronucléaires françaises. Ce résultat a toutefois été obtenu sous un nombre d’hypothèses, théoriques et empiriques, assez restrictives : la durée de vie des équipements a été supposée infinie, il n’y a pas d’indivisibilité et les délais de construction n’ont pas été pris en compte. Lever ces hypothèses peut constituer une piste de développement du modèle et permettrait de se rapprocher de la réalité. Soulignons que la prise en considération simultanément des durées de vie, des durées de construction et de la possibilité de choisir entre les centrales nucléaires et un autre type d’équipement (par exemple les cycles combinés au gaz) pourrait conduire à ne pas renouveler le parc nucléaire en totalité. En effet, la compétitivité du nucléaire en semi-base pouvant alors être remise en question (cf. l’article de Epaulard et Gallon dans ce numéro). Enfin, la plupart des paramètres du modèle ont été calibrés sous l’hypothèse que dans le passé les décisions d’investissement avaient (en moyenne) été optimales. Cette hypothèse était ici nécessaire du fait de l’absence de données suffisantes sur les prix du combustible nucléaire des contrats à terme.

D’autres conclusions, plus générales, découlent du modèle théorique. La principale conclusion est qu’un accroissement de l’incertitude facilite l’investissement, retarde le démantèlement et élargit la plage d’inaction en termes de modification des capacités.

Notons que des simulations ont été effectuées avec un paramètre du coût d’opération (b) excessivement plus élevé que celui retenu dans l’étude et une capacité initiale plus faible (ce qui est le cas pour les centrales thermiques classiques). Les seuils varient de la même manière que dans le cas étudié ci-dessus sauf pour le paramètreβ. Contrairement aux résultats obtenus en considérant le parc électronucléaire, avec une part plus importante du coût variable dans le coût total, un accroissement du paramètre de croissance du prix de l’intrant génère une diminution des seuils d’investissement et de démantèlement. En conséquence, on ne peut pas conclure qu’une augmentation de α (la partie déterministe du taux de croissance de l’uranium au cours du temps) augmente ou diminue l’investissement et le démantèlement.

L’équation de Bellman associée au programme

avec

Dans la région où il n’est pas optimal de modifier la capacité de production s’écrit

En utilisant le lemme d’Ito pour développer le terme de droite, en simplifiant, divisant par dt et en prenant la limite lorsque dt tend vers 0, on obtient l’équation différentielle suivante, que doit satisfaire W (K, P) :

avec S(K, P) le surplus social maximal défini dans la deuxième section de la première partie.

La solution générale de l’équation homogène associée à (31), supposant que r >0 pour des raisons de convergence, peut s’écrire

avec

Si bP K bP P cK inv E ( ) ( )≤ <, on vérifie que

est une solution particulière de l’équation (31), où P est le niveau actuel du prix de l’intrant. Par suite, dans le cas où les inégalités suivantes bP K bP P cK inv B ( ) ( )≤ < sont vérifiées, la solution générale de l’équation (31) est W K P s ( , ).

Si P cK bP bP KB abon ( ) ( )≤ <, on vérifie que

est une solution particulière de l’équation (31), où P est le niveau actuel du prix de l’intrant. Par suite, dans le cas où les i nég ali tés sui vant es P cK bP bP KB abon ( ) ( )≤ < sont vérifiées, la solution générale de l’équation (31) est W K P ns ( , ).

Et par suite, dans le cas 1, on a

Preuve de (20)–(23)

La détermination de W K P s ( , ) et W K P ns ( , ) se fait de la même façon que dans la preuve précédente. D’autre part, on a, dans le cas où les inégalités suivantes sont vérifiées P cK bP bP KB abon ( ) ( )≤ <, comme solution particulière de l’équation (31)

Donc dans le cas 2, on a

Dans le cas 2, les conditions de bord suivantes doivent être vérifiées.

Des équations (33)-(40), on obtient les équations (24)-(29).

Système S1

Système S2