En effet, pour protéger les assurés d’une faillite de leur compagnie d’assurance qui serait provoquée par une composition de l’actif excessivement risquée permettant de satisfaire des promesses de rendements, le Code des Assurances a plafonné le rendement garanti des contrats d’assurance-vie en francs [1]. En contrepartie, les compagnies ont l’obligation de distribuer au moins 85 % de leurs bénéfices financiers [2] liés à leur activité de placement (actions, obligations, immobilier ou prêts).

Le plan de l’article est le suivant : nous présenterons dans un premier temps le modèle reliant les éléments d’un contrat d’assurance-vie au bilan des compagnies (première partie) ; dans une seconde partie, nous illustrerons cette « relation » en faisant varier les différents paramètres du modèle pour conclure sur l’opportunité de la réglementation sur la participation aux bénéfices.

On souhaite modéliser le bilan d’une compagnie d’assurance qui ne propose que des contrats en francs, assortis d’un rendement garanti r et d’un ₀ taux de participation aux bénéfices δ. Le rendement attendu par l’assuré s’écrit donc comme la somme de ces deux rémunérations :

avec r le rend ement garanti du co ntrat _CA d’assurance-vie et r le taux apparent de l’actif de l’assureur.

De façon générale, les actionnaires et les créanciers d’une société ont des exigences différentes (conflit « d’agence ») : la responsabilité limitée des actionnaires les incite à préférer les placements plus rentables mais plus risqués, au contraire des créanciers qui tendent à privilégier la sécurité de leurs investissements. Les créanciers d’une société, qui ne sont pas protégés par le droit de la responsabilité limitée en cas de faillite de leur débiteur, exigent en contrepartie une « prime de risque » sur la rémunération de leurs engagements. Dans le cas d’une compagnie d’assurance-vie, la prime de risque exigée par les créanciers (i.e. les assurés) s’intègre dans la rémunération de leur contrat d’assurance.

Nous faisons l’hypothèse que la politique de distribution des bénéfices financiers de la compagnie est connue des assurés. Dans ce cas, cet assuré « informé » peut arbitrer entre le taux garanti et la participation aux bénéfices de façon à satisfaire sa prime de risque. Sous cette hypothèse, il existe une relation inverse entre le rendement garanti et le taux de participation aux bénéfices : en effet, à risque de faillite inchangé, une hausse du rendement garanti aux assurés devrait inciter ces derniers à se montrer moins exigeants sur le taux de participation aux bénéfices adopté par l’assureur ; à l’inverse, toutes choses égales par ailleurs, la pratique d’un taux de participation aux bénéfices plus élevé devrait permettre à l’assureur de satisfaire la rémunération du risque exigée par l’assuré en lui garantissant un rendement plus faible. Ainsi, le taux de participation aux bénéfices devrait, en théorie, s’ajuster au taux garanti.

On modélise le bilan de l’assureur de façon à présenter les différents cas de figure auxquels l’assuré peut être confronté. À la date t = 0 (correspondant à la d ate d es décis ions d’investissement), nous résumons ce bilan de la façon suivante :

où α est le levier financier, c’est-à-dire qu’il représente la part de la dette (i.e. les provisions mathématiques) dans le passif.

À l’échéance du contrat, à la date T, les provisions mathématiques L_T^* (c’est-à-dire l’engagement de la compagnie envers l’assuré) sont revalorisées au taux garanti( ) * L L e T r T =₀0. S’agissant de la participation aux bénéfices, elle est égale à la valorisation des actifs venant en représentation des provisions mathématiques ( ( ) )α A A-, déduite des intérêts T₀ crédités à ces provisio ns mathématiques ( ( ) ) * L LT -₀, et ajustée du taux de participation δ. Cette PAB s’écrit donc :

On peut distinguer, selon la valeur A du portefeuille _T d’actifs de la compagnie en fin de période, trois situations pour l’assuré (cf. tableau 1) :

Dans ce cas,

Ainsi, les fonds propres n’ont plus aucune valeur si l’entreprise est en faillite (situation 1), valent E A LT T T = -^* lorsque l’entreprise ne sert que le taux garanti (situatio n 2 ) et se rédu isen t à E A L A LT T T T T = - - - * * [ ]δ α lorsque l’entreprise sert le taux garanti et distribue des bénéfices financiers (situation 3).

De façon générale, les fonds propres d’une entreprise peuvent s’interpréter comme une option d’achat « cachée » [3] : les actionnaires, protégés par leur responsabilité limitée, détiennent l’équivalent d’une option d’achat (call) sur les actifs. En effet, si à la date de clôture du bilan la valeur de l’actif est supérieure à la valeur de la dette, les fonds propres de la société correspondent à la différence entre la valeur de l’actif et celle de la dette ; en revanche, si l’actif ne permet pas de rembourser la dette, les actionnaires exercent leur responsabilité limitée et la valeur des fonds propres devient nulle. Ainsi, formellement, la valeur des fonds propres est Max Actif Dettes[ ]- 0.

S’agissant d’une compagnie d’assurance-vie, le raisonnement n’est pas exactement binaire, puisque comme on l’a vu précédemment, la compagnie est confrontée à trois situations possibles. Dans les trois cas de figure, la valeur des fonds propres à la date T peut toujours s’écrire sous la forme suivante :

A_t et E_t étant des martingales, on a donc à tout instant t = 0, ..., T :

Sachant que E_t [ / ]Ω correspond à l’espérance mathématique conditionnelle à l’ensemble d’information Ω_t, et qu’à chaque date t les provisions mathématiques sont égales à L_T^*.

Au total, il apparaît que la formule synthétique des fonds propres d’une compagnie d’assurance-vie, qui résume les trois cas auxquels l’assuré peut être confronté, s’écrit comme la différence de deux options d’achat :

Cette fo rmulation permet de prendre en compte, d’une part, l’option des actionnaires de ne pas tenir leurs engagements en cas de faillite (son prix est noté C A L t T ( ; ) * ) et, d’autre part, l’option d’achat sur les revenus distribués (dont le prix est C A L t T ( ; ) * α ).

Nous supposons, pourdes raisons pédagogiques, que les options sont européennes : implicitement, cette hypothèse signifie notamment qu’il n’y a pas de possibilité de remboursement anticipé dans le contrat d’assurance. Alors, sous l’hypothèse que la rentabilité de l’actif suit une loi normale [4], la valeur de ces deux options d’achat peut être déterminée par la formule de Black-Scholes :

o ù

et

et,

où

avec N d( ) la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

Tableau 1
les «trois configurations» du bilan d’un assureur-vie

Partant des expressions (4), (5) et (6), il est alors possible d’en déduire une relation entre le taux garanti, la participation aux bénéfices, l’effet levier et les caractéristiques de l’actif. À partir de l’évaluation synthétique des fonds propres, on peut en déduire pour la date t = 0, c’est-à-dire au moment où la compagnie d’assurance-vie effectue ses choix de placements, le taux de participation aux bénéfices financiers « d’équilibre » ( )δ :

avec

Soit,

avec

Cette lecture « optionnelle » du bilan d’une compagnie d’assurance-vie présente l’avantage de pouvoir valoriser, à partir de la formulation de Black-Scholes, la valeur de ses fonds propres et d’en déduire une relation, de la forme δ σ α,= f r r( , , ), 0 entre le taux de la participation aux bénéfices δ, les caractéristiques de l’actif (le risqueσ des placements et leur rendement), la structure du passif avec le levier financier α et le taux garanti dans les contrats r₀.

En particulier, nous avons formulé les hypothèses suivantes : le taux garanti( )r est de 4,5 % (jusqu’au ₀ 1^er juillet 1993, le taux garanti maximal était fixé à 4,5 %; aussi, en 1997, on pouvait considérer que les assureurs-vie avaient en majorité dans leur passif des engagements à 4,5 %) ; la duration de l’actif ( T ) est de 8 ans (correspondant à la durée fiscale d’un contrat d’assurance-vie); le taux apparent de l’actif ( r ) constaté dans le bilan agrégé des assureurs-vie pour l’exercice 1997 est de 5,5 % [5]; l’effet de levier ( Î± )est de 95 % [6] et la volatilité de l’actif ( )σ est de 16 % [7]^. Dans les simulations, ont étudie la sensibilité d’un paramètre aux autres.

S’agissant de la représentation du taux garanti en fonction des autres paramètres (risque de l’actif, levier d’endettement et rendement de l’actif) et ceci pour différents niveaux de participation aux bénéfices (cf. graphique 1), elle suggère qu’à niveau de PAB donné, la prime de risque exigée par les assurés via le taux garanti devrait augmenter avec le risque de l’actif. Exprimé autrement, pour un risque de l’actif donné, il existe une relation inverse entre le taux de participation aux bénéfices et le rendement garanti : à risque de faillite inchangé, si le rendement garanti proposé aux assurés augmente, la prime de risque exigée par l’assuré est davantage satisfaite et l’assureur peut donc distribuer un taux de participation aux bénéfices plus faible.

Le graphique 2, qui représente le taux de participation aux bénéfices pour différents niveaux d’endettement, constitue également une illustration de la relation inverse, et théorique, entre le rendement garanti et le taux de participation aux bénéfices. Pour un risque de l’actif donné, le taux de participation aux bénéfices est censé diminuer lorsque la part des fonds propres dans le bilan s’accroît : en effet, la probabilité de faillite, et donc la prime de risque exigée par les assurés, diminue avec l’accroissement du ratio de capital.

Enfin, le graphique 3 représente la plage des rendements garantis possibles pour les compagnies d’assurance-vie en fonction de la contrainte de solvabilité et de la réglementation sur la participation aux bénéfices. Il apparaît que la conjonction des réglementations prudentielles relatives au ratio de capital (qui doit être supérieur à 4 %, ce qui correspond à un levier financier inférieur à 96 %) et à la participation aux bénéfices (au minimum de 85 %) cond uit à « brider » considérablement la plage des rendements qui peuvent être servis par les assureurs.

En fait, la norme sur la participation aux bénéfices apparaît au jourd’hu i redondante avec la réglementation relative au taux garanti. Notre simulation montre qu’au vu des caractéristiques actuelles des bilan s d es compagnies d’assurance-vie, un assureur qui garantirait un rendement de 4,5 % - taux correspondant au rendement encore garanti sur certains anciens contrats d’assurance - serait de fait amené à distribuer plus de 85 % de ses bénéfices financiers, même en l’absence de réglementation. La compagnie d’assurance-vie semble en l’occurrence être surrégulée.

Cependant, l’existence d’un taux « plancher » de participation aux bénéfices - fixé à 85 % par la réglementation française - peut aussi représenter une contrainte pour les compagnies d’assurance-vie. Ainsi, en cas de remontée des taux obligataires, les ren dements garantis p ar les compagnies d’assurance, dont le plafond est indirectement indexé sur les taux de marché, devraient s’accroître sous l’effet de la concurrence. À « prime de risque » constante, les assurés pourraient alors se contenter d’une participation aux bénéfices plus faible. Si le taux de PAB « d’équilibre » (c’est-à-dire celui qui rémunère correctement les assurés) s’avère inférieur au plancher fixé par la réglementation, le respect d’un tel plancher conduit alors la compagnie à surrémunérer les créanciers aux dépens des actionnaires. En d’autres termes, si la marge de manœuvre laissée à l’assureur est trop réduite (parce que le “plancher” de participation aux bénéfices est fixé à un niveau trop élevé par rapport au niveau des rendements garantis), le retour sur investissement risque d’être inférieur à celui espéré par les actionnaires. Pour répondre aux exigences de ces derniers, la compagnie d’assurance-vie peut alors être incitée à prendre davantage de risques, augmentant ainsi sa probabilité de faillite. Cet enchaînement théorique suggère ainsi que le plancher de participation au bénéfice doit, à tout le moins, s’adapter au niveau des rendements garantis aux assurés par les compagnies d’assurance-vie. Cette « redondance » entre les différentes réglementations n’apparaît pas actuellement dommageable dans la mesure où les rendements qui peuvent être garantis sur les nouveaux contrats par les assureurs, tout en respectant le plancher de PAB et la marge de solvabilité, restent compatibles avec la contrainte de plafond ramenée depuis le 1^er janvier 1999 entre 3 et 3,25 % sur les contrats à prime unique. Toutefois, en cas de forte remontée des taux et de hausse consécutive du plafond des taux garantis, les assureurs pourraient être incités à promettre des rendements plus élevés. Or, à moins d’une baisse du plancher de PAB, des rendements garantis sensiblement plus importants ne paraissent pouvoir être réalisés par les assureurs qu’au prix d’une dégradation sensible de leur solvabilité, à la limite de la marge de solvabilité prévue par la réglementation (cf. graphique 3) [8]. Coincés entre les promesses de rendement faites à leurs assurés - dans un contexte de forte concurrence - et les exigences de leurs actionnaires, les assureurs pourraient réagir en accroissant leur prise de risque.

Ce modèle permet en outre de fournir certaines pistes d’explication à l’absence de développement des contrats d’assurance-vie en Allemagne. Le niveau minimal de PAB, fixé outre-Rhin à 95 %, conjugué à la pratique de rendements garantis aux assurés, laisserait une marge de manœuvre trop réduite à l’assureur et inconciliable avec le retour sur investissement espéré du capital de ses actionnaires.

Dans un contexte fortement concurrentiel, les assureurs sont incités à répercuter les évolutions des conditions de marché (sur lesquelles le plafond des taux garantis est indexé) sur les rendements promis à l’occasion de la souscription de nouveaux contrats. Dès lors, en cas de remontée des taux longs, et donc de relèvement du plafond, les compagnies d’assurances augmenteraient très probablement leur taux de rendement garantis. Au vu du raisonnement précédent, la participation aux bénéfices « d’équilibre » (c’est-à-dire de nature à satisfaire la prime de risque des assurés) devrait alors logiquement diminuer. Dans ce contexte, l’existence d’un plancher, rigide à la baisse, conduirait les assureurs à « surrémunérer » les assurés, aux dépens de leurs actionnaires. Pour satisfaire les attentes de rendement de ces derniers, les compagnies d’assurance pourraient alors accroître leur prise de risque, en investissant dans des actifs plus risqués ou en dégradant leur solvabilité.

Une modélisation simple permet d’étayer cette intuition. À l’instar des fonds propres de toute entreprise dont la valeur peut être assimilée à celle d’une option d’achat, il est possible de modéliser le bilan d’une compagnie d’assurance-vie à l’aide de la théorie des options. Cette approche permet, en appliquant la formule de Black-Scholes, de déterminer une relation entre taux de participation aux bénéfices, taux de rendement garanti, volatilité de l’actif et part des provisions mathématiques au passif du bilan. Une simulation numérique de cette relation, à partir des o rdres de grandeur caractéristiques du marché de l’assurance-vie en France, révèle le caractère potentiellement « excessif » de la contrainte qu’impose le plancher de 85 % de distribution des bénéfices des assureurs aux assurés. Conjuguée aux réglementations sur les taux garantis et sur le ratio de capital, cette norme semble empêcher les assureurs d’élargir la plage des rendements qu’ils sont à même de garantir, sauf à dégrader leur solvabilité et, d’une certaine façon, à accroître leur prise de risque.