La non stationnarité est certainement l’une des principales caractéristiques des séries macroéconomiques et financières mise en évidence depuis les travaux de Granger (1966) et Nelson et Plosser (1982). Ces auteurs ont en effet montré que la plupart des séries macroéconomiques étaient caractérisées par la présence d’une racine unitaire. De telles séries sont alors intégrées d’ordre un, c’est-à-dire non stationnaires : elles n’ont pas tendance, suite à un choc, à revenir vers la moyenne (ou vers leur valeur pré-choc) au sens où il n’existe pas de force de rappel vers une quelconque valeur de référence. Face à cette constatation, l’économétrie des séries non stationnaires a connu de nombreux développements à travers notamment la théorie de la cointégration, initiée par Granger (1981) et développée par la suite par Engle et Granger (1987) et Johansen (1988,1991).

Les principaux développements relatifs à la théorie de la cointégration et aux modèles à correction d’erreur se situent dans un contexte linéaire. Dans un tel cadre, les modèles à correction d’erreur sont caractérisés par un ajustement linéaire vers la cible de long terme. Cette propriété fondamentale est cependant fortement restrictive dans la mesure où elle a trois implications :

Cette propriété de linéarité paraît ainsi insuffisante à bien des égards. En effet, parallèlement aux développements relatifs à la non stationnarité des séries économiques, on a assisté depuis le début des années quatre-vingt-dix à l’émergence d’une littérature abondante mettant en évidence le caractère non linéaire des ajustements dynamiques que connaissent la plupart des séries macroéconomiques et financières. Cette propriété est due à plusieurs facteurs, par exemple :

Dès que l’on tient compte du caractère non linéaire des séries économiques, les conclusions que l’on pourrait tirer d’une étude concernant leur stationnarité sont erronées si l’on raisonne dans un cadre linéaire. Par exemple, une série linéaire non stationnaire peut devenir stationnaire à la suite d’unetransformation non linéaire. En outre, l’ajustement de court terme dans un modèle où les variables endogènes et exogènes sont non linéaires est tel que l’on observe des phénomènes de “time dependency” : l’ajustement observé à une période donnée n’est pas indépendant des erreurs d’équilibre antérieures. Enfin, les concepts habituellement utilisés dans la théorie de la cointégration linéaire ne sont plus valables dans le cadre non linéaire. Cela justifie qu’au lieu de la notion de “racine unitaire”, certains auteurs aient proposé des concepts plus généraux, comme par exemple les concepts de “mémoire étendue”, de “mélange” issus de la théorie de la cointégration (voir Dufrénot et Mignon, 2002).

L’objet du présent article est de dresser un panorama des développements récents relatifs à la théorie de la cointégration non linéaire ainsi qu’un aperçu concernant les domaines d’application et les résultats obtenus. Dans toute la suite, nous supposerons connu de la part du lecteur l’ensemble de l’analyse de la cointégration dans le cadre linéaire.

Le plan d’exposition retenu est le suivant. La première partie étudie les problèmes posés lorsque l’étude de la non stationnarité est conduite à partir de spécifications linéaires alors que le vrai processus générateur des données est non linéaire. Nous présenterons également les nouveaux concepts introduits dans la littérature économétrique pour l’analyse de la non stationnarité dans le cas des processus non linéaires. La deuxième partie discute de l’extension au cas multivarié en présentant la notion de cointégration non linéaire. Enfin, la troisième partie dresse un bref aperçu des résultats empiriques obtenus dans la littérature.

Exemple 1 : supposons que l’on étudie la stationnarité d’une variable à partir de l’équation suivante [1] :

alors que le vrai processus générateur des données est [2] :

En développant l’équation (1), nous avons :

On vérifie aisément que le terme résiduel de cette équation satisfait la propriété suivante :

oùσ_v2 est une constante. v_t est donc un bruit blanc, ce qui permet d’affirmer queY_t est une marche aléatoire avec dérive (la dérive étant due au terme constant σ_ε2 ).

Dans ce premier exemple, le fait de ne pas tenir compte de la non linéarité inhérente à la série étudiée n’a pas de conséquence : en termes de stationnarité, le modèle non linéaire exhibe le même type de comportement que le modèle linéaire. Mais il n’en est pas toujours ainsi, comme nous allons le voir ci-après.

Exemple 2 : considérons à présent une autre transformation non linéaire. Supposons que le vrai processus générateur des données soit l’un des modèles suivants :

Modèle 1 :

où 0 1 0< < ≥ρ ϕet

Modèle 2 :

où 0 1 0< < ≥ρ ϕet

Modèle 3 :

Ces trois modèles appartiennent à la famille des modèles autorégressifs à seuil introduits par Ozaki (1978). Ils exhibent des dynamiques observées empiriquement pour certaines variables macroéconomiques ou financières. Dans ces modèles, l’absence de stationnarité due à la présence d’une racine unitaire dans l’un des sous-régimes n’est qu’une propriété “locale”. Il existe des forces de rappel vers l’équilibre de long terme. Dans l’équation (5), le processus étudié n’est pas stationnaire tant que X ∈ -[ ,ϕ ϕ], mais le devient dès que l’on sort de cet intervalle. On voit apparaître ici le phénomène de “dépendance temporelle” dû au fait que la valeur de X à une date donnée dépend de l’écart atteint à la période précédente entre X et sa valeur de long terme. L’une des façons de prendre en compte cette propriété consiste ici à introduire des seuils qui déterminent le régime dans lequel X évolue. L’équation (6) décrit un cas plus général. Le modèle est a priori non stationnaire dans l’intervalle[ ,- ϕ ϕ], mais redevient stationnaire dès que X prend des valeurs en dehors de cet intervalle. À la différence de l’équation (5), il n’y a pas une valeur d’équilibre pour X, mais un corridor à l’intérieur duquel ses valeurs sont circonscrites. Ce corridor correspond à l’intervalle[ ,- ϕ ϕ]. Dans l’équation (7), chaque régime possède une racine unitaire, mais le processus reste stationnaire en raison des constantes - θ et θqui ramènent la variable X vers son corridor d’équilibre.

Dans les trois types de modèles envisagés, la stationnarité peut être établie de manière analytique en se référant aux conditions d’ergodicité des processus SETAR [3] introduits par Chan et alii (1985). Considérons ainsi le modèle général suivant :

où θ^u et θ^l sont des valeurs de seuil. μ μ,, ε ε t t t sont des μ ρ ρ ρ u m l u m l, , et sont des paramètres. ε u m l, et processus iid. Le processus { } z_tt^T₌₁ est ergodique (donc stationnaire) si l’une des cinq conditions suivantes est vérifiée :

On peut noter que dans les conditions (i) à (v), le signe des constantes est important pour garantir la stationnarité du processus. Dans le cas de l’équation (7) par exemple, c’est la condition (iv) qui est vérifiée. Notons en effet que, compte tenu du fait que dans l’un des régimes extrêmes z X t d t- - ( )ici₁ prend des valeurs négatives, la condition sur le signe des constantes s’écrit μ μ u l < <0.

À partir de ces équations, on remarque donc que l’existence d’une racine unitaire dans un modèle linéaire n’est pas une propriété suffisante de la non stationnarité d’une variable. Ceci vaut en particulier si la linéarité n’est ici qu’une propriété “locale” de la dynamique sous-jacente à la variable étudiée. Pour des applications de ce type de spécification à la macroéconomie, voir Dufrénot et Mignon (1999,2002).

Exemple 3 : supposons que le vrai processus générateur des données soit le suivant :

X_t étant le processus de marche aléatoire sans dérive décrit par l’équation (1). On suppose que ε_t (défini dans l’équation (1)) et η_t sont indépendants. En posant Y₀ 0=, nous avons :

De plus, pour k =0 nous avons :

La variance de Y_t varie donc avec le temps puisque X_t est un processus de marche aléatoire. Cependant, en raison de la propriété (10),Y_t est un processus iid de moyenne nulle et de variance hétéroscédastique. Notons que si Y_t était une marche aléatoire, la covariance entre deux observations Y Y t t k et_- aurait été égale à ( ) ( )t k V Y_t -, c’est-à-dire qu’elle aurait été non stationnaire elle aussi. En outre, il est aisé de voir que ΔY Y Y t t t = -_-1 est faiblement stationnaire (c’est-à-dire que ses deux premiers moments sont finis).

Considérons tout d’abord E Y_t ( )Δ :

Sous les hypothèses précédentes ( ( ) , ( )E E t t ε η= =0 0, indépendance de ε η t t et ) et sachant que le produit d’un processus iid et d’une marche aléatoire sans dérive suit une loi iid, on en déduit que :

Calculons à présent la variance de ΔY_t :

Il est facile de constater que les termes en covariance s’annulent sous les hypothèses suivantes :

Par conséquent, il reste :

Puisque X X idd t t t t = + -1 2 0ε ε σ_ε où ( , ), nous avons :

Par conséquent :

Considérons à présent le carré de Y_t :

On vérifie aisément que (18) est un processus intégré d’ordre 1 en raison du terme σ_η2 2 X_t (voir l’exemple 1). Par conséquent, l’erreur commise dans l’interprétation lorsque l’on étudie le caractère non stationnaire d’une série en retenant un cadre linéaire dépend du type de non linéarité que l’on omet.

Notons que d’autres formes de modèles non linéaires pourraient être évoquées. Par exemple, Van Dijk et Franses (1997b) montrent que l’omission des non linéarités présentes dans les modèles à transition douce (STAR) conduit à des interprétations erronées en termes de stationnarité. Peel et alii (1997) aboutissent à la même conclusion. Puisque les modèles STAR sont une généralisation des modèles TAR (Threshold Autoregressive) considérés dans les exemples précédents, on doit donc s’attendre à retrouver le même type de difficultés.

Certains travaux de la littérature se sont posés le problème d’étendre au cas non linéaire l’étude de la non stationnarité des variables. Différents auteurs ont montré que l’utilisation du concept de racine unitaire était mal adaptée au cas des séries non linéaires (voir Granger et Hallman, 1991; Ermini et Granger, 1993). Les différentes approches alternatives qui ont été suggérées sont exposées dans le paragraphe qui suit.

Bien que théoriquement attractive, cette définition reste cependant difficilement vérifiable en pratique. On retrouve ainsi le même type de difficultés que celles rencontrées lorsque l’on tente d’appliquer la notion de causalité au sens de Granger. Pour faire face à ce problème, Aparicio et Escribano (1997,1999) ont proposé une définition différente de la notion de mémoire. Ils introduisent une nouvelle mesure de dépendance sérielle constituant une généralisation de la fonction d’autocorrélation. La définition de ces auteurs est fondée sur un concept permettant de mesurer la persistance d’une série et est présentée ci-après.

La quantité

estdéfiniecommeuneformedepersistancenonlinéaire. Entermesheuristiques, on peutconsidérer qu’une série à mémoire longue est une série pour laquelle la dépendance sérielle est forte parce que le passé lointain exerce encore une influence sur les valeurs présentes des variables : une série à mémoire longue est ainsi caractérisée par une décroissance hyperbolique des autocorrélations [4]. Tout le problème réside dans le fait de pouvoir mesurer la dépendance sérielle sans recourir aux fonctions d’autocorrélation et d’autocorrélation partielle qui ne prennent pas en compte les moments d’ordre supérieur à deux pour caractériser la dynamique des séries. Différents estimateurs de la fonction i k t x ( , ) peuvent être retenus. En premier lieu, on peut utiliser tout estimateur des moments ou des cumulants d’une série dont l’ordre est supérieur à deux. Ainsi, Brooks et Hinich (1997) retiennent comme mesure de corrélation non linéaire un estimateur du cumulant d’ordre trois des séries :

Cette approche est généralisable au cas de cumulants d’ordres supérieurs à trois. En pratique cependant, les tests développés ne considèrent que les cumulants d’ordres 3 et 4 en raison des difficultés soulevées lorsque l’on tente de dériver analytiquement l’expression et les propriétés des lois suivies par les statistiques servant à tester l’hypothèse de linéarité : l’approche utilisée est très souvent celle de l’analyse spectrale non linéaire (pour une illustration, voir Dufrénot et alii, 1998, et Dufrénot et Mathieu, 2000).

En second lieu, il existe une série d’estimateurs basés sur le calcul d’entropies à partir de la théorie de l’information (voir Aparicio et Escribano, 1997; Aparicio-Acosta, 1998; Escribano et Mira, 1998). Rappelons que l’entropie a pour objet de fournir une certaine mesure attachée à l’incertitude liée à l’apparition ou non d’un événement particulier.

Supposons que l’on dispose d’une partition P d’un ensemble S avec M événements A i M i, ,...,=1, et que l’événement A_i apparaisse avec une probabilité p_i. L’entropie de cette partition, notée H P( ), est alors donnée par :

Il est également possible de définir l’entropie conditionnelle de P sachant M de la manière suivante :

En général, les événements M peuvent fournir de l’information utile concernant les événements de P. Cette information mutuelle peut alors être quantifiée par :

Cette expression stipule ainsi que l’observation de M réduit l’incertitude attachée à P de H P( ) à H P M( | ) : l’information que fournit M à propos de P est donc simplement I P M( , ).

Ces définitions introduites pour des partitions données d’ensembles peuvent être aisément transformées pour s’appliquer à des variables aléatoires (voir Aparicio et Escribano, 1997). L’intérêt de ces concepts réside dans le fait que l’information mutuelle d’une paire de variables aléatoires peut être interprétée comme une mesure générale de dépendance entre ces deux variables. Cette notion est donc plus générale que celle de corrélation qui mesure simplement la capacité d’une variable à prévoir linéairement l’autre variable. De manière similaire, il est possible de généraliser le concept de fonction d’autocorrélation standard par le biais de la fonction d’information mutuelle. Ainsi, en écrivant la fonction d’information mutuelle de x_t comme :

où X est une variable aléatoire, on en déduit immédiatement les nouvelles définitions de retour à la moyenne, de mémoire courte, de mémoire longue et d’intégration :

Soit X_t une séquence de variables aléatoires.

Soit ℑ ≡ st s t σ υ υ( ,..., ) et :

Alors X_t est fortement mélangée si et seulement si α_m → 0 quand m → ∞.

Une séquence fortement mélangée (α- mixing) est ainsi telle que des sous-séquences non imbriquées deviennent indépendantes lorsqu’elles deviennent suffisamment éloignées. En d’autres termes, le concept de α-mixing introduit par Rosenblatt (1974), mesure la dépendance entre des événements séparés par au moins m périodes. Un concept fortement lié à celui-ci est la notion de dépendance proche (Near Epoch Dependence, noté NED par la suite) dont la définition est donnée ci-après.

Soit une séquence X_t de variables aléatoires de variance finie pour tout t. Définissons :

où |.|₂ est la norme d’une variable aléatoire définie par E1 2 2^/ |.|.

Alors X_t est ϕ-NED sur une séquence fortement mélangée υ_t si et seulement si ϕ_m → 0quand m → ∞ (voir Escribano, 1997, et Escribano et Mira, 1998, pour une étude détaillée).

On suppose ici que les valeurs futures de υ_t n’améliorent pas l’espérance conditionnelle de X_t. Cette définition montre queϕ( )m est la plus mauvaise erreur quadratique moyenne de prévision lorsque X_t est prévu à l’aide de E X_{t t m t m} ( | ,..., )υ υ - +. À partir de cette notion de NED, il est possible dereformuler la notion d’intégration.

Ainsi, une série {X_t } est intégrée d’ordre 0 si elle est NED sur une série sous-jacente fortement mélangée{υ_t } et si la série {w_t } des sommes partielles n’est pas NED, avec :

Dans ce cas, on dira que w_t est intégrée d’ordre 1.

Cetteconception de l’intégration d’ordre 0 basée surleconcept de série fortement mélangée ou de ϕ-NED est liée aux notions de mémoire courte en distribution et de mémoire courte en moyenne de Granger et Hallman (1991), Granger et Teräsvirta (1993) et Granger (1995). Tout comme ces autres notions, elle présente l’inconvénient d’être difficilement applicable en pratique. De ce point de vue, la notion de mémoire au sens de Aparicio et Escribano (1997,1999) présente l’avantage d’être beaucoup plus opérationnelle.

Nous avons ici présenté les diverses possibilités d’étendre la notion de mémoire au cadre non linéaire. Nous nous proposons à présent de traiter du cas multivarié par le biais d’une étude de la cointégration non linéaire.

Dans ce cas, la cible est donnée par l’égalitéY a X t t = lorsque l’écart z_t s’annule.

Dans le cas non linéaire, la relation de long terme entre Y et X est donnée à partir d’une formulation plus générale du type :

où f et g sont deux fonctions non linéaires. Dans ce cas, le terme à correction d’erreur s’écrit :

Comment s’écrit dans ce cas l’équation comportant le mécanisme de correction d’erreur ?

Supposons que nos deux variables suivent chacune un processus non linéaire, par exemple :

où {ε_t^X } et {ε_t^Y } sont deux processus stationnaires. Si X et Y sont non stationnaires, elles sont rendues stationnaires en appliquant la différence suivante :

Le modèle à correction d’erreur s’écrit alors :

où z f Y g X= -( ) ( ) et ν_Xt et ν_Yt sont deux processus stationnaires.

On constate que dans (34) et (35), l’écriture du modèle à correction d’erreur n’est pas modifiée par rapport à celle d’un modèle linéaire. Seule change la définition du terme d’erreur z. Cette façon d’interpréter l’hypothèse de cointégration non linéaire dans le cadre des modèles à correction d’erreur est celle qui a été privilégiée dès le départ (voir notamment Granger et Teräsvirta, 1993).

Il existe cependant une seconde interprétation de la cointégration non linéaire dans le contexte des modèles à correction d’erreur qui renvoie à un problème tout à fait distinct. On ne s’intéresse pas à la définition de la cible, mais au mécanisme d’ajustement temporel qui y mène. La critique énoncée à l’égard des modèles à correction d’erreur linéaires est la suivante. Dans ces modèles, le caractère linéaire du processus d’ajustement ne permet pas de rendre compte de certains phénomènes observés en réalité : l’existence de rigidités, l’existence de dynamiques asymétriques, la propriété de dépendance temporelle qui implique que le “chemin” suivi pour atteindre la cible de long terme dépend de la valeur courante des variables. Pour tenir compte de ces phénomènes, on introduit alors un mécanisme d’ajustement non linéaire. Considérons le cas simple où les deux variables X et Y sont non stationnaires et suivent chacune un processus linéaire. Dans ce cas, le modèle à correction d’erreur s’écrit :

où z Y X t t t = - α et F est une fonction non linéaire. Comme on le constate, la définition de la cible n’est pas modifiée parrapport au cadre linéaire. En revanche, l’écriture du processus d’ajustement tient compte du fait que le mécanisme qui mène à la cible peut être non linéaire.

Naturellement, il est possible de combiner les deux interprétations en introduisant de la non linéarité pour modéliser à la fois la cible et le mécanisme d’ajustement.

Comment estimer les modèles à correction d’erreur non linéaires ?

Escribano (1997) et Escribano et Mira (1998) ont établi un certain nombre de conditions permettant de généraliser la procédure d’estimation de Engle et Granger (1987) au contexte non linéaire. Le modèle à correction d’erreur non linéaire peut ainsi être estimé au moyen d’une procédure en deux étapes. À l’aide de simulations de Monte Carlo, les auteurs montrent que lorsque la relation de cointégration est linéaire, mais que le terme à correction d’erreur est non linéaire, le biais de l’estimateur des moindres carrés ordinaires du vecteur de cointégration est faible pour de petits échantillons (100 et 200 observations). Ces résultats restent valables lorsque les moindres carrés ordinaires sont également utilisés dans l’estimation de ladeuxième étape. Cependant le biais a tendance à être plus élevé lorsqu’est utilisée l’estimation par les moindres carrés non linéaires dans la seconde étape. Dans ces conditions, il est préférable de travailler sur des échantillons de taille supérieure à 500 observations. Néanmoins ces différentes conclusions relatives à l’estimation et à l’inférence dans les modèles à correction d’erreur non linéaires sont basées sur des procédures paramétriques (moindres carrés ordinaires ou non linéaires) valables lorsque la forme fonctionnelle non linéaire est connue. Bien évidemment, en pratique, une telle forme n’est pas connue et Escribano (1997) suggère alors l’utilisation d’une procédure d’estimation semi-paramétrique basée sur les fonctions spline lisses (voir infra).

Intéressons nous à présent à la deuxième approche de la cointégration non linéaire visant à généraliser les concepts introduits dans le cas univarié.

Soient deux séries X_t et Y_t présentant une mémoire longue et soit i k t X Y, ( , ) une mesure générale de dépendance sérielle croisée entre X_t etY_t. Alors, X_t etY_t sont cointégrées si :

Quatre types de remarques peuvent être effectués à la suite de cette définition :

Il est alors possible d’établir un test de cointégration à partir des calculs d’entropie. Pour cela, considérons la quantitésuivante(qui est un estimateur dela fonction d’information mutuellede la série x_t, voir équation (23)) :

et N est la taille de l’échantillon, γ_γ ≥ =0, N N pour N pair et N N γ γ= + pour N impair. $ (.,.), f_{y x} et $ (.)f_x sont respectivement les fonctions de densité bivariée et univariée. L’ensemble S est introduit simplement afin de tenir compte de certaines exclusions évidentes (telles qu’un logarithme d’un nombre négatif). Concernant l’estimation des densités, on pourra se reporter à Breiman, Meisel et Purcell (1977) ainsi qu’aux développements figurant dans Aparicio et Escribano (1997).

À partir de cet estimateur et de la définition de la cointégration non linéaire, il est possible de construire un test de cointégration basé sur la statistique suivante :

où m est suffisamment grand pour tenir compte de la dépendance de long terme, q est tel que m q N+ < et N est la taille de l’échantillon.

Comme on l’a vu précédemment, si les séries x_t et y_t sont cointégrées, alorsi k t x y, ( , ) doit être du même ordre de grandeur que i k t x ( , ) pour k suffisamment grand. À l’inverse, si les séries ne sont pas cointégrées, alors i k t i k t x y x, ( , ) ( , )<<. En cas de non cointégration, les valeurs de τ_{m q} x y, ( , ) doivent donc tendre vers l’unité.

Aparicio et Escribano (1997) ont proposé une application empirique de ces différents concepts issus de la théorie de l’information. Ils ont en particulier cherché à calculer la statistique τ_{m q} x y, ( , ) sur diverses séries de taux de change (Peseta/$, Peseta/Yen et Peseta/DM) ainsi que sur deux séries de rentabilités boursières relatives à une société d’alimentation japonaise. Ces séries comportent 1000 observations quotidiennes et les auteurs ont retenu une valeur de m égale à 10 (cette valeur permet de prendre en compte la majeure partie de la dépendance existant dans les différentes séries). Pour chacune de ces séries, l’application des tests de Dickey-Fuller conduit à retenir la présence d’une racine unitaire. L’application de ces mêmes tests usuels en tant que tests de cointégration sur les séries résiduelles issues des régressions statiques entre, d’une part, les taux de change et, d’autre part, les rentabilités boursières conduit les auteurs à accepter l’hypothèse de cointégration uniquement pour les séries de rentabilités boursières. Cependant, Aparicio et Escribano (1997) montrent qu’une telle conclusion est erronée dans la mesure où l’application de leur nouveau test de cointégration les conduit à accepter l’hypothèse de cointégration non seulement pour les séries de rentabilités boursières, mais également pour les séries de taux de change.

Deux séries {y } et {x } sont non linéairement cointégrées de fonction de cointégration non linéaire g (.,., )γ où _tt γest le paramètre de cointégration si g y x t ( , , )γ^* est NED sur une certaine série fortement mélangée et si t g y x t t ( , , )γ n’est pas NED pour γ γ≠^*.

À partir de cette définition, Escribano et Mira (1998) vont énoncer la généralisation suivante du théorème de représentation de Granger.

Théorème 1 : soit un vecteur( ) ( , )N X y x X t t t t × = ''1 où y_t est un scalaire et x_t un vecteur( )N - ×1 1. Soit le modèle à correction d’erreur non linéaire donné par :

où :

Alors :

Dans les modèles à correction d’erreur non linéaires, l’hypothèse nulle d’absence de cointégration peut s’écrire : f z_t ( , ) - = 1 0γ et l’hypothèse alternative de cointégration : f z_t ( , ) - ≠ 1 0γ et

Le choix de la fonction f peut être de deux types : une spécification paramétrique et une spécification semi-paramétrique. Dans le cas paramétrique, Escribano (1997) suggère dans un premier temps de choisir pour la fonction f une forme fonctionnelle polynômiale d’ordre faible, comme par exemple une forme cubique. Selon lui, une telle forme présente plusieurs avantages :

Néanmoins, comme le rappelle Escribano (1997), les formes fonctionnelles polynômiales ne peuvent que constituer des approximations du vrai processus générant les données dans la mesure où elles ne sont pas bornées : elles ne vérifient pas asymptotiquement la condition de stabilité, même si elles la vérifient en échantillon. Pour résoudre cette difficulté, l’auteur suggère une nouvelle classede modèles de séries temporelles basés sur des fonctions polynômiales rationnelles d’ordre faible satisfaisant la condition de stabilité et vérifiant les propriétés précédemment énoncées des formes fonctionnelles polynômiales. Un exemple simple de forme polynômiale rationnelle est donné par :

Dans ce cas, si γ γ 2 13 = - et si( )γ γ 32 4 0+ ≠ alorsf z( , )= =0 0γ est l’équilibre. L’ajustement peut alors être asymétrique et/ou non linéaire.

Il est également possible d’avoir des polynômes rationnels présentant des équilibres multiples, comme par exemple :

Dans ce cas, si γ γ 2 13 = - alorsf z( , )= =0 0γ,f z( , )=- =γ γ 3 0 etf z( , )γ ≅ 0 pour tout z ∈ ( , )0₃ γ. On peut ainsi avoir un continuum d’équilibres entre 0 et γ₃.

Notons enfin qu’il est également possible, concernant le choix de la fonction f, de retenir une spécification semi-paramétrique. Dans ce cadre, Escribano (1997) suggère d’utiliser les fonctions smoothing splines (sur ce point et pour une application empirique à la demande de monnaie, voir Escribano, 1997).

Avant de s’attacher à la modélisation non linéaire de la demande de monnaie en Grande-Bretagne, Hendry et Ericsson (1983) avaient procédé à l’estimation d’un modèle à correction d’erreur linéaire. Leurs résultats obtenus figurent dans la deuxième colonne du tableau 1.

On constate que la spécification linéaire de Hendry et Ericsson (1983) nécessite l’introduction d’une variable dichotomique “artificielle” difficilement justifiable ( )D. Celle-ci a pour objet de prendre en compte le ₂ phénomène de “changement de préférence pour la liquidité" (liquidity preference shift) - selon la terminologie de Friedman et Schwartz (1982) - résultant de la dépression économique et de la guerre (1921-1955). Cette insuffisance a conduit Escribano (1986) à estimer un modèle à correction d’erreur non linéaire sur les mêmes données : les résultats figurent dans la dernière colonne du tableau 1. On constate que le modèle intègre de façon non linéaire les résidus issus de la relation de cointégration dans la mesure où Escribano (1986) retient une forme polynômiale cubique pour le terme à correction d’erreur. Les résultats obtenus montrent alors que la prise en compte de cet ajustement cubique vers la cible de long terme permet de supprimer la variable D. Cela réduit en ₂ outre la somme des carrés des résidus et augmente la valeur du coefficient de détermination. Ultérieurement, Hendry et Ericsson (1991) ont explicitement reconnu la supériorité du modèle estimé par Escribano (1986) par rapport au leur en termes de pouvoir explicatif de la dynamique de la demande de monnaie en Grande-Bretagne. Ils ont alors procédé (en 1991) à l’estimation d’un modèle à correction d’erreur non linéaire en retenant, tout comme l’avait fait Escribano (1986), une forme polynômiale cubique pour le terme à correction d’erreur ; celui-ci s’écrit : - - - - 2 55 0 2 1 12, ( , )U U t t. Les auteurs montrent que le modèleestimé passe tous les tests de bonne spécification et qu’il possède un pouvoir explicatif nettement supérieur au modèle à correction d’erreur linéaire. Notons de plus que les tests réalisés par la suite par Escribano (1997) sur le modèle à correction d’erreur linéaire l’ont conduit à rejeter l’hypothèse nulle de linéarité en faveur d’une modélisation à correction d’erreur non linéaire.

Tableau 1
modélisation de la demande de monnaie en Grande-Bretagne

Toujours sur les mêmes données, Escribano (1997) a prolongé l’analyse en s’intéressant plus en avant aux formes fonctionnelles paramétriques et non paramétriques des modèles à correction d’erreur non linéaires : fonctions polynômiales rationnelles et fonctions smoothing splines (voir deuxième section de la deuxième partie). La méthode reposant sur les smoothing splines permet ainsi d’estimer la fonction non linéaire régissant l’ajustement vers la cible de long terme. En appliquant cette procédure, Escribano (1997) obtient la valeur optimale du paramètre de lissage et effectue la représentation graphique de l’ajustement non linéaire. Cette étape lui permet de mettre en évidence l’existence de deux équilibres autour de U U= =0 0 2et ,, où U_t sont les résidus de la relation de cointégration estimée. L’intervalle allant de 0 à 0,2 est alors interprété comme l’ensemble des équilibres multiples de long terme de la demande de monnaie. En augmentant la valeur du paramètre de lissage, c’est-à-dire en imposant une contrainte de lissage forte, Escribano (1997) montre que l’ajustement vers la cible de long terme devient linéaire et est biaisé vers la valeur U =0 2,. Ce résultat est particulièrement intéressant dans la mesure où il permet de comprendre pourquoi les modèles linéaires initialement estimés nécessitaient l’introduction fortement critiquable de la variable dichotomique D₂ (pour plus de développements sur ce point, voir Escribano, 1997).

Dufrénot et Mignon (1999)ont cherché à expliquerla dynamique du taux d’épargne des ménages en Francesur la période 1970 à 1996 et ont montré que l’hypothèse d’un modèle à seuil semblait adéquate pour traduire les dynamiques asymétriques dans les relations existant entre l’épargne et certains de ses déterminants : le taux de chômage et le taux d’inflation notamment. Plus spécifiquement, les auteurs considèrent que la cible de long terme du taux de consommation ( )c_t répond à un modèle SETAR(2,1,1) du type :

où x_t peut désigner soit le taux d’inflation, soit la variation du taux de chômage, R_t est le revenu et σ est un paramètre de seuil.

On peut aisément expliquer l’existence d’une relation asymétrique entre la consommation et le taux de chômage à long terme. En adaptant ici un argument à la Carroll et Summers (1991), on peut faire l’hypothèse suivante. La consommation étant une variable procyclique, il n’est pas difficile d’imaginer que son niveau puisse varier avec le cycle de l’activité. Le cas de figure le plus simple à considérer est celui où l’on sépare les périodes d’activité en deux régimes correspondant respectivement aux phases d’expansion et de dépression du cycle. Si l’on admet que le taux de chômage est un bon indicateur du cycle de l’activité, alors l’hypothèse d’un effet asymétrique dans la dynamique de long terme entrela consommation et le taux de chômageest décrit àpartir de l’équation précédente (où x_t désigne la variation du taux de chômage) : l’aversion au risque de chômage n’est évidemment pas la même selon que la conjoncture est bonne ou mauvaise. S’agissant à présent des liens entre la consommation et le taux d’inflation, les comportements de fuite devant la monnaie, ou au contraire de reconstitution des encaisses réelles, sont conditionnés par l’état de la conjoncture. En période de stagflation, les ménages peuvent rencontrer certaines difficultés à vouloir dépenser leurs revenus, faute de réponse des entreprises dont les carnets de commande sont vides. On observe dans ce cas un comportement correspondant à un effet de richesse que les ménages “s’imposent” compte tenu de la conjoncture. De façon symétrique, les phases d’expansion étant plus propices aux dépenses de consommation, on peut penser qu’une hausse des prix durant cette période accélère les comportements de fuite devant la monnaie. L’hypothèse d’une relation asymétrique à long terme entre la consommation et le taux d’inflation peut donc être étudiée à partir du modèle SETAR(2,1,1) précédemment mentionné en supposant que x_t désigne le taux d’inflation.

La procédure suivie consiste à estimer les relations (47) par la méthode des moindres carrés ordinaires puis à utiliser les résidus des modèles estimés pour spécifier un modèle SETAR(2,1,1) :

où $z_t sont les résidus de la régression (47) dans laquelle x_t désigne le taux d’inflation ,

où $z_t sont les résidus de la régression (47) dans laquelle x_t désigne la variation du taux de chômage. Ces termes résiduels sont ensuite utilisés pour spécifier les termes de correction d’erreur des modèles.

Après avoir estimé les relations statiques, Dufrénot et Mignon (1999) ont effectué des tests de linéarité et montré que l’hypothèse de linéarité de la relation est toujours rejetée contre l’alternative d’un modèle SETAR. L’équation des modèles à correction d’erreur comprend alors deux termes de rappel : un terme linéaire décrivant la relation statique entre la consommation et le revenu et un terme résiduel suivant un processus SETAR(2,1,1) issu de la régression de la consommation sur x_t. Les auteurs supposent que l’élasticité de long terme de la consommation par rapport au revenu est unitaire et que l’influence des variations du revenu sur les variations de la consommation transite par ladynamique de long terme (voir équation (47)). Lemodèle estimé est le suivant [5] :

A titre de comparaison, le modèle à correction d’erreur linéaire est estimé par :

Les résultats comparatifs des simulations statiques et dynamiques figurent dans le tableau 2.

Tableau 2
erreurs de prévisions associées aux simulations statiques et dynamiques

On remarque que le terme à correction d’erreur $z a un coefficient négatif significatif, ce qui semble indiquer _t-1 qu’il joue bien le rôle de rappel vers la cible de long terme. La présence de ce terme permet d’améliorer la qualité des simulations, statiques et dynamiques, par rapport à une spécification qui ne contiendrait que le terme à correction d’erreur linéaire : on constate en effet que les valeurs prises par les différents critères sont plus faibles pour le modèle non linéaire que pour le modèle linéaire.

On aboutit à la même conclusion, si au lieu du taux d’inflation on considère le terme résiduel associé à la relation de long terme entre la consommation et le taux de chômage :

Les résultats des simulations statiques et dynamiques sont donnés dans le tableau 3.

Tableau 3
erreurs de prévisions associées aux simulations statiques et dynamiques

Tous les coefficients ont les signes attendus. On retrouve par exemple l’existence d’un comportement d’épargne de précaution, capturée parle signe négatif du coefficient relatif aux variations du taux de chômage. L’idée que la perception des revenus futurs joue un rôle dans les comportements de consommation est un fait admis, non seulement pour la France, mais plus généralement pour l’ensemble des pays développés (voir par exemple Romer, 1997; Dynan, 1993; Carroll, 1994). De même, nous retrouvons également l’hypothèse d’une épargne de précaution due à une prédominance des effets de richesse ou illustrant un phénomène de reconstitution des encaisses réelles. Globalement, les résultats obtenus font ressortir que l’hypothèse de cointégration à seuil conduit à une nette amélioration des prévisions du taux d’épargne par rapport à une modélisation linéaire n’intégrant que la relation statique entre la consommation et le revenu.

Dans un contexte différent mais toujours dans le but de mettre en évidence des phénomènes d’asymétrie, il nous semble opportun de mentionner les travaux de Escribano et Pfann (1998) faisant le lien entre les modèles de choix intertemporels et les modèles à correction d’erreur non linéaires. Plus précisément, les auteurs montrent que les mécanismes à correction d’erreur non linéaires existant dans nombre de séries macroéconomiques peuvent être générés de façon endogène à partir d’un comportement optimisateur des individus faisant face à l’existence de coûts d’ajustement asymétriques. La notion de coûts d’ajustement asymétriques est ainsi équivalente à la notion de mécanisme à correction d’erreur non linéaire : la trajectoire d’ajustement à une cible de niveau élevé ne se fait pas nécessairement de façon symétrique avec l’ajustement à une cible de niveau plus faible. Escribano et Pfann (1998) estiment alors les vitesses d’ajustement dans les différentes phases du cycle économique anglais concernant les cols blancs dans l’industrie manufacturière sur la période 1955 à 1986. Plus précisément, soit L_t le nombrede cols blancs dans l’industrie manufacturière en Grande-Bretagne. NotonsW_t le salaire de ces cols blancs et K_t le stock de capital du secteur manufacturier. La relation de cointégration estimée est donnée par [6] :

où D est une variable dummy ayant pour objet de tenir compte du choc pétrolier de 1973.

Escribano et Pfann (1998) commencent par estimer un modèle à correction d’erreur linéaire :

où SCR est la somme des carrés des résidus, LB est la statistique de Ljung-Box (avec deux retards) permettant de tester l’autocorrélation des résidus, JB est la statistique de Jarque et Béra visant à testerla normalité des résidus et ARCH est la valeur estimée de la statistique ARCH (pour un nombre de retards égal à deux). D’après ces différentes statistiques, on constate que le modèle estimé est économétriquement correct, même si le coefficient de la force de rappel n’est significativement différent de zéro qu’au seuil de 10 %.

Escribano et Pfann (1998) estiment ensuite un modèle à correction d’erreur asymétrique du type :

On constate que l’estimation du modèle à correction d’erreur non linéaire nous apporte une information supplémentaire en ce qui concerne l’asymétrie de l’ajustement vers la cible de long terme. D’un point de vue purement économétrique, il est vrai que les deux modèles ne sont pas fondamentalement différents. Cependant, la vitesse d’ajustement vers le niveau haut de la cible d’emploi des cols blancs (0,42) est plus forte que la vitesse d’ajustement vers le niveau bas (0,07). En comparant les valeurs obtenues aux paramètres de leur modèle théorique, Escribano et Pfann (1998) montrent que les résultats confirment les conclusions généralement trouvées sur l’asymétrie des cols blancs, à savoir que ceux-ci sont plus facilement embauchés durant les périodes d’expansion que licenciés durant les périodes de récession. Le modèle à correction d’erreur linéaire ne permet pas de rendre compte d’un tel phénomène.

Au regard des statistiques de Box-Pierce sur les résidus en niveau, il ne ressort aucune autocorrélation. En ce qui concerne le carré des résidus, la statistique s’interprète comme un test ARCH et les résultats diffèrent fortement selon les modèles puisque seuls les résidus du processus bilinéaire ne sont pas conditionnellement hétéroscédastiques. D’une manière générale, les résultats obtenus indiquent une nette supériorité du modèle à correction d’erreur bilinéaire par rapport aux deux autres modèles du point de vue du R2, de la log-vraisemblance et du test de Box-Pierce sur le carré des résidus. En outre le paramètre de cointégration estimé par le modèle bilinéaire prend une valeur réaliste, ce qui n’est pas le cas avec les deux autres modèles. Cette étude met ainsi en avant la difficulté liée à l’estimation du paramètre de cointégration en l’absence d’une spécification correcte de la dynamique de court terme.

Outre les références précédemment citées, d’autres applications concernant les modèles à correction d’erreur peuvent également être trouvées dans Granger et Lee (1989), Burgess (1992b), Kunst (1992), Peel (1992), Granger et Swanson (1995), Yuhn (1996), Granger et Haldrup (1997) et Escribano et Granger (1998). Parmi les références les plus récentes, on peut également citer les travaux de Lin et alii (1998). Ces auteurs appliquent la modélisation à correction d’erreur non linéaire aux séries quotidiennes de taux de change de cinq pays et montrent que des formes complexes de cointégration existent alors que l’application des méthodes économétriques usuelles ne révèle aucune preuve de cointégration (linéaire).