L’accroissement actuel de la taille des entreprises en faillite, donc des montants de dettes concernés, rappelle vivement la nécessité de prévoir la défaillance. L a protection des intérêts des créanciers, voire le rétablissement de la pérennité de l’entreprise, passent par l’anticipation des graves difficultés économiques et financières qu’une entreprise est susceptible de rencontrer. Actuellement le problème se pose aux banques avec une acuité particulière. Dans le cadre du Comité de Bâle et du ratio Mac Donough, les banques se devront en effet de proposer une évaluation systématique des risques qu’elles encourent. Ceci implique notamment une estimation précise de la probabilité de défaut de leurs clients entreprises, donc un éventuel remaniement de leurs méthodes d’évaluation (Altman, 2002).

Si l’analyse des causes de la faillite est plus ancienne, sa prédiction, c’est-à-dire l’évaluation quantitative du risque de défaillance, s’est principalement développée à partir de la fin des années soixante [1]. L’approche la plus fréquente consiste à recourir à l’analyse financière afin de déterminer les variables, principalement comptables, qui différencient au mieux les entreprises défaillantes et les entreprises non défaillantes. L’objectif est d’établir une relation statistique stable entre les variables explicatives retenues et l’appartenance des entreprises à l’un des deux groupes. Différents outils sont à la disposition des auteurs, dont le plus fréquemment utilisé est l’analyse discriminante linéaire, mais les méthodes alternatives sont nombreuses.

L’objet de cet article est de présenter de manière synthétique les évolutions et la situation actuelle de la recherche, tant exploratoire qu’opérationnelle, en ce domaine. En proposant une explication succincte des différentes techniques utilisées et une comparaison des résultats obtenus, il souhaite offrir une vue d’ensemble des problèmes soulevés par la prédiction de la faillite. Il ne constitue cependant pas un recensement exhaustif des études réalisées. Non seulement un tel recensement eut été très difficile à réaliser compte tenu du nombre élevé de ces études, mais en plus il nous a semblé plus intéressant de mettre l’accent sur certains travaux représentatifs. Cet article s’inscrit donc dans la lignée de travaux tels que ceux de Malécot (1986), Dumontier (1991), voire Altman et Narayan (1997). Le développement récent de nouvelles méthodologies fondées sur l’intelligence artificielle et l’importance de leurs applications justifient qu’un nouvel état des lieux soit réalisé. Nous proposons à la fin de l’article un tableau récapitulatif des principales études citées, en privilégiant celles qui permettent une comparaison rigoureuse des différentes techniques disponibles. La première partie expose la méthodologie commune à l’ensemble des travaux considérés mais aussi les différentes modalités d’application empirique, dans la construction de l’échantillon, le choix des variables explicatives et la méthode de validation des résultats. La deuxième partie met ensuite l’accent sur la variété des techniques de classification utilisées : les méthodes statistiques paramétriques et non-paramétriques ainsi que les méthodes d’intelligence artificielle. Nous concluons en proposant une synthèse de l’efficacité de chacune des techniques présentées.

La majorité des auteurs considère la défaillance comme l’ouverture d’une procédure judiciaire [2]. Cependant, certains auteurs considèrent comme “défaillante” toute entreprise qui a connu un défaut depaiement, arguant que cet événementen lui-même préoccupe les créanciers. Le comité de Bâle met en effet l’accent sur l’estimation du risque de défaut et non sur celle du risque de faillite. La définition du défaut de paiement peut prendre plusieurs formes. Généralement, le risque de défaut réside en le non-respect par le débiteur de ses obligations financières : non-remboursement du capital ou non-versement des intérêts, violation d’un covenant [3]. Mais la définition peut être plus large et consister en une dégradation de la qualité de signature de l’entreprise : restructuration de la dette, diminution des dividendes versés, voire avis défavorable d’un audit ou encore détérioration du rating du débiteur.

Plusieurs possibilités sont alors envisageables. La plus traditionnelle consiste à opposer les entreprises qui ont fait l’objet d’une procédure collective aux autres entreprises. Il est également possible d’opposer les entreprises qui ont connu un défaut de paiement, y compris celles qui ont fait faillite, aux autres (Beaver, 1966). Au contraire, d’autres auteurs limitent l’échantillon des entreprises “défaillantes” à celles qui ont fait faillite. Ils excluent alors de la population des entreprises “non défaillantes” celles qui présentent une santé financière fragile – les entreprises “vulnérables”, répondant à un critère plus large que le simple défaut de paiement – afin d’obtenir une discrimination plus marquée (Altman et Loris, 1976 ; Altman, 1977 ; Taffler 1982). La qualité de la prévision n’est cependant pas accrue de manière significative. Une dernière approche a été envisagée : prévoir l’ouverture d’une procédure judiciaire, mais en sélectionnantexclusivementpour les deux sous-échantillons des entreprises qui ont connu des défauts de paiement (Flagg et alii, 1991) ou plus généralement des entreprises vulnérables. La qualité de la prévision peut se trouver affaiblie [4] à cause de la plus grande similitude des deux sous-échantillons [5].

Parallèlement à la définition de la défaillance, le choix de l’horizon de prévision est important. Il conditionne la date de la défaillance des entreprises et la date des données qui vont fonder la discrimination, l’écart de temps entre les deux étant l’horizon de prévision. Un arbitrage est à faire entre une échéance trop proche, dont l’intérêt est limité car ellen’autorise pas lesdécisions à même de limiter les pertes, voire d’éviter la faillite, et une échéance trop lointaine, qui interdit une prévision précise. Les études différent légèrement sur ce point, mais très généralement, deux horizons sont choisis : un an et trois ans avant la défaillance.

Les caractéristiques des entreprises : représentativité et homogénéité de l’échantillon La construction des deux sous-échantillons pose le double problème de la représentativité et de l’homogénéité des deux sous-échantillons. Afin que l’indicateur de risque puisse être appliqué à une entreprise quelconque, l’échantillon à partir duquel il est établi doit être représentatif de l’économie : du point de vue des secteurs d’activité, de la taille des entreprises mais également du rapport entre le nombre d’entreprises défaillantes et d’entreprises non-défaillantes. Cependant, cette représentativité crée une hétérogénéité qui est susceptible de créer un biais statistique : des facteurs explicatifs peuvent être masqués par des effets sectoriels ou des effets de taille. Afin de concilier ces deux exigences et d’améliorer la prédiction de la défaillance, plusieurs solutions ont été préconisées.

Soulignons en premier lieu que le problème ne se pose pas de manière identique selon la taille de l’échantillon. Si les premières études, de nature plus exploratoire, recouraient à un nombre restreint d’entreprises (66 pour Altman, 1968, par exemple), les études actuelles se fondent sur de larges échantillons (presque 1 000 entreprises pour Lennox, 1999, et plus de 40 000 pour le score de la Banque de France, cf. Bardos, 1998, par exemple). Lorsque le nombre d’entreprises exploitées est élevé, une bonne représentativité est possible. Elle doit cependant être vérifiée par la comparaison entre les caractéristiques de l’échantillon et celles de la population globale. Une autre manière d’obtenir un échantillon représentatif est de limiter la portée de l’indicateur à une population cible, définie par un secteur économique limité ou un intervalle restreint de taille des entreprises. Les entreprises de l’échantillon se situent alors dans ce secteur économique ou dans cet intervalle de taille (Trieschmann et Pinches, 1973 ; Altman, 1977 ; Altman et Loris, 1976 ; Calia et Ganuci, 1997). L’inconvénient d’une telle méthode est qu’elle exige que soit élaboré un indicateur par secteuret par taille. Se pose alors le problème du choix d’agrégation des secteurs économiques et de l’ampleur des intervalles de taille. Comment estimer le degré optimal d’homogénéité de l’échantillon ? Cependant, cette méthode présente l’avantage certain de concilier représentativité et homogénéité.

Si un échantillon hétérogène est utilisé, comment éviter le biais statistique qui en découle ? Une première possibilité est l’utilisation de “ratios relatifs”. Rapporter la valeur prise par un ratio dans une entreprise donnéeà savaleur moyenne au sein du secteur considéré permet en effet d’atténuer la spécificité sectorielle (Lev, 1969 ; Izan, 1984, ou encore Platt et Platt, 1990). Platt et Platt (1991) élaborent deux indicateurs, à partir des mêmes données, mais l’un utilise les ratios relatifs, l’autre les ratios absolus. Le premier est plus performant (cf. tableau récapitulatif). Néanmoins, peut-être à cause de sa lourdeur, comme le supposent les auteurs, cette solution est peu utilisée. La méthode la plus usitée consiste à procéder par appariement, en faisant correspondre à toute entreprise défaillante une entreprise non-défaillante de même taille et appartenant au même secteur économique (Mossman et alii, 1998). Lorsqu’une contrainte relative à la disponibilité des données existe, cette méthode est celle qui réduit au mieux le biais statistique lié à l’hétérogénéité de la population.

L’inconvénient est que l’échantillon des entreprises défaillantes est alors nécessairement de la même taille que celui des entreprises non-défaillantes : un autre biais peut apparaître dans l’estimation des paramètres, car la structure de la population globale n’est pas respectée (Malécot, 1986). Ce problème se pose d’ailleurs quel que soit le mode d’échantillonnage à cause de la rareté de la défaillance. Or le résultat de certaines techniques de classification dépend de la taille respective des deux échantillons [6]. Afin de limiter ce biais, il est possible – sauf pour la méthode d’appariement – de rendre le rapport de taille des deux échantillons conforme à la probabilité de défaillance a priori. Cette probabilité correspond au taux de défaillance de la population globale ou de la population cible. Il est néanmoins plus fréquent [7] que le biais créé soit corrigé lors de l’élaboration de l’indicateur, en tenant compte alors de la probabilité de défaillance a priori.

Les variables explicatives retenues, majoritairement des ratios comptables, sont diverses. Rose et Giroux (1984) en ont recensé plus de 130 différentes. Cependant, les caractéristiques des entreprises prises en compte sont généralement similaires. Conformément à l’enseignement de l’analyse financière, la rentabilitéde l’entreprise (économique ou financière), la structure de son bilan et sa capacité de remboursement sont les trois éléments les plus corrélés à la défaillance.

La rentabilité économique met en relation une variable de résultat économique avec l’actif total, le capital engagé [9], les immobilisations productives ou le capital économique [10]. Le résultat considéré peut être le résultat d’exploitation (Altman, 1968 ; Taffler, 1982; Flagg et alii, 1991; Michalopoulos et alii, 1993), le résultat global – pour la mesure du return on assets par exemple (Weiss, 1996) – ou le résultat net (Burgstahler et alii, 1989 ; Calia et Ganugi, 1997). La rentabilité financière met en rapport une variable de résultat avec le capital financier. Elle est souvent exprimée par le ratio résultat global sur capitalisation boursière (return on equity) (Mensah, 1984).

La structure du bilan met en rapport un élément d’actif et un élément du passif ou deux éléments de passif, voire deux éléments d’actif. Elle permet de rendre compte d’éventuels déséquilibres qui peuvent mener l’entreprise au non-respect de ses engagements financiers. Elle est principalement appréhendée de trois manières. Le rapport entre l’actif total et l’endettement total rend compte de la solvabilité de l’entreprise (Deakin, 1972 ; Rose et Giroux, 1984 ; Burgstahler et alii, 1989 ; Michalopoulos et alii, 1993; Altman et alii, 1994); la solvabilité est également mesurée par le ratio endettement total sur fonds propres (Mensah, 1984; Weiss, 1996; Flagg et alii, 1991; Platt et Platt,1991). Le rapport entre les actifs liquides – souvent hors stocks – et le passif exigible à court terme mesure le risque d’illiquidité (Deakin, 1972; Houghton, 1984; Burgstahler et alii, 1989 ; Michalopoulos et alii, 1993). Enfin, le ratio dettes à court terme sur dettes à long terme permet d’intégrer la nature de l’endettement (Platt et Platt, 1991). D’autres ratios de structure de bilan sont envisagés, plus marginalement, comme le ratio dettes à long terme sur fonds propres (Houghton, 1984; Rose et Giroux 1984) ou le ratio actifs liquides sur actif total (Deakin, 1972; Taffler, 1982).

Le dernier des trois facteurs les plus explicatifs, la capacité de remboursement, est mesuré de différentes manières : par le ratio cash flow [11] sur dette totale (Deakin, 1972 ; Frydman et alii, 1985; Calia et Ganugi, 1997), par le ratio intérêts dus sur chiffre d’affaires (Rose et Giroux, 1984), par le ratio revenu d’exploitation sur intérêts dus (Calia et Ganugi, 1997) [12].

Parallèlement à l’utilisation standard de ratios comptables, certains auteurs ont tenté d’exploiter des données différentes. Une première idée a été de prévoir la faillite à partir des flux de trésorerie de l’entreprise, donc de grandeurs absolues et non plus de grandeurs relatives (Gentry et alii, 1985; Aziz et alii, 1988 ; Reilly, 1990). La faillite est en effet supposée survenir lorsque la valeur de l’entreprise devient trop faible pour qu’un créancier accepte de continuer à la financer en cas de défaut de paiement. Le recours aux flux de trésorerie est donc légitime puisque la valeur d’une entreprise est égale à la somme actualisée de ses cash flows futurs. Ajouter des flux de trésorerie aux ratios comptables améliore la qualité de la prévision de la faillite, quelle que soit la technique de classification utilisée, dans les trois modèles cités.

Une autre idée a été de prendre en compte l’évolution du cours de l’action de l’entreprise (Beaver, 1966 ; Altman et Brenner, 1981; Clark et Weistein, 1983). Le cours se détériore de un an à trois ans avant le dépôt de bilan. Aharony et alii (1980) ont élaboré un modèle de prédiction de la faillite en se fondant sur la variation du taux de rendement des actions. Ils constatent que plus la faillite est imminente plus le risque spécifique [13] des titres s’accroît. Les deux méthodes ont été utilisées par Mossman et alii (1998) : elles procurent une prévision de la faillite moins performante qu’une analyse discriminante menée sur les données comptables des mêmes entreprises. Le recours aux données de marché est peu courant, ne serait-ce que parce qu’il exclut la majorité des PME, notamment en France.

Enfin, conjointement aux données comptables, des informations liées à l’organisation de l’entreprise ou à la nature de son financement, par exemple, peuvent être utilisées. Citons l’étude de Foglia et alii (1998) qui introduit comme variable explicative d’une analyse discriminante le nombre de banques auprès desquelles les entreprises sont endettées. Le lien positif qui existe entre cette variable et le risque de l’entreprise permet d’améliorer la prévision de la défaillance [14].

L’ensemble des études juge cependant l’efficacité de leur indicateur par une mesure commune : le taux de bons classements qu’il procure. Le taux de bons classements des entreprises non-défaillantes est la part des entreprises non défaillantes correctement classées dans l’ensemble des entreprises non-défaillantes considérées. L e taux de bons classements des entreprises défaillantes est la part des entreprises défaillantes correctement classées dans l’ensemble des entreprises défaillantes considérées. Une mesure globale est également envisageable : la moyenne des taux de bons classements pondérés par l’effectif respectif de chaque sous-échantillon (taux de bons classements apparent) ou pondérés par les probabilités a priori de défaillance et de non-défaillance.

La divergence entre les études se situe dans la construction de l’échantillon qui sert à calculer les taux de bons classements, nommé “échantillon test”. Les auteurs qui disposent d’une très vaste base de données mesurent les taux de bons classements à partir d’un échantillon d’entreprises défaillantes et d’entreprises non-défaillantes distinct de l’échantillon qui a servi à l’élaboration de l’indicateur (l’échantilloninitial) : Bardos(1998a) et Varetto (1998) par exemple.

Dans d’autres études, l’échantillon qui sert à la validation est l’échantillon initial (Platt et Platt, 1991 ; Altman et alii, 1994). Une telle validation est sujette à caution : l’indicateur élaboré peut être performant pour l’échantillon initial et ne pas l’être pour l’ensemble des entreprises ; le taux de bons classements ainsi calculé – le taux apparent – ne constitue pasunestimateursans biais dutaux de bons classements de la population globale. Or c’est en fait ce taux – le taux réel de bons classements – et uniquement ce tauxqui rendpleinement compte de la qualité d’un indicateur du risque de faillite. Aussi, la majorité des auteurs optent-ils pour des méthodes de validation qui permettent de réduire le biais dans l’estimation du taux réel de bons classements lorsqu’ils ne disposent pas d’un échantillon test distinct de l’échantillon initial : validation croisée, Jack-knife et Bootstrap [15].

L es trois méthodes se fondent sur un rééchantillonage des n entreprises qui constituent l’échantillon initial. La validation croisée d’ordre V consiste à découper l’échantillon initial en V sous-échantillons de taille approximativement égale, puis à estimer l’indicateur de risque à partir de V-1 groupes pour enfin calculer le taux de bons classements sur le V^ième groupe. L’opération est réalisée V fois, chaque sous-groupe servant successivement au calcul d’un taux de bons classements. Le taux de bons classements théorique est estimé par la moyenne des V taux de bons classements empiriques. Le Jack-knife consiste à construire n sous-échantillons de n -1 entreprises, en négligeant successivement chacune des n entreprises de l’échantillon initial. À partir des n sous-échantillons sont estimés n indicateurs de risque pour lesquels n taux de bons classements sont calculés sur l’échantillon initial. Le taux de bons classements théorique est estimé par la moyenne des n taux de bons classements empiriques. Le bootstrap consiste à construire un échantillon à partir d’un tirage aléatoire avec remise des entreprises de l’échantillon initial. L’échantillon construit est généralement de même taille que l’échantillon initial. Un indicateur est élaboré à partir de l’échantillon construit et le taux d’erreur de classement qu’il procure est calculé sur l’échantillon initial. Un taux d’erreur apparent est également calculé sur l’échantillon construit. L’écart entre les deux taux d’erreur de classement est mesuré. L’opération est réitérée un nombre de fois suffisant pour réduire voire éliminer le biais. Le taux d’erreur de classement théorique est estimé par le taux d’erreur apparent calculé sur l’échantillon initial auquel s’ajoute la moyenne empirique des écarts.

Il convient donc de comparer les performances des différentes études avec circonspection, le niveau des taux de bons classements dépendant du mode de validation choisi par les auteurs. Cependant, les trois méthodes de rééchantillonage citées permettent non seulement de calculer une moyenne des taux de bons classements mais également un intervalle de confiance de cette moyenne. La précision de la prévision est donc connue et peut être comparée d’une étude à l’autre.

La méthodologie unidimensionnelle de Beaver, 1966 Bien que les premiers travaux relatifs à la prédiction des faillites d’entreprises à partir de données comptables soient l’œuvre de Tamari (1964), les articles de Beaver (1966) puis d’Altman (1968) semblent avoir été le réel point de départ et la référence des nombreuses études empiriques publiées depuis trente ans. Beaver (1966) élabore une classification dichotomique unidimensionnelle, c’est-à-dire fondée sur un ratio unique. Sa méthode, de nature exploratoire, n’est plus appliquée actuellement. Nous la présentons donc succinctement.

L’objectif de Beaver est de classer les entreprises sur la base du ratio le plus discriminant. Pour ce faire, il sélectionne initialement pour chaque entreprise de son échantillon différents ratios comptables, censés, d’après l’analyse financière, être d’autant plus élevés que la santé financière des entreprises est saine. Ilestime la valeurprédictivede chaqueratio de la manière suivante. Dans un premier sous-échantillon, il classe les entreprises en fonction de la valeur prise par un ratio particulier. Il choisit un seuil critique : toute entreprise présentant un ratio inférieurauseuilestconsidérée comme défaillante et au contraire toute entreprise présentant un ratio supérieur est considérée comme non-défaillante. Le seuil critique est déterminé de manière à maximiser le taux de bons classements dans le premier sous-échantillon. Un classement des entreprises du second sous-échantillonestensuite réaliséàpartir du seuil critique précédemment déterminé et un autre taux de bons classements est calculé. C’est ce taux qui fonde la sélection finale du ratio le plus discriminant.

À un an de la défaillance, le ratio cash flow sur endettement total est le plus discriminant; il permet de classer correctement 87% des entreprises. Ce ratio est également celui qui fournit la meilleure prévision trois ans avant la faillite : le taux de bons classements est alors égal à 77%. La méthode de Beaver (1966) fournit donc un indicateur à la fois simple et efficace. Le manque de robustesse lié à l’unicitédu ratioutilisé explique sans douteque cette méthode n’ait été que rarement exploitée par la suite (Deakin, 1972 ; Gebhardt, 1980). Les analyses multidimensionnelles, permettant une description plus riche de la situation de l’entreprise, sont maintenant utilisées de manière systématique.

Des ratios, au nombre de K, sont sélectionnés initialement au sein de l’ensemble vaste des ratios susceptibles d’être explicatifs de la défaillance. Sont conservés ceux qui limitent le problème de multicolinéarité tout en possédant le pouvoir de discrimination le plus élevé. L’ensemble des entreprises peut ainsi être représenté dans l’espace ℜ^K. L’objectif de l’analyse discriminante est de séparer l’espace ℜ^K en deux sous-espaces : le sous-espace des entreprises défaillantes et le sous-espace des entreprises non-défaillantes. Chaque sous-espace contient des entreprises de l’autre groupe, puisque les K ratios ne caractérisent qu’imparfaitement les deux catégories d’entreprises. L’analyse discriminante vise à déterminer l’hyperplan H* qui sépare au mieux les deux groupes. H* doit donc être tel qu’à la fois le nombre d’entreprises défaillantes présentes dans le sous-espace des entreprises non-défaillantes soit minimal et que le nombre d’entreprises non défaillantes inclues dans le sous-espace des entreprises défaillantes soit minimal. L’entreprise dont on désire connaître le risque de faillite – que nous appellerons l’entreprise A – est ensuite affectée au groupe qui correspond au sous-espace où ses coordonnées x la situent. Cette démarche revient à _A rattacher l’entreprise A au groupe dont le centre lui est le plus proche. Il convient donc d’établir une mesure de distance : la distance à un groupe est définie comme ladistance aupoint moyen du groupe, suivant une métrique particulière [18].

Soit S x( ) =0 l’équation de l’hyperplan H* dans l’espace ℜ^K. S est une combinaison linéaire des K ratios considérés. La valeur prise par la fonction S(.) au point x détermine l’affectation de l’entreprise à _A partir du vecteur x de ses K ratios : si S x( )> 0, _AA l’entreprise A est classée parmi les non-défaillantes, si S x( )< 0, l’entreprise A est classée parmi les _A défaillantes et si S x( ) =0 il est impossible de _A classer l’entreprise A. La valeur prise par la fonction score fournit également un indicateur du risque de faillite de l’entreprise. L’analyse discriminante linéaire permet ainsi de raisonner dans un espace à une dimension au lieu de K, nombre de variables explicatives exploitées. Elle permet également de connaître directement la contribution de chaque variable au risque de l’entreprise.

L’analyse d’Altman (1968) se révèle plus efficace que celle menée par Beaver (1966) un an avant la défaillance puisqu’elle aboutit à un taux de bons classements global de 95% sur l’échantillon initial. Cependant, calculé sur un échantillon test distinct de l’échantillon initial, le taux de bons classements un an avant la défaillance est égal à 82% et donc inférieur au taux fourni par l’analyse de Beaver (qui était égal à 87%, calculé sur un échantillon test distinct de l’échantillon initial). Il peut sembler surprenant qu’ajouter des variables explicatives n’améliore pas la prévision. Cependant, comparer l’efficacité de deux prévisions réalisées à partir de deux échantillons différents est délicat, ce d’autant plus que leur taille est réduite (158 entreprises pour l’étude de Beaver, 1966, et 66 pour celle d’Altman, 1968). De plus leur objectif est différent : Beaver (1966) désire prévoir tout défaut de paiement alors qu’Altman (1968) se concentre sur le dépôt de bilan. Une comparaison entre les deux études ne peut donc être faite qu’avec prudence. Deakin (1972), en confrontant les deux méthodes à partir d’un même échantillon, tend à montrer la supériorité de l’analyse discriminante linéaire pour prévoir le dépôt de bilan. À un an de la faillite, elle classe correctement 87% des entreprises, alors que la classification unidimensionnelle élaborée par Beaver ne classe correctement que 80% des entreprises.

Plusieurs inconvénients sont liés à l’utilisation de l’analyse discriminante linéaire. Des modifications importantes ont été réalisées pour y remédier et elle a été la technique la plus usitée pendant 30 ans [19], tous pays confondus [20]. La première modification de la méthode est liée à l’intégration des coûts d’erreurs de classement et de la probabilité de défaut a priori. En effet, il peut tout d’abord être important pour le décideur – principalement un banquier ou un assureur crédit – de prendre en compte le fait que le coût des erreurs de type I (considérer qu’une entreprise défaillante est non-défaillante) est différent du coût des erreurs de type II (considérer qu’une entreprisenon-défaillanteestdéfaillante). Le coût d’une erreur de type I – noté c_D^ND – représente la perte totale ou partielle sur les nouveaux crédits octroyés à cause d’une mauvaise estimation du risque. Le coût d’une erreur de type II – noté c_ND^D – représente un coût d’opportunité pour la banque [21]. Par ailleurs, le seuil de décision présenté ci-dessusne tient pas compte de la probabilité a priori qu’une entreprise soit défaillante ou non-défaillante [22]. Si, par exemple, les deux types d’erreur ont le même coût, mais que la probabilité de défaut a priori est faible, une entreprise située à équidistance des deux groupes devrait être considérée comme non-défaillante.

La règle de décision de Bayes permet d’utiliser la fonction score tout en prenant en compte les coûts d’erreur de classement et la probabilité de défaut a priori. Notons Ï€ la probabilité a priori qu’une _j entreprise quelconque appartienne au groupe j, où j peut désigner le groupe des défaillantes ( )j D= ou celui des non-défaillantes ( )j ND=. Notons f x j( | ) la fonction de densité du vecteur des A coordonnées x de l’entreprise A conditionnelle à _A l’appartenance au groupe j. L’expression f x j( | )

A correspond à la probabilité conditionnelle que l’entreprise soit caractérisée par les coordonnées x alors qu’elle appartient au groupe j. Alors _A f j x( | ), la probabilité a posteriori pour _A l’entreprise A d’appartenir au groupe j sachant x, se _A déduit du théorème de B ayes :

L es probabilités a posteriori ne donnent pas lieu directement à une classification binaire des entreprises mais à la construction de classes de risques [23].

Si les coûts d’erreur de classement sont intégrés au critère de décision bayesienne, A est affectée au groupe des défaillantes si et seulement si : f x D c c f x NDA DND D NDD ND A ( | ) ( | )Ï€ Ï€≥. Cela signifiequela proportion des entreprises affectées au groupe des entreprises défaillantes croît avec le coût associé au mauvais classement d’une entreprise défaillante. Au contraire, plus le fait de considérer une entreprise non-défaillante comme défaillante est coûteux, plus la proportion d’entreprises affectées au groupe des non-défaillantes augmente.

Si lesfonctionsde densité desdeuxsous-populations sont multinormales et homoscédastiques, la fonction score S(.) permet de classer une entreprise A à partir du vecteur x de ses K ratios en fonction de la règle _A bayesienne de la manière suivante :

A est classée parmi les non-défaillantes, A est classée parmi les défaillantes.

Une lecture directe de la fonction score permet ainsi la classification des entreprises. Soulignons cependant que la détermination d’un seuil de classification est secondaire par rapport à la valeur de la fonction score en-elle même qui fournit une indication du risque de l’entreprise. La première raison en est la difficulté d’évaluer les coûts d’erreur de classement. La seconde raison est qu’une fonction score a pour fonction d’aider à la décision et non de fonder seule la décision.

D’autres modifications ont été apportées, afin de limiter les inconvénients liés à la linéarité de la fonction score construite par l’analyse discriminante de Fisher. Cette caractéristique implique que chaque ratio influence toujours dans le même sens le risque de faillite. Or certaines variables n’ont pas un impact monotone sur lasantéde l’entreprise. Par exemple, le lien entre la taille de l’entreprise et son risque est croissant pour les petites entreprises puis il est décroissant au delà d’une certaine taille [24]. De plus, la linéarité signifie que l’élasticité du score par rapport au ratio est monotone. Le lien entre le risque et les ratios choisis est donc soumis à des contraintes structurelles qui peuvent nuire à l’efficacité de l’analyse discriminante. Pour lever ces contraintes, Bardos (1989) applique à la prévision de la faillite la méthode DISQUAL, établie par Saporta (1977). Les variables comptables continues sont réparties en intervalle et ainsi transformées en variables qualitatives. L’absence de monotonie dans le lien entre le niveau des ratios et le niveau de risque de l’entreprise peut alors être pris en compte. L’indicateur ainsi construit est cependant moins performant que le score construit par une discrimination linéaire appliquée aux mêmes données. La plus grande robustesse du score est invoquée par Bardos (1989) pour expliquer ce résultat.

L’analyse discriminante linéaire présente un autre inconvénient majeur : elle requiert des conditions statistiques strictes. Les variables comptables utilisées doivent en effet suivre une loi multinormale et leurs matrices de variance-covariance doivent être les mêmes pour l’échantillon des entreprises défaillantes et pour celui des entreprises non-défaillantes [25]. Face à la contrainte d’homoscédasticité, certains auteurs ont recouru aux analyses discriminantes quadratiques, qui n’exigent que l’hypothèse de multinormalité des ratios (Lachenbruch et alii, 1973; Marks et Dunn, 1974; Rose et Giroux, 1984, par exemple). À notre connaissance, l’analyse discriminante quadratique n’est plus utilisée depuis le milieu des années quatre-vingt. Si théoriquement elle est plus pertinente que l’analyse linéaire en cas d’hétéroscédasticité, dans les faits elle est moins performante, principalement pour deux raisons. Premièrement, l’absence de multinormalité des ratios est beaucoup plus nuisible à l’efficacité de l’analyse quadratique qu’à celle de l’analyse linéaire (Lachenbruch, 1975); deuxièmement, même en cas de respect de l’hypothèse de multinormalité, l’analyse discriminante quadratique n’est performante que si elle est appliquée à un échantillon très large. La complexité du modèle quadratique rend par ailleurs difficile l’analyse du rôle joué dans le processus de défaillance par les différentes variables considérées.

L’analyse discriminante linéaire reste actuellement la méthode la plus utilisée. La fonction score, grâce à l’analyse de la contribution de chaque ratio, constitue une aide à la compréhension de la faillite. De surcroît, grâce à sa robustesse temporelle, elle offre la meilleure classification. De nombreuses études – principalement dans les années quatre-vingt dix – confrontent l’analyse discriminante linéaire aux autres techniques de classification (Collins, 1980; Rose et Giroux, 1984; Altman et alii, 1994; Calia et Ganuci, 1997; Kira et alii, 1997; Bardos et Zhu, 1997 ; Varetto, 1998). La majorité aboutit au résultat suivant : les taux de bons classements obtenus par l’analyse discriminante linéaire sont supérieurs à ceux fournis par les autres méthodes pour les mêmes données. La supériorité de la première n’est cependant pas systématique (Bardos et Zhu, 1997; Calia et Ganuci, 1997, notamment).

Dans les deux modèles, la variable endogène y est une variable qualitative, ici dichotomique [26] : elle prend la valeur 0 ou 1, selon que l’entreprise est défaillante ou non. Supposons que y soit nul pour les entreprises défaillantes et égal à un pour les entreprises non-défaillantes. Le vecteur x des variables exogènes est composé de K ratios économiques et financiers retenus pour leur qualité discriminante et leur faiblecorrélation entre elles. Le modèle requiert que les ratios choisis soient liés au risque de l’entreprise de façon linéaire. Le modèle estimé s’écrit :

où ε exprime l’erreur associée à l’entreprise i et β le _i vecteur des coefficients.

Des probabilités de défaut a posteriori sont alors aisément calculables; la probabilité a posteriori que l’entreprise i soit défaillante est égale à :

où F est la fonction de répartition des erreurs ε. Rappelons que la loi normale et la loi logistique sont symétriques. L’erreur ε est d’espérance nulle.

La probabilité a posteriori que l’entreprise i ne soit pas défaillante est :

Soit :

Le modèle Logit suppose que les erreurs suivent une loi logistique; leurfonctionderépartitionF s’écrit:

La probabilité a posteriori que l’entreprise i soit défaillante s’écrit alors P y e i { } ( )= = +⁻ 0 1^β x_i

Le modèle Probit suppose que les erreurs suivent une loi normale; leur fonction de répartition F s’écrit :

La probabilité a posteriori que l’entreprise i soit défaillantes’écritalors

Comme précédemment, les probabilités a posteriori constituent des aides à la décision; elles permettent la construction de classes de risque. Si l’on désire affecter une entreprise A à l’un des deux groupes à partir de la probabilité de faillite, il est possible de déterminer un seuil de décision, ici un seuil de probabilité P. Si sa probabilité de faillite estimée est supérieure à P, alors l’entreprise A est considérée comme défaillante; inversement, si sa probabilité de faillite estimée est inférieure à P, elle est considérée comme non-défaillante. P est choisi de manière à maximiser la qualité du classement.

Les prévisions élaborées à partir des modèles Logit et Probit sont de bonne qualité : à un horizon d’un an, Platt et Platt (1991) aboutissent à des estimations du taux réel de bons classements égales à 85% pour les entreprises défaillantes et à 88% pour les entreprises non-défaillantes; Mossman et alii (1998) estiment leur taux de bons classements des entreprises défaillantes égal à 80% et celui des entreprises non-défaillantes égal à 70%. Si Bardos (1989), comparant la discrimination linéaire aux modèles Probit à partir des mêmes données, tend à montrer la supériorité de la première, a priori grâce à sa plus grande robustesse, des études plus récentes aboutissent à la conclusion inverse. Par exemple, Kira et alii (1997) et Lennox (1999) obtiennent de meilleurs taux de bons classements respectivement par un modèle Logit et Probit que par un modèle d’analyse discriminante linéaire.

À chaque nœud, le sous-groupe est scindé en deux sous-groupes au regard d’un ratio unique, qui doit avoir un lien monotone avec le risque de faillite. Un ratio et un seuil de décision sont choisis : les entreprises qui présentent une valeur de ce ratio inférieure au seuil sont classées dans le premier sous-groupe, les autres dans le second sous-groupe. Le ratio et le seuil sont fixés de manière à réduire au mieux l’impureté. L’un des sous-groupes contient une proportion plus forte d’entreprises défaillantes et l’autre une proportion plus forte d’entreprises non-défaillantes. Chaque sous-groupe ainsi formé est ensuite également décomposé en deux autres sous-groupes, à l’aide d’un autre ratio, jusqu’à ce que la pureté du nœud – donc l’homogénéité des sous-groupes d’entreprises – soit jugée suffisante. Afin de classer une entreprise quelconque, il suffit de lui appliquer l’arbre décisionnel. Elle est considérée défaillante si in fine elle se situe dans un groupe constitué majoritairement d’entreprises défaillantes. Soulignons que cette méthode permet de prendre en compte le coût des erreurs de classement et les probabilités de défaut a priori.

Pour un horizon temporel de un an, Frydman et alii (1985) aboutissent à un taux de bons classements égal à 89% ou 80% [27]. Bardos (1989) obtient un taux de bons classements égal à 69,6% pour les entreprises non-défaillantes ; pour les entreprises défaillantes, le taux est égal à 74,9% à un an de la faillite et égal à 61,2% à trois ans de la faillite. Même si dans l’étude de Bardos (1989) le partitionnement récursif est un peu moins efficace que l’analyse discriminante linéaire réalisée sur les mêmes données, cette méthode de classification est performante.

Le partitionnement récursif est cependant peu utilisé dans la prévision de la faillite. Une des explications envisageables est que cette méthodologie, contrairement à l’analyse discriminante linéaire, est très sensible au choix des probabilités de défaut a priori et des coûts d’erreur de classement. Ces variables conditionnent en effet à chaque nœud le ratio sélectionné. De plus, le partitionnement récursif requiert qu’à chaque nœud soit déterminée une valeur seuil pour le ratio considéré, ce qui nuit à la stabilité temporelle de l’indicateur.

Rappelons que les méthodes paramétriques d’estimation des lois de probabilités consistent à considérer une loi donnée, par exemple la loi normale, puis à évaluer empiriquement ses paramètres, en l’occurrence l’espérance et la variance ; elles supposent qu’un nombre fini de paramètres parviennent à décrire de façon suffisamment fidèle l’intégralité des évolutions possibles de la variable considérée. Le principe des méthodes non-paramétriques est, au contraire, de ne pas s’appuyer sur une forme spécifique de loi déterminée a priori. Elles supposent qu’en présence de points extrêmes, les méthodes paramétriques en rendent compte imparfaitement. L’idée est alors de lisser les observations afin de mettre en évidence les évolutions principales. Le lissage consiste à estimer localement la fonction de densité par une moyenne pondérée localedesfréquences. Un pointestpondéré d’autant plus fortement qu’il est proche du point x en lequel la fonction de densité est estimée. Le paramètre de lissage est crucial car il détermine la taille du voisinage, c’est-à-dire le nuage de points pris en considération pour estimer localement la fonction de densité; il fixe également la pondération de chaque point. Il conditionne donc la précision de l’estimation.

Calia et Ganuci (1997) utilisent la méthode du noyau et la méthode du plus proche voisin, qui sont les deux modalités d’estimation les plus utilisées. Elles se différencient par la détermination du voisinage. La méthode du noyau considère un intervalle de largeur donnée autour du point x, le nombre de points considérés pour l’estimation étant variable. La méthode du plus proche voisin, au contraire, ne prend en considération que les k points les plus proches de x, l’intervalle étant variable. Après avoir ainsi estimé la fonction de densité de chaque ratio pour l’échantillon des entreprises défaillantes et des entreprises non-défaillantes, les auteurs appliquent la règle de décision de Bayes afin de classer les entreprises. Les paramètres de lissage de chaque méthode sont fixés de manière à obtenir la meilleure prévision possible.

À un an de la faillite, le taux global de bons classements estimé par Calia et Ganuci (1997) à partir d’un échantillon test distinct de l’échantillon initial est égal à 68% lorsque l’estimateur du noyau est utilisé et il est égal à 74,2% pour l’estimateur du plusprochevoisin. L’indicateur ainsiélaboré est plus performant que l’analyse discriminante linéaire et quadratique sur les mêmes données, puisque ces techniques fournissent un taux de bons classements, estimé dans les mêmes conditions, respectivement égal à 60,9% et 61,8%. Le principal défaut de cette méthode statistique est le nombre important de données qu’elle requiert, par rapport à l’estimation paramétrique de la loi de distribution des ratios.

Trois sortes de neurones existent : les neurones d’entrée, les neurones de sortie et les neurones cachés. Les neurones d’entrée ont pour inputs les K ratios comptables pré-sélectionnés; les neurones de sortie ont pour output la variable dichotomique défaillant / non-défaillant. Les neurones cachés sont des neurones qui traitent l’information entre les neurones d’entréeet les neurones de sortie. Le réseau utilisépeut être plus ou moins complexe, c’est-à-dire être constitué d’un nombre variable de couches de neurones. Une couche est un ensemble de neurones qui ne s’échangent pas d’information entre eux. En revanche, au sein de chaque couche les neurones sont connectés aux neurones de la couche précédente : l’ensemble des outputs d’une couche constitue par conséquent l’ensemble des inputs de la couche suivante. Les poids attribués à chaque input déterminent ainsi la transmission de l’information. L’analyse discriminante peut être considérée comme un réseau de neurones constitué d’un neurone unique dont les inputs seraient les valeurs des ratios comptables et l’output la valeur du score, output généré par transformation linéaire, qui constitue la fonction de transfert.

Pendant la phase d’apprentissage, le réseau est appliqué successivement à toutes les entreprises de l’échantillon. L’erreur de classement est calculée puis les poids des inputs sont modifiés de manière à réduire cette erreur ; c’est en effet par la variation progressive de ces pondérations que se réalise le processus d’apprentissage. L’ensemble deces étapes est réitéré jusqu’à l’obtention de la classification optimale, c’est-à-dire de la minimisation de l’erreur de classement. À la fin de la phase d’apprentissage, le réseau permet de classer une entreprise quelconque dans le groupe des entreprises défaillantes ou dans celui des entreprises non-défaillantes, avec un seuil d’erreur connu.

Les différents modèles de prévision de la faillite qui recourent aux réseaux de neurones se distinguent par la complexité du réseau (c’est-à-dire son nombre de couches et le nombre de neurones par couche) et par la fonction de transfert utilisée [30]. De nombreuses études récentes se sont attachées à comparer les performances des réseaux de neurones aux techniques statistiques citées précédemment. Certaines tendent à montrer leur supériorité par rapport à l’analyse discriminante (Chung et Tam, 1993; Coats et Fant, 1993). L’étude d’Altman et alii (1994) présente un bilan plus mitigé : à un an de la faillite, les réseaux de neurones aboutissent à un taux de bons classements égal à 91,8% pour les entreprises défaillantes et à un taux égal à 95,3% pour les entreprises non-défaillantes. L’analyse discriminante linéaire menée sur le même échantillon aboutit à un classement légèrement meilleur : 92,8% pour les entreprises défaillantes et 96,5% pour les entreprises non-défaillantes. Kira et alii (1997) aboutissent à la même conclusion. Le taux global de bons classements à un an de la défaillance est égal à 93,3% lorsque l’analyse discriminante est utilisée; il est égal à 90% avec un réseau de neurones. La régression Logit est plus performante, fournissant un taux de bons classements égal à 95,5%. Cependant, les différences sont ténues, comme le confirme l’étude de Bardos et Zhu (1997) : l’analyse discriminante linéaire classe correctement 68,3% des entreprises défaillantes et 75,3% des entreprises non-défaillantes alors que le réseau de neurones le plus performant classe correctement 61,3% des entreprises défaillantes et 82,8% des entreprises non-défaillantes.

Les réseaux de neurones permettent donc une prévision efficace de la faillite des entreprises. L’avantage principal de ce procédé consiste en l’absence de restrictions statistiques relatives à la distribution des variables et des erreurs et en l’absence de spécification ex ante d’une forme fonctionnelle. Cependant, plusieurs problèmes existent : le mécanisme d’apprentissage peut être long; la robustesse du réseau à des modifications de l’environnement économique n’est pas encore prouvée, une mise à jour fréquente peut s’avérer nécessaire; enfin la logique qui sous-tend le réseau est difficile à interpréter alors que la fonction score fournit des outilssimplesd’analyse deladéfaillance.

Le principe d’un algorithme génétique est d’imiter le processus d’évolution naturelle des espèces. Il se fonde sur les trois principes du Darwinisme : sélections et reproductions des individus les “meilleurs”, croisements génétiques et mutations aléatoires des gènes. L’algorithme génétique analyse donc des populations de solutions – c’est-à-dire des modes de traitement de l’information propres à prévoir la défaillance – et évalue leur qualité, en l’occurrence le taux de bons classements des entreprises qu’elles fournissent. L’algorithme conserve alors les modes de résolution les plus efficaces et les combine, éventuellement en génère de nouveaux de façon aléatoire. Il aboutit alors à une nouvelle population desolutions, plus homogène. La procédure est réitérée et elle s’arrête lorsque la population de solutions atteint un certain niveau d’homogénéité, fixé préalablement, tel qu’il est difficile d’améliorer “l’espèce” par de nouveaux croisements. L’algorithme peut finalement classer toute entreprise dans le groupe des entreprises défaillantes ou dans le groupe des entreprises non défaillantes.

Varetto (1998) compare l’efficacité d’un algorithme génétique à celle d’une analyse discriminante linéaire. Il considère deux formes d’algorithmes génétiques. Le premier algorithme génère des combinaisons linéaires de ratios comptables. Les coefficients des ratios ainsi que la constante sont successivement modifiés afin d’aboutir à la combinaison la plus discriminante. Le second algorithme génère une fonction score non-linéaire. Les résultats sont presque aussi bons que ceux fournis par l’analyse discriminante linéaire alors que la méthodologie de l’algorithme génétique n’exige pas les restrictions statistiques induites par l’analyse discriminante. Barney et alii (1999) incorpore un algorithme génétique dans un réseau de neurones. L es taux de bons classements obtenus sont supérieurs à ceux donnés par une régression Logit, effectuéesurle mêmeéchantillon. ShinetLee (2002) obtiennent également des résultats prometteurs – puisque cette technique est encore dans une phase exploratoire. Cependant, les algorithmes génétiques présentent le même inconvénient que les réseaux de neurones, la difficile interprétation du rôle joué par chaque variable dans le processus de défaillance. Soulignons néanmoins que l’article de Shin et Lee (2002) prouve que les algorithmes génétiques peuvent fournir des règles de décision claires.

L’analyse discriminante linéaire, après une phase exploratoire lors des années soixante-dix, est la méthodela plus utiliséedu pointde vue opérationnel. Ellefournit en effetpour le moment les prévisionsles plus robustes. De plus, la fonction score qu’elle permet d’établir est riche d’applications utiles pour les praticiens, comme le calcul de probabilité a posteriorioulaconstruction declassesderisques [34].

D’autres méthodologies ont été mises au point comme l’analyse discriminante quadratique, les régressions sur variables qualitatives ou encore les techniques non-paramétriques comme l’estimateur fondé sur la méthode du noyau. Leur objectif était principalement d’éviter les contraintes statistiques imposées par la discrimination linéaire. Ces techniques ne sont néanmoins pas aussi utilisés dans la pratique que la discrimination linéaire, principalement à cause de problèmes de robustesse (pour l’analyse discriminante quadratique) ou de disponibilité des données (pour les techniques non-paramétriques). Cependant, la qualité des prévisions fournies par les régressions sur variables qualitatives est proche de celle offerte par l’analyse discriminante linéaire.

Les récentes techniques empruntées à l’intelligence artificielle, tels les réseaux de neurones et les algorithmes génétiques, connaissent un très grand engouement académique. Elles permettent en effet de bonnes prévisions tout en présentant l’avantage de ne pas exiger de restrictions statistiques. De plus, les algorithmes génétiques sont particulièrement robustes, notamment parce qu’ils nesont pas soumis à des contraintes mathématiques telles que la dérivabilité ou la continuité des fonctions utilisées [35]. Leur utilisation, principalement celle des algorithmes génétiques, reste exploratoire. Leur haut degré de technicité ne leur permettait pas de fournir d’éléments explicatifs clairs de la défaillance, inconvénient qui semble pouvoir être réduit (Shin et Lee, 2002).

Une critique souvent formulée (Dumontier, 1991, par exemple) porte sur l’utilisation exclusive de données comptables : une amélioration significative de la détection de la faillite serait sans doute plus apportée par l’exploitation d’informations autres que comptables et financières que par une complexification croissante des techniques de prévision. Des travaux récents amendent dans ce sens les méthodes présentées dans cet article. Citons par exemple l’étude de Gudmundsson (1999) qui améliore la qualité de sa prévision en ajoutant aux variables quantitatives “traditionnelles” des variables qualitatives, obtenues par enquête, relatives à la stratégie globale des entreprises. Le développement des systèmes-experts s’inscrit dans la même logique. Ils sont construits par l’application des arbres de décision puis des réseaux neuronaux et des algorithmes génétiques (voir Kim et Han, 2003, par exemple) à des critères qualitatifs utilisés par les experts, tels que la qualité de la gestion des ressources humaines ou le degré de concentration des clients. Les systèmes-experts permettent non seulement une compréhension plus riche du processus de défaillance mais également une bonne prévision de la faillite. Rappelons néanmoins pour finir que les modèles de prédiction du risque de faillite ne constituent qu’une aide à la décision parmi d’autres et se doivent d’être enrichis par d’autres formes d’information.

Tableau récapitulatif des principales études citées

Le tableau ci-après propose un récapitulatif des principales études citées. Compte tenu de l’ampleur des travaux réalisés, à une liste exhaustive nous avons préféré une sélection des articles fondateurs des différentes méthodes, ainsi que les études les plus récentes. Pour chacune d’entre elles les caractéristiques de l’échantillon global sont décrites : la nature des entreprises (nationalité et secteur), la date des observations, la définition de la défaillance retenue et la structure de l’échantillon (c’est-à-dire la taille respective de la population des entreprises défaillantes et des entreprises non défaillantes). Ensuite sont présentés le nombre de ratios sélectionnés, la technique de classification retenue et les taux de bons classements. Ceux-ci sont donnés pour les entreprises défaillantes et pour les entreprises non défaillantes à un an de la défaillance et, entre parenthèses, à trois ans de la défaillance. La méthode de validation des résultats est citée afin de pouvoir comparer les études. Soulignons qu’une confrontation véritable des différentes méthodes de classification ne peut se faire que si elles ont été appliquées aux mêmes données. Nous avons donc privilégié dans notre sélection les études proposant une telle possibilité.