Vous consultezAllongement de l’espérance de vie et choix du système de retraite

AuteurPatrick Artus[*][*] Caisse des dépôts et consignation, 56 rue de Lille - pièce...
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INTRODUCTION

Le vieillissement a poussé à réfléchir aux liens entre les évolutions démographiques et le choix du système de retraite[1][1] Voir par exemple Blanchet [1990], Artus-Legros [1999]. ...
suite. On montre habituellement que, s’il y a cycle démographique, la génération nombreuse est « sacrifiée » : puisqu’elle est nombreuse, elle bénéficie d’un salaire réel faible; puisque, la génération suivante étant de faible taille, les retraites par répartition qu’elle pourra obtenir seront peu généreuses, elle accumule beaucoup de capital et est de ce fait aussi pénalisée par un rendement faible de son épargne.

2 Ce phénomène peut être amplifié par des imperfections financières : s’il y a beaucoup de vendeurs et peu d’acheteurs d’actions lorsque la génération nombreuse est retraitée et la génération peu nombreuse active, il peut y avoir chute des prix des actifs[1][1] Schieber - Shoven [1994]. ...
suite.

3 Cependant, l’hypothèse démographique qui est faite dans la plupart des modèles (l’alternance de générations de grande et de faible taille) ne correspond pas à la réalité, qui est caractérisée par un allongement de l’espérance de vie, et plus précisément par l’augmentation de la probabilité de survie à tous les âges. Le tableau 1 montre l’évolution des probabilités de survie aux différents âges et à quelques dates. On voit la forte hausse de la probabilité de survie à partir de 60 ans, dans les vingt-cinq dernières années.

4 C’est cette déformation démographique que nous introduisons dans le modèle qui suit. Il s’agit d’un modèle à générations imbriquées, où les choix d’épargne et de consommation dépendent des probabilités de survie à la retraite.

Tableau 1. - Probabilités de survie (France)

LE MODÈLE

Espérance de vie

5 Nous utilisons un modèle à générations imbriquées où, à une certaine date, l’espérance de vie moyenne s’allonge. Nous modélisons l’allongement de l’espérance de vie de la manière dont il se produit dans la pratique : la durée maximale de la vie ne varie pas, mais la probabilité d’atteindre un âge élevé s’accroît. Nous supposons que les jeunes (salariés actifs) vivent une période, que la durée maximale de la retraite (de la vie des « vieux ») est une période et nous notons P ( x ) la probabilité d’être survivant (probabilité de survie) après x période à la retraite ( 0 ≤ x ≤ 1 ) (c’est-à-dire jusqu’à l’âge de 1 + x ) (une période représente 30 ou 40 ans), avec :

Ceci veut dire que l’espérance de durée de vie à la retraite, notée E x, est :

Nous modélisons dans ce qui suit les effets d’une situation où la probabilité de survie P ( x ) devient Pˆ ( x ) > P ( x ) pour tout x (entre 0 et 1).

6 Le tableau 1 ci-dessus montre que, jusqu’à l’âge de la retraite, il n’y a pas eu de modification notable de la probabilité de survie. Notre modélisation (P ( 0 )=1, puis augmentation de la probabilité de survie pendant la période de retraite) nous paraît donc être celle qui correspond aux évolutions observées. Puisque− }₀'x P′ ( x ) dx=}₀'P ( x ) dx, sans ambiguïté l’espérance de vie E x croît quand P est remplacé par Pˆ.

7 Chaque jeune né à la période t (le nombre de jeunes est constant, égal à N) consomme par unité de temps C_tj dx lorsqu’il est jeune, reçoit un salaire w_t dx, paie des cotisations σ w_t dx à la répartition et épargne e_t dx (par exemple dans un fonds de pension capitalisé) (puisque les salariés vivent la totalité de leur période d’activité). Ces flux sont constants dans le temps. dx représente l’intervalle élémentaire de temps.

Comportement à la retraite

Fonds de pension versant un capital

8 La première possibilité est que les fonds de pension versent un capital e_t ( 1 + r_t ) où r_t est le taux d’intérêt entre la période t et la période t + 1, au moment du départ à la retraite.

9 Chaque retraité consomme C_t+1v ( x ) dx à l’instant x ( 0 ≤ x ≤ 1 ) de sa retraite; il reçoit à chaque instant de sa retraite la retraite par répartition µ w_t dx. Notons f_t+1 ( x ) le capital (de fonds de pension) qui lui reste à la période x (avec f_t+1 ( 0 )=e_t ( 1 + r_t ). On a :

Le capital subsistant diminue avec l’excès de la consommation sur la retraite par répartition.

Fonds de pension versant une rente

10 Nous supposons ici que le fonds de pension verse à chaque période, jusqu’au décès du retraité, une retraite de S_t+1 dx.

11 On a donc, pour le consommateur :

Héritage involontaire et équilibre des systèmes de retraite

12 Lorsque le fonds de pension capitalisé verse une rente, il n’y a pas d’héritage. Chaque retraité dispose, au début de la période de retraite du capital e_t ( 1 + r_t ), et l’équilibre de ses comptes implique :

Les versements de rente par salarié (calculés sur l’ensemble des salariés, qui sont identiques à l’espérance de la rente totale reçue par chaque salarié) sont égaux au capital initial.

13 Dans tous les cas, l’équilibre de la retraite par répartition implique :

Les cotisations sociales prélevées en t + 1 sont égales aux retraites versées à la génération née en t (identiques, par salarié, à l’espérance de la retraite par répartition totale reçue par chaque salarié né en t ).

14 Lorsque le fonds de pension capitalisé verse un capital, si ce capital est épuisé avant la mort du retraité, celui-ci ne dispose plus, ultérieurement, que de sa retraite par répartition ( C_t+1v ( x )=µ w_t si ( f_t+1 ( x )=0 ); s’il meurt avant que le capital soit épuisé, le capital subsistant est versé à la génération suivante (il s’agit d’un legs involontaire).

Utilité des consommateurs

15 Notons u ( C ( y ) ) l’utilité instantanée de la consommation à l’instant y (0 ≤ y ≤ 1 correspond à la période d’activité; 1 ≤ y ≤ 2 à la période de retraite). L’espérance de l’utilité pour la génération née en t est donc :

où ρ est le degré de préférence pour le présent. Entre y=1 et y=2, la probabilité de survivre et de consommer à la date y est P ( y − 1 ) (avec x=y − 1 compris entre 0 et 1, x étant la durée de vie à la retraite).

16 Pendant l’activité, la consommation est constante. De plus, nous prenons une fonction d’utilité logarithmique, u ( C )=ln ( C ) d’où :

exp ( − ρ )

17 où β=1 ≈ 1 − ρ/2 représente la préférence pour le présent ρ ( 1 − exp ( − ρ ) )

18 telle qu’elle est habituellement modélisée.

Comportement des consommateurs avec fonds de pension versant un capital

19 Il faut donc maximiser U_t donné par (8), sous les contraintes :

l’économie étant stationnaire à long terme, on a :

h_t est l’héritage involontaire reçu par le salarié lorsqu’il est jeune.

20 Afin d’assurer la comparabilité avec le cas de rente constante, nous nous limitons aux solutions où C_t+1v est constant.

21 On a alors deux cas :

• Si C_t+1v > µ w_t + f_t+1 ( 0 ), alors le capital initial est épuisé avant la date x=1, en et à partir de cette date, la consommation n’est que de µ w_t.
  
  
• Si C_t+1v ≤ µ w_t + f_t+1 ( 0 ), le capital initial peut durer jusqu’à la date x=1 (jusqu’à l’âge y=2).
  

22 La maximisation de l’espérance de l’utilité du consommateur dans ces deux cas est donnée en Annexe 1.

23 Il y a deux variables de décision : l’épargne des jeunes e et la consommation Cv par unité de temps pendant la retraite. Une hausse de e réduit la consommation des jeunes mais accroît la période de retraite pendant laquelle le revenu de l’épargne s’ajoute à la retraite par répartition. Une hausse de Cv accroît le bien-être pendant la période pendant laquelle l’épargne n’est pas épuisée, mais réduit la durée de cette période. Les conditions d’optimalité par rapport à e et Cv impliquent :

Le fait que la probabilité de survie est inférieure à 1 ( P ( x ) < 1 ), et la préférence pour le présent à l’intérieur de la période de retraite impliquent une baisse de l’épargne par rapport au modèle habituel à générations imbriquées où ( 1 + r ) β on a 1=.

24 Cj Cv On voit d’abord que x − < 1 : il est optimal pour les consommateurs d’anticiper épuiser leur épargne avant x=1, c’est-à-dire avant l’âge le plus élevé possible; ne pas le faire condamne à « gâcher » de l’épargne qui ne pourra pas être consommée à la retraite.

25 On voit ensuite que si la probabilité de survie est accrue à tous les âges (P ( x ) devient Pˆ ( x ) > P ( x ) pour tout x ), x − augmente (l’âge d’épuisement de l’épargne est plus élevé) mais pas suffisamment pour que la probabilité de survie en x − n’augmente pas (on a Pˆ ( x −₁ ) > P ( x −₀ ), où x −₁ est la nouvelle date d’épuisement de l’épargne, x −₀ l’ancienne).

26 On voit enfin que la hausse de la probabilité de survie entraîne à la fois une hausse de l’épargne e et de la consommation à la retraite.

27 L’épargne augmente pour trois raisons :

• la baisse du taux de remplacement des retraites par répartition µ;
  
• la hausse de la probabilité de survie au moment où l’épargne antérieure est épuisée (en x −);
  
• la nécessité d’épargner plus, puisque la probabilité de survie est plus élevée tout au long de la retraite;
  

28 Une fois déterminés e, Cv et x −, on peut déterminer l’héritage involontaire moyen.

29 À la date x de la retraite, la richesse subsistante est e_t ( 1 + r ) − x ( C_t+1v − µ w_t ). La fraction − P′ ( x ) des retraités meurt à l’âge 1 + x (après la durée x de retraite).

30 L’héritage involontaire moyen est donc :

En x=x −, toute l’épargne est épuisée, et il n’y a plus au-delà d’héritage involontaire. L’évolution (quand P devient Pˆ) de l’héritage involontaire est a priori ambiguë : e ( 1 + r ) augmente davantage que x ( Cv − µ w ) (on voit en Annexe 2 que e ( 1 + r ) − x ( Cv − µ w ) augmente pour tout x compris entre 0 et x −), mais, date par date, on attend une diminution de P′.

Comportement des consommateurs avec fonds de pension versant une rente

31 Lorsque le fonds de pension verse une rente constante, il n’y a pas d’héritage involontaire.

32 On a :

d’où :

où Q=}₀1 P ( x ) dx ≤ 1 S’il n’y avait pas de décès prématuré, on aurait P ( x )=1 pour tout x et Q=1; puisque Q < 1, le taux de remplacement µ est supérieur au taux de cotisation à la répartition σ et la rente S est supérieure au capital initial par unité de temps e ( 1 + r ).

33 Le taux de remplacement de la retraite par répartition σ et le rapport entre la rente versée et le capital initial S/ e ( 1 + r ) décroissent tous les deux avec Q. Les variations de Q, affectant de la même manière la retraite par capitalisation et la retraite par répartition, n’ont pas d’effet sur les choix d’épargne (ln ( Q ) peut être éliminé au membre de droite de (14)).

34 L’allongement de l’espérance de vie allonge la probabilité de profiter longtemps d’une retraite (ceci apparaît au travers de P ( x ) dans le second terme de U_t ), et puisque µ est exogène, ceci pousse à un supplément d’épargne (d’investissement dans les fonds de pension).

35 Le détail des calculs est donné en Annexe 2.

36 La hausse de la probabilité de survie (P ( x ) devient Pˆ ( x ) > P ( x ) pour tout x ) entraîne sans ambiguïté une hausse de l’épargne : le taux de remplacement µ de la répartition diminue, et la probabilité de bénéficier longtemps de la rente s’accroît.

Bilan des effets de la hausse de la probabilité de survie

Fonds de pension versant un capital

37 Il faut distinguer les effets qui portent sur la première génération qui connaît une hausse des probabilités de survie et les effets à long terme.

38 La première génération ne connaît de modification ni de son salaire (le capital productif est inchangé) ni de l’héritage involontaire que lui lègue la génération précédente. Chaque salarié (jeune) de cette génération accroît donc son épargne, comme on vient de le voir, mais laisse cependant s’accroître la possibilité de survivre au moment où l’épargne est épuisée ( x − ne monte pas assez pour que Pˆ ( x − ) ne soit pas plus élevé que P ( x − ) ).

39 Le nombre de salariés actifs est inchangé d’une génération sur l’autre (le vieillissement est lié à la hausse de la probabilité de survie à tout âge, pas à une variation de la taille des générations); la première génération dont l’espérance de vie s’allonge souffre donc d’une baisse du rendement de son épargne, puisqu’elle finance une accumulation de capital plus importante.

40 À long terme, il faut ajouter :

• le fait que, comme il y a davantage d’épargne, donc davantage de capital, le salaire des actifs s’accroît (alors que dans le modèle habituel de cycle démographique, il diminue avec la hausse de l’offre de travail);
  
• la possibilité que l’héritage involontaire h varie
  

41 Revenons sur l’héritage involontaire (voir (12)).

42 On peut écrire :

On sait que d ( e ( 1 + r ) ) > x − d ( Cv − µ w ) : les variations de e et de Cv dues au changement de la probabilité de survie accroissent h; mais, par ailleurs, la hausse de P le réduit.

43 On examine plus précisément en Annexe 3 le sens de la variation de h quand la probabilité de survie augmente.

44 Le sens est ambigu car il dépend du profil des variations de la probabilité de survie P.

45 (15) montre que si P ( x ) croît beaucoup entre 0 et x −, l’héritage involontaire décroît avec la baisse de la probabilité de décès entre 0 et x −; mais si la déformation de P est telle que P ( x ) varie peu entre 0 et x −, l’effet de hausse de l’épargne l’emporte et l’héritage involontaire augmente.

46 Si l’héritage involontaire ne varie pas, la hausse du salaire des actifs (des jeunes) renforce la hausse de l’épargne, donc du capital. Le sens d’évolution du bien-être est ambigu : baisse du rendement du capital, hausse du salaire d’activité. Comme dans les modèles usuels de choix optimal du régime de retraite[1][1] Voir un survey dans Blanchet-Villeneuve [1997]. ...
suite, il y a amélioration du bien-être si l’économie était initialement très sous-capitalisée.

47 Si l’héritage involontaire diminue (forte diminution de la probabilité de décès aux âges où le patrimoine est encore important), le revenu des jeunes diminue, ce qui réduit la hausse de leur épargne.

Fonds de pension versant une rente

48 Si le fonds de pension verse une rente, il n’y a pas d’héritage involontaire, et sans ambiguïté il y a hausse de l’épargne. La première génération touchée est affectée par la baisse du rendement de son épargne; les suivantes bénéficient d’une hausse du salaire compensatrice de la baisse du taux d’intérêt d’équilibre.

CONCLUSION : DES RÉSULTATS TRÈS DIFFÉRENTS DE CEUX OBTENUS AVEC LE CYCLE DÉMOGRAPHIQUE

49 Avec le cycle démographique (alternance régulière de générations nombreuses et de générations peu nombreuses), la capitalisation accroît les inégalités intergénérationnelles, en régime permanent, puisque la génération nombreuse est pénalisée à la fois par un salaire d’équilibre faible et par un rendement faible de son épargne.

50 Lorsqu’on modélise de façon plus conforme à la réalité le vieillissement démographique actuel, en accroissant la probabilité de survie à tous les âges, on obtient des résultats très différents.

51 La première génération qui profite de l’allongement de l’espérance de vie est pénalisée par la baisse du rendement de son épargne, ainsi que par celle du taux de remplacement du système de retraite par répartition si les taux et la durée de cotisation restent inchangés. Mais les générations suivantes bénéficient d’une hausse du stock de capital disponible, donc de leur salaire, et leur bien-être peut s’améliorer si la situation de départ était la sous-capitalisation.

52 Ce résultat est sans ambiguïté si les fonds de pension versent une rente : le supplément d’épargne vient de la baisse de la générosité du régime de répartition et de l’allongement de la période anticipée de réception de la rente.

53 Si les fonds de pension versent un capital au moment de la prise de retraite, les salariés, au moment du choc démographique, repoussent dans le temps le moment où ils anticipent avoir épuisé leur capital, s’ils sont toujours vivants ; cependant, ceci est compatible avec une baisse de l’héritage involontaire légué si la probabilité de survie s’accroît beaucoup aux âges où le capital subsistant est encore important. S’il y a une baisse de l’héritage involontaire moyen, il y a moindre hausse de l’épargne.

54 Si on ignore cette complication, on voit que, si le vieillissement est dû à l’allongement de l’espérance de vie et non à une variation de la natalité, il n’y a de coût lié à la présence de la capitalisation que pour la première génération affectée, pas à long terme.

55 L’allongement de l’espérance de vie a débuté il y a plusieurs dizaines d’années, mais la prise en compte par les individus de ce phénomène est plus récente; peut-être date-t-elle du début des années 1990. On a effectivement observé des évolutions similaires à celles suggérées dans l’article :

• maintien de taux d’épargne élevés dans les pays européens, malgré la désinflation;
  
• hausse forte de l’intensité capitalisation aux États-Unis ;
  
• effectivement, toujours aux Etats-Unis, baisse de la rentabilité du capital. Le taux de profit économique, rapporté au capital est en 2001 au même niveau qu’en 1990, mais, sur cette période, le rapport capital/ PIB a augmenté de 25 %, d’où la baisse de la rentabilité du capital.
  

56 Bien sûr, la réalité peut aussi être plus complexe. L’apparition des nouvelles technologies a modifié la productivité globale des facteurs et accru le capital humain. Dans une économie ouverte avec parfaite mobilité des capitaux, la hausse de l’épargne provoque une accumulation d’actifs étranger; cependant, on peut considérer que notre modèle traite de la situation de l’ensemble de la planète puisque presque partout l’espérance de vie s’allonge.

57 Quelles sont les implications pour la politique économique ? Si les gouvernements veulent rétablir l’équité entre la première génération (dont le bien-être baisse avec la diminution du rendement du capital) et les suivantes, il peut accroître la taille du régime de répartition, ce qui impliquera que la première génération touchée recevra un supplément de retraite par répartition financée par les cotisations de la génération suivante.

Annexe

ANNEXE 1 COMPORTEMENT DU CONSOMMATEUR AVEC FONDS DE PENSION VERSANT UN CAPITAL

58 Il faut maximiser :

e ( 1 + r )

59 où x −=est la date d’épuisement du capital initial e ( 1 + r ), Cv − µ w où w ( 1 − σ ) − e + h=Cj, la consommation des jeunes, et où µ=σ. }₀1 P ( x ) dx

60 Dérivant par rapport à e et Cv, on obtient :

− e ( 1 + r )

61 avec ( x −=1 + r; ( x −=;

62 ( e Cv − µ w (Cv ( Cv − µ w )2 d’où encore :

Puisque P ( x −=0 ), (A2) montre que si x −=1, ( u < 0, ( u > 0, il est optimal de réduire ( e (Cv x − en dessous de 1.

63 Différenciant (A2), on obtient :

Caractérisons la situation où, après le choc, Pˆ ( x −₁ )=P ( x −₀ ), où x −₁ représente x − après le choc démographique, x −₀ avant le choc.

64 On a cette situation si :

Soustrayant (A4) de (A5), on obtient :

(A8) et (A9) entraînent que de > 0, d Cv > 0 puisque entraînant :

L’héritage involontaire laissé à la date x à la taille e − x ( Cv − µ w ), pour 0 < x < x −. L’héritage involontaire moyen est :

Il dépend donc des variations de P′ ( x ) et de celles de e − x ( Cv − µ w ), à la marge pas de celles de x −.

65 de ( 1 + r ) − x − d ( Cv − µ w ) est donné par (A7) et est positif si Pˆ ( x − ) − P ( x − ) − β 1 + r exp ( − ρ x − ) ( P ( x − ) )2 > 0, ce que nous supposons.

66 Cv

Annexe

ANNEXE 2 COMPORTEMENT DU CONSOMMATEUR AVEC FONDS DE PENSION VERSANT UNE RENTE

67 Il faut maximiser :

d’où :

et finalement :

Si P ( x ) devient Pˆ ( x ), avec Pˆ ( x ) > P ( x ) ∀ x, }₀1 exp ( − ρ x ) P ( x ) dx augmente; on a :

Notons :

on a :

avec d R > 0, d Q > 0 quand P devient Pˆ.

Annexe

ANNEXE 3 ÉVOLUTION DE L’HÉRITAGE INVOLONTAIRE

68 On part de (15) du texte d’où :

(A7) de l’Annexe 1montre que :

avec d’où :

Regardons l’expression :

Soit :

Si Pˆ ( x − ) − P ( x − ) est grand par rapport aux valeurs de Pˆ ( x ) − P ( x ) quand x < x −, X > 0; mais on peut avoir Pˆ ( x − ) − P ( x − ) petit si x − est grand, et X < 0 ou Pˆ ( x ) − P ( x ) relativement constant pour x < x −, et X ≈ 0 : le signe de dh est ambigu.

Bibliographie

RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES

ARTUS P., LEGROS F. [1999], Le choix du système de retraite. Paris, Economica.

BLANCHET D. [1990], « Retraites par capitalisation et répartition selon le contexte démographique : quelques résultats comparatifs », Annales d’économie et de statistiques, 18, p. 63-90.

BLANCHET D., VILLENEUVE B. [1997], « Que reste-il du débat répartition-capitalisation ? », Revue d’économie financière, 40.

SCHIEBER S., SHOVEN J. [1994], « The consequences of population ageing on private pension funds saving and asset markets ». NBER Working Paper 4665.

Notes

[ * ] Caisse des dépôts et consignation, 56 rue de Lille - pièce 3053 - 75356 Paris 07.

[1] Voir par exemple Blanchet [1990], Artus-Legros [1999].

[1] Schieber - Shoven [1994].

[1] Voir un survey dans Blanchet-Villeneuve [1997].

Résumé

On modélise habituellement les effets du vieillissement en introduisant un cycle démographique dans le modèle à générations imbriquées. On montre alors que l’existence de fonds de pension capitalisés accroît les inégalités de bien-être entre générations, au détriment des générations nombreuses. Nous montrons que le résultat est différent, à long terme mais pas pour la première génération concernée, si le vieillissement est modélisé comme venant de l’augmentation de la probabilité de survie à tout âge. Nous distinguons, pour faire cette analyse, le cas de fonds de pension payant une rente et celui de fonds de pension versant un capital au moment de la retraite. Dans le second cas, des complications viennent du risque d’épuisement du capital reçu et de l’existence d’héritages involontaires.

PLAN DE L'ARTICLE

• INTRODUCTION
• LE MODÈLE
  • Espérance de vie
  • Comportement à la retraite
  • Bilan des effets de la hausse de la probabilité de survie
  • Fonds de pension versant une rente
• CONCLUSION : DES RÉSULTATS TRÈS DIFFÉRENTS DE CEUX OBTENUS AVEC LE CYCLE DÉMOGRAPHIQUE
• ANNEXE 1 COMPORTEMENT DU CONSOMMATEUR AVEC FONDS DE PENSION VERSANT UN CAPITAL
• ANNEXE 2 COMPORTEMENT DU CONSOMMATEUR AVEC FONDS DE PENSION VERSANT UNE RENTE
• ANNEXE 3 ÉVOLUTION DE L’HÉRITAGE INVOLONTAIRE
• Annexe

POUR CITER CET ARTICLE

Patrick Artus « Allongement de l'espérance de vie et choix du système de retraite », Revue économique 4/2002 (Vol. 53), p. 809-823.
URL : www.cairn.info/revue-economique-2002-4-page-809.htm.
DOI : 10.3917/reco.534.0809.