The recent paper by P. Mongin [1] [2003] has brought to the attention an important sample of the contrasted debate pursued by logicians, mathematicians and economists on this topic together with a documented survey of the history of axiomatization. The paper contains a convincing indication of a number of qualifications which are necessary to define the notion of axiomatic method and to show how it differs in the different domains of application within economic theory. In particular, a multiplicity of sometimes narrow concepts of axiomatization are discussed in order to distinguish among the different expressions in the terminology which varies considerably between authors, such as “deductive system”, “formal system”, “synctatical system”. Broadly, we can distinguish between formal axiomatization and informal or set-theoretic axiomatization: it is the latter that is typical of economic theory. From this standpoint, to axiomatize a theory is to define a certain set-theoretical predicate; the axioms are part of a definition, usually the most important one. Mongin finds it worthwhile to distinguish between “definitional axiomatization” and “theorematic axiomatization”: the former establishes a general framework, within which axioms do not contribute to results directly; the latter uses axioms to prepare a mathematical results directly. His paper provides valuable examples where the two types of axiomatization are employed within economic theory.

Among the several issues raised by the paper by Mongin, we would like to address and discuss a few of them in the following remarks. Issues 1 and 4 relate to economic axiomatization in general, while Issues 2 and 3 concern axiomatization in normative economics.

“The Theory of Value: an Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium” by G. Debreu [2] [1959] is a benchmark of axiomatic-logico-deductive theorizing in economics, meant as the art of “understanding the particular by reference to generalizing insights and in the light of certain abstract unifying principles” (F.H. Hahn [3] [1985]). Such “abstract unifying principles” are the axioms and can be distinguished from assumptions. For example, the assertion that people have preferences and try to satisfy them is an axiom; that entrepreneurs’ preferences take a particular form, for example are linear in expected profit, is an assumption; also universal perfect competition is an assumption. The best known and most relevant axiom is that of the rational agent. The rational agent is an ideal type in the sense not only of being an idealization where the theory holds without qualification but also of being “a model to copy, a guide to action” [4]. Obviously, understanding is contingent both on axioms and assumptions; “it is also contingent on the logical entailment of the propositions of the theory by the assumptions and axioms”. [5]

Debreu states that “allegiance to rigor dictates the axiomatic form of the analysis where the theory, in the strict sense, is logically entirely disconnected from its interpretations. Such a dichotomy - between theory in the strict sense and its interpretation – reveals all the assumptions and the logical structure of the analysis. It also make possible immediate extensions of that analysis without modification of the theory by simple reinterpretations of concepts” [6]. This implies that its aim is not realism but understanding the implications of axioms and assumptions for the results. Indeed, the axiomatic method should give as circumstantial as possible a description of the implications of properties of significance and draw the boundary that separates combinations of properties that are compatible from combinations that are not, leading eventually to a characterization theorem [7].

This suggests a more ambitious thought, that is, that economic theory is the construction a priori of “ideal types” of rational allocations, which eventually may be used for judging economic performance and making policy recommendations. In a very strict sense, it may imply that a formal system can be seen as “uninterpreted”, so that it can be given an interpretation that relates its signs and formulas to something outside the formal system. However, in a less strict way, interpretations have not to be completely arbitrary, but must adhere in some way to the intuitive meaning of some basic signs, namely, interpretations serve to connect theory to economic intuition: thus, a class of admissible interpretations can be considered as a “semantics” for the formal system and therefore various semantic notions can be specified.

Axiomatization does provide a framework which is a benchmark model the departures from which allow us to analyse the realistic phenomena we wish to explain. For example, by establishing what would be fully rational, in the sense that agents have preferences and try to satisfy them at their best, one can identify departures from the ideal type as explananda. Without the ideal reference point provided by the Arrow-Debreu model, we could not fit into our comprehension realistic phenomena such as externalities, imperfect competition, increasing returns and others.

This introduces a distinction between “explaining”, “understanding” and “interpreting” [8]. Understanding is not an alternative to explaining, but a heuristic device. Interpreting is a more elusive and informal concept, which may let in a subjective variety of interpretations –indeed, the same theory may admit quite different interpretations.

We claim that the purpose of axiomatization is understanding more than interpreting and this holds both for positive and normative theories. Economists often slip back and forth between positive and normative justifications for the axioms. For example, if we view axiomatic bargaining theory as a structure for studying how an arbitrator behaves, the arbitrator is often requested to implement a fair decision, not necessarily a decision the bargainers would themselves have arrived at. Indeed, bargaining theory axioms can be used both as a positive model of the bargaining process and as a guide to the normative problem of resource allocation. In both cases the axiomatic method helps us understand the implications of properties of significance and which solutions can be implemented.

Within this perspective, the notion itself of rationality can be questioned. Since axioms are far from distancing the theorists from what is called “the real world”, they should constitute claims about the world so widely agreed as to make further arguments unnecessary. If this is correct, then, an ideally rational allocation of resources should be the one which a fair or good society would display and an ideally rational choice is, in the end, a moral choice [9]. But to answer precise questions, for example, about which preferences should be satisfied in case of conflict, one needs to develop a theoretical problem, in this case with a likely normative dimension, and find a solution.

In conclusion, axiomatic studies are not concerned primarily with interpretations, although nothing prevents axioms from being used for that. Certainly, it is more delicate with normative analyses because axioms reflect social values. The issues we may wish to address with such a methodology are the following: In designing the rules of exchange or production, should we be concerned with efficiency? Should we bother about the way the gains due to technological progress and/or a change in the degree of market openness are distributed? If the answer is affirmative, then we may consider writing these down as axioms. Such axioms are essentially normative and facilitate our understanding.

Take, for example, axiomatic bargaining theory. It provides some characterization of the rules which allocate utility among agents by assuming that such rules meet certain requirements. If we denote by (S,d) a pair where S is some convex, closed, comprehensive set and d is a point in S, a bargaining solution F is a rule or mechanism that has as its domain the unrestricted class of such pairs and associates to any pair (S,d) a point s in S. The set S is imagined as the utility possibility set for some economic problem –for example, dividing a dollar between agents– and d is the point whose coordinates indicate the utility each agent can guarantee for himself if an agreement is not reached. Examples of axioms on F can prescribe the following: to get to a Pareto optimal allocation; to act independently of irrelevant alternatives; to be individually rational; to be symmetric or anonymous; to assign utilities that are monotonic with respect to increases in the size of the sets, and so on. Each axiom can be regarded as characterizing a subset of the class of rules which are defined on the domain of possible problems.

The objective of bargaining theory is to show that some of the widely agreed axioms “intersect” in a small class of rules, maybe just one, or even none, as in an “impossibility theorem”, stating the incompatibility of a certain list of axioms on a domain. The characterization of a unique solution is not necessarily preferable to the characterization of a family of solutions. On the other hand, impossibility theorems do not invalidate axiomatic analysis: it is indeed a matter of presentation whether the attention is focused on the characterization of solutions or the impossibility of them.

A criticism, however, is that although such method presents a deductive-formal aspect, its interpretation is obscure, because while the motivation for the bargaining theory is economic, the economic information is discarded out of the model. Much information is lost by stating the bargaining problem as one of dividing up utility; in fact, it would be more straightforward to introduce a general setting where the utility functions of the agents over the commodities to be distributed and the endowment arrays are specified. Instead of directly analyzing a class of resource allocation problems, the standard way is to “reduce” them so as to obtain abstract problems in a class that we understand, and then to apply the conclusions derived to the initial class of problems. The question is about the legitimacy of such a procedure of thinking such economic environments as lying “behind” the objects (S,d) of classical bargaining theory. The issue has been discussed by several papers in recent years, which have shown under which circumstances the procedure of working with “reduced forms” does not lose important information.

L.J. Billera and R.E. Bixby [1973] [10] have established conditions under which a bargaining problem can be seen as the image in the utility space of some economic problem. Abstract models can be of restrictive use if changes in the parameters as described in an axiom may occur. J. E. Roemer [1988] [11] has investigated when pairs of problems can be seen as the images in the utility space of some pair of economic problems differing only in some parameters, such as endowments. In his paper, he proposes a reconstruction of bargaining theory which takes economic environments as the domain of the allocation mechanism instead of the informationally impoverished objects (S,d). In particular, five classical characterization theorems of bargaining theory are proved with weaker [12] axioms which allow to compare allocations under the ceteris paribus assumption and describe the action of allocation mechanisms on economic environments: thus, the theorems by Roemer are a generalization of their counterparts in classical bargaining theory to a domain of economic environments. Y. Chun and W. Thomson [1988] [13] have considered which monotonicity and consistency conditions are satisfied by solutions to the abstract bargaining problem when they are applied to economics, and have shown that the “divide the dollar game” is indeed exceptional: solutions tend to behave quite well in the case of a single commodity but fail as soon as the number of commodities is greater than two. H.P. Young [1988] [14] has examined questions of distributive justice, concerned with the fair allocation of costs and benefits among individuals, with an abstract model that allows to study the problem of distributing losses rather than gains, of meeting out sacrifice rather than reward. If we denote by I a group of individuals, each of whom is characterized by a positive real number x(i), then, in the case of taxation, x(i) represents I’s taxable income; in bankruptcy cases, it is the amount owed to creditor I; in the abatement of bequests, it is the amount bequeathed to I. In his paper, Young shows that it is not necessary to adopt the utilitarian argument to justify the equal sacrifice approach. In fact, it is not necessary to postulate a utility function at all; instead, it is shown that equal sacrifice is a consequence of much more primitive concepts of distributive justice. Moreover, he finds that within this family the only method that treats gains and losses symmetrically is the proportional method, which equalizes absolute sacrifice relative to the classical logarithmic utility function.

All the papers mentioned above show that the applications of bargaining theory frequently do require a language in which statements concerning property rights can be expressed and in these cases it may be more reliable to work directly with specified resource allocation models rather than “reduced forms”. However, these more detailed explorations are not only semantic clarifications: eventually, they may be reformulated within the full-fledged method [15], but they reveal something more.

From the above-mentioned results, one gets a feeling for just how thin the class of bargaining mechanisms is, since there is no rule that makes essential use of economic information in abstract bargaining theory. Alternatively, one could say that classical bargaining theory is not adequate for the tasks which it is applied, because the axioms are too powerful, binding the rules to far more than the “divide the dollar game” intuitions support. In any case, the economic reconstruction of bargaining theory shows how far one must go to keep the axiomatic characterization of the classical bargaining mechanisms on economic environments. In particular, for actual economic bargaining problems the appropriate domain is much smaller and then the economic analogues of the Nash axioms will not characterize the Nash solution: indeed, on most domains of economic problems, it can be proved that there is an infinity of allocation rules which satisfy the contextually appropriate Nash axioms. Hardly any restriction on the behaviour of the rules can be placed and, generally, there is not a favoured solution against another [16].

It is precisely axiomatic analysis that allows us to show that it is a different undertaking to work on a domain of economic environments than on the domain of pairs (S,d): the benefit from working with the former is that we can single out the cases under which the feasible sets may enlarge and decide the appropriate solution, case by case. But it is necessary to understand where such solution comes from. Such a need is quite evident when we study policy recommendations [17]. Consider the problem of a judge of dividing the liquidation value between two claimants. The parties will accept the decision more likely if the judge will supply arguments for her decisions. Such justifications are most likely to apply to other similar situations so as to make them acceptable. Obviously, such justifications are the axioms of our theories.

Even so often it is possible to show that a particular index, or class of indices, is the unique one satisfying a collection of properties. In this case the properties are said to characterize the measure in question. However, notions such as Pareto optimality, individual rationality, no-envy, appear to be used either as axioms or solutions. Axioms may be adapted exactly to get a particular solution and therefore the result is deprived of general interest, since it is not unexpected.

The relevance of an axiomatic result depends entirely on the acceptability or usefulness of its constituent properties. Unfortunately, as J.E. Foster [1994] [18] has argued, “most axiomatic systems have at least one questionable property, often in the form of a regularity assumption, an assumption on functional form or some other key requirement. Given the algebraic all-or-nothing structure of axiomatics, this can severely limit the relevance of a characterization result”. Characterizations have certainly helped in constructing and choosing among indices; however, as Foster claims, “if the choice is between an intuitive index without an axiomatic characterization and another index whose only merit is an irrelevant characterization, the decision is clear. A researcher’s time might be better spent identifying important aspects of the phenomenon to be measured and showing how a particular index captures them, rather than erecting axiomatic structures around measures that will never be used”.

Notwithstanding this criticism, we wish to emphasize here that most axiomatic characterizations have been successful: much work has gone into identifying and characterizing partial orderings underlying normative measurement, following on Sen‘s [1973] [19] suggestion; moreover, there is a series of theorems within the “generalized entropy class”, culminating in Shorrocks’ (1984) contribution, showing that a general form of decomposition, together with some standard axioms, characterizes the generalized entropy class up to a positive transformation.

The judgement whether a given axiom is adapted to a particular solution or does mix ideas that would better be kept separate may well depend on the perspective taken. At the very least, the outcome is a characterization that simply restates the statement of the solution in a different form, which may also be advantageous in some circumstances. In this case, characterizations are useful although they might be presented more modestly. In the process of gaining a deeper understanding of a subject, the assessment itself may change. The domain itself has a role and it is important to understand how a characterization changes by enlarging or restricting the domain of problems. For example, an axiom may have more power in a theory of advertising if we consider preferences over characteristics of goods rather than goods themselves. Sometimes, starting from a domain on which certain properties are known to be compatible, we may be wanting to examine in which way the domain should be widened without losing existence. On general domains it is the foundation of Arrow’s impossibility theorem which “stands like a granite tower in the otherwise indistinct and shadowy landscape of political theory” [20].

A good deal of economic theory based on axiomatization starts from a structure that is subject to suitable axioms and then obtains more and more complicated structures and often more and more interesting economics. For example, in non-cooperative game theory we start with the axiomatization of von Neumann-Morgenstern utility functions and define one-shot games to characterize equilibria; then, we complicate the structure when we consider finite or infinite repetitions of the basic one-shot game, yielding eventually Folk Theorems. In general economic equilibrium models we start with the axiomatization of consumers’ sets and producers’ sets and then develop a more complex structure, namely the competitive market economy, looking for a characterization of it.

However, the architectural organization of Bourbaki’s approach, such that a more complex structure grows out of the simpler, requires that a theorem, once proved for an abstract structure or model, is immediately applicable to any realization of the structure, that is, to any system satisfying the axioms. For example, once it is acknowledged that the theory of measure and the theory of probability are realizations of a common set of axioms, all results in either theory can be transposed in the other. The objective is to make each part of the discipline as general as possible, in order to obtain the widest possible domain of applicability.

Such architectural value seems to be hardly achieved in economics. In fact, this latter aspect cannot be applied to economics straightforwardly and fruitfully, because although the structure of different economic models may be the same, the interactions among agents and the change of parameters might yield outcomes, theorems and interpretations that can be quite different. Axiomatization unifies the field and provides a quasi-normative reference point, but it seems to be less fruitful for complex dynamical systems such as economic ones. Moreover, with the developments in computer sciences and its applications to economic models new diversified intellectual paths have emerged that cannot be completely dominated by Bourbakism. As M. Demazure has pointed out: ”Mathematics à la Bourbaki do not describe processes; it is apparently impossible to find a general framework encompassing all that pertains with algorithms and programmes…It is impossible to find a framework suitable to all cases. There are euristic methods which cannot be axiomatized… Mathematics à la Bourbaki resemble, in a sense, western musical notation, which is perfect to write down Bach’s music, but is scarcely fit for jazz, for example.”

Therefore, the attempt at getting the widest generality and encompassing a theory in another clashes with a loss of contact with the actual content of the subject. As a result, the architectural value and organizing power of axiomatization on which Bourbaki insists seems to be too demanding to face some complex economic problems.

Einstein

La méthode axiomatique constitue, pour un certain nombre d’économistes, une sorte d’idéal type de la méthodologie de la démonstration qui sert de modèle pour les uns et de repoussoir pour les autres sans que l’on sache toujours exactement en quoi consiste cette méthode. Aux débats épistémologiques et méthodologiques qui traversent la communauté se mêlent donc des malentendus et des procès d’intention qui ruinent les avantages à attendre de ce débat. Le texte de Philippe Mongin sur l’axiomatisation répond au souci de proposer quelques critères de démarcation entre la méthode axiomatique et toute autre forme de construction formalisée dont on peut faire usage en économie, et vise à réduire au minimum l’espace du malentendu, avant d’appliquer ces critères à une évaluation de l’axiomatique en jeu dans quelques théories phares de la recherche économique du xx ^e siècle. L’intérêt de cet article est incontestable, et sa circulation assez large dans la communauté des économistes pourrait, si ce n’est résoudre le problème, du moins avoir le mérite de l’avoir bien posé et de constituer une base de discussion des méthodologies formalisées de la science économique contemporaine, plus solide que les nombreux propos et articles d’humeur qui ont fleuri pour ou contre la mathématisation de cette science.

Disons-le tout net cependant, la volonté manifeste de l’auteur d’éclairer philosophiquement les notions qui sont en jeu, ce en quoi il réussit relativement bien si l’on s’en tient aux catégories forgées par la tradition épistémologique du positivisme logique, se prolonge par un transfert sans ménagement des constructions axiomatiques empruntées à la mathématique bourbachique des années 1950, avec un souci non dissimulé « d’avancer des appréciations normatives » tirées de ce transport. Ce que l’auteur éclaire dans les acceptions de l’axiomatique est aussi, à notre avis, ce qui ruine la possibilité d’en faire un modèle du raisonnement économique. Le succès de l’opération de démarcation se transforme en un échec à reconnaître dans l’axiomatique redéfinie avec un peu de rigueur un modèle ou un standard (de fait ou de droit) pour la théorie économique. L’échec est visible à deux niveaux : en premier lieu, l’importation des catégories logiques et mathématiques ne peut se réaliser qu’au prix d’un affaiblissement grossier des critères de démarcation patiemment établis à partir du domaine de la logique mathématique, sans prise en compte des caractéristiques propres au champ de la recherche économique et donc du travail de reconstruction des catégories logiques qui serait nécessaire. En second lieu, les trois « théories » ou « classes de développements » les plus proches d’un idéal de l’axiomatique économique, la théorie de l’équilibre général de Debreu, la théorie de la décision de von Neumann et Morgenstern, la théorie du choix social d’Arrow et son prolongement dans la négociation par Nash ne passent pas le filtre (pourtant affaibli) de la définition de l’axiomatique qui a été donnée. On pourrait penser qu’il ne s’agit que d’exemples mais l’auteur confirme qu’il ne peut guère y avoir d’autres candidats, et qu’il n’en voit point par exemple en macroéconomie. Avec inquiétude (et un peu de mauvaise foi) on pourrait même en déduire que la méthode axiomatique a frôlé son moment de gloire entre 1944 et 1961. En bref, un test assez peu exigeant du point de vue des canons de la logique se transforme en une sélection redoutable pour les pratiques des économistes, ce qui détruit une bonne partie de l’intérêt de la démarcation instituée. Pas tout l’intérêt cependant car l’exercice minutieux est instructif.

Pour en juger, reprenons de façon critique les deux phases du travail de Philippe Mongin : d’abord la reconstruction notionnelle de l’axiomatique en logique et en mathématique (I-V), puis son mode d’emploi et ses illustrations en économie (VI-VIII), avec – nous nous en excusons – le même déséquilibre quantitatif de traitement que l’auteur.

C’est la raison pour laquelle la distinction tout à fait importante faite par l’auteur entre symbolisation, formalisation, axiomatisation et modélisation devrait être présentée comme le résultat d’une série d’opérations historiques de réponse à des problèmes de fondement des mathématiques ou de la physique. L’axiomatique moderne ne trouve en effet sa pleine mesure que dans le seul domaine des mathématiques avec les axiomatiques de Pasch [1882] en géométrie, de Peano [1889] en arithmétique, et de Hilbert [1899] en géométrie encore. Les faiblesses de ces axiomatiques, les interrogations sur l’existence simultanée de plusieurs géométries, l’apparition d’objets « monstrueux » comme les courbes discontinues dérivables partout, les antinomies de la théorie des ensembles de Cantor ont conduit à la recherche systématique d’une preuve de la consistance d’un système d’axiomes. La méthode axiomatique est ainsi prise dans la tourmente des fondements des mathématiques.

Une première réponse à cette crise des fondements mathématiques se trouve dans le logicisme des Principia de Russell et Whitehead [1910-1913], qui pense pouvoir garantir la consistance des mathématiques par la seule logique : les cinq axiomes de Peano, par exemple, sont remplacés chez Russell par une vingtaine de « propositions premières » entièrement logiques et de pure forme. En théorie des ensembles, la mise en place de la notion logique de « type » dans les Principia interdit la définition circulaire d’un objet par une classe d’objets qui comprend ledit objet. De cette façon, les mathématiques n’avaient pas besoin d’avoir des axiomes propres et se voyaient réduites à une extension naturelle des lois et du domaine de la logique.

Un second projet pour sortir de cette querelle des fondements est celui du formalisme de Hilbert dans les années 1920, qui propose de traiter de la question de la consistance d’une théorie mathématique à l’intérieur d’une nouvelle discipline, la métamathématique, qui établira des règles de construction et de dérivation de formules indépendantes de leur contenu ou signification mathématique (selon la célèbre remarque de Hilbert qu’on doit pouvoir remplacer les mots points, droite et plan par table, verre…). La notion principale de cette métamathématique est celle de système formel. Un tel système repose 1°) sur un alphabet de symboles, 2°) une liste de règles morphologiques et syntaxiques de formation de formules admissibles 3°) un ensemble d’axiomes admis sans démonstration 4°) un ensemble de règles d’inférence et de déduction. La théorie (formalisée) est la suite des formules qui résultent des axiomes et des démonstrations (théorèmes). Le système formel permet de décrire complètement un calcul comme celui des propositions ou des prédicats en logique, mais peut également rendre compte de l’arithmétique, de la géométrie, ou du jeu d’échec, voire de n’importe quel jeu de signes. Hilbert croit qu’un tel système formel peut fournir des preuves de la consistance (non-contradiction), et de l’indépendance d’une théorie axiomatique. Dès lors, l’axiomatique est littéralement plongée dans le formalisme, ou dit autrement par Blanché (p. 59), le formalisme prolonge l’axiomatique « en faisant maintenant pour les règles de logique selon lesquelles on raisonne ce que l’on avait fait précédemment pour les postulats sur lesquels on raisonne : les énoncer expressément et en totalité ». Qu’il existe une axiomatique pré-formaliste est certain mais, comme le reconnaît Philippe Mongin, « l’axiomatisation au sens moderne demande la formalisation, donc la symbolisation pour réaliser ses potentialités ».

S’agit-il cependant, comme le dit Dieudonné, de mener (et contrôler) un raisonnement « sans comprendre un seul mot de ce que l’on dit » ? Plus que jamais, l’aphorisme de Russel prendrait tout son sens : « La mathématique est une science où l’on ne sait pas de quoi on parle ni si ce que l’on dit est vrai. » Mais des historiens des mathématiques, comme Giorgio Israel et Leo Corry [22], ont soutenu que la caractérisation du programme de Hilbert comme « formaliste » par les logiciens était sans doute excessive. Roy Weintraub [23] en tire la thèse que le Hilbert de 1917 (Axiomatishen Denken) s’intéresse beaucoup plus à refonder les mathématiques et la physique par la méthode axiomatique qu’à prouver formellement la consistance du résultat.

Le formalisme a subi de nombreuses critiques, des réalistes et des platoniciens refusant d’abandonner les essences de la mathématique, aux intuitionnistes, qui refusent de détacher les objets mathématiques des opérations mêmes de la pensée humaine et refusent donc les axiomatiques faisant appel à un infini actuel. Sous leur pression, l’approche formaliste a dû renforcer son programme en le limitant à un fondement « finitiste » des mathématiques, dont le point de passage obligé était l’arithmétique. Le programme formaliste a donc cherché à intégrer la démonstration métamathématique de la consistance d’une théorie dans la théorie elle-même. Malheureusement, le procédé inventé par Gödel d’arithmétisation de la syntaxe par projection (consistant à représenter des assertions métamathématiques portant sur un calcul arithmétique par des formules arithmétiques de ce calcul) aboutit à ses deux fameux théorèmes d’incomplétude de 1931 : a) une théorie arithmétique formellement construite comme celle des Principia comporte nécessairement des énoncés indécidables ; b) la cohérence de cette théorie ne peut être démontrée dans le cadre de cette théorie. Le programme de Hilbert se heurte donc à l’impossibilité d’une formalisation complète des diverses branches des mathématiques : comme le dit Blanché (p. 69), il faut bien conclure qu’« il y a à l’intérieur d’une mathématique axiomatisée – du vrai non prouvable ». Pour Nagel et Newman [24], « il s’ensuit que ce que nous entendons par procédure de démonstration en mathématique ne coïncide pas exactement avec l’application d’une méthode axiomatique formalisée ».

Une nouvelle tentative pour sauver le programme formaliste est l’œuvre des logiciens du cercle de Vienne après 1935. À la suite du manifeste du « Cahier jaune » pour une science unitaire « débarrassée de toute métaphysique et reconstruite par application de l’analyse logique aux matériaux empiriques [25] », Carnap avait construit une théorie syntaxique du langage de la science, indépendante de toute signification, qui prolongeait la grammaire logique de Wittgenstein et la métamathématique de Hilbert. Mais en 1935, sous l’effet des découvertes de Gödel et des premiers travaux de Tarski [26], Carnap reconnaît l’impasse de cette première approche : « Toutes les mathématiques peuvent être formalisées mais les mathématiques ne peuvent pas être épuisées par un système ; elles requièrent une série infinie de langages toujours plus riches [27]. » Il se convertit à une théorie logique nouvelle dans laquelle la sémantique formelle va relayer la preuve syntaxique défaillante. L’idée consiste à revenir à la preuve extérieure de consistance des géométries non euclidiennes déjà esquissée par Beltrami : toute propriété axiomatique de la géométrie de Rieman (ou de Lobatchevski) peut être mise en correspondance avec une propriété similaire de la géométrie euclidienne, le plan devenant une surface sphérique (ou pseudo-sphérique), et l’ensemble consistant de ces représentations constitue un modèle euclidien de la géométrie riemanienne. La confiance placée dans la géométrie euclidienne offre alors une sorte de preuve relative de la consistance d’une autre géométrie. Cette idée, articulée avec la logique des systèmes formels, conduit à ce qui deviendra dans les années 1950 la théorie des modèles. Dans cette théorie, un langage (ou système formel) L décrit une collection de structures mathématiques (S) grâce à une correspondance terme à terme entre symboles et formules de (L), d’une part, et éléments et relation de (S), d’autre part, dite interprétation de (L) dans ou par (S). (S) est dite modèle d’un formalisme (F′ ⊂ L) si toute formule de (F′) est satisfaite dans (S). Une théorie est un sous-ensemble consistant de formules F′ de L partiellement ou totalement interprété par un modèle.

Cette mise en perspective historique du formalisme permet de mesurer les possibilités et les limites d’une axiomatisation formalisée de la mathématique, et pour le moment d’elle seule. Les deux éléments clés d’une telle axiomatisation sont, d’une part, une syntaxe qui précise les éléments du langage formel (termes, règles de constructions de formules, axiomes, règles de déductions) dans lequel s’explicite la théorie, d’autre part, une sémantique de cette théorie avec une ou plusieurs structures mathématiques qui en constitue des interprétations ou des modèles. Les avantages d’une telle méthode en mathématique sont multiples : non seulement elle offre la possibilité d’un repérage précis des éléments minimaux d’une théorie, mais elle permet un double contrôle syntaxique et sémantique de sa non-contradiction. La méthode joue un rôle heuristique évident puisqu’on peut partir d’un premier modèle dit standard (pour lequel l’induction jouera un rôle important) en induire une théorie formelle dont il n’est plus que l’un des représentants, et chercher les autres modèles non standards possibles soit pour le même jeu d’axiomes, soit par une modification d’un des axiomes. C’est bien ainsi, ou presque ainsi, que l’école de Bourbaki a fonctionné comme on peut le montrer avec l’exemple de la théorie algébrique des groupes décrit dans L’architecture des mathématiques : l’addition des nombres réels, la multiplication des entiers modulo p, et la composition des déplacements dans l’espace ordinaire ont constitué trois modèles d’une théorie plus générale que l’on obtient en remplaçant ces opérations et leurs objets par une formule générale xTy à laquelle on n’attribue ni signification ni propriétés autres que les trois axiomes indépendants d’associativité, d’existence d’un élément neutre, et d’un inverse pour tout élément. Ce qui permet à Bourbaki d’affirmer, dans le même texte, que l’axiomatique associée au formalisme logique constitue « le système Taylor des mathématiques ».

Il faut noter cependant que Bourbaki a, petit à petit, abandonné dans les années 1950 la rigueur du langage formel qui était exposé dans le chapitre I de sa Théorie des ensembles, pour ne conserver qu’une axiomatique en langage naturel. De plus un glissement de vocabulaire significatif est opéré : pour Tarski le modèle est une structure algébrique et la théorie est un langage formel. Pour Bourbaki, les trois algèbres de l’addition des réels, la multiplication des entiers modulo p et la composition des déplacements, sont dénommés des « théories », et le système formel est dénommé « structure de groupe ». Comme le note parfaitement bien Mongin (V), « la définition des structures chez Bourbaki remplit la fonction des axiomes et non pas de l’interprétation des axiomes », et « les exemples qui particularisent les structures, soit par entrecroisement, soit par restriction, jouent un rôle sémantique (d’interprétations de la structure) ». Le structuralisme mathématique fait donc fi de la nature différente de la théorie (langage formel) et du modèle (domaine de réalisation). On peut même penser que, par moment, il les inverse ou il les confond. Mongin conclut tout à fait justement que « les axiomatisations du genre ensembliste altéraient profondément la distinction entre syntaxe et sémantique », mais il passe trop vite sur cette altération et semble se satisfaire « d’une notion de modèle plus ou moins constituée » dont la sémantique n’est pas rigoureusement définie. Prêt à sauver la méthode axiomatique à tout prix, l’auteur abandonne la rigueur qui avait été la sienne dans l’analyse logique. De plus il s’interdit d’analyser le comment et le pourquoi de la reconstruction qui est opérée, voire ses effets, ce qui permettrait de sortir de sa posture normative pour rendre compte des controverses qu’a suscitées la méthode axiomatique dans les mathématiques.

L’histoire de l’axiomatisation moderne en mathématique montre bien les enjeux et la fécondité de cette approche, mais elle révèle aussi toutes les ambiguïtés et les variations de statut des notions de syntaxe et de sémantique, et le relatif échec des entreprises de Hilbert puis de Bourbaki de faire de l’une puis de l’autre une base suffisante de reconstruction consistante de la discipline. Ce manque d’efficacité se double d’un très grand risque de perte du sens. La pertinence d’une démarche axiomatique n’est pas assurée par les règles formelles. Il est clair qu’une approche axiomatique formelle n’est pas suffisante à produire une connaissance dans le champ mathématique, à la transmettre, à la renouveler, et la faire interagir avec les multiples problématiques de l’humanité. L’espace nous manque pour montrer combien l’axiomatisation de la mesure de probabilité a constitué à la fois une avancée considérable et un refoulement des considérations ontologiques (quelle place dans le monde existant) ou épistémologiques (quelle place dans la théorie de la connaissance) qui ont émaillé son histoire, et des conventions qui fondent le calcul [28].

Dans une postface à l’article de Gödel, intitulée « Le champ du signe ou la faillite du réductionnisme », et tout en reconnaissant une postérité importante au formalisme (comme la théorie des démonstrations), Jean-Yves Girard [29] se réjouit de l’échec du programme Jivaro de Hilbert dont il stigmatise à la fois le « mécanisme implacable » perceptible dans la manipulation aveugle de formules, l’exclusion de toute abstraction non fondée sur l’expérience, et la prétention d’avoir fourni « la solution finale du problème de la consistance ». « Aucun des grands développements mathématiques des cinquante dernières années [à l’exception de la théorie des ensembles] n’a nécessité ni suggéré la mise en œuvre de nouveaux axiomes […] le progrès scientifique n’est pas d’ordre axiomatique mais conceptuel. Les ajouts et modifications d’axiomes au sein d’une théorie ne sont pas justifiables au sein même de la théorie, mais relèvent soit de l’intuition, soit de l’observation, soit des enjeux sociaux du champ de recherche et il est donc aussi important de penser sociologiquement ce contexte de la découverte que de penser logiquement celui de la preuve. […] Dans son obsession de la consistance, le formalisme stérilise les problèmes. »

De grands mathématiciens ont eux-mêmes dénoncé les abus de la méthode axiomatique. Maurice Fréchet [30] par exemple, inventeur de la théorie des « espaces abstraits », a publié une conférence « sur une désaxiomatisation de la science ». Il n’est pas question, dit-il, de nier cette méthode axiomatique qu’il a lui-même pratiquée, mais de dire « qu’il y aurait intérêt à édifier également une construction scientifique basée sur des principes différents et même opposés ». Dans un autre texte du même recueil [31], Fréchet explique que « la théorie déductive n’est pas une création spontanée, elle doit sa naissance à l’œuvre collective préliminaire, dispersée, trop souvent oubliée et pourtant capitale des savants qui, de la complexité des choses, se sont efforcés peu à peu de dégager les idées simples constituant la base des théories ». Il réclame, par conséquent, qu’on accorde la plus grande attention à ce qu’il appelle la phase de synthèse inductive et qui aboutit à la sélection des axiomes « intéressants », avant que la phase déductive proprement dite n’en déduise des théorèmes et des conséquences qui devront subir une dernière épreuve, celle de la validation empirique. La phase hypothético-déductive n’est qu’un moment de la démarche scientifique et Fréchet donne des raisons sociales et pédagogiques de ne pas se restreindre à l’axiomatique.

Nous avons vu qu’un choix d’axiomes conçus comme une libre création de l’esprit n’est envisageable en mathématique que sous certaines réserves, aussi bien formulées par les platoniciens que par Bourbaki, quant à leur réalisme et leur fécondité. Il en est de même en économie. De nombreux débats ont émaillé l’histoire de la méthodologie économique sur la question du réalisme des hypothèses dans la théorie déductive, culminant dans des crises cycliques illustrées par les controverses Ricardo-Mill dans les années 1840, Menger-Schmoller dans les années 1880, et Rubin-Hutchison dans les années 1930. Hutchison [33], par exemple, affirme, en 1938, que seules les propositions factuelles (synthétiques) qui peuvent être falsifiées dans la confrontation avec les faits, peuvent constituer une connaissance scientifique, une idée reprise par Bridgman, Samuelson et le courant opérationaliste très influent dans l’économétrie et l’économie mathématique de l’après-crise. Mais il faut rappeler qu’à cette même époque la volonté des logiciens du cercle de Vienne de fonder toutes les sciences empiriques sur une syntaxe explicite se heurte à la récurrente question des énoncés protocolaires, sortes de propositions premières chargées de décrire le monde réel et qui seraient les équivalents des axiomes des sciences formelles. La logique et l’opérationnalisme ont du mal à faire bon ménage.

Les fondateurs de l’« économique rationnelle » des années 1930 (les frères Guillaume, François Divisia, Jean Ullmo) se sont réjouis que la modélisation mathématique (pas toujours axiomatique) impose l’usage de définitions opératoires fondées sur des mesures [34] et des relations répétables. Mais, par réticences d’ingénieurs ou sens des responsabilités politiques, ils ont rejeté avec vigueur une mathématisation « non euclidienne » de leur discipline – c’était un leitmotiv de Jacques Rueff – qui aurait développé des déductions fondées sur des axiomes non réalistes. Si la célèbre thèse de Friedman de 1953 qui s’affranchit du réalisme des hypothèses retrouve la liberté des formalistes, elle s’impose tout de même un réalisme des conséquences et des théorèmes qui n’a pas son équivalent en logique mathématique. L’économétrie de l’International Econometric Society et de la Cowles Commission devaient reprendre à leur compte cette exigence de réalisme des conséquences d’un modèle sous la forme plus subtile d’un modèle probabilistes testable sur les valeurs historiques des variables.

La valeur explicative d’une théorie déductive dépend de sa capacité à identifier des causes des phénomènes observés (dans un paradigme mécaniste), ou plus conformément au paradigme positiviste des lois reliant des effets à des facteurs. Carl Hempel et Paul Oppenheim [1948] ont tenté de caractériser de telles théories par un modèle dit « déductif nomologique » (DN) dans lequel la nature même des propositions et des axiomes constituant l’explanans est double : d’une part, des énoncés universels conditionnels hypothétiques ayant statut de lois générales ; d’autre part, des conditions initiales qui doivent avoir un contenu empirique qui les rend testables. La dernière condition du modèle DN pose que les éléments constitutifs de l’explanans doivent être « vrais ». On voit combien ces conditions diffèrent de celles de l’axiomatique. Comme le fait remarquer Jérôme Lallement [35], un tel modèle a d’abord été établi pour rendre compte de l’explication en histoire, puis transposé en économie par Popper puis par N. Koertge : la notion de loi générale se réduit à un principe de rationalité dont la validité générale n’est pas acquise, et la « vérité » des conditions initiales est difficile à définir autrement que par référence à un réel reconstruit par la mesure et par des conventions d’équivalence socialement construites, mais de cela les épistémologues parlent peu.

L’expulsion du sens réclamée par l’axiomatique est forcément incomplète en économie comme en témoigne le vocabulaire utilisé dans la théorie du choix social (préférences, utilité, rationalité…) ou dans celle de l’équilibre général, qui n’est pas de pure convention mais incorpore les nombreuses scories des débats idéologiques de la vieille économie politique. La symbolique, les règles de formulation et les règles de déduction utilisées dans la formalisation débordent largement celles de la logique formelle, empruntent leurs éléments aux paradigmes fort différents du calcul différentiel, de la mécanique rationnelle, de la thermodynamique, de la statistique mathématique, de la décision, de la théorie des jeux, qui ne forment pas une langue unifiée. Les propriétés des équilibres, de la dynamique classique ou chaotique s’établissent avec des techniques de démonstration, de résolution, voire de simulation dont la valeur de preuve est autrement plus complexe que le syllogisme des Anciens. Weintraub a montré que les économistes ont trop souvent avec les mathématiques un rapport d’instrumentation qui leur fait oublier que cette discipline a elle-même une histoire complexe et plusieurs épistémologies concurrentes.

Le glissement que nous avons observé dans les mathématiques de Bourbaki s’opère totalement dès que l’on est dans une science à contenu empirique comme la physique ou l’économie. Théorie et modèle se confondent ou s’inversent facilement. C’est le modèle de type algébrique qui exprime sans ambiguïté chacun des énoncés de la théorie, y compris ceux qui jouent éventuellement le rôle d’axiomes. C’est le modèle qui est utilisé comme justification formelle de la théorie. Cette confusion empêche de discuter à la façon des logiciens de la consistance et de la complétude de la théorie axiomatique.

Ce brouillage entre théorie et modèle est d’ailleurs la situation que constate Mongin dans ses trois études de cas que nous ne pouvons pas reprendre ici point par point. Si les théories qu’il analyse vérifient, grosso modo, ses trois conditions syntaxiques (i) d’avoir une base axiomatique, (ii) d’avoir défini les opérations syntaxiques correctes, (iii) que cette base soit minimale, c’est parce qu’on abandonne la notion de système formel au profit de l’algèbre moderne. Quant aux deux conditions qui doivent selon lui caractériser la sémantique – « (A) une notion de modèle apparaît plus ou moins clairement constituée ; (B) la sémantique ainsi comprise et le système formel sont susceptibles d’interagir et de se modifier réciproquement » elles nous paraissent à la fois trop imprécises, et très difficiles à tester car on ne sait plus de quelle sémantique on parle. Mongin écrit : « De fait, les trois groupes de théories vérifient facilement l’idée générale suivant laquelle un système formel existe et se développe indépendamment de ses interprétations. Plus exactement ils la vérifient à la manière caractéristique des axiomatisations ensemblistes, c’est-à-dire en répercutant les interprétations des théories préalables ». Mais il nous semble que, dans cette phrase, le mot « interprétation » ne signifie plus du tout le rapport sémantique entre modèle et théorie, mais bien plutôt celui qui existe entre un énoncé d’économie abstraite et une situation réelle (c’est-à-dire concrète-idéalisée).

Pour le dire d’une autre façon, notons que ce qu’on dénomme aujourd’hui la « conception sémantique des théories [37] » distingue quatre entités : 1° le monde concret dans toute sa complexité ; 2° le système réel qui est un aspect du précédent choisi comme objet de science (cela peut être un mécanisme) ; 3° le modèle-objet qui est une économie idéale ; 4° le modèle-descripteur de nature linguistique et mathématique qui décrit le précédent. Dans cette conception, on décompose également la sémantique en deux opérations – une caractérisation du modèle-objet et une conjecture sur sa relation au système réel – voire trois opérations si l’on ajoute la relation entre modèle-objet de la théorie modèle-descripteur-mathématique qui serait en quelque sorte une inversion de la sémantique formelle, puisque c’est le modèle mathématique qui est doté d’une syntaxe forte permettant de rendre consistante la théorie exprimée dans un langage « informel ». Le modèle mathématique servirait alors de médiation entre la théorie et le monde réel dont elle rend compte. C’était déjà la conception de Haavelmo dans son manifeste fondateur de l’économétrie en 1944. C’est encore celle qui domine les caractérisations contemporaines de la modélisation [38]. Les interprétations du modèle dont parle Mongin ne seraient plus relatives à une seule sémantique complète entre théorie et modèle, mais à des significations éparses et informelles tantôt rapportées à l’économie abstraite de la théorie (une fonction d’utilité représente une relation de préférence), relative, tantôt aux économies concrètes des agents ou des statisticiens, tantôt à des théories informelles préalables, voire à des objets mathématiques, des analogies et métaphores. L’auteur ne dit pas autre chose dans le paragraphe qui suit et en conclut que la réalisation des conditions (A) et (B) ne va pas sans difficulté en économie.

Mais il nous semble alors que la suite de son enquête sur l’axiomatisation dans trois théories économiques est soumise au risque du grand écart qu’il doit tenir entre sa caractérisation de l’axiomatique et les pratiques de la démonstration chez Debreu, von Neumann, Arrow et Nash, peu conformes à ce standard. La distinction qu’il apporte sur le tard entre rôle définitionnel et rôle théorématique de l’axiomatique (ou de certains axiomes ?) n’ajoute rien au test et nous paraît peu opératoire parce qu’il est difficile d’imaginer une définition qui n’est pas une propriété mobilisable dans une démonstration. D’ailleurs, « la dynamique des théories, comme il en convient, tend à brouiller la différence des deux familles ». Et puis ce qui paraît plus important pour la fécondité et l’extension d’une axiomatique, c’est bien davantage une possibilité de variation, voire de « commutation » au sens de la sémiologie de Barthes, que cette terminologie n’évoque pas.

Si la phase formaliste n’a été qu’une parenthèse pour la méthode axiomatique en économie, et que celle-ci ne constitue plus qu’une façon cohérente (mais pas formellement consistante) de développer une théorie déductive de petits sous systèmes réels correspondant à des économies fictives qui servent à border nos économies réelles, avec cet avantage considérable de savoir sur quelles hypothèses précises elles reposent, et d’explorer ainsi l’ensemble des possibles, et l’éventuelle existence d’un optimum dans cet ensemble, alors y a-t-il encore une différence entre l’axiomatisation et la notion plus générale de modélisation hypothético-déductive telle que l’entendent les économistes aujourd’hui ? S’il est vrai que la référence à la syntaxe et à la sémantique des modèles formels s’efface, y a-t-il une raison, par exemple, d’exclure Samuelson du Gotha des représentants d’une économie axiomatique, dès lors que, dans ses travaux, il tire rigoureusement des conséquences mathématiques de postulats explicites ? Et n’en serait-il pas de même pour les modèles classiques de la croissance en macroéconomie, de Ramsey avec son modèle axiomatique de 1928, à Solow [1956] que les manuels contemporains comme D. Romer présentent avec des postulats explicites. On ne voit pas très bien pourquoi un critère de démarcation sémantique si flou réussit à recaler des représentants reconnus du style axiomatique.

Dans ce cadre de la modélisation, une troisième dimension prendra une importance capitale, que l’approche axiomatique évacue par principe comme elle a évacué la question des significations, c’est la pragmatique. Celle-ci ne considère plus le modèle simplement comme une forme de connaissance, comme un simple médiateur entre observation, structure et théorie, mais aussi comme un moyen d’action sur le monde. La consistance et la pertinence du modèle ne suffisent plus à le caractériser, il faut aussi parler de son efficacité, c’est-à-dire sa capacité à performer le monde directement ou indirectement. Dès lors il ne suffit plus de parler de l’objet modèle, il faut parler de l’action de modélisation. Cette approche réintroduit les catégories de champ d’action, d’acteur, d’objectif, de stratégie, d’agenda politique, d’usage, d’expertise… et la science des modèles devient une sociologique (au sens de Bloor et de Callon) dans laquelle l’objet formel « modèle » n’est qu’un élément.

Les travaux récents d’histoire sociale de la modélisation [39] ont mis en évidence les éléments qui ont permis un développement foisonnant de la modélisation économique depuis la fin de la seconde guerre mondiale. On ne peut nier que les paradigmes de l’équilibre général et de la théorie des jeux aient constitué petit à petit un cadre unificateur pour ce développement. Mais la modélisation économique doit bien davantage dans cette période au cadre tout aussi important d’un nouvel ordre mondial marqué par la Pax Americana, au nouveau rôle de l’État dans la régulation de la croissance, au keynésianisme qui inspire les débats et les politiques, à un ensemble de techniques et de méthodes comme la recherche opérationnelle, l’analyse des coûts, l’économétrie, développées à la Rand Corporation et la Cowles Commission et issues d’une recherche faite d’abord dans un cadre militaro-industriel avant de trouver ses lettres de noblesse dans le monde académique. Il s’ensuit que la construction axiomatique des théories a le plus souvent été une reconstruction a posteriori, seconde (mais pas secondaire) par rapport à la myriade de recherches appliquées qui se développées, davantage tirées par la demande de résolution de problèmes et par la toute nouvelle puissance de calcul et de simulation des ordinateurs que par la « volonté de faire science ».

Il faut ajouter le fait que les axiomes classiques de l’équilibre microéconomique en concurrence pure et parfaite ont été rendus obsolètes par la nécessaire prise en compte des asymétries d’information, des anticipations, du mimétisme, etc., autant de conditions qui compliquent sérieusement l’axiomatisation de la théorie mais qui suscitent au contraire de nombreuses tentatives de modélisation à des fins heuristiques. Celles-ci ne s’inscrivent pas forcément dans le mainstream de la théorie de l’équilibre, mais prennent pourtant une forme hypothético-déductive [40] qu’il serait intéressant d’étudier car ils sont ceux de « la science en train de se faire ». On y trouverait sans doute une gamme allant des petits modèles réalistes bien spécifiés à des modèles idéaux et génériques de l’économie aux hypothèses approximatives dont Walliser [41] a étudié, a priori et tout aussi généralement, les différentes classes et les différents processus d’obtention (isolation, stylisation,…) à partir des systèmes réels étudiés.

Les modèles de la macroéconomie se sont également formidablement complexifiés depuis les premiers prototypes de Klein et Goldberger dans les années 1950, dès lors que l’on a voulu les décliner en de nombreux secteurs, les enrichir de blocs d’équations traduisant des échanges extérieurs, des mécanismes monétaires et des mécanismes financiers. Y inclure tout cela plus des anticipations et des boucles de rétroaction non linéaires a conduit à la construction de gros modèles dont les propriétés dynamiques étaient difficiles à évaluer et les qualités de prévision insuffisantes. La modélisation macroéconométrique structurelle initiée par la Cowles Commission dans les années 1940 a mal survécu aux chocs pétroliers, mais aussi à la révolution des anticipations et à l’économétrie des séries temporelles. Dans ce domaine, le débat s’est donc focalisé sur les propriétés descriptives et prévisionnelles des modèles bien davantage que sur leurs fondements axiomatiques quasi inexistants. Depuis la fin des années 1980, il semble que l’on voit deux tendances opposées se développer. L’une, bien représentée par les modèles d’équilibre général calculable, consiste à revenir à des fondements microéconomiques de petits modèles macroéconomiques très sommaires, avec équilibre walrasien intertemporel et agent représentatif générique, qui ne sont plus estimés sur des séries historiques mais calibrés sur une « matrice de comptabilité sociale ». L’autre tendance résulte de la mondialisation économique, de sa financiarisation, de son intégration avec divers processus physiques ou sociaux et plus généralement d’une complexité très grande des systèmes-objets qui sont explorés. Elle est bien représentée par les modèles internationaux, les modèles d’activité, les modèles de la finance, les modèles de transports, les modèles écologiques, ou les modèles intégrés du changement climatique. Dans cette modélisation, du fait même de l’hétérogénéité des objets modélisés, et de la diversité des échelles à laquelle ils se situent, il n’y a plus une théorie qui sert de référence au modèle mais des théories multiples appartenant à des champs pluridisciplinaires. La structure du modèle est multiforme et articule des éléments hypothético-déductifs, des éléments algorithmiques et des bases de données. Elle est doublement formatée par la structure des connaissances à mobiliser et par les questions à résoudre qui ne réclament pas tant des schèmes causaux que des scénarios destinés à la communication entre experts et décideurs, dans lesquels s’articulent mécanismes, décisions et évaluations. La simulation devient alors un substitut de la preuve. Dans le cadre d’une science de plus en plus désunifiée, mais aussi de plus en plus articulée au pilotage de systèmes complexes, la réflexion qui a commencé sur ces nouvelles formes de modélisation nous semble d’une urgence scientifique et citoyenne [42].

Cette modélisation intégrée des systèmes complexes est l’objet d’enjeux – théoriques et pratiques – plus importants que ceux de l’existence d’un équilibre général qui a mobilisé tant d’énergie dans les cinquante dernières années. Et, pourtant, elle n’a pas reçu beaucoup d’attention de la part des spécialistes de l’épistémologie économique. L’auteur de « L’axiomatisation et les théories économiques » nous répondra certainement que cela n’est pas son propos d’en traiter. Mais s’il veut nous convaincre de la nécessité intellectuelle d’un effort de démarcation de la catégorie du raisonnement axiomatique en économie, il doit aussi nous convaincre de l’utilité de ce cadrage étroit pour la science économique d’aujourd’hui face aux défis qui lui sont posés. Il ne dit rien des avantages qu’il y aurait à respecter sa caractérisation si ce n’est savoir de quoi l’on parle. Son travail serait plus intéressant s’il pouvait indiquer comment s’articulent à son avis le mot et la chose, sa caractérisation a priori de la méthode axiomatique et les travaux de modélisation contemporains qui n’en relèvent pas explicitement. La méthode axiomatique, qui a joué historiquement un rôle important dans la consolidation des inférences déductives, peut sans doute encore le faire dans ce nouvel environnement de la recherche économique où les phénomènes étudiés mobilisent plusieurs théories, plusieurs échelles d’analyse, et plusieurs types de certitudes. Pourrait-elle contribuer au « durcissement » des éléments de savoirs incorporés dans de tels modèles ? Pourrait-elle contrôler la cohérence de leurs assemblages d’éléments théoriques et empiriques hétérogènes ? Pourrait-elle renforcer la tendance actuelle qui est de doubler les gros modèles bottom-up par de petits modèles conceptuels plus manipulables ?

Caractériser la méthode axiomatique n’est pas aisé, mais c’est plus facile que de caractériser la méthode des modèles beaucoup plus polymorphe, et cela justifie pleinement que l’auteur se concentre sur le premier pôle plutôt que sur le second. Parce que les questions qui se posent à la science économique sont les mêmes, parce que les partisans de l’axiomatique ne réussissent jamais à expulser les connotations de leurs axiomes, il est cependant difficile de défendre l’idée que l’axiomatisation et la modélisation sont deux démarches totalement étrangères. La première est sans doute une forme plus étroite que la seconde mais l’inclusion au sens logique est insuffisante à rendre compte des nombreuses articulations entre les deux démarches qu’il faudrait étudier. Et cette étude nous conduirait à interroger la place des axiomes dans l’ensemble bien plus vaste des éléments premiers d’une démarche de modélisation (données, prénotions, commande, scénario…) mais aussi celle du raisonnement déductif par rapport à d’autres formes d’inférences (induction, expériences, simulations, récits…). Elle nous amènerait aussi à proférer des jugements. Penser l’axiomatisation comme un « achèvement de l’idée de théorie déductive » ou la penser comme « un cas très dangereux de fiction autoréalisatrice » révèle des appréciations différentes d’une même situation limite. Une telle étude comparative nous forcerait à choisir une posture quant à la forme de représentation du monde qui a notre préférence : place à l’artiste et à sa liberté de création (car même l’art abstrait finit par dire quelque chose du monde !) ou place à l’homme d’action responsable qui veut comprendre le monde pour le changer (ou l’empêcher de changer).