À défaut de s’appliquer littéralement, les critères des logiciens doivent servir au moins de modèle analogique aux axiomatisations que les autres disciplines mettent en œuvre. Ce principe général conduit, en premier lieu, à répercuter sur l’économie dite mathématique la différence de la symbolisation, de la formalisation et de ce qu’on décidera d’appeler axiomatisation. Le découpage des trois formes d’activité s’avère assez facile à mettre en œuvre. Il permet d’évacuer les définitions affaiblissantes qui ramènent l’axiomatique à des banalités préparatoires : séparer les signes (« la syntaxe ») de leurs interprétations (« la sémantique ») ; regrouper les prémisses en les distinguant bien des propositions déduites ; étudier les déductions en clarifiant la nécessité et la suffisance de chaque condition. Suivant l’analogie proposée de la logique et des mathématiques, où tout n’est pas axiomatisé, loin s’en faut, les stratégies précédentes relèvent encore de la formalisation. Pour estimer le surcroît que réclame l’axiomatisation, l’article isole finalement deux conditions : (a) la syntaxe de la théorie doit aller jusqu’à l’idée de système formel ; (b) la sémantique doit être formalisée jusqu’à un certain point, et susceptible d’interagir avec la syntaxe ; cette seconde exigence est plus difficile à préciser que la première.

En s’aidant des deux conditions, l’article parvient à plusieurs appréciations concrètes. La macroéconomie connaît des théories formalisées, mais non pas axiomatisées. Seules les parties fondamentales de la microéconomie et ses disciplines théoriques auxiliaires – théories des jeux, de la décision et du choix social – se rapprochent suffisamment de (a) et de (b). Le cas le plus convaincant provient de la théorie de l’équilibre général telle que Debreu et son école l’ont reformulée. La théorie de la décision réalise imparfaitement (a), parce que ses systèmes formels sont des miniatures – ils culminent dans la démonstration d’un théorème unique, ce qui s’appelle, dans l’article, la forme théorématique de l’axiomatisation par opposition à la forme définitionnelle, adoptée par Debreu. De même, la théorie de la décision remplit la condition (b) de manière incomplète, parce que la pauvreté du système formel y restreint les échanges avec la sémantique ; il reste qu’elle parvient à représenter mathématiquement la différence entre syntaxe et sémantique. Quant à l’économie normative, à laquelle on peut rattacher les théories du marchandage et du choix social, elle est encore plus éloignée du modèle fixé par (a) et (b). Le système formel de Nash, par exemple, est une autre miniature théorématique et ne renvoie à aucune sémantique formalisée, mais seulement à l’intuition vague de ce qu’est un bon marchandage. Paradoxalement, le secteur de l’économie où l’on revendique le plus volontiers la « méthode axiomatique » s’avère être celui qui justifierait le moins d’en parler si l’on adoptait l’analyse faite ici de la méthode.

Les thèses de l’article ont donné lieu à deux attaques dont on pouvait d’emblée prévoir la direction. Certains lui ont reproché de diluer excessivement l’axiomatisation. Seuls, les logiciens et quelques mathématiciens en feraient un usage authentique. Edulcorée comme elle l’est, suivant la conception volontairement analogique rappelée ici, la méthode deviendrait une prose que l’on parle sans le savoir. Puisqu’elle n’est que cette chose terne et banale, il n’y aurait pas lieu de s’attarder sur la manière dont elle fonctionne en économie. D’autres, au contraire, ont cru percevoir une insensibilité dogmatique aux particularités de la discipline : celle-ci, et même la moindre de ses spécialités, pourrait redéfinir ses méthodes comme il lui sied. Que ce soit la théorie de la décision, celle de l’équilibre général ou l’économie normative, chacune reposerait sur une tradition d’axiomatique autonome qui se passe de toute référence logicienne, et il lui serait loisible d’ignorer ce que la voisine appelle à son tour « méthode axiomatique ». Ces deux critiques s’opposent, mais elles ont en commun d’écarter (comme décourageante dans un cas, inutile et hors-sujet dans l’autre) la technicité propre à l’axiomatisation ; elles assument une forme de relâchement des idées. Elles se rejoignent encore, ce qu’on ne verra pas non plus comme un avantage, pour effacer des différences conceptuelles. La première critique laisse l’axiomatisation des économistes se noyer dans l’usage qu’ils font des mathématiques en général. Quant à la seconde critique, elle admet la diversité des styles au-delà du raisonnable : il n’y aurait pas de langue officielle de l’axiomatisation, mais seulement des patois aussi nombreux que les villages de la province Économie. À chaque village, son coq : lequel doit-on donner en modèle aux étudiants, de Nash, Debreu ou von Neumann ?

Les deux attaques de flanc étaient prévisibles, mais il est curieux de les trouver combinées comme elles le sont chez Michel Armatte : « En premier lieu, l’importation des catégories logiques et mathématiques ne peut se réaliser qu’au prix d’un affaiblissement grossier des critères de démarcation patiemment établis… En second lieu, les trois “théories”… les plus proches d’un idéal de l’axiomatique économique ne passent pas le filtre (pourtant affaibli) de la définition de l’axiomatique qui a été donnée. » Sauf s’il voit dans l’article un tissu d’incohérences, ce que semble exclure l’attention même qu’il lui porte, Armatte devrait choisir son angle d’attaque. Si le filet est si grossier qu’il le dit, les théories économiques passent à travers ; s’il est vrai qu’elles ne passent pas, c’est que les mailles sont encore trop serrées. La critique de Michel Armatte présente une autre disparité interne. Il veut bien approuver la distinction faite des trois activités mathématiques – symbolisation, formalisation, axiomatisation. Or, il ne semble pas limiter le découpage aux disciplines logico-mathématiques, où la nature de l’axiomatique fait l’objet d’une espèce d’accord. Mais si la tripartition doit s’étendre à l’économie, où ce qu’on appelle axiomatique fait problème, il faut des critères pour séparer la troisième activité des deux premières. On vient de voir que Michel Armatte contestait la pertinence des critères (a) et (b). Mais alors, pourquoi sauver la tripartition du naufrage ?

Plusieurs observations que son commentaire choisit de présenter négativement sont en fait reprises de l’article lui-même. Il rappelle qu’en économie le concept de sémantique ne s’applique pas seulement aux modèles ou structures tels que les logiciens les définiraient, mais au « monde concret avec toute sa complexité ». On avait fait valoir, plus précisément, que la sémantique des théories axiomatisées, en économie, pouvait porter sur trois classes d’objets : 1) des réalisations mathématiques particulières du système formel (par exemple, un modèle linéarisé et à deux biens du système formel de Debreu) ; 2) des entités, à nouveau mathématiques, dont l’existence découle déductivement des axiomes (ainsi, la fonction d’utilité linéaire, qui sert de contrepartie sémantique aux axiomes de von Neumann et Morgenstern) ; 3) des situations du monde réel qui ne sont pas décrites mathématiquement (le scénario de marchandage qui répond aux axiomes de Nash). Armatte partage le diagnostic de l’auteur : la sémantique des théories qui se disent axiomatiques est hétérogène. Conclure, comme il le fait, qu’« on ne sait plus de quelle sémantique on parle » semble défaitiste et tendancieux, alors que les distinctions viennent justement d’être établies. Si l’on accepte le découpage des cas, une recommandation paraît s’enchaîner naturellement : ne plus parler d’axiomatisation lorsque la sémantique se limite au troisième groupe ; en parler seulement, mais non pas nécessairement, si les deux premiers groupes interviennent. La gradation qui va de Debreu à Nash en passant par von Neumann comme du plus au moins axiomatique répercute la distinction précédente. Il semblerait qu’on sache très bien de quoi l’on parle dans tout ce qui précède.

Le dialogue élaboré entre une syntaxe et une sémantique à quoi se ramène finalement l’axiomatisation laisse échapper le dernier volet du fameux tryptique de Charles Morris : la pragmatique. Michel Armatte a raison d’en rappeler l’importance à tous ceux – philosophes des sciences aussi bien qu’historiens – qui cherchent aujourd’hui à élucider la nature singulière du travail des économistes. Ce qu’on appelle un modèle dans leur discipline comporte un élément de pragmatique, ainsi que de rhétorique [2], à côté des deux éléments traditionnels de la syntaxe et de la sémantique. L’acceptabilité d’un modèle de politique monétaire à générations imbriquées, par exemple, résulte d’un effet d’ensemble dans lequel l’information transmise (objet de la pragmatique) et la persuasion recherchée (objet de la rhétorique) dominent par rapport à la rigueur des preuves. Dans les « simplifications » dont le modèle s’autorise, des aspects de résolution calculatoire interviennent, mais, aussi, une certaine manière de forcer le trait, de caricaturer le réel, qui vise à faire partager la conviction intime du modélisateur (la politique monétaire est inefficace, ou au contraire, elle est très efficace). Les catégories qui conviennent aux modèles mieux que celles de démonstration et de vérité sont celles de vraisemblance et de plausibilité, qu’on emploie pour qualifier les avis échangés dans la conversation courante. Que les modèles économiques aient notamment, et peut-être avant tout, un but d’information et de persuasion, implique un certain nombre de truismes utiles : ils s’adressent à un groupe implicitement restreint, composé d’adversaires ou d’hésitants ; ils répondent à une intention prédominante, voire exclusive ; ils empruntent de manière non contestataire, quoique parfois ironique, aux topoi du domaine considéré ; ils touchent à des questions d’importance collective, et couramment, ils préparent des recommandations politiques.

Aucune des théories que l’article discute ne répond à ces caractères. Parce qu’ils constituent autant de différences perceptibles, parfois saisissantes, entre l’axiomatique et la modélisation, il paraît évident de conclure que les deux activités sont très dissemblables. Alors que Michel Armatte pourrait s’en tenir à rappeler que la seconde est, en économie, plus répandue et plus importante que la première, il choisit d’atténuer leur différence de nature. À ce point, sa critique rejoint sans ambiguïté la première des deux écoles, celle que gênait, dans l’article, non pas le manque, mais le trop-plein des distinctions. Chez Armatte, contrairement à d’autres lecteurs, le continuisme n’est pas une position candide : il reflète une connaissance effective du matériau, doublée d’une fixation relativiste sur les circonstances. Aucune affirmation conceptuelle ne résiste à la complexité indéfinie du réel. Rien de ce qu’on peut dire d’une chose ou d’un texte important ne vaut correctement pour les autres. La contestation des généralités constitue la seule généralité qui se tienne. C’est pourtant le même Armatte dont les travaux sur la statistique révélaient une unité du domaine et un sens de l’évolution, par-delà le fouillis séduisant des détails qu’il couvrait. À l’époque, il ne s’agissait pas encore de dire que, parce qu’il y a des transitions entre les styles de mathématisation, elles forment un grand bloc indistinct dans lequel on ne se reconnaît plus [3].

Il semblerait que les distinctions claires, éventuellement simplifiantes, répondent non seulement aux buts de l’épistémologie, mais à ceux de l’histoire des sciences. Voici un exemple supplémentaire venu de l’article : il répercutait la distinction que les manuels d’axiomatique font passer entre les Anciens (comme Euclide ou Pascal) et les Modernes (comme le dernier Hilbert, von Neumann ou Carnap). Cette distinction ne tient pas mieux compte que la précédente des formes transitoires ; ainsi, l’axiomatique de la géométrie euclidienne, chez le premier Hilbert, reste difficile à classer [4]. Mais si la présentation des manuels paraît forcée, les historiens des mathématiques perdraient beaucoup à s’en passer : ils aborderaient en situation de faiblesse les débats internes du début du xx ^e siècle qu’ils désignent sous l’intitulé de « crise des mathématiques » ; l’évolution du genre axiomatique est manifestement partie prenante aux difficultés de cette époque. Même l’historien de la pensée économique pourrait, s’il le souhaite, exploiter la distinction scolaire pour son travail. L’article avance l’hypothèse que l’axiomatique des Anciens n’a pas joué de rôle actif parmi les économistes ; la méthode pénétrerait leur discipline tardivement, vers la seconde guerre mondiale seulement, alors que le débat technique était tranché de longue date en faveur des Modernes et que les positivistes logiques en avaient fait la publicité. L’hypothèse, qui est de nature historique, ne peut pas être formulée sans l’idéal type des deux genres axiomatiques. Il conviendrait de le confronter au matériau documentaire et, grâce à lui, de le raffiner et de l’approfondir. L’auteur tient ses références à la disposition des chercheurs intéressés.

Les observations d’Elettra Agliardi privilégient la « théorie axiomatique du marchandage », chez Nash et d’autres, que cette réponse a discutée, mais qu’elles éclairent sous un angle supplémentaire. On reproche souvent à cette théorie de décrire son objet, la négociation, à la manière décevante et peu informative d’une forme réduite. À la suite de Nash, l’habitude s’est prise de faire porter les conditions, ou « axiomes », directement sur les montants d’utilité réalisés par les individus. D’où proviennent ces nombres, comment, par exemple, s’établit le vecteur qui représente l’impasse de la négociation – ces questions sont rejetées à l’extérieur de la théorie, comme si elles reflétaient de vulgaires considérations sémantiques dont une bonne et solide axiomatisation n’aurait pas à tenir compte. Elettra Agliardi ne pense pas que l’axiomatique puisse justifier en elle-même le choix que Nash et d’autres font d’opérer sur des formes réduites. Pour elle, la justification de ce choix constitue un problème interne à la théorie du marchandage. Elle se penche donc sur les travaux qui cherchent à lier le déroulement de la négociation avec les conditions « axiomatiques » posées sur son issue. Certains y parviennent, mais d’autres mettent ces conditions en difficulté, car ils montrent qu’elles conviennent pour une provenance concevable des utilités, mais non pour une autre qui serait aussi concevable ; il faut alors conclure que le niveau de généralité choisi par la théorie n’était pas le bon. Au terme d’une synthèse appréciable des développements récents, Elettra Agliardi conclut qu’ils sont trop hétérogènes pour justifier de prendre une position d’ensemble pour ou contre la méthode des formes réduites.

Tout en approuvant la conclusion prudente, on rappellera que le propos de l’article était épistémologique plutôt que méthodologique. Il ne cherchait pas à prendre position pour ou contre l’analyse du marchandage telle qu’on la pratique, mais à interpréter sa nature axiomatique ou non. Si l’article a rappelé que les conditions portent sur un objet dérivé, contrairement à ce qui arrive ailleurs, c’est parce que ce choix particulier interfère avec la définition de la sémantique. Suivant l’exigence (b) posée plus haut, la sémantique doit être formelle jusqu’à un certain point ; elle ne doit pas se ramener à des commentaires ou des « motivations » donnés en langue ordinaire. C’est justement ce qui arrive dans la théorie en question ; la simplification consistant à raisonner sur les utilités encourage la dérive vers les scénarios vagues et les jugements de valeur informes.

L’article insiste tout au long sur une propriété constitutive des axiomatisations que ni Michel Armatte, ni Elettra Agliardi, n’ont relevée, sans doute parce qu’ils la jugeaient évidente : elles sont normalement postérieures à l’élaboration d’une théorie informelle, si modeste que soit parfois celle-ci. La théorie de l’équilibre général formait un édifice considérable et déjà mathématisé quand Debreu la rendit axiomatique. Dans l’appendice de Theory of Games and Economic Behavior ou chez Marschak, la tentative axiomatique prenait acte des travaux anciens sur la règle de l’utilité attendue. La théorie de la décision continue d’avancer de la même manière : ainsi, la formule de l’utilité « dépendante du rang », qui supplantera peut-être un jour celle de l’utilité attendue, a beaucoup circulé avant qu’on l’axiomatise. Ces remarques rendent d’autant plus surprenante l’attitude des économistes qui se dispensent pratiquement de préalables informels : en économie normative notamment, certains revendiquent l’axiomatisation comme une activité directe et temporellement première. Elle leur sert de procédé de découverte en même temps que de moyen d’exposition et de vérification logique ; elle est constitutive de leurs objets de travail. Il serait intéressant de mieux comprendre les antécédents de cette attitude, qui paraît singulière dès qu’on la compare à la carte des sciences, ou même à celle de l’économie généralement. L’influence de von Neumann paraît indiscutable. Malgré l’appendice mentionné plus haut, écrit avec Morgenstern, qui participe d’une conception plus traditionnelle, von Neumann en est venu à accentuer le rôle autonome de l’axiomatique en sciences sociales. L’une des raisons est qu’il voulait promouvoir des mathématiques spécifiquement adaptées à ces disciplines, et que l’analyse convexe, par exemple, qu’il recommandait d’adopter au lieu du calcul différentiel, fait bon ménage avec le projet d’une axiomatique indépendante. Cette conception, touche aussi Nash, Arrow et Shapley ; elle paraît caractéristique des premiers travaux d’après-guerre. Elle justifierait une analyse plus détaillée que celle que lui consacre l’article.