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Revue économique

2006/2 (Vol. 57)


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Introduction

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La théorie financière et les modèles de choix de portefeuille se sont développés depuis près d’un demi-siècle dans le cadre de la théorie de l’espérance d’utilité, reposant sur l’axiomatisation des préférences individuelles de von Neumann et Morgenstern. L’hypothèse d’aversion au risque et les travaux de Harry Markowitz [1952a] sur la diversification de portefeuille ont donné un caractère opérationnel à la prise de décision dans le domaine du choix de portefeuille, en mesurant le risque par la variance de rentabilité des portefeuilles. Le modèle de Markowitz repose cependant sur des hypothèses fortes, relatives aux préférences des agents (utilité quadratique [1][1] Sur la pertinence du critère espérance/variance dans...) ou à la distribution de probabilité des rentabilités (déterminée par ses deux premiers moments [2][2] Pour une analyse de choix de portefeuilles qui repose...).

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Markowitz lui-même avait déjà mentionné que cette mesure (la variance) n’était peut-être pas la meilleure en suggérant une alternative, la semi-variance, qui tient uniquement compte des rentabilités inférieures à la moyenne. Il s’agissait d’une première approche de ce qui est appelé aujourd’hui « aversion aux pertes ». Dans un second article publié la même année et intitulé The Utility of Wealth [1952b], il proposait une fonction d’utilité concave du côté des gains et convexe du côté des pertes pour tenir compte des comportements couramment observés, et notamment les comportements de jeu et de prise de risque dans certaines circonstances.

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Cette idée sera élaborée trente ans plus tard par Kahneman et Tversky [1979] dans la théorie des perspectives. Ces auteurs, s’appuyant sur de nombreuses expérimentations, enrichiront la description des préférences en introduisant explicitement la notion d’aversion aux pertes ainsi que la déformation des probabilités objectives par les agents. Tversky et Kahneman [1992] formuleront cette déformation de manière rigoureuse en transformant les fonctions de répartition et les fonctions décumulatives, plutôt que les probabilités elles-mêmes, suivant en cela la proposition de Quiggin [1982] dans le cadre du modèle d’utilité dépendante du rang [3][3] Voir également Yaari [1987]..

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Ces évolutions théoriques ont conduit à s’interroger sur la pertinence du modèle, devenu classique, de choix de portefeuille à la Markowitz. En effet, à ces progrès théoriques sont venues s’ajouter les constatations de nombreuses anomalies, soit révélées expérimentalement, soit mises en évidence sur des données de marché.

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Enfin, l’éclatement de la bulle Internet en 2000 a conduit à la prolifération de produits à capital garanti qui évitent aux investisseurs le risque de pertes importantes en cas d’effondrement du marché, tout en leur offrant de profiter, au moins partiellement, de hausses conséquentes des indices boursiers. De même, dans les années récentes, on a vu se développer des produits d’épargne associés à des loteries qui poursuivent des objectifs similaires à ceux des comptes à capital garanti, du point de vue de la sécurité du placement, mais qui offrent en plus une possibilité de « jackpot » permettant à l’investisseur d’accroître de manière très conséquente sa richesse (Guillen et Tschoegl [2002] ; Pfiffelmann et Roger [2005]). L’attractivité de ces produits, et plus généralement celle des jeux de hasard, est justifiée à la fois par la déformation des probabilités objectives, le souci de sécurité des agents que traduit bien le concept d’aversion aux pertes ainsi que l’aspiration à s’enrichir de l’épargnant.

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Parallèlement à cette « rupture » par rapport à la théorie de l’espérance d’utilité, de nombreux travaux ont été développés dans le cadre classique pour étendre l’approche de Markowitz et tenir compte de l’asymétrie dans la perception du risque et/ou de l’observation selon laquelle les investisseurs ne sont pas riscophobes en toutes circonstances.

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Concernant le premier point, on peut se référer aux travaux qui, dans le cadre de la problématique de choix de portefeuille, mesurent le risque par la Value at Risk (par exemple, Campbell et al. [2001], Alexander et Baptista [2002, 2004]). Ces derniers auteurs montrent en particulier qu’un investisseur opérant des choix dans l’espace espérance-VaR ne sélectionne pas forcément le portefeuille de variance minimale pour une espérance de rentabilité donnée. Ce phénomène survient quand les distributions de rentabilité ne sont pas gaussiennes, ce qui est confirmé par la plupart des tests empiriques.

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La seconde direction de recherche concerne la prise en compte des situations de prise de risque. Alors que dans l’approche comportementale, la prise de risque en certaines circonstances est justifiée par la déformation des probabilités objectives, l’approche classique s’appuie sur des modèles de choix de portefeuille tenant compte de la skewness des rentabilités, en plus des deux premiers moments de cette variable. Ces modèles supposent en particulier que les investisseurs recherchent les portefeuilles à skewness positive. Cette approche a d’abord été proposée par Arditti et Levy [1975] et Kraus et Litzenberger [1976] et se développe encore aujourd’hui (Chunhachinda et al. [1997], Sun et Yan [2003], Athayde et Flores [2004], par exemple).

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Dans cet article, nous nous concentrons sur quelques aspects comportementaux de la gestion de portefeuille [4][4] Pour d’autres applications, le lecteur peut se référer.... La première section du présent article rappelle les principales anomalies mises en évidence dans la littérature. Nous développons ensuite, dans les sections 2 et 3, un modèle de choix de portefeuille, s’appuyant sur les travaux de Roy [1952], Arzac et Bawa [1977] et Shefrin et Statman [2000], qui tient compte des évolutions importantes mentionnées plus haut, en particulier l’aversion aux pertes et la déformation des probabilités objectives. Nous illustrons ensuite le fait que les portefeuilles efficients peuvent être très différents de ceux retenus dans un modèle moyenne-variance. L’approche présentée ici est en outre parfaitement compatible avec le développement de produits financiers associés à des loteries. Nous mettons cependant en évidence le fait que la frontière efficiente reste identique à celle obtenue dans le cadre moyenne/variance dans le cas standard d’actifs à rentabilités gaussiennes. Cet exemple met en lumière les résultats théoriques de Levy et Levy [2004], toutefois établis dans un cadre légèrement différent.

Revue de la littérature

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La théorie moderne du portefeuille s’est fondée sur l’analyse moyenne/ variance de Markowitz et sur la logique de diversification. En dépit du succès de cette approche auprès des professionnels, un certain nombre d’observations ne sont pas conformes aux résultats attendus dans ce cadre.

La diversification insuffisante

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Toute une série de travaux met en évidence l’insuffisante diversification des portefeuilles individuels. Les salariés investissent en plus forte proportion dans les titres des entreprises dans lesquelles ils travaillent (Holden et VanDerhei [2001] ; Liang et Weisbenner [2003]) et, de façon plus générale, l’attractivité d’un investissement augmente avec son aspect familier selon Huberman [2001], l’exemple des salariés constituant un simple cas particulier de ce phénomène. Chan, Covrig et Ng [2005] montrent que la forte part accordée dans les fonds mutuels aux investissements en titres domestiques est liée positivement au degré de développement du marché financier national et à la familiarité. Kilka et Weber [2000] expliquent ce home bias par la perception erronée de la distribution de probabilité des rentabilités futures. En outre, dans le cas où la souscription à des plans d’investissement est automatique et que seul le choix du type d’investissement est possible, une forte proportion de l’investissement est effectuée en faveur du placement par défaut qui, la plupart du temps, est un fonds monétaire (Choi et al. [2004a]). Par ailleurs, les portefeuilles constitués sont peu diversifiés par rapport à ce que prévoit la théorie du portefeuille. Ce point a été confirmé par Polkovnichenko [2005] par une analyse des portefeuilles d’investisseurs individuels américains au travers des résultats de séries d’enquêtes, réalisées tous les trois ans, appelées Survey of Consumer Finances[5][5] On peut noter que ce résultat trouve une explication.... Comme cela avait précédemment été illustré par Goetzmann et Kumar [2001], la plupart des ménages détiennent en moyenne peu d’actions, même si, par ailleurs, ces mêmes investisseurs détiennent des parts de fonds indiciels dans le cadre de plans d’épargne-retraite.

La comptabilité mentale

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Les exemples précédents illustrent la sous-optimalité des portefeuilles construits par les investisseurs, eu égard à ce que prédit la théorie usuelle en termes de diversification. Un second effet vient s’ajouter à cette diversification insuffisante, appelé « comptabilité mentale » par Thaler [1985]. Les agents négligent en fait les corrélations entre investissements, pourtant centrales dans l’approche moyenne/variance.

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Un exemple classique de cette erreur est donné par Benartzi et Thaler [2001]. Ces auteurs offrent le choix à des employés de l’Université de Californie de répartir leur richesse entre deux plans de retraite dont l’un, le fonds A, est plus exposé au risque des actions que l’autre, le fonds B. Trois expériences sont menées.

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• Expérience 1. fonds A : 100 % d’actions et fonds B : 100 % d’obligations.

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• Expérience 2. fonds A : 100 % d’actions et fonds B : 50 % d’obligations et 50 % d’actions.

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• Expérience 3. fonds A : 50 % d’obligations et 50 % d’actions et fonds B : 100 % d’obligations.

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Les résultats obtenus montrent que les participants ne tiennent pas compte de la part de richesse globale investie sur le marché des actions mais répartissent leur richesse entre les options proposées ; chaque fonds semble comptabilisé individuellement. En effet, de nombreux répondants choisissent d’affecter leur épargne à 50/50 sur les deux options proposées. Cette répartition fréquente de 50/50 sur les deux choix proposés est généralement nommée heuristique 1/n (ou stratégie de diversication naïve) qui est une illustration d’une heuristique plus générale, l’heuristique de la diversification (Read et Lowenstein [1995]). Dans le cas de portefeuilles de titres, cette comptabilité mentale conduit les investisseurs à négliger les interactions possibles entre les différents titres et, de ce fait, le portefeuille n’est pas appréhendé dans sa globalité.

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Selon Thaler [1999], la comptabilité mentale revêt trois composantes : la perception des décisions, leur affectation en compartiments et la fréquence d’évaluation des portefeuilles. La façon dont les investissements sont perçus affecte de manière importante la composition des portefeuilles. Pour Benartzi [2001], c’est un excès de projection de la performance boursière des entreprises sur les dix dernières années de travail qui conduit les employés à investir dans ces titres aussi bien dans le cadre de plans de retraite que de comptes titres.

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L’étude de l’allocation effectuée par les investisseurs dans les célèbres plans de retraite 401(K) fournit un cadre approprié à la confrontation de la théorie classique du portefeuille aux pratiques des épargnants. Dans ce domaine, la théorie prédit que les investisseurs ne doivent pas tenir compte du nombre d’actifs en portefeuille mais seulement du profil moyenne/variance du portefeuille. Il s’agit du résultat classique de la séparation en K fonds qui justifie les différences dans les allocations en actifs entre individus par les différences dans leurs attitudes face au risque. De nombreuses études documentent l’existence d’effets de présentation, notamment en matière de liens entre parts en fonds sur actions et exposition aux fonds actions (Camerer et al. [2003] ; Chordia, Roll et Subrahmanyam [2002] ; Cogan et Mitchell [2003] ; Daniel, Hirshleifer et Teoh [2002] ; Kahneman [2003] ; Langer et Fox [2003]). Ce n’est toutefois pas le cas dans l’étude menée par Huberman et Jiang [2004]. Cette dernière porte sur 640 placements de types 401(K) et conduit à des résultats conformes à l’hypothèse de diversification naïve de Benartzi et Thaler [2001]. Plus précisément, la richesse est investie de manière uniforme sur peu de fonds (pas plus de trois). Le nombre médian de fonds (entre 3 et 4) n’est pas affecté par le nombre de fonds proposés dans le plan (entre 4 et 59). En outre, les données étudiées ne laissent pas entrevoir d’effet de présentation et, en particulier, l’influence de l’exposition aux actions, soulignée dans les expériences menées auprès des employés de l’Université de Californie, est inexistante dans cette étude. Les auteurs attribuent ce résultat surprenant au design des plans étudiés : ceux-ci offrent une présentation hiérarchique en catégories de fonds tout d’abord puis en fonds individuels. Selon eux, les participants allouent alors mécaniquement leur richesse dans un profil de risque spécifique à une catégorie de fonds (actions, obligations, monétaires, etc.) avant de choisir précisément les fonds dans la catégorie sélectionnée. En conséquence, le biais de diversification naïve demeure indétectable au niveau du fonds et ce, même s’il est présent au niveau de la catégorie. La rationalité des participants peut être de ce fait seulement qualifiée de « rationalité apparente » car les effets de présentation subsistent en dépit de l’apparente absence du phénomène lié à l’exposition aux actions.

Le choix de portefeuilles efficients

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Certaines études récentes montrent que les investisseurs, bien qu’ayant recours à l’approche traditionnelle, ne la mettent en œuvre que de façon partielle ou erronée. Benzion, Haruvy et Shavit [2004] évaluent en laboratoire la capacité des individus à former des portefeuilles situés sur la frontière efficiente déterminée sur trois types d’actifs, une obligation, une action et un put sur cette action, dont les rentabilités futures sont présentées sous la forme de loteries. L’option permet une couverture totale ou partielle, selon le traitement considéré. Les résultats expérimentaux montrent que les portefeuilles formés par les participants sont constitués d’allocations qui convergent rapidement vers celles des portefeuilles situés sur la frontière efficiente lorsque les possibilités de couverture sont limitées. La vitesse de cet ajustement dépend positivement des incitations, c’est-à-dire de l’existence de rendements élevés pour les portefeuilles situés sur la frontière. En outre, l’ajustement vers la frontière efficiente est effectué sur la base de règles de décision telles que l’ewa[6][6] Experience Weighted Attraction de Camerer et Ho [1999],..., ce qui démontre la présence d’une forme d’apprentissage. Cet ajustement temporel des portefeuilles est à relier à l’hypothèse d’aversion myope aux pertes de Benartzi et Thaler [1995] et de Thaler et al. [1997], selon laquelle l’attractivité de l’actif risqué diminue avec la fréquence d’évaluation des portefeuilles par les participants. Ce résultat a énormément d’impact dans le contexte actuel où les investisseurs peuvent, via Internet, évaluer la performance de leurs actifs en portefeuille sur une base hebdomadaire voire quotidienne, alors que la gestion traditionnelle consistait le plus souvent à investir dans des fonds ou des plans de retraite qui étaient, au mieux, évalués annuellement. Barber et Odean [2002] montrent à cet égard que la fréquence des ajustements des portefeuilles d’investisseurs ayant opté pour une gestion en ligne conduit à des échanges excessifs. L’aversion aux pertes explique également le succès de la stratégie de call couvert alors que celle-ci est jugée inefficace dans un cadre moyenne/variance (Leggio et Lien [2002]). En outre, Haigh et List [2005] montrent dans une étude expérimentale que, contrairement à d’autres anomalies observées en laboratoire, le phénomène d’aversion aux pertes est encore plus présent auprès d’investisseurs professionnels.

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De façon générale, les choix de portefeuilles réellement opérés ne sont pas efficaces au sens moyenne/variance. Il semble plutôt que les investisseurs utilisent des critères de choix d’allocation de portefeuille tenant compte de l’aversion aux pertes et de la déformation des probabilités, critères pris en compte dans la théorie des perspectives. Cependant, Levy et Levy [2004], en utilisant les relations de dominance stochastique, montrent que les hypothèses différentes qui fondent l’approche moyenne/variance et la théorie des perspectives conduisent, de manière paradoxale, à définir des ensembles de choix efficaces très proches, en particulier lorsque les rentabilités des titres présents sur le marché sont gaussiennes. Ce résultat est lié aux caractéristiques de la loi normale qui est une distribution continue entièrement déterminée par ses deux premiers moments.

Le modèle d’Arzac-Bawa

Le niveau de subsistance

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Comme nous l’avons mentionné dans l’introduction, la variance de la rentabilité pondère de manière équivalente les rentabilités situées de part et d’autre de la moyenne. En proposant la semi-variance comme mesure de risque, Markowitz traduisait déjà le fait que le risque perçu par un investisseur est lié aux pertes et non aux gains. Une formulation alternative de ce souci est donnée par Roy [1952] qui propose comme critère de choix de portefeuille la probabilité que la richesse de l’investisseur ne descende pas en deçà d’un seuil fixé appelé « niveau de subsistance ». Cette formulation s’accorde tout à fait avec les produits à capital garanti qui remportent un grand succès actuellement.

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Toutefois, Roy ne précise pas ce qu’est censé faire l’investisseur de la richesse excédentaire, une fois le portefeuille constitué et le seuil de subsistance assuré dans tous les états de la nature. Supposons par exemple qu’un investisseur dispose de 100 euros et d’un seuil de subsistance de 95 euros. L’indice de référence vaut 100 points. Deux produits lui sont proposés ; le premier assure 95 euros dans tous les états de nature et 60 % de l’augmentation éventuelle de l’indice mesurée à partir de la valeur de l’indice aujourd’hui, c’est-à-dire 100. Le second contrat assure aussi les 95 euros mais propose 100 % de l’augmentation de l’indice au-delà d’un niveau égal à 110. Dans les deux cas, la probabilité d’une richesse finale supérieure au niveau de subsistance est égale à 1. En l’absence d’un critère complémentaire de choix, l’agent est indifférent entre les deux produits.

La maximisation de l’espérance de richesse

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Arzac et Bawa [1977] complètent le modèle de Roy en introduisant le critère manquant. Considérons un ensemble de 10 états de la nature équiprobables et reprenons l’exemple précédent d’une richesse initiale W0 = 100 et d’un niveau de subsistance A = 95. Le tableau 1 indique le prix des 10 actifs purs contingents à la réalisation des états ; ces prix sont notés ?? = (?i, i = 1, …, 10). On a :

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correspondant à un taux sans risque de 11,11 %.

Tableau 1 - Prix des actifs pursTableau 1
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Pour atteindre le seuil de subsistance dans chaque état, il suffit d’acheter 95 unités de chaque actif pur, ce qui coûte :

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Il reste 14,50 euros à répartir entre les dix actifs purs. Arzac et Bawa proposent alors de retenir comme critère la maximisation de la richesse espérée. En d’autres termes, le problème d’optimisation résolu par l’agent s’écrit :

? ? ?10 est le portefeuille choisi par l’agent ; W? désigne la richesse finale aléatoire obtenue en détenant le portefeuille ?, ?, est la probabilité de passer en deçà du seuil A. La première contrainte correspond en quelque sorte au risque qu’est prêt à supporter l’investisseur ; la seconde est simplement la contrainte de budget. Dans l’exemple précédent, le seuil peut être atteint dans tous les états et on peut résoudre le problème avec ? = 0. Dans ce cas particulier, il apparaît que la maximisation de la richesse espérée consiste à investir la richesse restante de 14,5 euros dans l’actif pur le moins cher, à savoir l’actif 10. Le portefeuille optimal consiste alors à acheter 14,5/0,02 = 125 unités de l’actif 10, en plus des 95 unités de chaque actif détenues pour atteindre le niveau de subsistance.

On aboutit alors à un portefeuille composé d’un actif sans risque payant 95 euros dans chaque état et d’un « billet de loterie » payant 725 euros si l’état 10 se réalise. Il est clair qu’un tel portefeuille ne minimise pas la variance de rentabilité pour une espérance donnée. En d’autres termes, un portefeuille de ce type n’a aucune chance d’être efficient au sens de Markowitz. En effet, dans l’approche traditionnelle, l’agent cherche à lisser sa consommation future entre les états, compte tenu de la contrainte d’espérance de rentabilité ; la quantité très élevée d’actif 10 obtenue dans notre exemple est contraire à la minimisation de la variance mais la déviation de la rentabilité par rapport à la moyenne se situe du côté des gains.

La théorie comportementale du portefeuille

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Nous avons mentionné dans la première section que les individus déformaient les probabilités objectives et c’est à ce souci que répond le modèle de Shefrin et Statman [2000], en s’appuyant sur les travaux de la psychologue Lola Lopes [1987]. Selon cette dernière, les décisions des individus sont mues par deux sentiments : la crainte et l’espoir. L’adaptation au choix d’investissement se traduit, pour chacun de ces deux sentiments, par une déformation de la distribution de probabilité des richesses finales. Notons la fonction décumulative de la richesse finale aléatoire et supposons qu’il existe n états de la nature. On a alors n richesses possibles W1, …, Wn (supposées rangées dans l’ordre croissant sans perte de généralité) et si l’on pose , on peut écrire, après quelques transformations élémentaires :

Crainte et espoir

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Pour traduire le côté craintif de l’investisseur, la fonction D est transformée par une fonction ? de la forme ?(Di) = D1 + ai qui vérifie bien ?(0) = 0 et ?(1) = 1. Si ? est strictement convexe, c’est-à-dire si a est positif, on a ?(D) < D. On attribue alors à l’état i le poids p*i = ?(Di) – ? (Di + 1) pour i < n et p*n = ?(Dn). On constate alors que le poids accordé aux richesses faibles est accru puisque la convexité de et la décroissance des Di en i entraîne :

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La représentation de l’espoir de l’investisseur se fait par une transformation définie par :

Cette fonction vérifie aussi et ; elle est concave dès que le paramètre b est positif. On définit alors les poids accordés aux états comme précédemment en posant :

Lorsque b est positif, les pondérations sont accrues pour les états favorables, traduisant ainsi l’espoir de l’investisseur.

Shefrin et Statman utilisent alors cette approche en caractérisant tout investisseur par une combinaison convexe des transformations ? et . Un investisseur donné est alors caractérisé par une distribution de probabilité subjective des richesses futures définie à l’aide de la transformation :

avec ? ? [0 ; 1]. La probabilité accordée à l’état i s’écrit alors qi = ?(Di) – ?(Di + 1) si i < n et ?(Dn) = ?(pn).

Le problème d’optimisation

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Chaque agent est caractérisé par les paramètres (a, b, ?, A, ?), les trois premiers étant liés à ses caractéristiques psychologiques relatives à la déformation des probabilités, les deux derniers étant associés à son attitude face au risque, A représentant son besoin de sécurité, traduit par le niveau de subsistance, et ? sa tolérance face au risque de ne pas atteindre ce seuil. Dans le cadre d’un univers d’investissement réduit à n actifs purs, le problème d’optimisation résolu par l’agent s’écrit alors :

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La modification essentielle par rapport à la section précédente réside dans la probabilité sous laquelle l’espérance de la richesse finale est calculée.

Dans l’exemple de la section précédente, nous avions considéré le cas élémentaire d’états équiprobables et de richesses rangées dans l’ordre croissant. Dans le cas général, si les poids qi sont différents, le choix de l’investisseur doit tenir compte du coût relatif des actifs purs, fonction de leur probabilité d’occurrence. On note alors ? la permutation de {1,2,…, n} telle que les ratios ?v(i)/qv(i) soient décroissants en i. En d’autres termes, l’actif v(1) est le plus cher par unité de probabilité et l’actif v(n)est le moins cher. L’investisseur qui souhaiterait maximiser son espérance de richesse finale devrait investir sa richesse dans l’actif v(n) puisque cette espérance serait qv(n)Wv(n) avec Wv(n) = W0/?v(n). Il faut toutefois vérifier les contraintes du problème, ce que ne fait pas cette stratégie de tout ou rien. Cependant ce raisonnement permet de comprendre comment l’agent forme son portefeuille optimal.

Notons ? un sous-ensemble d’états dont la probabilité d’occurrence est supérieure à 1 – ? et supposons que cet ensemble comporte K états. En achetant A unités de chaque actif pur contingent à la réalisation d’un état de ?, les contraintes sont vérifiées si le coût de ce portefeuille est inférieur à W0. La richesse résiduelle est alors investie dans l’actif dont le rapport ? / q est le plus faible. La procédure d’optimisation consiste alors à comparer les espérances de richesse sur tous les ensembles ? d’états de la nature.

Shefrin et Statman [2000] résument ce résultat comme suit.

Proposition 1. Soit (W1, …, Wn) une solution du problème d’optimisation 8 ; il existe un sous-ensemble ? d’états contenant l’état v(n) tel que :

Le portefeuille obtenu a une structure très différente de celle obtenue dans le cadre moyenne/variance. En considérant le cas d’une probabilité ? raisonnable, c’est-à-dire relativement faible [7][7] En effet, la richesse finale est nulle dans les états..., on obtient un portefeuille composé d’un actif « presque sans risque » et d’un billet de loterie, ce dernier consistant à miser sur l’état pour lequel le ratio prix sur probabilité (perçue) d’occurrence est le plus faible.

Même si la description d’un marché financier par un ensemble d’actifs purs peut paraître éloignée de la réalité, on peut noter que l’existence d’options négociables (sur un indice par exemple) avec un suffisamment grand nombre de prix d’exercice permet d’approcher la situation théorique. En effet, un butterfly spread construit avec des options dont les prix d’exercice sont très proches peut-être assimilé à un actif pur d’Arrow-Debreu. Pour illustrer ce point, prenons l’exemple d’un actif qui offre les paiements x1, x2, x3 sur trois états de nature ?1, ?2, ?3. Il est dans ce cas aisé de construire un portefeuille d’options qui paie une unité dans l’état ?2 et rien dans les autres états. Dans la situation la plus simple où , un butterfly spread consistant à acheter deux calls de prix d’exercice respectifs x1 et x3 et à vendre deux calls de prix d’exercice x2 duplique l’actif pur contingent à la réalisation de l’état ?2.

Dans la section suivante, deux types d’illustrations sont présentées. La première se situe dans le cadre usuel de rentabilités gaussiennes et la résolution du programme d’optimisation 8 conduit à une frontière efficace identique à celle obtenue dans le cadre moyenne-variance. Cet exemple met en lumière le résultat théorique de Levy et Levy [2004] dans un contexte différent de celui proposé par ces auteurs puisque le problème 8 ne pose pas d’hypothèse explicite sur la fonction d’utilité des agents.

La seconde illustration donne un contenu concret au théorème ci-dessus en traitant un exemple à n états de la nature.

Illustrations

Le cas des rendements gaussiens

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L’économie est mono-périodique et trois actifs s’échangent sur le marché (X, Y et Z). Les distributions des rentabilités sont supposées gaussiennes et la structure du marché (espérances de rentabilités, matrice de variance-covariance) est la suivante [8][8] La structure proposée est tout à fait standard, en... :

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Considérons un investisseur qui ne transforme pas les probabilités de réalisation des états. Le programme que résout ce dernier est alors un cas particulier de la théorie comportementale du portefeuille (a = b = 0) et s’apparente à celui proposé par Arzac et Bawa [1977] [9][9] La seule différence est qu’ici seuls les portefeuilles... ; il s’écrit :

Par souci de cohérence avec les données initiales, le programme est résolu pour des niveaux de variation relative de richesse (et non pour des niveaux absolus de richesse) ; le niveau d’aspiration est de ce fait exprimé en pourcentage. Dans la mesure où il n’existe pas de solution analytique simple comme c’est le cas dans l’univers moyenne/variance, nous construisons un ensemble de portefeuilles de compositions variables. Les ventes à découvert sont autorisées et les parts de richesse investies dans les trois actifs varient dans l’intervalle [– 1 ; 1] pour les titres X et Y et dans l’intervalle [– 1 ; 3] pour le titre Z. Il faut évidemment respecter la contrainte d’une somme de proportions investies égale à 1. Le pas retenu est de 0,01, ce qui conduit à l’analyse de 40 400 portefeuilles. Ici, la rentabilité maximale pouvant être atteinte est de 14,5 % et nous envisageons des niveaux d’aspiration et des seuils « raisonnables » au vu de cette contrainte. Deux seuils de probabilités sont retenus (5 % et 10 %) et le niveau d’aspiration varie entre – 50 % et 10 % (le pas est de 2,5 %). Les frontières efficientes obtenues sont illustrées par le graphique 1. Le niveau d’aspiration est donné en abcisse et l’espérance de rentabilité en ordonnée.

Graphique 1 - Frontière efficiente pour un seuil donnéGraphique 1
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On remarque que le niveau d’espérance atteint par l’investisseur est une fonction décroissante du seuil choisi ainsi que du niveau d’aspiration retenu. Par exemple, pour un niveau d’aspiration A = – 10 %, l’espérance du portefeuille efficient vaut 7,95 % pour un seuil de 5 % et 8,93 % pour un seuil fixé à 10 %. Soulignons que pour des niveaux d’aspiration « trop » élevés, aucun portefeuille ne respecte les contraintes (à droite sur le graphique). C’est le cas, par exemple, de niveaux d’aspiration supérieurs à – 5 % lorsque le seuil est de 5 % (– 2,5 % pour un seuil de 10 %). Enfin, pour des niveaux d’aspiration très faibles et les deux niveaux de seuils, la contrainte devient inopérante et le portefeuille dont l’espérance est la plus forte est retenu (14,5 %).

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La règle de décision utilisée par les investisseurs semble très éloignée de celle choisie par des investisseurs se comportant à la « Markowitz ». Cependant, les portefeuilles sélectionnés sont efficients au sens « classique » du terme. Le graphique 2 illustre ce point. L’ensemble des portefeuilles apparaissant sur le graphique 1 y a été reporté dans un repère espérance/variance. Dès lors, on peut constater que ces portefeuilles se situent tous sur la frontière efficiente moyenne/ variance. En d’autres termes, les deux critères de choix coïncident ici parfaitement.

Graphique 2 - Frontière efficiente MVGraphique 2
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Ce résultat n’est évidemment pas généralisable à tous types d’actifs ou de portefeuilles. Les rentabilités aléatoires étant ici gaussiennes, la distribution de probabilité de la rentabilité des portefeuilles construits est entièrement déterminée par ses deux premiers moments. Il s’ensuit que, pour A donné, la probabilité de dépend uniquement du vecteur et de la matrice V. Il n’est donc pas surprenant d’obtenir une frontière efficiente identique. Il faut cependant noter que les titres retenus ne permettent pas de construire des portefeuilles dont les paiements s’apparentent à des paris sur quelques états de nature. Ceci serait envisageable en introduisant, par exemple, des produits optionnels dont les paiements ont de telles caractéristiques, ce qui permet de sortir du cas gaussien et engendre des différences entre l’approche moyenne/variance et le modèle qui vient d’être présenté. Cette remarque conduit à présenter une seconde illustration fondée sur une économie ou les titres sont des actifs purs.

Les portefeuilles d’actifs purs

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Considérons une économie d’actifs purs à 10 états de nature équiprobables (pour tout i, pi = 0, 1) ; le prix des actifs correspondants est donné dans la colonne ?i du tableau 2. Ces états sont classés par prix décroissants.

Tableau 2 - Économie et caractéristiques de l’agentTableau 2
39

Deux types d’investisseurs sont considérés, un investisseur « craintif » défini par ? = 0,9 et un investisseur « optimiste » auquel est affecté un paramètre ? = 0,3; les paramètres a et b sont fixés à 1 (voir équation 7). Les colonnes qi contiennent la probabilité affectée aux différents états par les deux types d’agent. L’investisseur « optimiste » affecte donc des probabilités supérieures aux états favorables alors que l’investisseur « craintif » sur-pondère les états défavorables. En outre, la déformation concave de la fonction de répartition opérée par l’investisseur « craintif » est ici plus importante que la déformation convexe opérée par l’investisseur « optimiste ». Ceci est dû au positionnement relatif des deux paramètres ? par rapport à 0,5. Les colonnes interviennent dans le classement des états et, par conséquent, dans le choix de portefeuilles. On peut d’ores et déjà souligner que l’état dont le rapport est le plus faible, qui tient une place particulière selon la proposition de la section précédente, n’est pas identique pour les deux individus. Pour l’investisseur « craintif », cette valeur minimale est atteinte pour l’état 9 avec . Pour l’investisseur « optimiste », ce minimum est atteint dans l’état 10 pour une valeur de 0,088.

En supposant que l’investisseur dispose d’une richesse initiale de 1 euro (W0 = 1), les choix de portefeuilles opérés par les deux agents pour un seuil de 10 % et un niveau d’aspiration de 1 (hypothèse du status quo) sont illustrés par le graphique 3.

Graphique 3 - Choix de portefeuillesGraphique 3
40

L’investissement optimal consiste dans ce cas en l’achat de 1 unité de 9 actifs purs, la somme restante (contrainte de budget) est totalement investie dans l’actif pur dont le rapport est minimal. C’est le cas de l’actif pur 9 pour l’investisseur « craintif » et 10 pour l’investisseur « optimiste ». Soulignons que le seuil retenu ne permet pas d’assurer le niveau de subsistance dans tous les états. L’espérance perçue par ce premier est alors de 2,13 euros ; cette espérance est en réalité plus élevée et vaut 2,78 puisque l’investisseur déforme les probabilités objectives de réalisation des états. Il est important de noter que les choix sont ici très différents de ceux retenus par des investisseurs qui opèrent selon le critère moyenne/variance. Par exemple, pour un niveau d’espérance de 2,78 (obtenue par l’investisseur « craintif »), la variance du portefeuille choisi par un investisseur se comportant à la « Markowitz » est de 5,95 ; le portefeuille retenu par ce dernier est illustré par le graphique 3. On peut souligner que cette variance est plus de cinq fois plus faible que celle associée au portefeuille retenu par l’investisseur « craintif » (variance de 32,5). On peut finalement remarquer que, contrairement aux deux investisseurs (optimiste et craintif) qui associent sécurité et pari, l’investisseur « moyenne/ variance » tente de lisser sa consommation entre les différents états.

Conclusion

41

Dans cet article, nous avons abordé quelques aspects comportementaux de la gestion de portefeuille suggérant une nécessaire évolution des critères de prise de décision des gérants de fonds. En effet, il semble délicat de choisir des actifs risqués sous hypothèse de distribution gaussienne des rentabilités et de proposer aux clients des produits dont le rendement, par construction même, ne peut suivre une loi normale et dont l’objectif est de tenir compte de l’aversion aux pertes des investisseurs. Deux approches, sans doute complémentaires, sont possibles. La première se situe dans le cadre du paradigme dominant de l’espérance d’utilité et s’attache à intégrer les moments d’ordre supérieur dans le processus de décision et/ou à considérer des mesures de risque comme la VaR de façon à tenir compte de l’aversion aux pertes.

42

Nous avons ici privilégié la seconde approche fondée sur les travaux d’économie comportementale qui s’appuient sur une description alternative des préférences individuelles. Bien que cette démarche soit intellectuellement séduisante, il ne faut sans doute pas espérer qu’elle puisse s’imposer rapidement au niveau opérationnel pour plusieurs raisons. La première est que l’univers gaussien est très confortable. Son caractère bi-dimensionnel (espérance/variance) se prête à la construction d’indicateurs et de représentations graphiques dont la compréhension est élémentaire. La seconde raison, non indépendante de la première, est que le modèle de Black-Scholes [1973] est aussi construit dans ce cadre gaussien, avec une hypothèse de mouvement brownien géométrique pour les cours des actifs supports des contrats. Les coefficients de gestion (les « grecques ») de la théorie des options constituent, malgré leurs imperfections, des points de repère importants pour les professionnels. Les abandonner suppose que l’on ait autre chose (et mieux si possible) pour gérer, par exemple, les portefeuilles d’options, les opérations de couverture, et les arbitrages.

43

La troisième raison, plus profonde, est liée à la mécanique des modèles fondés sur la déformation des fonctions de répartition. Avant d’opérer la déformation, il faut ordonner les « outcomes ». Par conséquent, même dans un univers restreint à une cinquantaine de titres, la recherche d’un portefeuille optimal nécessite une quantité gigantesque de tris de vecteurs. La première version de la théorie des perspectives transformait directement les probabilités et ne nécessitait pas de tri. Malheureusement, cette approche ne vérifiait pas le critère de dominance stochastique de premier ordre. Ce problème théorique, résolu en opérant une déformation des fonctions de répartition, en a engendré un autre plus terre à terre. Le défi posé maintenant aux chercheurs est de rendre opérationnelle la théorie comportementale du portefeuille, ce qui ne sera pas forcément très simple. Le recours à des techniques d’optimisation numérique sophistiquées sera sans doute déterminant de ce point de vue.


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Notes

[*]

Large, Université Louis Pasteur, Faculté des Sciences Économiques et de Gestion, 61 avenue de la Forêt Noire, 67085 Strasbourg Cedex. Courriels : mhb@ cournot. u-strasbg. fr ; merli@ cournot. u-strasbg. fr ; roger@ cournot. u-strasbg. fr

[1]

Sur la pertinence du critère espérance/variance dans un cadre plus général, se référer, par exemple, à Kroll et al. [1984].

[2]

Pour une analyse de choix de portefeuilles qui repose sur des moments supérieurs, voir Dybvig [1988], et l’approche par la dominance stochastique de Levy et Kroll [1978].

[3]

Voir également Yaari [1987].

[4]

Pour d’autres applications, le lecteur peut se référer à Broihanne, Merli, Roger [2004].

[5]

On peut noter que ce résultat trouve une explication dans le cadre de la théorie de l’espérance d’utilité dépendante du rang.

[6]

Experience Weighted Attraction de Camerer et Ho [1999], c’est-à-dire que les participants évaluent la performance de l’ensemble des décisions possibles à chaque date et accordent plus d’importance aux décisions effectivement retenues à la date précédente pour prendre leur décision courante.

[7]

En effet, la richesse finale est nulle dans les états appartenant au complémentaire de ?, on peut donc penser que l’investisseur ne peut supporter qu’une faible probabilité de se trouver dans cette situation.

[8]

La structure proposée est tout à fait standard, en particulier, les espérances et variances des titres augmentent conjointement.

[9]

La seule différence est qu’ici seuls les portefeuilles vérifiant la contrainte d’aspiration sont conservés.

Résumé

Français

Cet article aborde l’évolution récente de la théorie des choix de portefeuille dominée, depuis un demi-siècle, par l’approche moyenne/variance. Une première section est dédiée aux anomalies observées sur les marchés et mises en lumière par de nombreuses études empiriques. Ces anomalies, ainsi que les recherches académiques portant sur les limites de la théorie de l’espérance d’utilité, ont conduit au développement de modèles dits « comportementaux » tels que ceux de Arzac et Bawa [1977] et Shefrin et Statman [2000]. Nous insistons, au travers de deux exemples, sur les conséquences de ces approches sur le choix des portefeuilles optimaux. En dépit de l’apparente capacité de ces modèles à expliquer les phénomènes empiriques, nous soulignons également les raisons qui vont à l’encontre de leur utilisation pratique par les gérants de fonds.

English

This paper deals with the recent developments of portfolio choice theory, which has been dominated by the classical mean/variance approach for half a century. In a first section we present some market anomalies put to light by many empirical studies. Academic researches on the limitations of the expected utility theory have given rise to new models, called “behavioral”, such as those by Arzac and Bawa [1977] and Shefrin and Statman [2000]. They are presented in section 2. By relying on two examples, we stress on the consequences of these approaches for optimal portfolio selection. Despite the seemingly ability of these models to explain empirical phenomena, we argue and expose reasons against their practical use by portfolio’s managers.
Classification JEL : G11.

Plan de l'article

  1. Introduction
  2. Revue de la littérature
    1. La diversification insuffisante
    2. La comptabilité mentale
    3. Le choix de portefeuilles efficients
  3. Le modèle d’Arzac-Bawa
    1. Le niveau de subsistance
    2. La maximisation de l’espérance de richesse
  4. La théorie comportementale du portefeuille
    1. Crainte et espoir
    2. Le problème d’optimisation
  5. Illustrations
    1. Le cas des rendements gaussiens
    2. Les portefeuilles d’actifs purs
  6. Conclusion

Pour citer cet article

Broihanne Marie-Hélène, Merli Maxime, Roger Patrick, « Théorie comportementale du portefeuille. Intérêt et limites», Revue économique 2/2006 (Vol. 57) , p. 297-314
URL : www.cairn.info/revue-economique-2006-2-page-297.htm.
DOI : 10.3917/reco.572.0297.


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