De telles données permettent d’analyser les variations du phénomène au cours du temps, de mesurer l’intensité locale des changements intervenus entre deux dates, mais ne se prêtent pas à l’analyse fine du processus de diffusion lui-même. En particulier, une série d’états successifs ne renseigne pas directement sur la vitesse de propagation, son cheminement, les axes privilégiés, les frontières les plus perméables ou au contraire les plus fermées. Or, la connaissance de ces modalités de diffusion peut avoir une grande importance dans la compréhension d’un phénomène, de son mode d’extension spatiale et surtout de son intégration dans un système spatial. En écologie, à propos d’une pullulation par exemple, il sera intéressant de mettre en relation les lieux de passage privilégiés (ou au contraire limités) avec des indicateurs paysagers liés aux notions de corridors (ou de barrières).

Dans cet article, nous tentons de reconstituer les flux et barrières de diffusion à partir de deux états. Par rapport à cet objectif, les modélisations connues des phénomènes de diffusion se placent dans une perspective sensiblement différente, comme par exemple la simulation de phénomènes sous certaines contraintes spatio-temporelles (Hägerstrand, 1973 ; Cliff et Ord, 1981), la prédiction d’un phénomène à partir de chaînes de Markov fondées sur des matrices de transition (Berchtold, 1998) ou à partir de modèles autorégressifs. Plus proches de la reconstitution d’une diffusion, certaines recherches consistent à analyser les liens entre plusieurs états, par exemple en mesurant l’homogénéité ou l’hétérogénéité d’un point de vue spatio-temporel. À cette fin, des études en épidémiologie et en anthropologie se fondent sur le test de Knox (généralisé par Mantel), comme dans les travaux de J.-P. Bocquet-Appel et L. Jakobi (1998). D’autre part, le wombling (Barbujani et al., 1989 ; Bocquet-Appel et Bacro, 1994), fondé sur une discrétisation régulière de l’espace, permet de localiser des discontinuités spatio-temporelles (par exemple : Baladbaoui et al., 2001 ; Bocquet-Appel et Jakobi, 1996). Dans ces travaux, l’identification des barrières de diffusion est effective, sous la forme d’une stricte localisation. Nous cherchons ici à définir plus précisément le processus sans toutefois passer par une définition « surfacique » des variables, mais plutôt en associant les mesures des effets de flux et barrières aux couples d’unités spatiales liées par ceux-ci. En d’autres termes, l’objectif est de représenter ces effets sous la forme de graphes orientés, superposés au graphe des voisinages spatiaux entre les unités.

Les exemples seront donnés à partir de maillages spatiaux irréguliers (des communes), mais les méthodes peuvent également s’appliquer aux découpages réguliers (carroyages) et même à certaines données ponctuelles. La démarche suppose toutefois quelques conditions :

Deux étapes principales sont abordées : en premier lieu, il est question de choisir la distance adéquate pour mesurer le déplacement du phénomène ; en second lieu, des indices sont proposés, pour estimer les éventuels flux ou barrières à partir des données. Enfin, une série de scores de pullulation de rongeurs dans des communes illustre l’ensemble des méthodes présentées.

Admettons cette première question de l’échelle résolue, il faut ensuite évaluer la distance spatiale la plus appropriée pour décrire la diffusion, à partir des variables d’état. En premier lieu, sans connaissance a priori du phénomène analysé, on peut supposer sans risque que la vitesse de propagation n’est pas forcément stable d’une période à l’autre. Cela revient à dire qu’à amplitude temporelle constante, la distance à considérer pour étudier la diffusion peut varier en fonction de cette vitesse. En conséquence, il semble logique de chercher la meilleure distance entre tous les couples d’états successifs, quitte à constater ensuite une éventuelle stationnarité temporelle de la vitesse de propagation.

Considérons à présent deux états successifs, qui présentent chacun une distribution spatiale, comme sur la figure 1. Estimer la vitesse de diffusion consiste alors à mesurer d’une certaine façon la distance qui sépare dans l’espace les deux groupes d’unités touchées par le phénomène. Plusieurs calculs peuvent être envisagés selon le type de données : une première option, la distance entre points moyens, ne s’applique pas tout à fait au but recherché. Les données sont assimilées à deux semis de points, dont les centres de gravité peuvent être localisés et leur distance mesurée (Pumain, Saint-Julien, 2000). Ce calcul très simple peut être appliqué à des données binaires ou même quantitatives (les valeurs servent alors de pondération dans la localisation des points moyens) ; néanmoins, il n’est pas opérationnel dans le cas d’une diffusion par extension autour d’un foyer initial : le démarrage dans une zone centrale puis la diffusion dans une couronne ou une zone élargie feront observer des points moyens très proches les uns des autres, en dépit de la vitesse de propagation. C’est pourquoi nous retenons plutôt les deux approches suivantes, très semblables.

• La variographie croisée (Cressie, 1993 ; Arnaud et Emery, 2000), méthode adaptée aux données quantitatives (probabilité d’apparition ou mesure d’un phénomène, taux de pénétration par exemple). En principe, la covariance croisée empirique doit être localement maximale pour la distance qui représente le mieux le décalage entre les deux états. Cette analyse repose sur des hypothèses de « stationnarité », du premier ordre (bonne homogénéité de la distribution spatiale) et du second ordre (relations spatiales homogènes).

• La matrice de cooccurrences spatio-temporelles, adaptée aux données ordinales. Nous proposons cette méthode comme base d’estimation de la vitesse de diffusion, dans le cas où l’analyse variographique s’avère impossible. Il s’agit de généraliser la notion de matrice de transition pour observer le décalage spatial entre deux distributions. Le principe en est le suivant : pour une certaine distance de voisinage d et un certain pas de temps p, une cooccurrence est la probabilité de l’existence d’un couple de valeurs dont les unités sont séparées à la fois par d et par p, parmi tous les couples possibles. Chaque cellule de la matrice représente un couple (valeur du phénomène i à la date t₀, « voisine » de la valeur j à la date t₁) dont la probabilité est estimée à l’aide de la fréquence empirique. Parmi les paramètres de second ordre proposés par R.M. Haralick et al. (1973), nous retrouvons un calcul de covariance fondé sur le même principe que la géostatistique [1] et prenant la même signification.

Les deux méthodes retenues sont très proches ; pour chacune, plusieurs mises en application sont possibles, en fonction de la nature des unités spatiales.

• À partir d’unités surfaciques, on peut d’abord considérer le semis de points formé par les centroïdes et utiliser une certaine distance spatiale (contiguïté, vol d’oiseau, distance-réseau, etc.), comme illustré en figure 2a et 2b. Selon A. Dauphiné et C. Voiron-Canicio (1988), cette approche est biaisée dans le cas d’une forte hétérogénéité de forme et de surface des unités. Ces auteurs préconisent donc le calcul à partir d’une grille régulière de points (figure 2c et 2d), dont la résolution est au choix de l’opérateur ; toutefois, une trop fine résolution peut induire une structure parasite liée aux plus grandes unités. Finalement, sur un grand nombre d’unités spatiales, la divergence entre les deux types de support n’est pas très importante.

• Si l’on ne tient compte que de la distance, on suppose implicitement que le phénomène se diffuse de façon isotrope dans l’espace. L’analyse variographique comme les cooccurrences peuvent être décomposées selon les grandes directions cardinales, ce qui évite une certaine « moyennisation » dans le modèle omnidirectionnel. En pratique, il faut toutefois introduire une certaine souplesse dans la détermination des angles directionnels (Arnaud, Emery, 2000).

Sur cet exemple, on voit nettement deux directions privilégiées dans la diffusion du phénomène : est-ouest et nord-est-sud-ouest. Dans les deux cas, la courbe connaît un maximum autour d’un pas spatial de 11, ce qui permet de supposer qu’une grande partie de la propagation est effectuée selon une telle distance. On en déduit donc la vitesse, connaissant le pas de temps.

Les indications fournies par l’analyse géostatistique peuvent ensuite être prises en compte de façon plus ou moins précise, en distance et en direction.

• Distance : soit on considère les valeurs maximales des courbes comme les seules distances possibles, ce qui est très restrictif ; soit on admet que la diffusion peut opérer de toute façon à distance moindre et on considère les valeurs comme des distances maximales de propagation. C’est l’option que nous avons retenue ici.

• Direction : le plus rapide consiste à mélanger toutes les directions, c’est-à-dire à se fier à un modèle omnidirectionnel, ce qui est logique si les valeurs maximales des courbes directionnelles sont sensiblement au même niveau. Dans le cas contraire, il est préférable d’associer une distance spécifique à chacune.

Si le phénomène est apprécié de façon graduelle ou continue, la valeur |y_j – x_j| précise l’intensité du flux ou de l’effet de barrière. On peut faire l’analogie entre cette démarche et la topographie, puisque les flux calculés ainsi correspondent à une sorte de dénivellation constatée à la date t et comblée ou inversée à la date t+1, alors que les effets de barrière sont des dénivellations observées en t sans comblement ni inversion en t+1. De cette façon, la reconstitution des mouvements de diffusion est apparentée au calcul des écoulements (direction, pente) sur des modèles numériques de terrain.

Toutefois, le seul critère de distance pour définir les couples d’unités éventuellement liées par des flux de diffusion n’apparaît pas suffisant : en reprenant l’analogie avec le relief, l’écoulement suit en principe une courbe altitudinale décroissante. Ainsi, de l’unité émettrice i à l’unité réceptrice j, si une autre unité k s’interpose, il faut que la condition x_k ≤ x_i, soit remplie pour permettre une éventuelle diffusion. Dans l’ensemble des calculs présentés, cette contrainte logique de toute diffusion par contact sera mise en application.

La figure 4 montre la méthode des différences appliquée à l’exemple suivi jusqu’ici, pour la distance à vol d’oiseau choisie précédemment. Cette méthode repose sur l’hypothèse que la propagation s’effectue seulement sous la contrainte de l’intensité du phénomène en chaque lieu, sans le jeu d’un facteur d’ordre topologique. Pourtant, entre un front pionnier régulier et une progression par sauts discontinus, il y a des chances que la réalité d’une diffusion varie fortement. Plus précisément, si une unité spatiale est apparemment « contaminée » par une seule de ses voisines, ou bien par toutes ses voisines, l’estimation d’un flux de propagation n’est pas assortie de la même certitude. Ces critiques conduisent à associer à la mesure de différence un degré de confiance défini en fonction du contexte spatial.

Cependant, un phénomène qui se propage peut trouver localement un contexte plus favorable et devenir plus intense au fur et à mesure de la diffusion. C’est pourquoi le potentiel d’émission doit tenir compte de l’intensité maximale possible (supposée connue) :

Naturellement, il se peut que le potentiel soit nul, si l’unité n’est pas concernée par le phénomène, ou si aucune de ses voisines ne porte de valeur inférieure.

La « vraisemblance» à mesurer repose sur la comparaison entre le potentiel et ce qu’on suppose être une réalisation, si l’on observe les changements de t à t+1. En d’autres mots, E_i comptabilise les augmentations d’intensité possibles dans le voisinage de i (parmi les k voisins possibles, si x_i > x_j), qu’il faut à présent confronter aux changements intervenus. En passant en revue les mêmes voisins, il est aisé de distinguer deux réalisations possibles :

• soit il y a eu effectivement augmentation d’intensité : on suppose qu’il y a un flux de i à j. La somme des flux est notée

par définition : F_i > 0

• soit il y a stagnation ou diminution d’intensité : on suppose qu’il y a effet de barrière. Cet effet peut être mesuré comme l’écart entre la valeur d’intensité en t+1 et le maximum possible. La somme de ces effets est notée

Supposons le maximum d’intensité invariable dans le temps, max(x) = max(y), on obtient une décomposition du potentiel, telle que :

ou encore : E = F + B

L’émission potentielle équivaut donc à la somme des flux et barrières supposés. À présent, pour estimer un degré de fiabilité d’un flux en fonction du contexte topologique, il faut tenir compte de l’équilibre entre potentiel et réalisation. Des hypothèses supplémentaires doivent être posées : une plus grande confiance sera accordée à une augmentation très locale de l’intensité du phénomène (ce qui implique la présence de barrières avec les autres unités voisines), par rapport à une augmentation omnidirectionnelle, sans barrières, qui sera considérée moins « sûre ». Cela signifie que globalement, à une forte valeur de F devra correspondre une faible vraisemblance et inversement. Une façon simple de mettre en pratique cette règle serait de calculer la vraisemblance de flux suivante :

mais le résultat serait nul si les flux réalisés sont strictement équivalents au potentiel. C’est pourquoi nous optons pour une mesure telle que :

Il est facile de voir que par construction, le degré de vraisemblance d’une barrière équivaut à

et que ces deux quantités sont comprises entre 0 et 1.

Une « réalisation» de ce potentiel peut être estimée en observant la valeur de i à la date t+1. Là encore, deux cas sont distingués :

• soit cette valeur a augmenté de t à t+1, on suppose donc un flux de la part d’un des voisins. La somme de ces flux supposés est telle que :

• soit cette valeur a stagné ou diminué de t à t+1 : on suppose donc un effet de barrière pour une réception possible du phénomène en i. Une mesure globale de cet effet correspond à la somme des différences entre intensité maximale et intensité effective en t+1 :

Nous retrouvons alors la décomposition du potentiel de réception en flux et barrières supposés : R = F’+ B’. La vraisemblance de flux en réception sera d’autant plus forte que peu d’unités voisines sont potentiellement émettrices (donc R est faible), ce qui être estimé par :

Inversement, l’effet de barrière est d’autant plus marqué que le potentiel R est important ; son intensité peut être mesurée par :

Les indices de vraisemblances proposés, en émission comme en réception, sont fondés sur des différences de niveau, potentiels en t et constatés en t+1. Ces mesures sont globales, au sens où elles prennent simultanément en compte le degré de voisinage (ou nombre de voisins) et les différences d’intensité du phénomène. Elles restent donc pertinentes quand les valeurs des unités voisines potentiellement émettrices (ou réceptrices) ne sont pas trop dispersées.

• ils ont même valeur à la date t : aucun flux n’est mesuré ;

• une différence est observée en t (x_i > x_j) et est suivie d’une augmentation en t+1 (y_j > x_j) ; un flux de i vers j est estimé par :  ;

• une différence est observée en t (x_i > x_j) mais n’est pas suivie d’une augmentation en t+1 (y_j ≤ x_j) ; un effet de barrière de i vers j est estimé par : Q_ij = vb_i. vb’_j

En attribuant des identifiants de a à j aux unités de l’exemple traité et en utilisant la même distance spatiale que précédemment, les mesures proposées ont été effectuées et sont présentées dans le tableau 1.

Tabl. 1
Valeurs des mesures en émission et réception

Le faible nombre d’unités ne permet pas ici de grandes variations des indices de vraisemblance, les mesures de réception étant artificiellement binaires. Les produits de ces indices sont à l’origine de la matrice de vraisemblance de flux suivante (tableau 2), où les effets de barrières ont été reportés en valeurs négatives.

Tabl. 2
Vraisemblances de flux et de barrières dérivées des indices d’émission et de réception

D’un point de vue cartographique, il est possible d’imaginer plusieurs façons de représenter ces informations de flux estimés. Les différences locales peuvent être combinées avec leur degré de vraisemblance, les premières définissant la largeur des flèches, les secondes leur intensité de couleur (l’inverse est également possible). D’autre part, la vraisemblance peut servir de référence pour introduire un seuil de représentation à définir par l’opérateur.

Les courbes de la figure 6a sont pour la plupart décroissantes, ce qui permet d’évaluer la distance moyenne de déplacement du phénomène entre 1990 et 1991 vers 1 à 2 km. Une seule courbe s’individualise, pour la direction nord-est-sud-ouest, avec une légère « marche d’escalier » vers 4 km et surtout un remarquable plateau autour d’une distance de 16 km. Cette dernière exception est due à la distance qui sépare les foyers de pullulation en 1990, elle n’est donc pas à mettre sur le compte de la diffusion elle-même.

Les courbes de la figure 6b sont différentes, avec globalement un maximum entre 11 et 15 km : la diffusion est plus rapide de 1991 à 1992. À cette échelle, les directions est-ouest et nord-est-sud-ouest sont privilégiées ; le déplacement nord-ouest-sud-est, moins important, est toutefois maximum pour environ 9 km ; la direction nord-sud est plutôt liée à deux échelles, vers 3 et 13 km. Ces informations sont prises en compte à l’étape suivante.

Avec des distances maximales propres à chaque direction, les mêmes calculs appliqués à l’intervalle 1991-1992 permettent de tracer la figure 8. Globalement, les pullulations gagnent plutôt le Sud-Est du département, où la vraisemblance des flux n’est pas très forte en moyenne, mais où quelques barrières semblent importantes. Certaines communes semblent jouer un rôle de « tête de pont », en se plaçant à l’origine d’une diffusion à caractère isotrope. Au nord-ouest, à un effet de blocage général s’ajoutent quelques flux entre communes isolées ; ces flux « recoupent » des barrières et, en dépit de leur forte vraisemblance, ne doivent pas correspondre à des mouvements réels.

Les deux cartes présentées donnent un aperçu des possibilités graphiques pour transformer des données diachroniques en matrices d’échange. Leur observation permet de comprendre la logique des indices calculés : à de nombreuses possibilités de diffusion et une seule réalisation vont correspondre des barrières « peu sûres» et un flux vraisemblable (au nord-ouest) ; dans le cas de nombreuses réalisations, les flux sont à leur tour peu sûrs et les rares barrières vraisemblables (sud-est). Parallèlement, les cartes montrent quelques problèmes liés à la méthode, quand des échanges de nature contraire se croisent.

Dans le cas où on cherche à lier les cheminements d’une diffusion à des caractères morphologiques de l’espace, une propagation rapide qui se traduit par des flux à grande distance n’est peut-être pas directement utilisable, étant donné les croisements de flux constatés précédemment (c’est le cas dans l’exemple traité entre 1991 et 1992). Là encore, il reste à imaginer comment revenir à des flux exprimés sur un graphe de contiguïté à partir des flux associés au graphe des distances à vol d’oiseau.

Sous réserve des conditions évoquées en introduction (la diffusion doit être le processus dominant, la connaissance de ses modalités spatiales doit avoir un intérêt pour le thématicien), la démarche présentée peut être appliquée à divers problèmes. Ceux-ci se situent de préférence dans les domaines où des mouvements (d’individus, de matière par exemple) sont mis en relation avec des facteurs morphologiques de l’espace. L’écologie du paysage, fondée sur l’hypothèse d’une forte relation entre le fonctionnement des écosystèmes et leurs structures apparentes, est donc un domaine particulièrement concerné. De même, certaines questions en épidémiologie, quand les données décrivent une succession temporelle des effectifs ou des taux d’individus infectés, peuvent trouver intérêt à préciser les canaux de la progression spatiale d’une maladie.