Espace géographique
Belin
I.S.B.N.2701137330
96 pages
p. 219 à 240
doi: en cours
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Formes périurbaines
tome 33 2004/3
Dimensions fractales et réalités périurbaines. L’exemple du Sud de Bruxelles
Marie-Laurence De Keersmaecker Département de Géographie, UCL, Louvain-la-Neuve, Belgique Pierre Frankhauser THEMA (CNRS UMR 6049), Université de Franche-Comté, Besançon, France Isabelle Thomas FNRS, CORE et Département de Géographie, UCL, Louvain-la-Neuve, Belgique
Cet article est exploratoire : il montre l’utilité de la
dimension fractale pour caractériser la structure spatiale du bâti en milieu
périurbain à partir de l’exemple de la périphérie sud de Bruxelles. Deux
méthodes d’estimation sont utilisées pour les surfaces (corrélation et
dilatation) et une pour les bordures (corrélation après dilatation) du bâti.
Elles sont appliquées à des fenêtres de taille prédéfinie. Ces analyses sont
ensuite poursuivies en reliant la dimension fractale à des indicateurs
socio-économiques et morphologiques traditionnellement utilisés pour mesurer
les caractéristiques des espaces périurbains à l’échelle de la commune. Les
résultats obtenus sont interprétés dans le contexte d’étalement urbain et en
termes d’émergence des nouvelles centralités périphériques.
This exploratory paper aims at showing how the fractal dimension
can be used to characterise the spatial structure of built-up areas within the
periurban fringe. The southern periphery of Brussels is considered here. Two
estimation techniques (correlation and dilation) are applied to surface areas,
and one (correlation after dilation) to the borders of built-up areas. They are
applied to windows of fixed size. Fractal dimensions are then compared with
traditional socio-economic and morphological indicators. The results are
interpreted in the context of urban sprawl and polycentric development of the
peripheries. These analyses confirm the usefulness of the fractal approach for
describing built-up morphology.
Keywords :
Belgique, Bruxelles, centralités, dimension fractale, morphologie urbaine, périurbainBelgium, Brussels, centrality, fractal dimension, periurban, urban morphology.
1. Introduction
On sait que la forme des villes résulte d’un compromis entre le
besoin d’espace pour les activités humaines et des contraintes exogènes telles
que le relief, les murs d’enceinte ou les prescriptions urbanistiques.
L’évolution de chaque ville est donc étroitement liée à son histoire et à sa
situation géographique, même si on peut reconnaître des tendances globales et
des cycles généraux dans l’urbanisation européenne (Anas, Arnott et Small, 1998
; Champion, 2001a et b). La croissance explosive des villes au cours de ces
dernières décennies a conduit à s’interroger particulièrement sur les
périphéries urbaines, c’est-à-dire ces espaces diffus où l’urbain et le rural
s’entremêlent et entrent en concurrence (Johnson, 2001 ; Longley, Batty et
Chin, 2002 ; Caruso, 2002 ; Cavailhès et
al., 2002 et 2004). Cet article se limite à l’analyse de la
périphérie urbaine.
Rappelons que la structure du bâti périurbain est, par nature,
hétérogène : l’espace périurbain se caractérise à la fois par des extensions
linéaires de noyaux d’habitat ancien et par des quartiers résidentiels
spontanés ou planifiés s’imprimant dans le paysage sous forme de lotissements.
La structure sociodémographique de la population qui occupe ces lieux et le
style architectural qui y est associé correspondent aux aspirations de vie qui
marquent la période d’expansion urbaine. En moyenne, il n’est plus à rappeler
que dans la ville européenne, les classes aisées de population ont un goût pour
l’espace, pour le « vert ». La structure des prix immobiliers, les
accessibilités améliorées des périphéries et la hausse du niveau de vie sont
des facteurs qui ont rendu possibles les migrations vers l’extérieur des
villes. Les communes qui ont été touchées les premières par le phénomène de
périurbanisation connaissent une diminution de l’offre de terrains à bâtir et
une augmentation significative des coûts fonciers. De ce fait, les espaces se
densifient. Les caractéristiques de « verdurisation » et de structure des coûts
qui avaient entraîné les premiers mouvements d’habitants s’amenuisent ou
n’existent plus. De nouveaux sites résidentiels sont alors recherchés dans des
endroits plus éloignés du centre-ville, dans la « campagne proche » devenue à
son tour plus accessible, là où les coûts fonciers sont plus bas.
L’urbanisation s’étend ainsi à des distances de plus en plus grandes de la
ville, modifiant d’autant le paysage (Antrop, 2003). La ville tentaculaire est
née. Les coûts, bénéfices et conséquences de l’urban sprawl ne sont plus à démontrer (voir par
ex. Transportation Research Board, 2000 ou, pour la Belgique, De Keersmaecker,
2002).
L’urbanisation est caractérisée par des traits fonctionnels,
morphologiques et structurels divers, qu’il importe de caractériser et de
comprendre, au même titre que la population qui l’occupe. Traditionnellement,
l’extension urbaine est analysée comme transformation des caractéristiques
sociodémographiques (Cheshire, 1995 ; Le Jeannic, 1997 ; Vandermotten
et al., 1999) ; les analyses des
caractéristiques d’occupation du sol ou de paysage sont beaucoup plus rares
(Stamps, 2002 ; Fricke et Wolff, 2002 ou Antrop, 2003). Le présent article se
situe dans cette dernière veine : il se limite à l’analyse de l’organisation
spatiale du bâti, à la mesure et à la compréhension de la variation spatiale
des mesures obtenues.
Comprendre une organisation spatiale d’objets (les espaces
bâtis) suppose une mesure de l’organisation spatiale. Or, saisir la morphologie
des tissus urbains n’est pas une tâche facile. L’urbanisation récente
notamment, qui transforme progressivement l’arrière-pays des villes est le
résultat d’un ensemble de petites décisions successives d’une multitude
d’acteurs. Il en résulte un paysage urbain beaucoup plus complexe, où l’on
retrouve les stigmates des décisions passées, qui se présente comme un
assemblage de quartiers, de lotissements, de constructions quelconques, sans
ordre apparent (Kostoff, 1991 ; Batty et Longley, 1994 ; Benguigui
et al., 2000 ; Stamps, 2002). Or, on
sait qu’il est difficile de trouver un indice unique décrivant de façon non
ambiguë une organisation spatiale d’objets (Griffith
et al., 1986). Par leur étendue, les
zones métropolitaines périurbaines englobent une multitude de niveaux
d’organisation. Dans une telle optique, l’analyse fractale s’avère être une
approche intéressante pour explorer la morphologie urbaine à travers les
échelles : elle permet d’appréhender l’organisation spatiale à partir d’une
logique multi-échelles
[1].
En géographie urbaine, les fractales ont principalement été
utilisées pour différencier les formes des villes et leur croissance, à
l’échelle de l’agglomération et à partir de représentations cartographiques
simplifiées (Arlinghaus, 1985 ; White et Engelen, 1993 ; Batty et Longley, 1994
; Frankhauser 1994 ; MacLennan et al.
1991 ; Schweitzer et Steinbrick, 1998 ; Longley et Mesev, 2000 et 2002 ; Wentz,
2000 ou Shen, 2002). Seuls des travaux plus récents abordent le problème du
patchwork des tissus intra-urbains (Batty et Xie, 1996 ; Frankhauser, 1997).
Notre article se situe dans cette dernière lignée. Deux démarches
complémentaires sont adoptées. L’une, déductive, essaye d’expliquer le sens des
mesures fractales dans le contexte de l’analyse des tissus bâtis, et de
clarifier leur lien avec d’autres mesures spatiales plus traditionnelles, telle
la densité. Cette dernière question a déjà été abordée par Batty et Kim en 1992
; le présent article vise à compléter leurs réflexions. L’autre démarche,
complémentaire, se veut plus exploratoire. Elle confronte les mesures fractales
à d’autres indicateurs spatiaux et socio-économiques, ce qui permet de mieux
comprendre l’information transcrite par ces mesures. Batty et Longley (1994,
chap. 6) ont déjà tenté de comprendre l’organisation des parcelles urbaines
selon la nature de leur affectation. Un travail similaire a aussi été fait sur
le tissu urbain dense de Bruxelles (De Keersmaecker, Frankhauser et Thomas,
2003). Une relation étroite y était démontrée entre dimension fractale et
données socio-économiques communément utilisées en géographie urbaine à
l’échelle du quartier. Dans cet article-ci, une attention particulière est
portée au tissu périurbain sud de Bruxelles, à sa structuration et à son
interprétation en termes d’extension urbaine et d’émergence de nouvelles
centralités périphériques. L’analyse est conduite à l’échelle des communes,
soit une approche mésospatiale.
2. L’aire d’étude : la périphérie sud de Bruxelles
L’histoire de Bruxelles se rattache au schéma classique
d’extension urbaine européenne avec, depuis le xxe siècle, un goût croissant pour la
périphérie verte et une amélioration constante des moyens de transport. De
nouveaux quartiers se développent, englobant les villages périphériques. Si
l’habitat demeure continu, la densité diminue et les quartiers périphériques se
« verdurisent ». Ce mode de croissance de la ville perdure jusqu’aux environs
de 1970 et conduit à l’extinction des terrains à bâtir disponibles en
ville.
Bruxelles est une ville millionnaire localisée au centre de la
Belgique dont elle est la capitale. Comme pour la plupart des villes, en
définir les limites actuelles est une tâche difficile et un objectif
scientifique en lui-même (GEMACA, 1995 ; Vanderhaegen
et al., 1996 ; Vandermotten
et al., 1999 ; Thomas
et al., 2000). En effet, les nouveaux
modes d’urbanisation transforment la ville dense et mixte du
xixe siècle en une région urbaine tournée
fonctionnellement vers la ville traditionnelle. L’aire urbaine s’étale alors
morphologiquement au-delà de ses limites administratives. En Belgique, la
région de Bruxelles-Capitale constitue une des trois régions administratives de
l’État fédéral belge. Elle correspond à 19 communes englobant le centre urbain,
les quartiers denses du xixe siècle et les extensions suburbaines
du xxe siècle. L’espace périurbain actuel se
construit depuis les années 1960 ; il dépasse les limites administratives de la
Région et s’étend sur les deux autres régions administratives et linguistiques
(Région flamande au nord, Région wallonne au sud). Dans un pays comme la
Belgique, cette extension urbaine atteint très rapidement d’autres centres
urbains (Mechelen, Leuven, Aalst, Wavre et Braine-l’Alleud). Dans le cadre de
cet article, nous analysons la périphérie sud et plus particulièrement le
Brabant wallon.
Le Brabant wallon est une province localisée au sud de
Bruxelles et discontinue de la région de Bruxelles Capitale (fig. 1). Dès la
deuxième moitié du xixe siècle, le développement du chemin de
fer permet la liaison du Brabant wallon à Bruxelles et aux villes industrielles
du sillon sambro-mosan. Des noyaux villageois tels Rixensart, Genval ou Court
Saint-Étienne se transforment alors, accueillant logements et entreprises à
proximité des gares. Dès les années 1960, l’augmentation du niveau de vie, le
développement de l’automobile et la construction d’un réseau dense de
communication permettent à de plus en plus de ménages d’accéder à leur
recherche de verdurisation et de s’installer là où le terrain est moins cher et
où les lieux sont plus aérés. L’urbanisation du Brabant wallon commence ; la
colonisation se fait alors par îlots séparés, par création de lotissements ;
les vides interstitiels étant comblés petit à petit par l’agrégation des
populations. La diminution de l’offre de terrains à bâtir et l’augmentation des
prix ont pour effet de propager l’urbanisation périphérique de Bruxelles vers
des communes de plus en plus éloignées, aux limites sud du Brabant wallon,
voire au-delà. La province se distingue ainsi par une croissance démographique
galopante depuis plusieurs décennies : sa population a doublé depuis la seconde
guerre mondiale passant de 180 000 à plus de 350 000 habitants (Charlier et
Thomas, 1987 ; Eggerickx et al., 2002,
p. 63-68).
Fig. 1
Urbanisation morphologique et
fonctionnelle dans le Brabant wallon
BCR = Région de Bruxelles Capitale
3. Mesurer la fractalité du bâti
Dimension et analyse fractales
L’approche fractale est avant tout une approche géométrique ;
elle permet d’aborder un phénomène spatial à la fois par le biais de modèles de
référence et par l’utilisation des mesures morphologiques fractales
(Frankhauser et Pumain, 2001 ; Frankhauser, 2000 ; Batty et Longley, 1994). Les
descripteurs fractals transcrivent certaines propriétés d’une structure dont le
sens ne devient évident qu’en se servant de modèles fractals comme référence.
Ces derniers jouent un rôle équivalent aux références dont nous nous servons
dans la géométrie euclidienne tels que le cercle, le carré ou le triangle. En
utilisant des mesures fractales, il paraît possible en théorie de vérifier
l’existence d’une loi hiérarchique dans une répartition. Le fait de pouvoir
étudier un phénomène à travers des échelles différentes fournit aussi la
possibilité de découvrir des seuils dans l’organisation spatiale. Une
comparaison morphologique et une classification des tissus urbains paraissent
ainsi possibles ; elles permettent de mieux mettre en évidence des principes
d’ordre interne que l’on ne trouve pas en recourant à d’autres approches. Le
caractère géométrique de l’approche fractale fournit la possibilité de
concevoir — après avoir réalisé des analyses morphologiques — des structures
théoriques de référence qui suivent le même principe d’ordre interne que les
tissus réels. Dans le contexte urbanistique, ceci peut servir de point de
départ pour des réflexions sur la structuration des espaces urbains et
périurbains.
Le principe de base de la géométrie fractale est la
répétition d’un principe d’emboîtement d’échelles que l’on retrouve dans les
fractales construites (fig. 2 et 5). L’analyse fractale repose donc sur l’idée
de vérifier dans quelle mesure une configuration observée est structurée selon
une logique d’emboîtement d’échelles telle qu’on la trouve dans les fractales
construites. La figure 2 illustre ce principe : on y observe aussi bien des
espaces vides que des agrégats de taille différente. Ces deux systèmes spatiaux
suivent une loi hiérarchique stricte. Si la texture empirique montre une
structuration conforme à cette référence géométrique, il est alors possible
d’estimer un paramètre qui synthétise cette logique : il s’agit de la dimension
fractale.
Fig. 2
Exemple de fractale
construite
Le fait de recourir à une telle référence géométrique peut
surprendre. Mais la densité, mesure la plus couramment utilisée pour
caractériser les répartitions spatiales, se réfère également à un modèle
spatial : la densité n’est constante que lorsque les éléments considérés sont
répartis de façon uniforme dans l’espace. En effet, la masse est alors
proportionnelle à la surface sur laquelle elle se trouve. Mais si la masse est
répartie de façon non-uniforme, l’utilisation de la densité est problématique,
car la valeur obtenue dépend alors non seulement de l’endroit où l’on se
trouve, mais également de la surface utilisée comme référence. Ce n’est pas le
cas pour la dimension fractale qui caractérise uniquement la répartition de la
masse, sans autre référence. Cette différence entre les deux concepts de mesure
et les ambiguïtés issues de la définition de la densité sont connues (François,
Frankhauser et Pumain,1995).
La signification de la dimension fractale et de la mesure de
densité
La fractale construite de la figure 2 est constituée d’un
certain nombre d’« éléments occupés », noirs, répartis sur une surface. Dans le
cas d’un tissu urbain, ces éléments correspondent, par exemple, à la masse
bâtie. S’il existe une représentation cartographique numérisée d’un tel tissu,
le nombre d’éléments occupés est alors équivalent au nombre de pixels noirs.
Intéressons-nous maintenant à la signification de la dimension fractale.
Considérons d’abord la loi qui relie dans une fractale le nombre d’éléments
occupés N(ε) au rayon
ε d’un disque centré sur le barycentre
de la fractale (par
exemple le centre de symétrie dans la fractale de la figure
2) :
D est la dimension
fractale et L un préfacteur qui donne
une approximation de la forme euclidienne de notre objet (carré, cercle). Il
doit être choisi de façon telle que la relation reste valable dans le cas
d’objets géométriques euclidiens. D
varie entre 0 et 2.
Afin de mettre en évidence la signification de la dimension
fractale, nous la comparons à la mesure élémentaire utilisée en géographie : la
densité. Comme la densité varie dans une structure fractale, nous considérons
plus particulièrement le lien entre la dimension fractale et le gradient de
densité qui mesure la variation de la densité. Batty et Kim (1992) ont effectué
cette comparaison à propos de la distribution de la population urbaine. Dans
notre cas, nous étudions la répartition de la surface bâtie, mais une grande
partie des déductions reste identique.
La densité est une fonction qui informe sur la présence d’une
masse à un certain endroit de la surface, donc une fonction de type
ρloc(ε,ϕ) si nous choisissons des coordonnées
polaires (ε,ϕ) où
ε indique la distance radiale au
centre et ϕ l’angle par rapport à un
axe fixe (fig. 3). Dans notre cas, la masse contenue dans le disque de rayon
e (et donc le nombre de pixels noirs
N(ε) est liée à cette densité locale par
l’intermédiaire
d’une intégration sur le rayon et l’angle :
Fig. 3
Une fractale et le lissage de la
densité par calcul de la densité moyenne
À l’intérieur du disque, la densité peut être soumise à des
variations
locales si on change de lieu :
Les dérivées partielles expriment les variations en direction
des rayons et de l’angle (fig. 3). Ces variations permettent d’établir
directement le lien avec le gradient de la densité qui est, selon la définition
mathématique, un vecteur indiquant la variation
de la densité dans la direction dans laquelle celle-ci est la
plus élevée :
où ∇ est le symbole de l’opérateur du gradient, et
sont les vecteurs d’unité en direction des rayons et
de l’angle.
sont les vecteurs d’unité en direction des rayons et
de l’angle.Une fractale est, par définition, une structure qui montre
des discontinuités à chaque endroit de sa bordure. Ainsi, la densité serait
constante tant qu’on se trouve sur la fractale, mais elle tombe localement à 0
dès que l’on se déplace vers un lieu situé hors structure. De ce fait, il n’est
pas possible de calculer explicitement le gradient de densité. Afin de
contourner cet artefact, on considère en théorie fractale une densité moyenne
pour chaque rayon ε. Ce lissage permet
d’éliminer les variations discontinues ; il correspond à une intégration par
rapport à l’angle ϕ. On obtient ainsi
une fonction qui décrit la seule variation radiale de la masse en fonction de
la
distance ε au centre
du disque (fig. 3) et qui ne dépend donc plus de l’angle :
Il est alors possible de considérer le gradient de cette
densité lissée qui indique sa
variation radiale. Comme il ne reste qu’une seule variable le
gradient prend la forme :
Il indique pour chaque rayon le montant
du changement moyen de la masse bâtie que l’on
observe en s’éloignant en direction d’un rayon dont l’angle est arbitraire.
Comme la loi fractale [1] n’indique que de façon globale la variation radiale
du nombre N(ε), il est possible de
calculer la densité moyenne ρ(ε) en divisant N(ε) par la surface du disque qui contient cette
masse, soit Atot(ε) =
π ε2 :
du changement moyen de la masse bâtie que l’on
observe en s’éloignant en direction d’un rayon dont l’angle est arbitraire.
Comme la loi fractale [1] n’indique que de façon globale la variation radiale
du nombre N(ε), il est possible de
calculer la densité moyenne ρ(ε) en divisant N(ε) par la surface du disque qui contient cette
masse, soit Atot(ε) =
π ε2 :
On s’aperçoit ainsi que la densité moyenne diminue quand
D < 2, et elle est constante pour
D = 2 c’est-à-dire pour une surface
noire, une occupation uniforme. Ceci permet de choisir une valeur appropriée
pour L, afin d’obtenir ρ(ε) = 1 pour
une surface uniforme, soit L =
π. Il est maintenant aussi possible de
calculer le montant du gradient de la densité moyenne :
Pour une fractale, ce gradient dépend à la fois de la
dimension et du rapport entre la densité et la distance. La signification de
cette relation devient plus claire si nous la réécrivons de la façon suivante,
déjà indiquée par Batty et Kim (1992) :
Cette relation allométrique exprime que le changement relatif
de la densité moyenne est proportionnel au changement relatif de la distance et
que cette proportionnalité est transcrite par la dimension fractale. Elle
indique donc de quelle manière la concentration de la masse diminue en passant
d’une distance ε à une distance plus
élevée ε +
dε. Cette baisse de concentration se
manifeste par la présence de lacunes de taille de plus en plus grande en
s’éloignant du centre. Plus D
s’approche de 2, moins la variation relative est forte, la texture est donc
plus uniforme et moins hiérarchisée, et pour cette limite on obtient une
occupation uniforme de la surface. Cette uniformité peut d’ailleurs aussi
s’exprimer par une répartition complètement répétitive d’éléments (par exemple
de carrés noirs) sur une grille à maille fixe, ou bien la présence de lacunes
dont la taille est identique (fig. 4). En revanche, une valeur proche de 0
transcrit une forte hiérarchie avec des concentrations de masse importantes à
certains points. La valeur D = 0
indique que seul le centre de comptage est occupé.
D = 1 est obtenue pour une ligne, mais
elle caractérise aussi une répartition surfacique correspondant à une situation
intermédiaire ; elle constitue aussi un seuil en termes de fractales : lorsque
D < 1,0 la structure est
nécessairement composée d’un ensemble non connecté d’éléments. Des valeurs de
D Ž; 1,0 correspondent soit à des
ensembles non connectés, soit à un cluster unique, fortement fragmenté tel le tapis
de Sierpinski.
Fig. 4
Exemples de répartitions
uniformes
Les lacun es de même taille en 4c ne modifient pas la
dimension fractale.
La dimension fractale permet donc de décrire les structures
euclidiennes telles qu’une surface uniforme, un point ou une ligne. Mais elle
permet aussi de caractériser — par une valeur unique — certaines répartitions
pour lesquelles les mesures « traditionnelles », comme la densité, varient en
fonction de la surface de référence. Il est évident que
D ne sera constant que si la structure
observée est organisée de façon hiérarchique, tel que cela apparaît dans les
figures 2 ou 5. Une telle répartition correspond à une loi de distribution
hyperbolique, donc à une loi de Pareto-Zipf. La dimension fractale est
d’ailleurs équivalente à l’exposant de Pareto. Elle décrit les changements de
la répartition spatiale en passant progressivement de l’échelle du bâtiment à
celle de l’îlot, du quartier, etc.
Fig. 5
Fractales construites (4a) D=
0,86, (4b) D= 1,29, (4c) D= 1,36 et obervées (4d) : exemple de Rixensart D=
1,76
Rappelons que d’autres méthodes d’analyse spatiale courantes,
telles que la méthode des quadrats ou l’analyse de voisinage, se réfèrent à une
distribution parfaitement aléatoire d’un semis de points, ce qui exprime une
absence de phénomènes structurants. Une telle répartition se traduit par une
loi de distribution de Poisson, dont le paramètre principal, la dispersion,
renvoie, comme la densité, à une distribution spatiale uniforme. Un autre
exemple serait l’indice de concentration qui se réfère, lui, à une
équipartition entre des classes définies au préalable. La référence est donc
également une logique d’occupation égale de classes
[2].
Jusqu’à présent, seule la dimension fractale relative à
l’occupation d’une surface a été considérée. Le raisonnement est analogue pour
une topologie linéaire, mais on s’intéresse cette fois-ci à l’allongement
progressif de la bordure que l’on constate en comparant la longueur de la
bordure entre deux points A et
B situés sur celle-ci, à la distance
euclidienne ε entre ces points (fig.
6). On obtient pour la longueur totale l(ε) la loi fractale :
Fig. 6
Allongement d’une bordure et
mesure ε
εIMGIMF">
On déduit une formule équivalente à [8] :
La dimension exprime l’allongement par rapport à
l’augmentation relative de la distance euclidienne
ε.
Estimation des paramètres
Dans la loi fractale [9] apparaît la mesure
L, pour laquelle nous avons choisi une
valeur qui permet de décrire de façon correcte une distribution uniforme.
Néanmoins, dans les structures réelles, il est possible de mesurer des
répartitions ou des bordures d’objets dans lesquelles apparaît un préfacteur
a tel que la loi fractale prenne la
forme :
Ce préfacteur a une signification. Soit l’analyse d’une
figure constituée de deux fractales identiques (fig. 7). Pour chaque valeur
ε, on obtient un nombre d’éléments
N(ε) égal au double de celui observé
pour une seule fractale :
Fig. 7
Génération si m ul tanée de deux
fractales co nst r u i tes ; le nombre d’éléments N(ε) est dédoublé : a =
2
Quand a = 2, l’objet
est globalement constitué de deux carrés identiques. Le préfacteur décrit donc
un aspect de la structure qui n’est pas lié à sa fractalité ; il caractérise la
forme générale de l’objet
[3]. C’est la raison pour laquelle on désigne en théorie
fractale ce préfacteur comme facteur de
forme car il donne une information grossière sur la forme
euclidienne de l’objet (rectangle, triangle, pentagone, etc.) (fig.
3).
Si le préfacteur caractérise une propriété générale, il est
possible d’observer des ruptures dans l’organisation spatiale ; elles se
traduisent par un changement de la loi fractale. Ainsi, on peut imaginer
d’observer le comportement fractal à une échelle inférieure à celle d’un îlot.
Le comportement fractal pourrait changer pour des distances ε plus élevées qui
se réfèrent à l’échelle du quartier, ou bien on pourrait même observer que
l’approche fractale n’est pas valable pour une certaine fourchette de
distances. Si on constate un tel changement de l’organisation spatiale à une
certaine distance ε1, le nombre N(ε)
dans la fourchette ε > ε1 ne correspond pas au nombre théorique que l’on
obtiendrait pour une fractale. Tous les nombres N(ε) montrent alors pour ε > ε1 le même
déficit/surplus, ce qui falsifie la procédure d’estimation de la dimension
fractale. Il est possible de pallier ce problème en introduisant une constante
c dans une loi empirique généralisée
:
Dans des analyses préliminaires, nous avons utilisé des
versions simplifiées des lois fractales en éliminant respectivement
a ou c. Habituellement, les valeurs obtenues pour la
dimension fractale D diffèrent, mais
sont corrélées aux résultats obtenus par le modèle complet. Toutefois si
l’organisation spatiale change pour une certaine distance ε1, le paramètre
c s’avère indispensable. L’estimation
du facteur de forme a permet en
revanche de vérifier si le modèle fractal reste valable : si les déviations
sont fortes, la valeur sera plus élevée. Il est ensuite nécessaire d’estimer
les paramètres de la loi fractale. On se sert pour cela d’une représentation
bi-logarithmique de la courbe empirique N(ε) qui permet d’effectuer une régression
linéaire :
Il est connu qu’une telle transformation bi-logarithmique
renforce le poids des déviations observées pour les valeurs faibles de
e. Les formules d’estimation ont été
obtenues par la méthode des moindres carrés. On obtient alors des relations
linéaires pour a et
c et une relation non-linéaire pour D.
Ce paramètre est estimé par une procédure numérique. Les résultats ont été
vérifiés par d’autres procédures d’estimation indépendantes.
Méthodes d’analyse
Il existe plusieurs méthodes d’analyse fractale qui, par leur
logique, ne transcrivent pas exactement le même type d’informations. Afin de
réaliser les analyses des tissus urbains, le logiciel
fractalyse a été développé sous
Matlab par G. Vuidel dans le cadre
d’une coopération entre les laboratoires Image et
Ville (Strasbourg) et THEMA
(Besançon). Il permet l’utilisation conviviale de différentes méthodes. Il est
ainsi possible d’ouvrir plusieurs fenêtres simultanément, d’afficher des images
et des courbes, de disposer de menus et de lire et sauvegarder des fichiers de
type.tif. Certains algorithmes sont préprogrammés, on peut rendre portables les
logiciels développés entre différents systèmes d’exploitation, et le logiciel
peut être actualisé par rapport à des modifications de formats de données ou
par rapport aux nouvelles versions des systèmes d’exploitation. Ce logiciel a
aussi servi à vérifier la fiabilité des méthodes d’analyse fractale. Ces tests
ont confirmé que celles-ci ne sont pas toutes fiables au même degré. Seules
deux méthodes sont utilisées dans cet article : la corrélation et la
dilatation. Notons toutefois qu’il existe d’autres méthodes d’analyse fractale
comme l’analyse radiale ou l’analyse du quadrillage (Batty, 1994 ; Frankhauser,
1994). En principe, toute méthode d’analyse spatiale permettant d’étudier une
répartition spatiale à travers les échelles est susceptible de servir à
analyser la fractalité d’une structure
[4].
L’analyse de corrélation repose sur un principe similaire à
celui que nous avons présenté pour expliquer la signification de la dimension
fractale : on entoure chacun des pixels j d’un cercle dont on fait progressivement
varier le rayon ε. Pour chaque pixel
j, on compte le nombre
Nj(ε) de pixels occupés situés à une distance
inférieure à ε. On calcule alors pour
chaque valeur ε la valeur moyenne
(ε) des nombres Nj(ε) de pixels « noirs ». On obtient ainsi une
information globale sur la diminution de la masse autour de chaque point
occupé. Pour une fractale, on obtient une loi équivalente à celle de la
relation [1] et la dimension fractale obtenue est appelée dimension de
corrélation. Cette méthode s’est avérée très fiable et peut être utilisée tant
pour des surfaces (DSurf-Cor) que pour des lignes
(DBord-Cor).
(ε) des nombres Nj(ε) de pixels « noirs ». On obtient ainsi une
information globale sur la diminution de la masse autour de chaque point
occupé. Pour une fractale, on obtient une loi équivalente à celle de la
relation [1] et la dimension fractale obtenue est appelée dimension de
corrélation. Cette méthode s’est avérée très fiable et peut être utilisée tant
pour des surfaces (DSurf-Cor) que pour des lignes
(DBord-Cor).L’analyse de dilatation transforme la structure en faisant
progressivement disparaître ses détails. Ici, on remplace chaque pixel noir,
donc occupé, par un carré noir de taille e, centré sur le pixel. Ces carrés sont
graduellement dilatés. Les vides qui séparent les parties occupées
disparaissent progressivement ; en revanche, des agrégats de plus en plus
étendus se forment et se rejoignent au cours des étapes de dilatation. En
divisant la surface dilatée S(ε) par
la surface d’un carré de base ε, on
obtient le nombre N(ε) de carrés
dilatés qui sont nécessaires pour couvrir la structure dilatée. On obtient
ensuite la dimension de dilatation par une relation similaire à [1]. Des
investigations préliminaires ont montré que cette méthode s’avère moins fiable.
En effet, l’algorithme de comptage prend aussi en compte la masse des pixels
noirs qui sont ajoutés en dilatant la structure d’origine. Ainsi, la masse des
points occupés tend à être surestimée. Ce phénomène affecte plus les structures
dont la masse occupée est faible au départ, comme par exemple des objets
linéaires, car l’erreur relative est alors plus grande. L’utilisation de cette
méthode se limitera donc au calcul des dimensions fractales sur les surfaces
(DSurf-Dil).
Il faut être conscient que les deux dimensions calculées
(DCor et
DDil) transcrivent
mathématiquement une information différente pour une structure donnée.
DDil est une
dimension dite de « premier ordre », correspondant à la logique de couverture
énoncée. DCor est une
dimension « de second ordre », car elle étudie la distance moyenne entre deux
points occupés. Elle transcrit de ce fait une information plus détaillée sur la
position relative des éléments occupés les uns par rapport aux autres. Cette
distinction de dimensions de différents « ordres » s’inscrit dans la logique
multifractale.
La dilatation permet également d’extraire les bordures
urbaines. La bordure urbaine est un artefact : en principe, les bâtiments sont
les seuls objets qui permettent d’identifier une limite entre espace bâti et
non bâti. En effectuant une dilatation sur le tissu bâti, on observe que peu
d’étapes suffisent pour que des agrégats se forment ; ils correspondent à des «
taches urbaines » pour lesquelles on peut extraire des bordures. La méthode de
corrélation peut alors servir à déterminer leur dimension fractale.
Notons enfin que le calcul de la dimension se fait ici sur
une fenêtre d’analyse, zone géographique dont la taille et le centre sont
préalablement définis. En choisissant une zone trop étendue, on court le risque
que le tissu à l’intérieur soit trop varié pour obtenir un bon ajustement. En
revanche, la courbe d’analyse d’une fenêtre trop petite se situera dans une
fourchette trop restreinte de ε pour
pouvoir effectuer une estimation fiable des paramètres. Un compromis doit être
trouvé.
4. Les données
Le centre urbain dense de Bruxelles (région de
Bruxelles-Capitale) a fait l’objet d’une analyse fractale sur base de données
spécifiques (De Keersmaecker, Frankhauser et Thomas, 2003). Pour la banlieue,
la même source de données ne peut être utilisée : la Région de
Bruxelles-Capitale a restreint l’opérationalité de son SIG à ses limites
administratives. Dans l’analyse périurbaine, les cartes IGN 39 et 40 numérisées
ont été utilisées. À l’échelle du 1/10 000, le bâti constitue une couche à part
entière, où chaque bâtiment est individualisé. Aucune information n’est donnée
quant à la nature du bâtiment (résidence, service public ou bâtiment
industriel), et le centre des deux petites villes (Nivelles, Wavre) manque de
précision morphologique (grisé continu).
Une fenêtre est ici centrée sur chaque maison communale. En
raison du positionnement de la carte par rapport aux territoires communaux,
trois communes du Brabant wallon ne sont pas retenues ; par contre,
Louvain-la-Neuve est incluse, soit 25 fenêtres. La taille de chaque fenêtre est
de 1 900x1 600 pixels soit 25 km2 ; elle est définie comme un rectangle
circonscrivant le territoire communal dont la dimension de la zone urbanisée
est maximale (Wavre). Il convient d’insister ici sur le fait que les structures
spatiales ne sont donc pas décelées à travers tout le Brabant wallon, mais
seulement à l’intérieur de 25 fenêtres statiques, étudiées indépendamment les
unes des autres.
Afin de tester la stabilité des résultats, nous avons comparé
la variation de la dimension fractale D en fonction de trois tailles de fenêtres tout
en gardant le même nombre de fenêtres (25), (1900x1600, 950x800 et 475x400
pixels). DSurf-Dil ne
diffère pas en fonction de la taille de la fenêtre (respectivement 1,297, 1,296
et 1,299) ; par contre, DSurf-Cor varie (1,520 pour la
grande fenêtre, 1,639 pour la moyenne et 1,665 pour la petite). La variation
des valeurs fractales estimées après dilatation est plus faible en raison du
processus de lissage sous-tendant l’estimation de l’indicateur. Comme on peut
s’y attendre, la différence est principalement marquée dans les fenêtres
caractérisées par une dispersion plus grande du bâti autour d’un ou plusieurs
centres villageois (par exemple, à Ramillies, DSurf-Cor vaut 1,541 sur une
grande fenêtre et 1,104 sur une petite). Dans les communes à périurbanisation
dense, la différence est non-significative (exemple : à Waterloo, la dimension
fractale calculée sur une grande fenêtre vaut 1,856 et 1,792 sur une petite).
Nous réservons cette discussion de la sensibilité à un article
ultérieur.
La définition de l’espace périurbain bruxellois s’est faite
sous diverses contraintes. D’une part, la régionalisation de la Belgique n’a
pas permis d’analyser les communes adjacentes à la Région de
Bruxelles-Capitale. Notre milieu d’étude ne représente donc qu’une partie de la
réalité périurbaine bruxelloise, partie disjointe de la ville (fig. 1). D’autre
part, la fusion des communes (1977) a créé de nouvelles entités communales
parfois très hétérogènes quant à leur histoire, leur mode de développement et
leur paysage actuel. De ce fait, il aurait été intéressant de centrer les
fenêtres sur toutes les anciennes communes. Plusieurs considérations
méthodologiques ont cependant dicté notre décision : les tailles des fenêtres,
une hétérogénéité très probable des résultats et la difficulté de les comparer
à de nombreuses données statistiques qui ne sont disponibles que par commune
fusionnée.
5. Les paramètres fractals discriminent-ils les espaces périurbains ?
L’objectif est ici d’évaluer de quelle manière
D permet de discriminer les espaces
périurbains. Postulons qu’il existe des différences dans la morphologie du bâti
périurbain, et que ces différences sont dues à l’histoire de l’urbanisation,
aux politiques d’aménagement du territoire, à l’armature régionale urbaine
ainsi qu’aux préférences des résidents. Le tableau 1 rend compte des mesures
fractales pour les trois méthodes d’estimation. L’idée de moyenne des
dimensions fractales doit être admise avec prudence (voir discussion dans De
Keersmaecker, Frankhauser et Thomas, 2003). Pour rappel, un tissu dense tend
vers une dimension 2, mais l’inverse n’est pas toujours vrai : un tissu très
uniforme pourrait aussi tendre vers une valeur proche de 2 (voir section 3).
Dans notre cas, les valeurs sont comprises entre 1,2 et 1,8. Elles sont en
moyenne inférieures à celles obtenues pour Bruxelles, mais la comparaison doit
être limitée vu les conditions de mesure différentes (voir De Keersmaecker,
Frankhauser et Thomas, 2003). Notons que certaines valeurs périurbaines sont
proches des mesures urbaines : certains quartiers périurbains ressembleraient
donc plus à la ville, et certains quartiers de Bruxelles auraient des allures
périurbaines. D varie en fonction de
la méthode d’estimation : en général la méthode de corrélation conduit à des
valeurs plus élevées que la dilatation sur les surfaces, et
DBord-Cor (topologie
linéaire) est fort proche de D obtenue
sur les surfaces (coefficient de corrélation de Pearson entre
DBord-Cor et
DSurf-Cor = +0,931 —
tabl. 2). Ces relations confirment que les informations transcrites par les
différentes dimensions fractales ne sont pas les mêmes.
Tabl. 1
Valeurs des dimensions fractales (25 fenêtres)
| DSurf-Cor | DSurf-Dil | DBord-Cor | |
| Moyenne | 1,572 | 1,272 | 1,610 |
| Minimum | 1,206 | 1,181 | 1,281 |
| Maximum | 1,822 | 1,362 | 1,810 |
Tabl. 2
Coefficient de corrélation de Pearson entre les dimensions fractales
| DSurf-Cor | DSurf-Dil | |
| DSurf-Dil | 0,298n.s. | - |
| DBord-Cor | 0,931a | 0,260n.s. |
a. significatif à 0,000 ; n.s..non significatif au seuil de
0,100
Fig. 8
Structure du bâti du Brabant
wallon
Regardons maintenant si les lieux peuvent être discriminés en
fonction des valeurs prises sur les trois dimensions fractales calculées (tabl.
3). Cinq groupes de lieux apparaissent. La taille des groupes est homogène (pas
de singleton) révélant un partitionnement bien balancé de l’espace ; celui-ci
répond au schéma classique de l’évolution du processus de périurbanisation,
allié à la présence initiale de centres urbains dynamisant au préalable un
espace rural. Les deux premiers (P1, P2) et les trois derniers (P3, P4, P5)
fusionnent dans l’arbre de groupement. Ainsi, Braine-l’Alleud et Nivelles sont
des petites villes englobées par le processus de périurbanisation, alors que
Rixensart ou La Hulpe sont des communes proches de Bruxelles et urbanisées dès
les débuts de l’extension urbaine et, particulièrement, lors de la construction
de l’autoroute vers Namur. Les communes des trois derniers groupes (P3, P4 et
P5) sont moins densément urbanisées ; elles correspondent aux vagues plus
récentes de périurbanisation, affectant des lieux de plus en plus éloignés de
Bruxelles. Globalement, la classification obtenue rend compte d’anneaux
concentriques à partir de Bruxelles, schéma légèrement « perturbé » par la
structure fonctionnelle et morphologique habituellement mise en évidence par
analyse multivariée (Halleux, Derwael et Mérenne, 1998, et fig. 1, 9 et 10).
Ces cinq groupes illustrent la diversification du tissu périurbain bruxellois.
Les dimensions fractales observées sont en effet assez basses par rapport à
d’autres villes européennes (Frankhauser, 2003), ce qui montre que les tissus
du Brabant wallon sont relativement contrastés. Ceci est à mettre en relation
avec la politique de « laisser-faire » qui caractérise l’aménagement du
territoire en Belgique au cours des premières vagues de
périurbanisation.
Tabl. 3
Classification des 25 fenêtres périurbaines (méthode de Ward)
| D moyenne | Communes | Description des communes | |||
| DSurf-Cor | DSurf-Dil | DBord-Cor | |||
| P1 | 1,779 | 1,309 | 1,793 | Braine-l’Alleud, Waterloo, Rixensart, La Hulpe | À noyau urbain initial, englobées dans la première vague de périurbanisation |
| P2 | 1,497 | 1,287 | 1,531 | Court-Saint-Étienne, Wavre, Mont-Saint-Guibert, Tubize, Ottignies, Lasne, Nivelles, Louvain-la-Neuve | À noyau urbain initial, englobées dans la deuxième vague de périurbanisation |
| P3 | 1,544 | 1,212 | 1,628 | Chaumont-Gistoux, Villers-la-Ville, Ittre | Périurbaines peu denses, organisées autour d’anciens centres ruraux |
| P4 | 1,677 | 1,280 | 1,689 | Perwez, Chastre, Braine-le-Château, Genappe, Jodoigne, Rebecq | Périurbaines peu denses avec étalement diffus de l’habitat |
| P5 | 1,316 | 1,243 | 1,400 | Walhain, Orp-Jauche, Ramillies, Incourt | Rurales à insertions urbaines |
En général, les résultats montrent que les dimensions fractales
discriminent l’espace bâti périurbain, qu’elles traduisent la morphologie du
bâti, et que les formes d’urbanisation sont quantifiables. Dans le cas du
Brabant wallon, dimensions fractales et phases d’urbanisation sont étroitement
liées.
La mesure fractale obtenue par corrélation sur les surfaces est
toujours supérieure à celle obtenue par dilatation et est plus élevée pour les
groupes de communes plus urbaines (P1, P2). DSurf-Cor est synonyme
d’urbanité. La variation de DSurf-Dil est quant à elle
beaucoup plus faible. L’estimation de DSurf-Cor est plus fine et, de
ce fait, permet une meilleure discrimination des espaces périurbains, par
définition très hétérogènes. Par souci de simplicité de présentation et au vu
de la forte corrélation entre DSurf-Cor et
DBord-Cor, la suite
des commentaires se limite à la dimension obtenue par corrélation (DSurf-Cor) ; ce choix ne
modifie pas les conclusions générales de cet article. Il est en outre corroboré
par l’ensemble des résultats obtenus (non repris ici), et par la supériorité de
cette mesure de dimension fractale déjà discutée par ailleurs (Frankhauser,
2003, p. 42). En effet, la dimension fractale obtenue sur les surfaces bâties
par dilatation (DSurf-Dil) ne varie pas
suffisamment pour être associée aux variables caractérisant le milieu
périurbain. Dans l’analyse du milieu urbain bruxellois (De Keersmaecker,
Frankhauser et Thomas, 2003), les valeurs fractales obtenues après dilatation
reflétaient significativement la variation spatiale des indicateurs de niveau
socio-économique des quartiers, ce qui paraît en contradiction avec les
résultats présentés ici, mais qui s’explique par le fait que cette méthode est
plus sujette à des artefacts de mesure, notamment si les textures sont très
fragmentées.
6. Les paramètres fractals rendent-ils compte de la structuration de l’espace périurbain ?
Selon Galster et al.
(2000), « urban sprawl is one name for many conditions. It has been attached to
patterns of residential and non-residential land use, the process of extending
the reach of urbanized areas, the causes of particular practices of land use
and the consequences of those practices ». La section 5 a permis de démontrer
de façon purement exploratoire et descriptive le pouvoir structurant de la
dimension fractale. Essayons maintenant de lier la variation spatiale des
dimensions fractales et différents paramètres fréquemment utilisés pour
caractériser le périurbain en analyse spatiale urbaine. Rappelons que
l’objectif n’est pas ici de construire un modèle explicatif, mais de vérifier
la pertinence de D en analyse
géographique et économique des réalités périurbaines.
Structuration socio-économique
La théorie économique urbaine est basée essentiellement sur
les travaux d’Alonso et Muth et se décline à partir de paramètres
microéconomiques. Les schémas d’organisation de l’espace sont déterminés par
les coûts du sol et les coûts de transport qui leur sont associés. Le modèle
d’utilisation de l’espace est monocentrique : l’extension de la ville se fait
de manière concentrique et les choix de résidence des ménages sont dictés par
la localisation d’une zone centrale d’emplois. Le choix de localisation
résidentielle va dépendre des caractéristiques socio-économiques et
démographiques des ménages. Notre objectif est ici de confronter les valeurs
fractales obtenues sur les différentes fenêtres analysées avec des indicateurs
socio-économiques. Ces indicateurs ne doivent pas être pris en tant que tels
mais comme révélateurs d’une certaine structuration de l’espace.
Sous la contrainte de la disponibilité des données, les
variables suivantes sont considérées comme indicateurs de la structuration
socio-économique de l’espace périurbain : (1) le prix du terrain à bâtir,
estimé par le prix moyen de vente des terrains à bâtir (Statistiques
financières, INS) ; (2) le revenu cadastral moyen (Statistiques d’occupation du
sol du Cadastre), exprimé soit par parcelle occupée par un logement et noté
Revenu cadastral-np, soit par hectare occupé par des logements et noté Revenu
cadastral-ha ; (3) le coût de transport vers Bruxelles évalué par la
distance-temps en voiture exprimée en minutes (logiciel ViaMichelin) et (4) le
revenu des ménages (Statistiques financières, INS) : le revenu médian des
ménages, le 1er quartile de
revenu des ménages, le 3e
quartile de revenu des ménages et la différence interquartile de revenus des
ménages ; (5) un indicateur du niveau socio-économique des ménages estimé par
le niveau de confort des logements (Recensement de la Population et des
Logements de 1991, INS) : (5a) la proportion de logements disposant d’un niveau
de confort moyen (lieux d’aisance à l’intérieur du logement, salle de bain
individualisée et chauffage central) et (5b) la proportion de logements ne
disposant d’aucun des éléments de confort précités. Toutes ces variables sont
mesurées à l’échelle communale. Se pose donc ici le problème de l’adéquation
des données statistiques estimées à l’échelle communale et des indicateurs de
dimension fractale mesurés sur une fenêtre de forme et de dimension
constantes.
Rappelons que ce travail exploratoire commente des relations
obtenues sur un très petit nombre de fenêtres. Les tests d’hypothèse relatifs
aux associations statistiques s’interprètent donc avec prudence : le seuil de
signification est très vite atteint et on peut s’interroger sur la nature d’un
test statistique se rapportant à une dimension fractale. Il faut en effet être
conscient que celle-ci est l’exposant dans une loi de puissance (voir [1]).
Elle synthétise donc une relation non
linéaire entre la masse bâtie et la distance
ε. Le raisonnement paraît néanmoins
acceptable, car la fonction fractale croît de façon monotone en
ε. Comme nos valeurs se situent dans
la fourchette 1,0 < D < 2,0, la
fonction N(ε) s’approche par son allure d’une relation
linéaire.
La dimension fractale et les paramètres socio-économiques
sont corrélés positivement avec les statistiques des prix et de revenu puisque
ce sont les communes périurbaines les plus anciennes et les plus homogènes sur
le plan du rapport bâti/non bâti qui sont caractérisées par les coûts fonciers
les plus élevés et les populations résidentes aux revenus moyens à supérieurs.
Conformément à l’attente, DSurf-Cor est corrélée
négativement avec la distance à Bruxelles : en moyenne, les tissus urbains les
plus lâches sont situés dans les périphéries les plus éloignées de la ville.
DSurf-Cor est aussi
corrélée négativement aux pourcentages de logements sans confort. Ce qui peut
paraître surprenant. Néanmoins, le signe de la corrélation s’explique par la
proportion plus élevée d’anciens logements non rénovés dans les anciens noyaux
ruraux et dans les anciennes localités ouvrières peu atteintes aujourd’hui par
le phénomène de périurbanisation (Goossens, Thomas et Vanneste, 1997, p.
64).
En conclusion, dimension fractale périurbaine et
caractéristiques socio-économiques sont étroitement liées (tabl. 4).
Tabl. 4
Coefficient de corrélation de Pearson entre D et les indicateurs socio-économiques
| DSurf-Cor | |
| Prix du terrain à bâtir | 0,636a |
| Temps à Bruxelles | -0,766a |
| Revenu médian | 0,606b |
| Revenu : 1er quartile | 0,503n.s. |
| Revenu : 3e quartile | 0,565n.s. |
| Revenu : dif. Interquartile | 0,533n.s. |
| % logements de confort moyen | 0,756a |
| % logements sans petit confort | -0,654a |
| Revenu cadastral – ha | 0,784a |
| Revenu cadastral – np | 0,728a |
a. significatif à 0,010 ; b.significatif à 0,050 ;n.s. non
significatif
Structuration de l’espace bâti
Au cours de ces dernières années, de nombreux travaux ont
traité de la morphologie des espaces bâtis dans le cadre de l’explosion urbaine
et de l’apparition des edge-cities
dans les espaces périurbains (Galster et
al., 2000 ; Malpezzi et Guo, 2001 ; Marcuse, 1998 ou Transportation
Research Board, 2001). Regardons maintenant en quoi la dimension fractale peut
aider à mesurer la structuration de l’occupation de l’espace par le bâti, en
quoi morphologie et densité sont associées.
Plusieurs indicateurs sont construits à partir de données
disponibles au niveau des secteurs statistiques. Chacun sait que la densité de
population mesurée dans les unités administratives larges et de taille et forme
variables ne conduit pas à une mesure satisfaisante. Il n’est plus à démontrer
que la densité brute de population est un indice insuffisant qui doit être
complété par des indices de continuité, concentration, compacité, centralité,
nucléarité, diversité et proximité. Malheureusement, à notre échelle d’analyse,
nos choix sont guidés par la disponibilité des données. Ils se sont portés sur
(1) la densité brute de population, soit le nombre d’habitants divisé par la
superficie totale de la commune (Statistiques démographiques, INS) ; (2) la
densité d’urbanisation estimée par (2a) la taille moyenne des parcelles urbanisées
(Statistiques d’occupation du sol du Cadastre) et par (2b) la densité de population exprimée par rapport
à la superficie urbanisable définie au plan de secteur (plan d’occupation du
sol, à valeur contraignante et valeur réglementaire) (Statistiques
démographiques, INS et Plan de secteur par l’Institut wallon) ; (3) la
concentration de l’urbanisation évaluée par la densité de population du secteur
statistique médian (Statistiques démographiques, INS) ; (4) la compacité de
l’urbanisation évaluée par (4a) la
distance moyenne pondérée au centre, les populations des secteurs statistiques
étant les facteurs de pondération et par (4b) la part de la population du noyau d’habitat
de plus de 2 000 (1 500 ou 1 000) habitants par rapport à la population totale
de la commune (Pop. Noyau 2 000, 1 500 et 1 000), et par (4c) la densité du noyau d 19;habitat, soit le
nombre d’habitants du noyau d’habitat de la commune par rapport à la superficie
totale du noyau d’habitat (Statistiques démographiques, INS) ; (5) le rapport
entre la superficie agricole et la superficie totale de la commune (Cadastre)
et (6) les types d’habitat : le pourcentage de maisons mitoyennes par rapport à
l’ensemble des logements, le pourcentage de pavillons par rapport à l’ensemble
des logements, le pourcentage d’immeubles à appartements par rapport à
l’ensemble des logements (Recensement de la Population et des Logements de
1991, INS).
Les caractéristiques morphologiques sont donc approchées de
manière significative et synthétique par la dimension fractale.
DSurf-Cor est
positivement et significativement associée aux mesures de densité brute de
population et de compacité du noyau d’habitat. Ajoutons que la corrélation est
significative mais non parfaite (r2 = 51 %). Des corrélations
significatives apparaissent aussi avec des variables de structure (tabl. 5). Le
périurbain bruxellois est non uniforme et très contrasté (voir le «
laisser-faire » déjà mentionné). On voit donc aussi que lorsque la superficie
agricole augmente, la dimension fractale diminue : lorsque le bâti augmente,
l’homogénéité s’impose.
Tabl. 5
Coefficient de corrélation de Pearson entre D et les indicateurs morphologiques
| DSurf-Cor | |
| Densité de population | 0,716a |
| Taille des parcelles | -0,350n.s. |
| Dens. Pop. ds surface urbanisable | 0,569b |
| Concentration de l’urbanisation | 0,701a |
| Distance moyenne pondérée | -0,597b |
| Pop. Noyau 2000 | 0,728a |
| Pop. Noyau 1500 | 0,757a |
| Pop. Noyau 1000 | 0,750a |
| Densité du noyau | 0,680a |
| % superficie agricole | -0,773a |
| % maisons mitoyennes | 0,382n.s. |
| % pavillons | -0,060n.s. |
| % immeubles | 0,538b |
a. significatif à 0,010 ; b. significatif à 0,050 ;n.s. non
significatif
Notons ici que la dimension fractale traduit plus qu’une
mesure de densité puisqu’elle approche également la forme des noyaux d’habitat.
À nouveau, l’utilisation de la dimension fractale permet de rendre compte de la
structuration des espaces périurbains : à la fois l’organisation spatiale des
modes d’occupation du sol et le développement et la densification de noyaux
d’habitat.
Structuration fonctionnelle
L’étalement urbain postérieur à la seconde guerre mondiale
n’a pas changé l’organisation christallérienne classique des espaces ruraux. En
effet, dans le domaine du commerce de détail, la domination des centres-villes
est relayée par des centres commerciaux régionaux, des centres commerciaux de
quartier et des commerces de voisinage. Chaque centre assure la desserte d’un
territoire dont la taille dépend du niveau d’équipement du centre considéré
(voir Van Hecke et al., 1998, pour la
Belgique). La périurbanisation des bureaux a ensuite été créatrice de nouvelles
formes de recomposition spatiale, de nouvelles centralités, appelées
edge cities, de densités inférieures
et proposant plus d’emplois que de résidents. La hiérarchie christallérienne
est battue en brèche face à cette perte d’importance du centre-ville par
rapport à de nouveaux centres périphériques. Marcuse (1998) voit dans les
edge cities le développement de
véritables environnements urbains en termes de vie et d’activités journalières.
Champion (2001) s’interroge sur l’existence réelle d’une polycentralité définie
à partir de critères très stricts ; il s’accorde, au départ d’exemples
européens, à parler plutôt de polynucléarité, concept intermédiaire entre
périurbanisation et centralité (voir par exemple Colard
et al., 1997, pour la Belgique ou
Kloosterman et Musterd, 2001, pour une discussion).
L’objet de cette section est de tester l’association entre
dimension fractale des espaces bâtis périurbains et différents indicateurs de
centralité fonctionnelle. À nouveau, la multiplicité des indicateurs est
indispensable, même si, de manière générale, ces dimensions sont imbriquées et
déterminent les mêmes lieux. Trois types de variables sont retenus : (a)
l’équipement des communes, (b) la mixité emplois-résidences et (c)
l’accessibilité.
L’équipement des
communes.— La position dans la hiérarchie de type christallérien se
mesure par le biais de deux indicateurs combinés : la comptabilisation des
équipements dans chacun des centres et les pratiques spatiales ou la propension
des habitants à fréquenter les équipements d’un centre déterminé. À partir
d’une enquête, Van Hecke et al. (1998)
ont établi la hiérarchie des centres urbains belges. Le premier indicateur,
appelé indicateur de hiérarchie, est une variable à 8 niveaux reprenant les
degrés d’équipement et de fréquentation des équipements des différents centres.
Plus le degré d’équipement est élevé, plus le niveau dans la hiérarchie est
élevé (1 = haut niveau, 8 = bas de hiérarchie). Le deuxième indicateur, appelé
« hiérarchie relative », est une variable relative comparant le degré
d’équipement à la taille du centre exprimée par sa population résidente
(variable cardinale). Le tableau 6 indique que, en raison de son approche plus
fine de la structuration de l’espace, la dimension fractale est associée à
l’indicateur de hiérarchie. L’uniformité de structure des espaces bâtis
apparaît plus grande dans les centres de niveaux supérieurs, ce qui est
conforme à l’attente. Les autres coefficients ne sont malheureusement pas
significatifs.
La mixité
emplois-résidences.— L’extension de l’urbanisation affecte aussi les
activités économiques (fig. 9). La définition même des
edge cities se réfère à une forte
proportion d’emplois et, de ce fait, à une augmentation de la mixité
fonctionnelle en une centralité émergente donnée. L’indicateur de mixité
utilisé est le rapport entre le nombre d’emplois et le nombre de résidents en
un lieu donné (Statistiques démographiques, INS et Statistiques d’emploi
salarié, ONSS). Conformément à l’attente, hiérarchie et mixité covarient avec
la dimension fractale.
Fig. 9
Densité d’emplois 1991, méthode
des noyaux
L’accessibilité.— Si
l’accessibilité est une mesure intéressante et redécouverte grâce aux SIG et à
l’intérêt général pour la mobilité durable, calculer ces indices pour les 25
communes étudiées, entre elles ou vis-à-vis des villes environnantes, a peu ou
pas de sens. Dans notre cas, l’accessibilité se mesure par rapport à Bruxelles.
Parmi les indicateurs existants et dans un souci de développement territorial
durable, nous avons choisi le nombre de trains quittant une commune à
destination de Bruxelles à l’heure de pointe du matin (de 7 heures à 9 heures)
(SNCB). Les deux estimations de la dimension fractale sont significativement
corrélées avec la variable de fréquence des trains.
Tabl. 6
Coefficient de corrélation de Pearson entre D et les indicateurs de structuration fonctionnelle
| DSurf-Cor | |
| Hiérarchie | -0,654b |
| Hiérarchie relative | 0,527n.s. |
| Mixité emplois/résidence | 0,686a |
| Nombre de trains vers Bruxelles | 0,634b |
a.significatif à 0,010 ; b.significatif à 0,050 ; n.s. non
significatif
Le résultat est conforme à l’attente et corrobore les
précédents puisque les communes abritant une gare sont, soit de petites villes,
soit des communes qui ont connu les premiers mouvements de périurbanisation et
qui sont en cours de densification.
Structuration par la dynamique de l’urbanisation
La répartition spatiale des résultats de la classification
hiérarchique (tabl. 3 et fig. 10) s’explique intuitivement par les vagues de
périurbanisation dans le Brabant wallon. Testons maintenant le lien entre
dimension fractale et indicateurs chronologiques de développement urbain
mesurés par (1) le taux d’évolution du nombre d’habitants entre 1991 et 2000
(Statistiques démographiques, INS), (2) le taux d’évolution du nombre d’emplois
entre 1991 et 2000 (Statistiques d’emplois salariés, ONSS) et (3) la proportion
de logements construits avant 1945 et après 1971 (Recensement de la Population
et des Logements de 1991, INS).
Les mesures de dimension fractale covarient significativement
avec les indicateurs de dynamique d’urbanisation. Les communes à urbanisation
dense et structurée sont également celles qui ont connu des mouvements
migratoires forts entre 1971 et 1991, et qui, en raison de la disponibilité et
du prix des terrains à bâtir, connaissent depuis une dizaine d’années une
stagnation, voire même une diminution, de leur population résidente. Par
contre, les communes à urbanisation plus lâche connaissent une vague plus
récente de périurbanisation se traduisant par une proportion encore forte
d’habitations rurales plus anciennes (à corréler avec les logements sans
confort).
Fig. 10
Résultat du groupement des
communes
7. Conclusion
Cet article vise à montrer l’utilité de la géométrie fractale
pour caractériser la structure du tissu bâti dans une région périurbaine.
Plusieurs questions ont été posées dans l’introduction. (1) Les mesures
fractales discriminent-elles les tissus périurbains ? La réponse est oui. Les
valeurs fractales de l’espace périurbain du Sud de Bruxelles sont structurées :
une classification a conduit à des groupements correspondant à des modèles
particuliers d’organisation de l’espace. Cette analyse sur des dimensions
fractales confirme les résultats d’analyses géographiques plus traditionnelles.
(2) Quelle est l’information transcrite par la dimension fractale et comment se
positionne la dimension fractale par rapport à la densité ? Cette question,
déjà discutée par Batty et Kim (1992), a été approfondie et clarifiée (section
3). (3) Existe-t-il un lien entre les mesures obtenues et les paramètres
communément utilisés pour caractériser la ville et ses extensions périurbaines
? La réponse est oui. Nous avons démontré qu’il existe un lien statistique
entre la dimension fractale et les paramètres communément utilisés pour
caractériser la ville (section 6). La dimension fractale est à la fois une
mesure de densité et d’homogénéité de l’espace bâti. (4) Quelle est la
spécificité des paramètres fractals en périphérie urbaine ? Nous aident-ils à
comprendre l’évolution du bâti périurbain, à visualiser les nouvelles
centralités périurbaines ? Le signe et l’intensité de chaque association
varient selon le type de méthode d’estimation de la dimension fractale. Les
trois estimateurs utilisés initialement (section 5) concernent des réalités
différentes. Les estimations de la dimension fractale après analyse de
corrélation permettent de mettre en évidence, d’une part, l’évolution de
l’urbanisation en Brabant wallon et, d’autre part, l’émergence de noyaux
périphériques (section 6). L’objet de cet article n’est pas de discuter la
centralité des noyaux périphériques ; les résultats obtenus ici permettent
simplement de cerner des évolutions marginales au sein des espaces périurbains
: densification, compacité et structuration des noyaux d’habitat, mixité
fonctionnelle, ségrégation socio-économique de l’espace. Par les indicateurs
fractals, nous ajoutons une dimension supplémentaire à l’analyse urbaine et
périurbaine : la morphologie des espaces bâtis. Jusqu’à présent cette
morphologie était simplement approchée par des indicateurs socio-économiques
dont les statistiques sont aisément disponibles.
Coefficient de corrélation de Pearson entre D et les indicateurs de dynamique d’urbanisation
| DSurf-Cor | |
| Évolution de la population 1991-2000 | -0,526b |
| Évolution du nombre d’emplois 1991-2000 | 0,347n.s. |
| % de logements d’avant 1945 | -0,819a |
| % de logements d’après 1975 | 0,563b |
a. significatif à 0,010 ; b. significatif à 0,050 ; n.s. non
significatif
Un certain nombre de critiques et de questions surgissent au
fil des pages. Tout d’abord, nous avons fait des choix au niveau des données et
des fenêtres (taille, forme et centre) ; ces choix étaient contraints par la
disponibilité des données et les limites techniques. On peut donc s’interroger
sur la qualité des résultats. La forme et la taille de la fenêtre ont été
introduites a priori. La forme
régulière de la fenêtre ne correspond pas à la réalité de l’extension des
espaces bâtis et ne recoupe qu’imparfaitement les limites communales pour
lesquelles les données statistiques existent. La taille de la fenêtre pourrait
varier en fonction de l’extension des espaces bâtis dans une entité déterminée
; il serait intéressant d’évaluer les impacts de ces modifications sur le degré
d’explication. Enfin, la question se pose de la validité de l’inférence
statistique sur un petit nombre d’observations et sur les mesures fractales.
Notre approche se voulait exploratoire. Nous sommes conscients de ses limites
qui seront levées dans les travaux à venir. Ensuite, si en théorie
DDil est plus élevée
que DCor, ce n’est
pas toujours le cas des tissus périurbains. Ce phénomène peut s’expliquer par
les artefacts de la méthode, qui tend à sous-estimer la valeur de la dimension,
notamment si les bordures dominent largement la structure (Frankhauser, 2003).
Ayant identifié ces points faibles de l’analyse de dilatation, nous envisageons
de tester des modifications de cet algorithme et de tester d’autres méthodes
proches. Enfin, notre étude se limite à une échelle mésospatiale. L’analyse
urbanistique est laissée de côté au profit d’une approche
structurelle.
Rappelons qu’à ce stade, cet article vise uniquement à explorer
l’utilité des fractales dans l’analyse de la morphologie urbaine. Des analyses
critiques des méthodes devront être réalisées à la suite, par exemple, des
travaux de Gonzato, Mulargia et Gicciotti (2000). De même, plusieurs analyses
de sensibilité vont être poursuivies sur l’ensemble de la périphérie
bruxelloise et comparées à d’autres villes européennes. Rappelons enfin que
nous ne voulons aucunement accorder à l’approche fractale un pouvoir explicatif
mais qu’à terme nous souhaiterions montrer par quelques approches empiriques
l’utilité de l’analyse fractale pour reproduire la ville (voir essais en cours
Cavailhès et al., 2002 et 2004)
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