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Bertrand Russell, un homme, une vie, une œuvre hors du commun. Il vécut presque un siècle (1872-1970), ne cessa jamais d'écrire et de publier, changea d'avis un nombre incalculable de fois, toucha à tous les sujets, paya cher de sa personne pour la défense de quelques idées (de son emprisonnement pour pacifisme pendant la première guerre mondiale à la création du fameux Tribunal Russell à l'époque de la guerre du Vietnam). Et ce fut un grand logicien, et l'auteur d'un grand livre, dont ce numéro de la Revue Internationale de Philosophie veut célébrer le centième anniversaire de la parution, The Principles ofMathematics[1] [1] Londres : Cambridge Umversity Press, 1903 ; 2'lc...
suite. Le nom du logicien est inséparable de la question des paradoxes.

2 Lorsqu'on traite de la logique de Russell dans la perspective de cette question, on se limite ordinairement à la période qui va de 1901, date de la découverte par Russell du fameux paradoxe qui porte son nom et fut publié pour la première fois dans les Principles, à 1910-13, date de la première édition des trois forts volumes des Principia Mathematica [2] [2] (avec Alfred North WHITEHEAD en premier coauteur de l'ouvrage)...
suite, où ledit paradoxe semble trouver enfin sa solution dans l'énorme machinerie de la théorie des types ramifiée. On pousse éventuellement jusqu'à la nouvelle théorie esquissée par Russell en introduction de la seconde édition, parue en 1925-27. Les deux spécialistes de Russell qui ont contribué à ce numéro, dans des livres relativement récents [3] [3] Gregory LANDINI. Russell's Hidden Substitutional Theory,...
suite n'ont pas échappé à la règle.

3 Pourtant, avant même la découverte de son fameux paradoxe en 1901, la question des paradoxes - ou plutôt, dans une terminologie kantienne ou hégélienne : la question de l'antinomie, de la contradiction en général-avait occupé une place centrale dans la pensée de Russell. En 1990 est paru un beau livre [4] [4] Peter HYLTON. Russell, Idéalisai and the Emergence of Analytic...
suite, dans lequel, entre autres choses, l'auteur retraçait, de ce point de vue (celui des antinomies, ou de la contradiction en général), l'évolution de la pensée de Russell de ses tout premiers travaux, dans les années 1890, à la découverte du fameux paradoxe en 1901. P. Hylton n'a malheureusement pu participer à ce numéro pour évoquer cette période trop peu connue de la pensée de Russell. Je le ferai à sa place au cours de cette présentation, en faisant librement écho à son livre. Avant de donner à la contradiction en général la signification que les logiciens lui donnent aujourd'hui, Russell l'avait interpétée de façon bien différente.

4 De sa période idéaliste, de début 1894 à fin 1898, Russell se souvient en ces termes dans My Philosophical Development [5] [5] Londres : George Allen & Unwin. 1959 ; trad. fr. ...
suite (MPD) :

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6 Russell se réfère à Hegel, mais il faut reconnaître chez lui, à cette époque, en amont de Hegel, l'influence de Kant, et en aval, celle de Bradley et de McTaggart. Le livre sur la géométrie. An Essay on the Foundations oj Geometry[6] [6] Cambridge : At the University Press, 1897 ; réimp...
suite, de 1897, témoigne parfaitement de la pensée du jeune Russell et de ces influences. Russell y soutient essentiellement deux thèses. La première touche au statut épistémologique de la géométrie, et tente d'y faire la part de l'apriori et celle de l'expérience ; l'influence de Kant est visible, même si Russell n'aboutit pas à la même conclusion. La seconde touche au caractère irrémédiablement contradictoire de la notion d'espace et donc de la géométrie ; et là se fait sentir l'influence de Hegel. Le livre se présente d'ailleurs comme l'examen d'une étape dans la dialectique des sciences. C'est cette seconde thèse qui doit ici nous retenir.

7 Que la géométrie soit contradictoire, ce n'est pas, aux yeux de Russell, une faiblesse à laquelle une meilleure présentation de la géométrie pourrait remédier, la contradiction est inhérente à la géométrie en tant que telle et à son objet. C'est dans l'idée même de l'espace que gît la contradiction. La position de Russell peut nous étonner, mais elle s'inscrit, en fait, dans une longue tradition, remontant à Zenon (et ses arguments contre le mouvement), et à laquelle appartiennent, à l'époque moderne, Kant (et sa seconde antinomie de la raison pure, sur le simple et le composé) et Bradley (et ses arguments sur le caractère contradictoire de l'espace).

8 Quelle contradiction Russell croit-il trouver dans la géométrie ? C'est une contradiction liée à la relativité de l'espace, ou plus précisément à la méconnaissance ou à la dénégation de cette relativité par la géométrie. En effet, au mépris de cette relativité, la géométrie, dans sa prétention à l'indépendance en tant que science, octroie l'indépendance à son objet (l'espace), l'hypostasie comme une entité indépendante, auto-subsistante, le traite comme espace absolu, et analyse cet espace absolu comme étant composé, ultimement, de points. Mais cette dernière notion est contradictoire : les points doivent être inétendus, sinon ils ne seraient pas les composants ultimes de l'espace, mais ils doivent aussi être étendus, sinon ils ne pourraient pas composer une extension. C'est ce que Russell appelle « l'antinomie du point ».

9 Encore une fois, cette contradiction ne saurait être résolue par une simple réforme de la géométrie, une rectification de ses principes, et d'abord un examen plus attentif de son objet (l'espace). Elle ne peut être résolue que par la remise en cause du statut ontologique de cet objet, la reconnaissance du caractère illusoire de son indépendance et de l'indépendance de la géométrie elle-même. L'espace n'est qu'une abstraction, rien de plus qu'un moment ou un aspect d'une totalité plus concrète. La contradiction ne peut être résolue que par le dépassement de la géométrie dans une science supérieure, ayant cette totalité pour objet, et du point de vue de laquelle la géométrie apparaîtra comme ayant sa cohérence, son intelligibilité et sa vérité en dehors de soi-même.

10 Cette science nouvelle ne sera plus une science de l'espace vide (l'espace géométrique composé de points géométriques, dont la notion même est porteuse de contradictions), ce sera une science de l'ordre spatial entre des points matériels.

11 Mais cette science nouvelle connaîtra à son tour des difficultés analogues, et une nouvelle transition dialectique sera encore nécessaire vers une nouvelle science encore, encore plus concrète. Avec, à l'horizon de ce processus dialectique, l'idée de la science (absolument vraie) de la totalité (absolument concrète), autrement dit l'idée de l'Idée absolue.

12 Russell raconte sa conversion, avec G. E. Moore, fin 1898, aune « nouvelle philosophie » :

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14 Deux dangers menacent l'Idéalisme, et Russell, en même temps que Moore, en vint à considérer que l'Idéalisme y avait succombé, et qu'il fallait l'abandonner. Le premier danger est celui du psychologisme. Déjà Hegel reprochait à Kant, qui s'en défendait, d'y être tombé. Russell et Moore font le même reproche à l'Idéalisme en général (Kant, mais aussi Hegel et leurs successeurs). L'Idéalisme croit pouvoir y échapper en traitant non pas de l'expérience, de la pensée, de l'esprit des hommes dans sa réalité naturelle et particulière, mais de l'Expérience, de la Pensée, de l'Esprit en général et comme tel. Mais Moore et Russell, désormais, ne veulent plus rien entendre de cette métaphysique : si ces notions ont un sens, ce ne peut être qu'un sens psychologique. Et la psychologie n'est qu'une science particulière, qui n'a aucun privilège à faire valoir auprès d'une science générale comme la philosophie. Comme toute science, la philosophie doit chercher à connaître ce qui est, mais ce qui est est ce qu'il est indépendamment de la connaissance qu'on en a, et le connaître, c'est le connaître comme il est dans cette indépendance. La philosophie n'a pas à poser la question des conditions de possibilité de la connaissance, car ces conditions ne sont pas des conditions de possibilité de l'objet de connaissance, si bien que la connaissance des conditions en question ne conditionne nullement la connaissance de cet objet. À l'Idéalisme, la nouvelle philosophie s'oppose comme un réalisme.

15 Le second danger qui menace l'Idéalisme est plus complexe. Il est lié à la conception qu'il se fait de ce qu'il y a à connaître comme une totalité complexe possédant une unité organique, dans laquelle, pour le dire brutalement, « tout est dans tout, et réciproquement », et dont la connaissance (l'Idée absolue) conditionne la connaissance des parties les plus infimes. Si bien que, faute d'être émis du point de vue de l'Idée absolue, tous nos jugements ordinaires (non philosophiques) sans exception sont fatalement entachés d'erreur, d'illusion. Comment, dans ces conditions, l'Idéalisme pourrait-il faire droit à - et rendre compte de - la vérité possible de ces jugements ordinaires, par opposition à leur fausseté possible, au sens ordinaire de la distinction du vrai et du faux ?

16 Russell et Moore pensent qu'il ne le peut pas. Certes, l'Idéalisme distingue bien des degrés dans la vérité (ou la fausseté) selon la distance qui sépare le point de vue adopté dans une science particulière du point de vue de l'Idée absolue, mais ce n'est pas la différence cherchée entre le vrai et le faux au sens ordinaire.

17 Dans la nouvelle philosophie, aucune malédiction ne pèse sur nos jugements ordinaires, sur les propositions qui en sont le contenu objectif. Le monde est constitué d'objets (au sens le plus large) séparés, connaissables séparément. L'Idéalisme était un monisme (et un holisme) ; la nouvelle philosophie s'y oppose comme un pluralisme (et un atomisme). En particulier, les relations d'un objet avec les autres ne sont plus des propriétés essentielles de cet objet (comme elles l'étaient chez Leibniz), elles ne sont plus « internes » à cet objet, elles sont « externes » : c'est la fameuse « doctrine des relations externes ». Les propositions qui s'expriment dans nos jugements ordinaires sont vraies ou fausses, il n'y a pas de degrés de la vérité, pas d'intermédiaire entre le vrai et le faux : tertium non datur. Et, de même, pas de hiérarchie dans l'être, pas de dignité ontologique intermédiaire entre l'être et le non-être, etc.

18 En 1899, Russell prononce une série de conférences sur Leibniz, qui sera publiée en 1990 sous le titre A Critical Exposition ofthe Philosophy of Leibniz[7] [7] Londres : George Allen & Unvvm. 1900 ; 2dc...
suite, et qui témoigne de la nouvelle orientation de sa pensée : réalisme et pluralisme. Il critique la philosophie de Leibniz, mais son ambition est plus haute : il pense avoir découvert l'erreur commune à

19 Leibniz et à nombre de philosophes, sinon à tous, qui l'ont précédé ou suivi, comme Descartes, Spinoza, Kant, Hegel. Tous ces philosophes ont méconnu, d'une façon ou d'une autre, selon Russell, la réalité des relations et l'irréductibilité des propositions relationnelles ; ils ont accordé à la structure sujet-prédicat un privilège qu'elle ne méritait pas.

20 Sans doute Russell se livre-t-il ici à un coup de force interprétatif, mais nul doute qu'il n'identifie ainsi l'erreur de la philosophie à laquelle il adhérait naguère et qu'il rejette désormais.

21 Il n'y a pas à entrer ici dans les arguments que Russell avance contre la version leibnizienne de l'erreur qui, selon lui, a gouverné la logique traditionnelle et l'histoire de la philosophie, disons simplement qu'il porte le débat sur un terrain où l'erreur en question, selon lui, fait sentir ses effets dans la philosophie de Leibniz, à savoir sur le terrain de l'espace, le terrain même sur lequel il exerçait sa pensée dans son premier livre, et qu'il retrouve maintenant pour y soutenir des thèses diamétralement opposées.

22 Pour Russell, l'adhésion de Leibniz à la logique traditionnelle du sujet et du prédicat, sa méconnaissance de la réalité des relations, l'empêchent de comprendre la véritable objectivité de l'espace. Leibniz est condamné à une théorie relative, ou relationnelle, de l'espace, que le

23 Russell de VEssay sur la géométrie n'aurait pas désavoué, mais à laquelle il oppose maintenant la théorie de l'espace absolu de Newton. Mais alors, qu'en est-il des contradictions que VEssay prétendait trouver dans l'espace des géomètres et qui justifiait aux yeux de Russell la transition dialectique vers une science supérieure du point de vue de laquelle la réalité, l'absoluïté de cet espace apparaîtraient comme une illusion ? Maintenant, ces contradictions sont toujours là, touchant à l'infinitésimal, à l'infini et au continu, mais - et c'est là une différence cruciale - a priori elles ne sont plus dans l'objet même de la théorie, elles ne sont plus la preuve apagogique de son irréalité, elles sont seulement dans la théorie, elles montrent que quelque chose n'a pas été compris, et que la bonne géométrie reste à trouver, et d'abord la bonne théorie de l'infinitésimal, de l'infini et du continu.

24 On peut s'étonner que, tout à la fin des années quatre-vingt dix, Russell en fût encore à appeler de ses vœux une bonne théorie de l'infinitésimal, de l'infini et du continu, qui rendît possible une bonne théorie de l'espace, du temps et du mouvement. Les mathématiciens du XIXe siècle (Cauchy, Bolzano, Weierstrass, Dedekind et Cantor) n'avaient-ils pas d'avance répondu à son attente ? Russell connaissait au moins partiellement les travaux de Dedekind et de Cantor. Peut-être ne les avait-il pas bien compris ; ou peut-être trouvait-il qu'il manquait encore à ces travaux admirables la précision et la rigueur qu'il trouverait bientôt chez

25 Peano, et un peu plus tard chez Frege (dont les premiers travaux remontaient à la fin des années soixante-dix !). Voici en tout cas le récit de sa rencontre de Peano :

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27 C'est sous l'impulsion de cette rencontre avec Peano et de cette découverte de la logique moderne que Russell remit son ouvrage sur le métier et se lança dans la rédaction des Principles. Il en termina la première version le 31 décembre 1900. Dans ce travail, Russell défendait une philosophie des mathématiques que Frege avait déjà soutenue dès 1879, et qui serait ultérieurement connue sous le nom de « logicisme ».

28 La thèse fondamentale du logicisme est que les mathématiques (du moins l'arithmétique, au sens large qui inclut l'analyse, mais non la géométrie, dont le cas appelle plus de précautions que Russell n'en prenait) sont de la logique et rien de plus : leurs notions sont définissables en termes purement logiques, et leurs théorèmes démontrables à partir de principes purement logiques. À la lumière de la nouvelle logique et de la reconstruction logique des mathématiques (du moins de l'arithmétique), Russell reconnaissait enfin le caractère satisfaisant (et en particulier la cohérence) des théories de l'infinitésimal, de l'infini et du continu proposées par les mathématiciens du XIXe siècle. Les difficultés fondamentales de la géométrie lui paraissaient maintenant surmontées. Le cas des infinitésimaux mérite une mention spéciale. Car, aux yeux de Russell, la contradiction qui les frappaient se trouvait bien, comme le voulait la philosophie hégélienne ou néo-hegélienne, dans les choses mêmes et constituait bien la preuve apagogique de leur irréalité. Mais l'assignation des infinitésimaux comme simples façons de parler n'avait rien d'une transition dialectique vers une science supérieure dans la constitution de laquelle le Calcul tout entier n'eût été qu'un moment d'illusion. Au contraire, le Calcul trouvait maintenant sa substance et sa vérité en lui-même, pour ainsi dire, dans la science inférieure des nombres finis et la notion finie de limite.

29 Nous en arrivons maintenant au point d'où l'on fait partir habituellement l'histoire de la logique rassellienne.

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31 En 1901, donc, Russell découvre le fameux paradoxe qui porte son nom. C'est l'examen de la démonstration d'un théorème de Cantor qui l'amène à cette horrible découverte. Il est en effet conduit, au cours de cet examen, à considérer une classe très particulière : la classe des classes qui ne sont pas membres d'elles-mêmes ; et à constater qu'il est aussi facile de démontrer que la classe en question est membre d'elle-même que de démontrer le contraire.

32 La suite de l'histoire est comme celle d'une rechute dont on se remet lentement : la parution des Principles, en 1903, qui posent pour la première fois le problème, tentent de le résoudre, pour finalement le laisser ouvert ; et la longue marche vers les Principia Mathematica, dont le premier volume de la première édition paraîtra en 1910, et où sera développée la fameuse théorie des types ramifiée, seule capable, aux yeux de Russell, de résoudre authentiquement le paradoxe en question, mais aussi tous ceux qu'il croira devoir résoudre du même coup.

33 Russell rencontrera mille difficultés, y compris après 1910. Il connaîtra même, en 1913, sous la critique impitoyable du jeune Wittgenstein, le plus grand abattement. Mais jamais, au grand jamais, il ne changera plus d'attitude à l'égard de la contradiction : loin d'être une fatalité frappant les sciences particulières tant qu'elles n'ont pas rejoint le giron de l'Idée absolue, la contradiction est plus prosaïquement le symptôme que quelque chose n'a pas été compris, mais quelque chose qu'il doit être possible de comprendre parfaitement, ici et maintenant, sans attendre la fin de l'Histoire.

34 On croit généralement que Russell voulait résoudre non seulement les paradoxes logiques, comme le sien propre, relatif aux classes, mais encore les paradoxes sémantiques, comme l'antique paradoxe du Menteur, et que c'est pour cette raison, et pour cette raison seulement, qu'il a dû recourir à une théorie des types ramifiée. S'il n'avait pas mis indûment dans le même sac paradoxes logiques et paradoxes sémantiques, une version simplifiée de la théorie, une théorie des types simple aurait suffi. Mais la vulgate a tort, et Russell sur ce point est innocent. Il séparait parfaitement paradoxes logiques et paradoxes sémantiques, c'est ce que montre G. Landini dans l'article qui ouvre le numéro. Dans son ouvrage de 1996, Rouilhan allait jusqu'à dire que Russell ne s'était jamais véritablement intéressé aux paradoxes purement sémantiques.

35 G. Landini tire les conséquences de la séparation en question pour la doctrine de l'atomisme logique.

36 S'agissant des paradoxes auxquels il s'intéressait essentiellement, le diagnostic de Russell fut finalement qu'ils provenaient tous d'une vicions circle fallacy, d'une faute à l'égard d'un principe logique méconnu, le principe du cercle vicieux. Les Principia étaient une tentative de reconstruction de la logique (et des mathématiques) conformément à ce principe. L'adoption du principe du cercle vicieux, sous une forme ou sous une autre, caractérise ce qu'il est convenu d'appeler la logique « prédicative ». Dans sa contribution à ce numéro, en dehors de tout souci historique ou exégétique, G. Hellman remet en cause le prédicativisme comme position philosophique. S. Feferman, bien connu pour ses travaux sur la prédicativité, lui oppose plusieurs objections. G. Hellman apporte pour finir sa réponse à ces objections.

37 La théorie des types ramifiée était une logique prédicative ; c'était aussi, comme son nom l'indique, une logique typée, et en ce sens non universelle. C'est pour satisfaire à l'exigence de prédicativité, endossée sous la pression des paradoxes, que Russell s'était cru obligé de sacrifier l'idéal d'universalité auquel il avait souscrit jusque-là. Par ailleurs, c'était une théorie des individus, propositions et fonctions propositionnelles, en un mot, c'était une logique de la signification.

38 Dans l'article de clôture, Rouilhan repart à zéro à la recherche d'une logique de la signification, prédicative ou non, mais universelle. Il fait un sort à un certain paradoxe trop peu connu, dû à Russell lui aussi, qu'il identifie comme « le problème fondamental de la logique de la signification ».

39 Je remercie S. Feferman, G. Hellman et G. Landini d'avoir accepté mon invitation à participer à ce numéro - ce fut un honneur et un bonheur pour moi d'œuvrer en si bonne compagnie. Merci aussi à P. Gochet, qui, au nom de la revue, m'en avait proposé la direction et en a patiemment et amicalement suivi l'élaboration. Merci enfin à la revue elle-même, en la personne de M. Meyer, d'avoir pris le risque de cet hommage à celui qui, avec Frege, fut le véritable inventeur de la logique moderne.