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1La théorie des jeux a considérablement enrichi l’analyse économique. [1] Historiquement, les travaux de Cournot [1838], Von Neumann [1928], Von Neumann et Morgenstern [1944] et Nash [1950a, 1950b, 1953] sont à l’origine des concepts fondamentaux de la discipline ; mais encore aujourd’hui, pour présenter la théorie des jeux, les définitions d’Harsanyi [1966] font autorité. Un jeu est coopératif si les joueurs peuvent passer des accords contraignants (binding agreements), un jeu est non-coopératif si les engagements n’ont pas de force contraignante. Cette distinction peut laisser croire que chaque domaine traite respectivement et séparément de la coopération et de la non-coopération. Cette impression est fausse. La plupart des grands noms de la discipline, Harsanyi en tête, souligne la cohérence et l’unité d’ensemble de la théorie : les approches coopérative et non-coopérative sont complémentaires. Sur ce point, le programme de Nash est la référence commune, il permet de faire le lien entre les solutions coopératives et non-coopératives. En effet, Nash a ouvert la voie dans les années cinquante. Dans un premier temps, Nash [1950a] résout de manière très élégante le délicat problème de la négociation à deux joueurs. Il offre ainsi à la théorie économique un résultat vainement convoité par Edgeworth [1881], Zeuthen [1930], Hicks [1932] et Von Neumann et Morgenstern [1944]. Quelques mois plus tard, Nash [1950b] soutient sa thèse de doctorat et définit le concept principal de la théorie des jeux non-coopératifs, l’équilibre de Nash. Il réussit ensuite un tour de force surprenant qui influence encore, cinq décennies plus tard, la recherche en théorie des jeux ([Nash, 1951,1953]). En simplifiant, Nash invente un modèle de négociation dans lequel les joueurs utilisent des menaces qui les conduisent à un équilibre de Nash coïncidant avec la solution de Nash au marchandage. Bref, un concept de solution de la théorie des jeux coopératifs peut se ramener à un concept de solution de la théorie des jeux non-coopératifs. En des termes encore plus synthétiques, l’approche non coopérative de la coopération caractérise le programme de Nash. Cette connexion entre les deux composantes de la discipline assure l’unité et la pertinence de la théorie. Myerson [1991, p. 370] résume bien l’enjeu sous-jacent : « Le concept de coopération est important en théorie des jeux mais il est un peu subtil. Le terme coopérer signifie agir ensemble avec un objectif commun. (...) Mais il est difficile de travailler avec une telle définition conceptuelle, parce que nous faisons l’hypothèse en théorie des jeux que chaque joueur prend des décisions rationnelles et sensées, et que son comportement est déterminé en dernier ressort par la maximisation de son paiement exprimé en termes d’utilité espérée. Nous avons donc besoin d’un modèle de comportement coopératif qui n’abandonne pas la théorie de la décision individuelle rationnelle, fondement de la théorie des jeux. ». Aumann, Binmore, Harsanyi, Nash, Rubinstein ou Selten ne pensent pas autrement.

2Attardons-nous sur le programme de Nash, la pièce centrale de l’édifice. La théorie des jeux coopératifs et la théorie des jeux non-coopératifs sont deux approches complémentaires, mais cette complémentarité n’est pas réciproque. C’est toujours la seconde qui soutient la première, jamais l’inverse. Quel est le principal défaut de la théorie des jeux coopératifs ? Retournons aux sources. Dans son premier article, Nash [1950a] éclaire la question de la négociation grâce à la méthode axiomatique. Il définit des axiomes, des propriétés raisonnables que la solution doit satisfaire, et montre que le respect de ces propriétés conduit à une solution unique. Le problème est alors le suivant : comment relier ces axiomes, dont certains semblent venir de nulle part, à « la décision individuelle rationnelle, fondement de la théorie des jeux » ? Autrement dit, la rationalité à l’œuvre dans la théorie des jeux coopératifs n’est pas adaptée au format de la discipline. Encore en d’autres termes, évaluée à l’aune de la rationalité, la théorie des jeux coopératifs, seule, manque de fondements autonomes. Un marchandage oppose deux stratèges qui négocient les termes d’un accord. Résoudre ce problème en faisant appel à des axiomes manque d’à propos. On imagine que ce sont les concessions rationnelles des joueurs ou les stratégies utilisées qui mènent finalement à l’accord. Ni les unes ni les autres n’apparaissent explicitement à travers la méthode axiomatique. Dans l’article publié en 1953, Nash complète donc la première version de 1950 en s’appuyant sur l’équilibre de Nash. Jean-Louis Rullière [2000, p. 1177] décrit parfaitement le progrès qui en résulte : « En retenant la méthode axiomatique pour formuler son concept de solution, Nash a immédiatement ressenti la nécessité de justifier le choix de ses axiomes à partir d’un scénario décrivant de manière non-coopérative le déroulement effectif de la négociation. Dans cette perspective, l’idéal serait bien évidemment que l’on puisse caractériser un équilibre de Nash unique soutenant ainsi la solution de Nash. (...) Le jeu d’engagement fait de propositions et de contre-propositions [donne] ainsi un fondement stratégique à l’accord obtenu et, du même coup, un fondement empirique à la solution de Nash. ». « Two-Person Cooperative Game » [1953] amende, améliore, soutient « The Bargaining Problem » [1950a]. C’est la seconde étape qui est décisive et qui donne la clef du programme de Nash. Pas de rupture, mais une continuité entre les deux articles. La démarche de Nash façonne l’image contemporaine de la discipline : la théorie des jeux non-coopératifs « complète » la théorie des jeux coopératifs.

3Nous venons de décrire la forme canonique de la théorie des jeux ; le programme de Nash en est la pièce maîtresse, il emporte, chez les économistes, la grande majorité des suffrages. Pourtant, une autre conception existe. Elle conteste la belle cohérence du programme de Nash et n’attire pas les foules. Ironie suprême : Nash est à l’origine de ce changement de programme puisque les fondements de cette entreprise de contestation se trouvent dans « The Bargaining Problem ». Cette fois, il n’y aurait pas continuité mais rupture entre les démonstrations de 1950 et 1953. Du premier au second article, on déplore une disparition, celle d’un adjectif qui depuis les travaux de Rawls, a acquis une certaine notoriété. « Fair » apparaît deux fois dans le texte de 1950 (Nash [1950a, p. 158]). Autrement dit, la solution de Nash, dans l’approche axiomatique et strictement coopérative, est une solution équitable, alors que cette aspiration à l’équité disparaît en 1953 quand le dispositif non-coopératif vient soutenir le marchandage coopératif. Que faire de la démarche axiomatique ? Certains axiomes deviennent des principes d’équité. Luce et Raiffa [1957] sont les premiers à interpréter la solution de Nash dans cette direction. Kalaï et Smorodinsky [1975] proposent une solution plus équitable que celle de Nash en remplaçant un axiome — jugé injuste — par un autre ; David Gauthier [1986] s’en inspire pour construire sa théorie morale. Sen [2001] souligne que dans l’article de 1950, « la question essentielle n’est pas de savoir si tel ou tel résultat commun est pour tous préférable à une absence de coopération (...) mais s’il engendre une équitable répartition des bénéfices. ». Pour Hervé Moulin et William Thomson [1997], principaux représentants de l’analyse axiomatique des ressources, « The Bargaining Problem » est un texte fondateur. Pour résumer, dès que l’on prend au sérieux la référence de Nash à la notion d’équité, la préoccupation centrale n’est plus de compléter la démarche axiomatique par un dispositif non-coopératif ; le programme de Nash n’est plus d’actualité. Jusqu’à quel point les aspirations des joueurs à une issue équitable brouillent-elles l’image canonique de la théorie des jeux ? Il semble que la remise en cause soit profonde. L’article de 1950 reste un point de départ incomplet, mais le salut ne vient pas d’une (ré)conciliation entre coopération et non-coopération. Au contraire, l’objectif consiste à approfondir le lien entre justice et coopération pour donner à la théorie des jeux coopératifs un statut autonome qui la distingue de la théorie des jeux non-coopératifs. Hervé Moulin relève le défiet s’oppose directement à l’esprit du programme de Nash : il affirme que la tentative qui consiste à « fournir des fondations solides en termes d’équilibre à la valeur/solution d’un jeu coopératif [est une] tentative ratée » (Moulin [1995a, p. 628]). Moulin se situe donc à distance des travaux entrepris sur l’implémentation (concrétisation) des concepts de solutions coopératifs par des équilibres non coopératifs [2]. Avocat de l’indépendance de la théorie des jeux coopératifs, Moulin propose une définition des « accords contraignants » (binding agreements) qui se démarque sensiblement de celle d’Harsanyi.

4Dans cet article, nous voulons montrer comment se construisent les deux conceptions concurrentes à partir de « The Bargaining Problem ». Les défenseurs du programme de Nash insistent sur le comportement stratégique des joueurs et passent sous silence ou dénigrent toute interprétation qui ferait la part belle aux aspirations des joueurs à l’équité de l’accord final. Leur souci principal est de mettre en évidence la nécessité d’un soutien non-coopératif et de légitimer par la même occasion le programme de Nash. Au contraire, ceux qui interprètent la démonstration de Nash comme une conciliation de la justice et de l’efficience minimisent la dimension stratégique de la négociation et valorisent la démarche axiomatique. Nash devient le fondateur, sans le vouloir, d’un programme de recherche opposé à celui qui porte son nom. D’un côté, la théorie des jeux apparaît comme une discipline homogène fondée sur la décision individuelle rationnelle ; de l’autre elle présente un double visage puisque la théorie des jeux coopératifs affirme son indépendance.

1. De la solution de Nash à une théorie « homogène » des jeux

5La solution de Nash au problème de la négociation revient à maximiser le produit des utilités des deux joueurs. Quatre axiomes permettent de déterminer une solution unique : l’efficience (axiome 1), la symétrie (axiome 2), l’invariance linéaire (axiome 3), et l’indépendance de la solution vis-à-vis des issues non pertinentes (axiome 4). La démonstration géométrique repose en grande partie sur les propriétés de l’hyperbole équilatère. [3]

6Harsanyi a largement contribué à la vulgarisation de la solution de Nash. Il montre, dans son premier article sur la théorie des jeux (Harsanyi [1956]), qu’il est possible de retrouver le résultat de 1950 en s’appuyant sur Zeuthen [1930]. Après de nombreuses contributions à la théorie du marchandage dans les années soixante, il caractérise avec Reinhard Selten la solution de Nash en information incomplète (Harsanyi ; Selten [1972]). Pour la plupart des économistes, Harsanyi a ainsi mis en valeur le travail de Nash. Son interprétation de la démonstration de 1950 est une référence unanimement reconnue. La majorité des théoriciens des jeux accepte et défend ce regard sur « The Bargaining Problem ». Nous étudions cette interprétation pour comprendre comment, en définitive, la démarche axiomatique doit être complétée par un dispositif non-coopératif afin de préserver la dimension stratégique du marchandage.

1.1. La démonstration de Nash [1950a] par Harsanyi

7Harsanyi isole deux idées fortes dans la démonstration : l’utilisation de l’axiome de symétrie et le recours aux fonctions d’utilité VNM pour représenter les utilités des joueurs. Mais Harsanyi remarque également que Nash n’a pas su mettre l’accent sur les points du raisonnement qui lui ont permis de venir à bout d’un problème épineux. Lorsque Harsanyi [1956, p. 152] rapproche Zeuthen et Nash, il souligne que « [l’approche de Zeuthen] fournit [à Nash] une analyse plus détaillée du processus de marchandage ». Sans s’en tenir au caractère intuitif de l’égalité des paiements dans un jeu symétrique, le modèle d’Harsanyi explique cette égalité. Dans de telles circonstances, un joueur fait à l’autre les concessions qu’il est lui-même prêt à faire. De la même manière, Nash exploite les propriétés des fonctions VNM, mais sans montrer en quoi leur utilisation est décisive dans la résolution du problème. Le marchandage étant par essence un face à face entre deux stratèges confrontés à l’incertitude, chaque joueur doit disposer, à tout moment de la négociation, d’une mesure précise (cardinale) du risque de conflit qui le menace. Ainsi, le modèle de Zeuthen-Nash nous donne les ressorts de la démonstration de 1950 aux yeux d’Harsanyi. L’axiome de symétrie et les fonctions VNM, clefs de la réussite de Nash, renvoient à la nature même du marchandage : un processus d’anticipations mutuelles des deux joueurs à l’égard de leur comportement réciproque. Nash a laissé sur ce point trop de travail à son lecteur en oubliant de révéler le lien entre les arguments déterminants de son raisonnement et la nature profonde du problème qu’il résout. Quand Harsanyi présente « The Bargaining Problem », il reconstruit la logique de l’argumentation.

1.1.1. L’axiome de symétrie

8Pour Harsanyi, la démonstration de Nash repose sur un principe simple : l’application des propriétés d’un jeu symétrique à un jeu asymétrique, grâce à des axiomes mathématiques adéquats. Harsanyi [1956, p. 147, note 11] estime que « cet aspect de l’approche de Nash mérite une plus grande attention que celle qu’il a reçue à l’origine dans l’exposé de Nash ». Il existe ainsi une division du travail entre les quatre axiomes proposés par Nash puisque « les axiomes 1 et 2 définissent déjà de manière unique le point d’accord d’un jeu symétrique [et que] les deux autres axiomes sont nécessaires pour étendre la théorie aux jeux non symétriques » (Harsanyi [1987, p. 191]). La combinaison des axiomes de symétrie et d’efficience produit plus qu’une simple restriction de l’ensemble des solutions, elle permet de donner un résultat tangible sur l’issue de la négociation. Le génie de Nash consiste à exploiter la force de cette alliance entre symétrie et efficience.

9Pour Harsanyi, l’égalité des paiements dans un jeu symétrique se comprend facilement. Dans cette situation, « aucun joueur ne peut rationnellement espérer qu’un adversaire rationnel puisse revendiquer de meilleurs paiements que ceux que lui-même est prêt à concéder » (Harsanyi [1977, p. 144]). Cet axiome de référence révèle par excellence le mécanisme des négociations car l’issue du marchandage est bien le résultat des concessions mutuelles des joueurs. Harsanyi [1956, p. 147] conclut en affirmant que la théorie de la négociation de Nash « est fondamentalement une généralisation de ce principe aux cas plus généraux de situations asymétriques ».

10L’extension aux jeux asymétriques s’effectue notamment grâce à l’axiome 4. L’axiome d’indépendance de la solution vis-à-vis des issues non pertinentes est défini à partir de deux problèmes de négociation possédant le même point de conflit G ( F, c ) et G? ( F?, c ), et tels que F? ? F. Si u est la solution de G ( F, c ) et si u ? F?, alors u est également la solution de G? ( F?, c ). Une nouvelle fois, Harsanyi se livre à un effort d’explication pour rapprocher cet axiome d’un scénario plausible de marchandage. Il ajoute à la présentation de la démonstration de Nash le texte que « The Bargaining Problem » ne propose pas. « La frontière supérieure droite de l’espace des gains F sera nommée ?F. L’effet mathématique de l’axiome 4 est de faire dépendre le point d’accord u uniquement de la forme de ?F au voisinage de u, et de rendre indépendant ce dernier des parties plus éloignées de ?F. L’axiome se justifie par la manière dont la négociation se déroule vraiment : c’est un processus de concessions mutuelles volontaires qui réduit progressivement l’ensemble des issues possibles, sous l’influence de considérations sérieuses, de l’ensemble de la frontière ?F à des sous-ensembles de plus en plus petits autour du point d’accord définitif u, et finalement au point d’accord lui-même u. » (Harsanyi [1987, p. 192]). Un dernier axiome est nécessaire pour effectuer la généralisation aux jeux non symétriques. La représentation de l’utilité des joueurs par des fonctions d’utilité VNM permet à Nash d’utiliser l’axiome 3.

1.1.2. Les fonctions VNM

11Ces fonctions sont définies à une transformation affine positive près. Cette propriété permet de modifier l’origine et l’échelle de l’utilité des joueurs, sans que la solution du marchandage ne subisse d’autres modifications que celles effectuées sur l’origine ou l’échelle de l’utilité. Ces transformations peuvent concerner les deux joueurs sans qu’il soit nécessaire d’établir un lien entre les changements apportés à l’un et à l’autre des joueurs. L’invariance linéaire assure donc que la solution du marchandage est indépendante des comparaisons interpersonnelles d’utilité.

12Aux yeux d’Harsanyi, Nash est le premier à résoudre le problème de la négociation à deux joueurs parce qu’il est « un brillant étudiant de von Neumann » (Harsanyi [1987, p. 191]). Il est le premier à comprendre que « le marchandage représente intrinsèquement une décision prise en situation d’incertitude » (Harsanyi [1977, p. 143]) et qu’il dispose d’un instrument performant pour tenir compte de cette dimension fondamentale du comportement des joueurs. Pour Harsanyi, les fonctions d’utilité VNM fournissent une mesure précise — cardinale — de l’intensité des préférences individuelles. « Les deux joueurs ne peuvent obtenir un accord que s’ils se font mutuellement des concessions. La raison fondamentale pour laquelle un joueur rationnel fera une concession à son adversaire sera toujours qu’il sent que le risque (c’est-à-dire la probabilité subjective d’un conflit) associé au refus de cette concession serait supérieur aux avantages issus des termes d’un meilleur accord. Ainsi logiquement une théorie déterminée du comportement rationnel dans les situations de jeux présuppose une théorie suffisamment précise du comportement rationnel en univers risqué et/ou incertain. » (Harsanyi [1977, p. 143]). Bref, si le marchandage est un processus d’anticipations mutuelles, s’il place les négociateurs face à l’incertitude du comportement de l’autre joueur, alors la mesure précise de l’intensité des préférences devient un outil indispensable. Nash a trouvé la solution du marchandage parce qu’il a bien identifié le cœur du problème posé et qu’il a su utiliser l’outil approprié pour traiter la question. Harsanyi insiste lui-même sur cet aspect du raisonnement car Nash n’est pas explicite sur cet apport essentiel. [4]

13Résumons l’interprétation d’Harsanyi. Dans « The Bargaining Problem », Nash est trop allusif. Il présente les axiomes en oubliant de les rattacher au déroulement effectif d’un marchandage. Il existe un décalage entre la méthode axiomatique employée par Nash et la nature d’un problème de négociation. En présentant l’article de 1950, Harsanyi prend à sa charge le travail que Nash n’a pas su faire. Nash énonce la liste des axiomes sans établir de hiérarchie entre les propriétés requises, or l’axiome de symétrie jouit d’un statut privilégié car il est le pivot de la démonstration. Nash recourt aux fonctions d’utilité VNM sans justifier cette utilisation, or ce choix est profondément judicieux parce que le marchandage situe les joueurs dans un environnement incertain. L’axiome de symétrie et les fonctions VNM devraient donner la véritable image de la négociation : un processus de concessions mutuelles de joueurs confrontés à l’incertitude. Mais la démarche axiomatique de Nash manque de réalisme : on imagine mal les pourparlers ou le face-à-face à travers une liste d’axiomes. Sans soutien, sans explication, sans complément, le premier article de Nash reste inachevé.

14Le point de vue d’Harsanyi est partagé par la majorité des économistes. L’idée directrice de cette interprétation est à l’origine de la légitimité du programme de Nash : la démarche axiomatique, seule, est incomplète. Pour donner de la consistance à cette méthode, il faut la soutenir par un dispositif qui valide empiriquement ses résultats. Nash est le premier correcteur de son propre travail. L’article de 1953 apporte à celui de 1950 des fondements stratégiques. La théorie des jeux contemporaine suit la voie ouverte par

15Nash et pose le programme de Nash en pierre angulaire de la discipline.

1.2. Le programme de Nash

16Le programme de Nash semble difficile à définir précisément. Christian Schmidt [1995, p. 1008] remarque que c’est une « construction rétrospective » dont le contenu peut varier d’un auteur à l’autre et note par exemple que la définition de Binmore et Dasgupta [1987] ne correspond pas forcément à celle d’Harsanyi et Selten [1988].

17En un sens assez général, le programme de Nash qualifie la tentative d’inclusion de la théorie des jeux coopératifs au sein de la théorie des jeux non-coopératifs. Cette description traduit le projet que Nash [1951] présente dans « Non-Coopérative Games ». Nash [1951, p. 295] annonce qu’il a mis en œuvre une approche permettant « l’étude des jeux coopératifs fondée sur une réduction à la forme non-coopérative » et que « le problème de l’analyse des jeux coopératifs consiste désormais à obtenir un modèle non-coopératif de négociation, approprié et convaincant ». Dans « Two-Person Cooperative Games », Nash [1953] concrétise ce programme en complétant la démarche axiomatique de 1950 par un processus non-coopératif. Schmidt [1995, p. 1011] résume clairement la force de la démarche entreprise par Nash : « La transformation des jeux coopératifs en jeux non-coopératifs constitue la pièce maîtresse de la révolution de Nash. Si elle est annoncée dès l’article de 1951 sur les jeux non-coopératifs, la procédure au moyen de laquelle elle a été réalisée n’est développée de manière complète que dans l’article de 1953 sur la négociation. Le problème posé est celui de la modélisation d’une négociation entre deux joueurs. Il est traité au moyen de deux jeux initialement distincts, un jeu de menace et un jeu de demande dont le résultat est une entente et donc une coopération. ».

18Tous les partisans du programme de Nash opèrent de la même manière dès qu’ils entreprennent une justification de leurs travaux. En effet, parmi les arguments utilisés, deux idées fondatrices sont toujours avancées. Premièrement, la démarche axiomatique reste obscure si elle n’est pas soutenue par une procédure qui donne à la coopération des fondements stratégiques. Nous retrouvons ici le thème directeur de l’interprétation harsanyienne de la démonstration de 1950. Nash est bien sûr cité en exemple par tous ses disciples. Deuxièmement, tout rapprochement entre coopération et justice doit être combattu dans le cadre de la théorie des jeux. Il semble qu’une nouvelle fois Harsanyi soit le porte-parole de ses confrères. Harsanyi a en effet construit une théorie générale du comportement rationnel, fondée sur la rationalité bayésienne, et dans laquelle l’éthique et la théorie des jeux sont séparées par des cloisons étanches. Harsanyi note que la confusion entre les deux domaines est courante. L’erreur la plus fréquente consiste à assimiler les modèles d’arbitrage aux modèles de négociation. Les premiers appartiennent à l’éthique, les seconds à la théorie des jeux. Il existe pourtant, selon lui, quelques facteurs discriminants faciles à utiliser pour éviter cette erreur. Les solutions en théorie des jeux sont indépendantes des comparaisons interpersonnelles d’utilité et les joueurs ne sont guidés que par leur intérêt personnel et la maximisation de leur paiement. En revanche, les modèles d’arbitrage reposent sur ces comparaisons interpersonnelles et font appel à un arbitre réel ou imaginaire, incarnation d’un quelconque critère moral (Harsanyi [1977, p. 13-14] ; Harsanyi [1987, p. 191-192]).

19Osborne et Rubinstein [1990] et Binmore [1991] sont des défenseurs typiques du programme de Nash. Les deux premiers précisent, dès le début de leur ouvrage, qu’une « théorie du marchandage est une exploration de la relation entre une issue du marchandage et les caractéristiques de la situation [et qu’ils ne sont] pas concernés par des questions comme « qu’est-ce qu’un accord juste ? » « quelle issue raisonnable un arbitre sélectionnerait-il ? » « quel accord est optimal pour la société en général ? » » (Osborne et Rubinstein [1990, p. 1]). Ils relativisent la portée de la démonstration de 1950. « Le modèle axiomatique de Nash possède des avantages qu’il est difficile d’exagérer. Il atteint un haut degré de généralité en évitant toute spécification du processus de négociation ; la solution définie par les axiomes est unique et sa forme simple est aisément manipulable, ce qui facilite les applications. Cependant, l’approche axiomatique et le modèle de Nash en particulier a des inconvénients. (...), il est difficile d’établir le bien-fondé des axiomes sans avoir en tête une procédure de négociation particulière. (...) De plus, avec l’approche axiomatique, on ne peut pas attribuer des issues en relation directe avec le processus de négociation. » (Id., p. 69). Ainsi, la démarche axiomatique est mise sur la sellette car la méthode adoptée ne reflète pas l’essence d’une négociation. L’introduction d’un raisonnement stratégique par l’intermédiaire d’un jeu non-coopératif permet de pallier le manque de clarté initial. Osborne et Rubinstein concluent en se situant sans ambiguïté dans la ligne définie par le programme de Nash. « Notre étude de la relation entre les approches axiomatique et stratégique est destinée à clarifier la portée de l’approche axiomatique. A moins de définir un modèle stratégique raisonnable qui possède un équilibre correspondant à la solution de Nash, le recours aux axiomes de Nash est douteux. Les caractéristiques d’un tel modèle stratégique clarifient le champ des situations dans lequel les axiomes sont raisonnables. L’idée de relier les solutions axiomatiques aux équilibres des modèles stratégiques a été suggérée par Nash [1953] et elle est maintenant connue sous le nom de « programme de Nash ». » (Id., p. 70). [5]

20Binmore explique sa position en ayant recours aux mêmes arguments. Quand il évoque le programme de Nash, il souligne que « le but de cette approche réductionniste n’est pas de remplacer la théorie coopérative, mais de donner à ses conclusions une justification stratégique » (Binmore [1991, p. 86]). Quant à son interprétation du premier article de Nash, elle rejoint celle d’Harsanyi et sert de point de départ à sa conception de la théorie des jeux coopératifs. « La solution du marchandage de Nash n’est pas intéressante en tant que concept éthique. (...) Nash [1950a] ne proposait pas d’interprétation éthique et ce papier ne lui en imputera pas. (...) En effet, bien loin de chercher à examiner des questions éthiques, Nash était entièrement préoccupé par les agents rationnels, utilisant le moindre pouvoir de négociation qu’ils possèdent pour promouvoir leurs propres intérêts individuels. Cette approche ne suppose pas l’existence d’une supervision extérieure du processus de négociation, ni les services d’un juge ou d’un arbitre. Il suppose en revanche que la procédure de marchandage satisfait à certaines conditions — parmi lesquelles la plus importante est de traiter les négociateurs de manière symétrique. Pour défendre de manière adéquate cette interprétation de la solution de Nash au marchandage, il est nécessaire de fournir quelques fondements stratégiques aux principes de comportement coopératif qu’il avance. Ceci requiert l’analyse de modèles explicites de procédures pertinentes de négociation, utilisant la théorie des jeux non-coopératifs. » (Id., p. 101).

21Inutile de multiplier les exemples pour comprendre que le programme de Nash est la pièce maîtresse de la théorie des jeux. Véritable ciment de la discipline, il permet de présenter ce domaine de recherche sous la forme d’un ensemble homogène fondé sur le primat de la rationalité stratégique. La théorie des jeux étudie une action (la coopération) et son contraire (la non-coopération) et refoule l’image d’une discipline « schizophrène » (Rullière [2000, p. 1171]). C’est au programme de Nash que l’on doit ce tour de force d’une portée étonnante. La dévalorisation de l’approche axiomatique dans « The Bargaining Problem » façonne le programme de Nash, lequel unifie la théorie des jeux en conciliant deux approches qui auraient pu être concurrentes. Bref, il existe bien des jeux coopératifs et des jeux non coopératifs, mais la discipline ne reconnaît qu’un seul modèle de joueur.

1.3. La théorie des jeux : une discipline homogène

22Pour dresser le portrait de ce joueur, il faut une nouvelle fois se tourner vers Harsanyi. C’est en effet ce dernier qui énumère les attributs du joueur lorsqu’il construit « une théorie générale du comportement rationnel dans les situations de jeux » (Harsanyi [1966]). Il souhaite donner un cadre précis et unique à cette discipline, et concentrer en quelques principes l’essence de la théorie des jeux. Une fois ces principes énoncés, l’ajout d’hypothèses ad hoc doit être inutile. Harsanyi propose une liste de postulats qui épuise la rationalité inhérente à la théorie des jeux et qui permet de résoudre toutes les sortes de jeux finis, quels que soient leur forme et leur contexte. Sa théorie embrasse donc les jeux coopératifs et non-coopératifs. Harsanyi regroupe les postulats en deux catégories A et B. L’ensemble A contient les principes qui décrivent la rationalité du joueur. Le groupe B détaille les principes qui interviennent quand un joueur anticipe le comportement des autres joueurs.

23Dans le cadre de cette construction théorique, Harsanyi propose les célèbres définitions qui sont reprises, aujourd’hui encore, quand il faut délimiter le territoire respectif des jeux coopératifs et non-coopératifs. « Par jeu coopératif, on désigne un jeu où les engagements (c’est-à-dire les accords, les promesses, et les menaces) sont pleinement contraignants et exécutoires. Par jeu non-coopératif, on désigne un jeu où les engagements n’ont pas de force contraignante. » (Id., p. 616). Un jeu est donc coopératif quand les joueurs sont capables de passer des accords contraignants (binding agreements) ou d’honorer des engagements exécutoires (enforceable commitments). Les promesses comme les menaces doivent être suivies d’effets, et ces comportements ont une influence sur les issues du jeu. Les expressions (binding agreements, enforceable commitments), inlassablement reprises dès qu’il s’agit de présenter la discipline, sont quelque peu trompeuses. Elles laissent croire que le joueur est prisonnier d’une contrainte dès que ce dernier « s’engage » à tenir ses promesses. En fait, cette obligation ne porte pas atteinte à sa liberté stratégique, elle ne remet pas en cause le comportement rationnel de l’individu. Si l’engagement a la force d’une contrainte, ce n’est donc qu’en un sens très particulier : c’est une pression qui le laisse libre de choisir la stratégie lui procurant le maximum de gains. Si les règles du jeu se déclinent sur le mode coopératif ou non-coopératif, le joueur, lui, reste le même. La coopération ne change rien à son être.

24La permission que l’on accorde au joueur dans un jeu coopératif (et non pas au joueur coopératif) peut changer l’issue du jeu, mais elle n’affecte en rien l’application stricte de la rationalité stratégique. Harsanyi ne décrit qu’un seul type de joueur par ses postulats de rationalité et ce joueur est à l’image de la théorie des jeux non-coopératifs. Le projet d’Harsanyi ne définit qu’une seule manière de jouer : « Bien jouer à un jeu signifie résoudre le problème du choix de la stratégie rationnelle » (Id, p. 622).

25Le joueur d’Harsanyi est un stratège. Les postulats de la catégorie A le présentent comme un individu recherchant toujours les paiements les plus élevés, et les principes du groupe B le décrivent en train d’anticiper rationnellement le comportement des autres joueurs. L’existence d’un autrui rationnel est source d’incertitude. Sans cesse à l’affût de l’autre, en sachant que son adversaire agit selon les mêmes principes que ceux qu’il s’applique à lui-même, le stratège dispose entièrement de la liberté inhérente à sa condition : il est libre de choisir sa stratégie.

26Dans ces circonstances, que recouvre exactement l’expression « accords contraignants » ? Harsanyi donne une description précise dans le cas d’une menace. « Par menace, nous entendons un engagement contraignant, de la part du joueur i, à mettre en application une stratégie particulière de représailles ou stratégie de menace (...) dans le cas où il ne parviendrait pas à obtenir un accord avec les autres joueurs sur les paiements finaux du jeu. Puisque les engagements contraignants ne peuvent se réaliser que dans les jeux coopératifs, le problème du choix effectif des stratégies de menace ne se pose que dans ces derniers. L’objectif de la menace est toujours d’augmenter les coûts d’un conflit possible pour son (ses) adversaire(s), afin de le(s) rendre plus réticent(s) à courir le risque d’un conflit. » (Id., p. 628-629). L’aspect contraignant de l’accord porte en fait sur le caractère effectif de la menace ou de la promesse. Les protagonistes du jeu s’engagent à faire ce qu’ils disent, mais cette parole ne les conduit pas à un pacte, à un serment ou à un contrat. Les joueurs se reconnaissent mutuellement la faculté d’utiliser, dans la panoplie des principes du stratège, un outil qui leur permet de peser sur la décision de l’autre.

27L’accord n’est jamais une énigme, il est toujours possible de le détailler, de le démonter, de le décortiquer. Une fois le jeu terminé, la reconstitution minutieuse des étapes peut se concevoir. La contrainte ne doit pas gommer ce qui, dans l’accord final, résulte des stratégies des uns et des autres. Binmore [1991, p. 86] décrit bien la manière dont ces principes s’appliquent dans le cadre de la théorie des jeux coopératifs. « Le comportement d’une coalition est expliqué uniquement par les choix individuels de ses membres. L’objectif est de spécifier toutes les actions pertinentes qui incluent ce que les joueurs disent et font dans la réalisation des issues coopératives, en tant que solution possible dans un jeu défini par un ensemble de règles formelles. On suppose que les joueurs prennent individuellement des décisions optimales étant données les contraintes imposées par ces règles, les connaissances et les anticipations à propos des décisions des autres joueurs. »

28« The Bargaining Problem » est un texte essentiel dans l’histoire de la théorie des jeux. Il contient non seulement un résultat de premier plan sur le marchandage coopératif à deux joueurs ; il est aussi, et peut-être surtout, à l’origine de l’image que la théorie des jeux contemporaine donne d’elle-même. L’interprétation d’Harsanyi, synthèse de bien des points de vue sur la démonstration de 1950, insiste sur l’insuffisance de la démarche axiomatique. Cette méthode ne saurait, à elle seule, exprimer l’essence du marchandage ; elle doit donc être complétée par une procédure plus explicite sur la réalité du processus de négociation. Nash est le premier à saisir que la théorie des jeux non-coopératifs peut fournir le soutien nécessaire. Ce programme de recherche présente l’avantage de réunir les deux branches de la discipline. La théorie des jeux se définit dès lors comme un champ unifié, fondé sur la rationalité d’un individu-stratège quelles que soient les règles du jeu. Les joueurs peuvent passer des accords contraignants, mais la contrainte n’entame jamais leur liberté de stratège.

2. De la solution de Nash à une théorie « hétérogène » des jeux

29Les partisans du programme de Nash ont pour habitude de refouler toute considération sur la justice hors des limites de la théorie des jeux. Cette précaution n’est pas vaine car la relation assumée entre théorie de la justice et théorie des jeux coopératifs risque de faire éclater l’unité de la discipline. On doit cette association entre équité et coopération à un texte et à un auteur : « The Bargaining Problem » de Nash. Pour mettre en valeur cette nouvelle dimension de la démonstration de 1950, il faut bien sûr s’éloigner de l’interprétation harsanyienne qui passait sous silence la présence du mot « fair » dans le texte de Nash. Nous voulons montrer que ce regard original sur le travail de Nash valorise ce qu’Harsanyi délaisse (la justice) ou affaiblit (la méthode axiomatique) et néglige ce qu’Harsanyi met en relief (le comportement stratégique des joueurs). Le programme de Nash ne peut plus s’imposer comme le socle de la discipline, et les rares spécialistes du domaine qui exploitent ce lien entre justice et coopération définissent un autre programme que celui de Nash. Le même texte est ainsi à l’origine de deux projets concurrents. Conçue sous ce nouvel angle, nous pourrons ainsi constater que la théorie des jeux n’affiche plus son image de champ de recherche homogène et qu’elle doit assumer l’existence d’un joueur coopératif à part entière dont les attributs se distinguent clairement de ceux du stratège.

2.1. La solution de Nash : une solution juste et efficiente

30Avant de présenter la liste des axiomes que la solution doit respecter, Nash qualifie sans ambiguïté cet accord final. « Ainsi, nous devons penser à un point de l’espace des gains représentant la solution, et représentant aussi toutes les anticipations concernant ce que les deux [joueurs] pourraient s’accorder [à considérer] comme un marchandage équitable (fair). » (Nash [1950, p. 158] ; traduction de Laurent Cordonnier [1997, p. 44]). Luce et Raiffa sont les premiers à tenir compte de cette remarque de Nash dans leurs commentaires sur la démonstration. Cette seconde interprétation fait apparaître la solution de Nash comme le résultat de la conciliation entre justice et efficience. Les axiomes de symétrie et d’indépendance ne sont plus des propriétés mathématiques qui révèlent implicitement le déroulement des tractations entre les joueurs, mais des principes de justice mobilisés par des individus soucieux de résoudre équitablement un conflit. L’axiome de symétrie n’est plus sur le devant de la scène, l’axiome d’indépendance lui a ravi la vedette ; jugé injuste, il sera écarté et remplacé par un autre principe.

31Jean-Pierre Ponssard s’inspire de l’interprétation de Luce et Raiffa pour présenter les idées principales de « The Bargaining Problem ». En partant d’un jeu G ( F, c ), il veut montrer, en guise d’introduction et d’initiation, sans aborder immédiatement la démonstration, que la solution de Nash u ( u1, u2 ), est obtenue en appliquant « le principe consistant « à couper la poire en deux » » (Ponssard [1977, p. 111]). « La démarche est la suivante. La solution de la négociation doit être à la fois globalement efficiente (c’est-à-dire maximiser u1 + u2 ), et équitable par rapport au point de rupture (se situer sur la première bissectrice ayant c pour origine, c’est-à-dire sur la droite u1 ? c1 = u2 ? c2 ). En général, compte tenu de la forme de F, ces deux exigences sont incompatibles. » (Id, p. 112). Après avoir repris la démonstration de Nash, Ponssard conclut en soulignant que « trois principes ont guidé l’analyse : la recherche de l’efficience, la recherche de l’équité et la non-comparabilité des utilités des deux joueurs. » (Id., p. 112-113).

32Nous mesurons bien ici l’écart qui sépare cette approche de celle d’Harsanyi. D’une part, la recherche de l’équité, préoccupation totalement absente de l’interprétation harsanyienne, joue maintenant un rôle prépondérant. D’autre part, l’axiome de symétrie, tant valorisé dans la première présentation, n’est plus mis en avant. Le jeu symétrique a perdu son statut de référence de la négociation : ce n’est plus une situation dans laquelle les anticipations se neutralisent, mais la preuve « qu’il n’y a pas deux poids, deux mesures » (Id., p. 122). L’axiome de symétrie « est typiquement une règle d’équité, ou de réciprocité » (Cordonnier [1997, p. 48]). Dans la présentation de Ponssard, c’est un autre axiome qui retient l’attention. L’axiome d’indépendance vis-à-vis des issues non pertinentes fait l’objet d’un traitement particulier : il est présenté comme une version faible d’un principe qui apparaît a priori équitable. Ainsi, il semble « intuitivement acceptable » (Ponssard [1977, p. 122]), que dans le cas où l’espace des gains augmente, les deux joueurs profitent de cette amélioration. En d’autres termes, si deux problèmes de marchandage G ( F, c ) et G? ( F?, c ) ont le même point de conflit, avec F ? F?, u ( u1, u2 ) étant la solution de G ( F, c ), et u? ( u?1, u?2 ) celle de G? ( F?, c ), alors u?1 ? u1 et u?2 ? u2. Malheureusement, il est impossible de concilier l’efficience avec cette dernière propriété [6] qui « est trop exigeante et élimine tous les candidats possibles au problème de négociation » (Id, p. 123). Il faut donc se contenter d’« une version plus faible [qui] permettrait de conserver la même idée sans devoir prendre une mesure aussi draconienne » (Id.). Ponssard formule alors l’axiome d’indépendance vis-à-vis des issues non pertinentes.

33Nous constatons que sur le fond et sur la forme, la présentation de l’axiome d’indépendance par Ponssard est bien différente de celle d’Harsanyi. Cet axiome n’est plus le reflet de l’élimination progressive des issues possibles grâce aux concessions réciproques. L’indépendance est convoquée par défaut, sa légitimité est beaucoup plus fragile. Cordonnier [1997, p. 46] range cet axiome dans la famille des principes d’équité, mais « il s’agit plutôt d’un principe d’équité assez maximaliste ». Ponssard rappelle que la critique la plus importante à la solution de Nash est développée par Kalaï et Smorodinsky. En 1975, ces derniers s’appuient sur l’analyse pionnière de Luce et Raïffa quand ils remplacent l’indépendance par la monotonie. Or, Luce et Raïffa soulignaient que les critiques les plus judicieuses à « The Bargaining Problem » consistent à révéler les situations dans lesquelles la solution de Nash n’est pas juste. C’est dans cet esprit que l’axiome d’indépendance de la solution vis-à-vis des issues non pertinentes a été discrédité.

34Kalaï et Smorodinsky adoptent la même démarche axiomatique que celle de Nash puisqu’ils montrent que la réunion de quatre axiomes conduit à une solution unique au problème du marchandage. Ils reprennent la paretooptimalité, la symétrie, l’invariance linéaire mais remplacent l’indépendance contestée par un axiome de monotonie qui rend les paiements des joueurs proportionnels à leurs perspectives de gains les plus favorables. En présentant l’axiome d’indépendance, Harsanyi n’évoque jamais les travaux de Kalaï et Smorodinsky. Ponssard mentionne le rapprochement entre Zeuthen et Nash, mais il précise bien que cette conception stratégique du marchandage est assez éloignée de celle qu’il défend.

35

« Bien que la négociation correspondant au modèle décrit soit suffisamment simple pour que l’aspect stratégique soit secondaire, on peut proposer une interprétation en termes de stratégies qui conduit au point de Nash. Cette interprétation est due à Zeuthen et Harsanyi. » (Ponssard [1977, p. 113]).

36Cet autre point de vue sur « The Bargaining Problem » a pour thème directeur la recherche conjointe de la justice et de l’efficacité. La démarche axiomatique n’est pas considérée comme incomplète ou incongrue au regard du problème qu’elle résout. La pertinence des axiomes est évaluée en fonction de critères d’équité : la discussion autour de l’axiome d’indépendance en est l’exemple le plus célèbre. La dimension stratégique du marchandage est reléguée au second plan. La représentation idéale de la négociation n’est plus celle d’un processus de concessions mutuelles. Le programme de Nash ne peut faire office de ciment de la discipline. Cette interprétation de la démonstration de 1950, qui prend le contre-pied de celle d’Harsanyi, fonde un programme de recherche concurrent au programme de Nash.

2.2. Nash : changement de programme

37Dans cette perspective, Nash devient un précurseur, voire un représentant, des théories économiques de la justice. Autrement dit, la théorie des jeux coopératifs peut être associée aux réflexions contemporaines qui cherchent à concilier la justice et l’efficience (Lengaigne [2000]). La théorie de la justice comme équité de Rawls peut par exemple se concevoir comme une réponse à la théorie de la négociation de Nash. Hervé Moulin exploite la même veine et se présente en disciple de Nash lorsqu’il prétend que la recherche en théorie des jeux coopératifs doit se concentrer sur la définition d’un concept de solution à partir d’axiomes d’équité unanimement reconnus. Il est clair que cette nouvelle piste de travail ne peut s’appuyer sur la complémentarité des articles de 1950 et 1953. Nash lui-même n’a manifestement pas choisi d’explorer cette voie. Historiquement, les défenseurs de ce « changement de programme » ne sont pas dépourvus d’arguments. En effet, l’article qui paraît dans Econometrica en 1950 n’est que la seconde version de la célèbre démonstration. Au printemps 1948, Nash est encore étudiant au Carnegie Institute of Technology de Pittsburg. A l’occasion d’un cours de commerce international, il résout, sans le savoir, le problème du marchandage. Il n’a pas encore lu Theory of Games and Economic Behavior et n’utilise donc pas les fonctions VNM.

38Dans Théorie de la justice, Rawls combat l’utilitarisme classique de Bentham et Sidgwick. Nash est un adversaire moins connu de Rawls, mais il est pourtant explicitement désigné comme l’auteur d’une théorie économique de la justice insatisfaisante. L’argument de Rawls est le suivant. Le point de conflit, en accordant des paiements éventuellement différents aux deux joueurs, légitime un avantage ; or l’issue de la négociation, en prenant ce rapport de forces comme situation de départ, ne fait qu’entériner cette domination. Pour Rawls, une théorie de la justice ne peut pas être construite à partir d’une situation originelle où l’un a déjà un ascendant sur l’autre ; au contraire, ce qui doit fonder la justice, c’est la situation d’équité — la position originelle — dans laquelle des principes de justice vont être choisis. « Nous ne pouvons pas considérer différentes contingences comme connues et des préférences individuelles comme données pour ensuite penser élucider le concept de justice (ou d’équité) par des théories du marchandage. La conception de la position originelle vise à résoudre le problème du statu quo acceptable. (...) la solution de J. F. Nash dans The Bargaining Problem est inacceptable d’un point de vue éthique. » (Rawls [1987, note 10 p. 224]). Sen [1970, p. 136] n’hésite pas à comparer les principes de justice de Rawls à « des solutions de jeux coopératifs dans la position originelle », et à citer Nash dans la foulée.

39Hervé Moulin offre une réponse plus directe au programme de Nash. En rupture complète avec le projet d’une théorie des jeux homogène, il affirme que « la tâche la plus ambitieuse de la théorie des jeux coopératifs est de construire un concept de solution universel fondé sur des axiomes d’équité largement acceptés par tous, désignant dans chaque jeu coopératif une distribution d’utilité unique, de la même manière que le fait la fonction de bien-être social » (Moulin [1988, p. 107]). Il présente avec William Thomson une analyse axiomatique des ressources, et considère « The Bargaining Problem » comme un texte fondateur de cette discipline (Moulin ; Thomson [1997, p. 156]). L’approche axiomatique de Nash est saluée pour son originalité, elle permet une étude approfondie des propriétés d’équité des axiomes. Cette analyse caractérise et compare les différentes solutions, qui, à la suite de Nash, ont été apportées au problème de la négociation. De cette manière, il devient possible de rapprocher certaines solutions en fonction de la violation ou du respect de tel ou tel axiome. Par exemple, la solution de Nash sera classée avec les autres solutions de la théorie du marchandage qui respectent l’axiome d’indépendance, alors que la solution de Kalaï et Smorodinsky appartient à « la famille » des solutions qui satisfont la monotonie. [7]

40Lorsque Rawls et Moulin se réfèrent à la théorie de la négociation de Nash, ils prennent la précaution de ne citer que le texte de 1950. En effet, l’article de 1953, qualifié de « complémentaire » par les partisans du programme de Nash, est ici hors de propos puisque l’adjectif « fair » n’y est plus utilisé. Dès que l’on revendique un « changement de programme » face au programme dominant, il faut donc considérer que « The Bargaining Problem » et « Two-Person Cooperative Games » renvoient à deux démarches intellectuelles différentes. A priori, cette idée n’est pas facile à défendre. Le travail de Leonard [1994] et la biographie de Nash [Nasar, 2001, p. 107-111] racontent l’histoire tourmentée de l’article qui paraît dans Econometrica en 1950. Ces informations affaiblissent l’interprétation harsanyienne qui insiste sur le rôle des fonctions VNM et confèrent à « The Bargaining Problem » un statut très particulier dans la bibliographie de Nash.

41Nash est un élève du Carnegie Institute of Technology de Pittsburg de juin 1945 à juin 1948. Il entre dans cet établissement pour suivre un cursus d’ingénieur électricien, mais il se consacre rapidement à l’étude de la chimie puis des mathématiques. Au printemps 1948, pendant le dernier semestre de sa scolarité à Pittsburg, Nash suit un cours optionnel de commerce international. Le professeur, Bart Hoselitz, présente à ses étudiants un problème non résolu, celui des accords commerciaux entre des pays utilisant des monnaies différentes. Intéressé par ce sujet, Nash s’attaque à la question et démontre que l’accord conclu dépend des alternatives dont disposent les négociateurs et des bénéfices potentiels à retirer de l’accord. Nash utilise une démarche axiomatique et l’un des axiomes stipule que l’issue d’une négociation ne doit pas changer si l’un des pays réévalue sa monnaie. A l’automne 1948, Nash quitte Pittsburg pour Princeton. John von Neumann est, avec Albert Einstein, la figure la plus illustre de cette université. Nash suit le séminaire sur la théorie des jeux dirigé par Albert Tucker ; le manuel de référence des étudiants est bien sûr Theory of Games and Economic Behavior. Nash ne tarde pas à comprendre que la démonstration appliquée quelques mois auparavant au commerce international est d’une portée beaucoup plus générale. Nash est-il véritablement arrivé à Princeton avec une première version rédigée de la démonstration ? Les avis divergent. [8] En tout cas, « Nash a élaboré son concept [la solution au marchandage] (...) alors qu’il n’était encore qu’un jeune étudiant à Carnegie, c’est-à-dire avant de venir à Princeton, avant d’avoir assisté au séminaire de Tucker sur la théorie des jeux, et même avant d’avoir lu le livre de von Neumann et Morgenstern. Il lui était venu à l’esprit pendant le seul cours d’économie auquel il avait assisté » (Nasar [2001, p. 110]). Ainsi, « la version publiée de l’article traduit le fait que Nash a rencontré von Neumann et Morgenstern dans l’intervalle » précise Leonard [1994, p. 497, note 14]. Ce dernier recense les différentes preuves de cette influence : l’utilisation des fonctions VNM, bien sûr, mais aussi les références économiques citées par Nash au début de son article. En effet, pour situer l’enjeu du débat, Nash [1950a, p. 155] précise que la question du marchandage se rapporte « au problème classique de l’échange, et plus spécialement, à celui du monopole bilatéral tel qu’il a été traité par Cournot, Rowley, Tintner, Fellner, et les autres ». Or, pour Leonard [1994, p. 503, note 22], Nash n’a pas lu ces auteurs. « Ces liens rétrospectifs ont été tissés plus tard » (Id., p. 502-503), par d’autres que lui : Leonard (Id., p. 497, note 14) voit ici « le coup de main » de Morgenstern. C’est ce dernier qui aurait poussé Nash à écrire un article sur le sujet. Il faut donc prendre au pied de la lettre les remerciements que Nash adresse aux maîtres de Princeton en commençant son article. Nash a bien été « assisté » par Von Neumann et Morgenstern afin de modifier la présentation de sa démonstration. [9]

42Ces révélations pourraient relever de la « petite histoire » si l’utilisation des fonctions VNM et la présence du mot « fair » dans l’article de 1950 n’étaient pas au cœur des divergences d’interprétation de la démonstration. D’une part, ces informations fragilisent la position d’Harsanyi puisque Nash n’a pas d’emblée associé le marchandage à une décision prise en situation d’incertitude. Les axiomes ne sont donc pas censés renvoyer l’image d’une négociation stratégique. D’autre part, on peut penser que la référence à un accord équitable, dans le texte de 1950, est une empreinte de l’inspiration originelle de Nash. Cette trace disparaît dans « Two-Person Cooperative Games » quand Nash recourt à la théorie des jeux non-coopératifs. Bref, « The Bargaining Problem » témoigne d’une intuition que Nash n’a pas voulu approfondir ; Rawls et Moulin, entre autres [10], l’exploitent aujourd’hui.

43Plus globalement, cette autre voie permet d’éclairer la multiplicité des concepts de solution en théorie des jeux coopératifs et d’enrichir les interprétations possibles. Ainsi, d’un côté, la solution de Nash, la valeur de Shapley [11] [1953] et le nucleolus (Schmeidler [1969]) semblent former une première famille tant les rapprochements avec l’éthique ou la justice sont faciles à établir. D’un autre côté, les ensembles de négociation (Aumann et Maschler [1964]) ou le kernel (Davis et Maschler [1967]) reposent sur un scénario d’objections et de contre-objections ou de menaces et de contre-menaces qui rappelle le portrait du stratège harsanyien. Mais la distinction peut être plus fine encore. Ainsi, une même notion — l’excédent de coalition — peut déboucher soit sur le nucleolus, soit sur le kernel ; et un concept de solution aussi important que le cœur renvoie soit à un principe de justice assez rudimentaire, mais bien utile dans le partage équitable des coûts (Moulin [1988, p. 89-91]), soit aux équivalences connues entre cœur et équilibre concurrentiel (Debreu et Scarf [1963] ; Aumann [1964]). Ces dernières font du cœur l’image par excellence de la « concurrence débridée » pour Aumann [1985, p. 53].

44En s’appuyant sur l’article de 1950 pour définir leur projet, la théorie de la justice comme équité et l’analyse axiomatique des ressources confirment qu’il existe, en dehors de la lecture officielle d’Harsanyi, une autre interprétation cohérente de la solution de Nash au marchandage. Rawls et Moulin font entrer la théorie des jeux coopératifs dans le champ des théories économiques de la justice. Cette affinité entre justice et coopération suppose une représentation du joueur distincte de celle du stratège. La théorie des jeux devient alors une discipline hétérogène en proie au schisme. Notre présentation comparée des deux conceptions de la théorie des jeux coopératifs doit donc maintenant se conclure en dessinant le portrait du joueur coopératif, celui qui répond au joueur stratège dans un jeu coopératif. Le joueur coopératif est celui qui abandonne sa liberté stratégique et se soumet à la volonté générale.

2.3. La théorie des jeux : une discipline hétérogène

45Hervé Moulin poursuit son entreprise de contestation du programme de Nash en proposant une description précise des attributs du joueur coopératif ainsi qu’une nouvelle définition des « accords contraignants ». Moulin expose pour la première fois sa conception des jeux coopératifs dans Théorie des jeux pour l’économie et la politique [1981]. Cet ouvrage, qui prend la forme d’un manuel, est divisé en deux parties bien distinctes. Les quatre premiers chapitres dessinent un premier ensemble cohérent autour de concepts de solutions qui « ne [remettent] pas en cause, si peu que ce soit la souveraineté stratégique des joueurs, c’est-à-dire leur pouvoir de choisir librement leur stratégie. Ce sont des accords non contraignants » (Moulin [1981, p. 171]). Le chapitre V, dans lequel Moulin étudie deux illustrations de l’adage « à chacun selon son dû » [12], constitue à lui seul le second temps de la réflexion. Moulin (Id., p. 168-174) justifie assez longuement l’importance qu’il accorde à la dernière partie de son livre. Afin de rendre compte de la différence entre les deux sections de l’ouvrage, Moulin (Id, p. 172, note 1) s’appuie sur une typologie des modes de coopération qu’il emprunte à B. Russell [1939]. Pour illustrer la coopération par accords contraignants, qu’il va aborder dans le chapitre V, Moulin choisit l’image suivante : « deux naufragés sur une île déserte hostile peuvent s’enchaîner l’un à l’autre et détruire la clé du cadenas » (Id.). La coopération qui se noue entre les individus est comparable à un acte d’aliénation mutuelle, elle suppose des joueurs d’une autre composition, d’une autre trempe, que ceux décrits auparavant par Harsanyi. « Un jeu est une interdépendance de n libertés (le libre arbitre stratégique de chaque joueur) et des n intérêts des joueurs. La liberté qu’un joueur a de choisir sa stratégie — son comportement — est précisément la raison de l’incertitude des autres joueurs. Il y a donc un moyen « évident » de satisfaire l’intérêt commun tout en assurant la sécurité individuelle : renonçant mutuellement à leur liberté, les joueurs n’ont qu’à signer un accord contraignant. » (Id., p. 170).

46L’accord contraignant met un terme aux anticipations réciproques à l’égard du comportement des autres joueurs. En abandonnant cette liberté de choix d’un commun accord, les individus tarissent la source des incertitudes qui étaient la raison d’être des stratèges. Ils ne sont plus, comme chez Harsanyi, des individus constamment à l’affût du comportement d’autrui. Au début du chapitre V, Moulin veut éviter les confusions avec les joueurs qui avaient animé la première partie de l’ouvrage. Pour insister sur le changement de statut des acteurs, il n’hésite pas à modifier son vocabulaire. « Insistons sur le fait que l’issue du jeu ne dépend plus du comportement stratégique des joueurs concernés, mais qu’au contraire le pouvoir de décision est remis, indivisible, entre les mains de la collectivité chargée d’arbitrer souverainement les conflits d’opinion de ces membres. Le point essentiel est l’obligation de coopérer dans la prise de décision : le pouvoir dont disposent les joueurs individuels et les coalitions de joueurs sert seulement de façon indirecte. Les joueurs n’utilisent pas ce pouvoir comme une menace, mais la collectivité en tient compte pour déterminer si tel ou tel partage est injuste envers eux. Pour bien marquer la différence de nature entre les « joueurs » des chapitres précédents et ceux du présent chapitre (qui ne disposent plus en fait d’aucune liberté stratégique) nous les appellerons désormais des agents. » (Id., p. 170, souligné par l’auteur).

47Dans des travaux plus récents, Moulin [1995a ; 1995b, chap. 7] [13] poursuit son entreprise de réhabilitation de la théorie des jeux coopératifs en montrant la fécondité du champ couvert par cette discipline à part entière. Cette dernière est riche d’une pluralité de concepts de solutions et se fonde sur trois modes de coopération ; l’un de ces modes est la justice (Moulin [1995b, chap. 1]). [14] Il faut, pour tracer le périmètre de cette théorie des jeux coopératifs (autonome), contester la suprématie du stratège installée dès l’origine par Von Neumann et Morgenstern [1944]. Dans le jeu « Divide the dollar by majority », Von Neumann et Morgenstern [1944, p. 222 sq.] ne reconnaissent que le comportement rationnel d’individus égoïstes. Ils ne laissent aucune place à un accord indivisible entre joueurs qui prendrait la forme d’un contrat social (Moulin [1995a, p. 620]). Hervé Moulin estime que le véritable accord contraignant n’est pas sécable, il le compare au bruit produit par la réunion de la main droite et de la main gauche lors des applaudissements. A qui attribuer le « clap » ? A la main droite ? A la main gauche ? A qui attribuer l’accord ? Au joueur A ? Au joueur B ? (Moulin, Id.). Ces questions ne peuvent provenir que d’un stratège, le joueur coopératif qui se soumet à la volonté générale, lui, ne s’en préoccupe pas. Dans cet accord attribuable à tous parce que chacun s’y conforme, les individus remettent leur pouvoir stratégique à une autorité commune. Moulin s’appuie ainsi sur le texte du Contrat Social. Il compare les agents coopératifs aux individus qui abandonnent leur volonté particulière et s’en remettent à la volonté générale. « Chacun de nous met en commun sa personne et toute sa puissance sous la suprême direction de la volonté générale ; et nous recevons en corps chaque membre comme partie indivisible du tout ». (Rousseau [1964, livre I, chap. VI, p. 361], cité par Moulin [1995a, p. 620]). Moulin pourrait conforter sa position en opposant à la définition harsanyienne des accords contraignants cette conception rousseauiste des engagements obligatoires. « Les engagements qui nous lient au corps social ne sont obligatoires que parce qu’ils sont mutuels, et la nature est telle qu’en les remplissant on ne peut travailler pour autrui sans travailler aussi pour soi » (Rousseau [1964, livre II, chap. IV, p. 373). Le texte du Contrat social permet de comprendre combien les raisonnements du stratège sont désormais déplacés. La menace était, chez Harsanyi, l’exemple d’un engagement contraignant. Sa possible mise en application rendait l’adversaire plus conciliant parce que le coût du conflit potentiel était pour lui plus élevé. Cette logique est maintenant caduque puisque « chacun se donnant tout entier, la condition est égale pour tous, nul n’a intérêt de la rendre onéreuse aux autres », écrit Rousseau (Id., livre I, chap. VI, p. 360-361).

48Le joueur de Moulin a délaissé tous les attributs du stratège : ce n’est plus un joueur engagé dans un jeu coopératif, mais un joueur coopératif à part entière, qui abandonne sa liberté stratégique et se soumet à la volonté générale. Cet acte collectif de renoncement au pouvoir stratégique place les joueurs dans une situation idéale à partir de laquelle la question du partage des gains issus de la coopération trouve une solution équitable. Il devient impossible d’attribuer ce qui revient à l’un ou l’autre des joueurs dans l’obtention de l’accord : l’accord est indivisible.

49Deux interprétations rivales de « The Bargaining Problem » sont à l’origine de deux programmes de recherche concurrents et conduisent à deux visions opposées de la théorie des jeux.

50Le point de vue majoritaire sur le premier article de Nash est résumé par Harsanyi. Le texte de Nash n’est pas assez explicite sur le lien entre la méthode utilisée et le problème élucidé. La méthode axiomatique ne peut pas rendre compte de la dimension stratégique du marchandage. Harsanyi met en valeur la contribution de Nash ; le rôle de l’axiome de symétrie dans la démonstration et l’utilisation des fonctions VNM renvoient à l’essence d’un problème de marchandage : deux individus engagés dans un processus de concessions mutuelles et confrontés à l’incertitude du comportement de l’autre joueur. Ces commentaires d’Harsanyi montrent que sans un effort de pédagogie, la démonstration de Nash reste obscure. Harsanyi éclaire d’ailleurs à sa manière le problème de la négociation en rapprochant Nash de Zeuthen. Bref, « The Bargaining Problem » est un article incomplet qui appelle un soutien. L’interprétation concurrente s’appuie sur la référence, dans le texte de Nash, à une solution équitable. Les axiomes ne sont plus des propriétés mathématiques dont la signification doit être clarifiée, mais des principes de justice mobilisés par des joueurs soucieux de parvenir à un accord équitable. L’accent est mis sur l’indépendance vis-à-vis des issues non pertinentes car cet axiome traduit une conception discutable de la justice. La recherche conjointe de l’efficience et de l’équité est le fil conducteur de la démonstration.

51Les partisans du programme de Nash citent en exemple la complémentarité des articles de 1950 et de 1953. La procédure non-coopérative renforce les résultats de la théorie des jeux coopératifs. Ce programme de recherche réunit les deux composantes de la discipline autour de la rationalité individuelle stratégique. Toute aspiration des joueurs à l’équité ne peut être prise au sérieux puisque la théorie de la justice est un domaine étranger à la théorie des jeux. Le « changement de programme » s’oppose directement à l’idée précédente. La théorie des jeux coopératifs devient une branche des théories économiques contemporaines de la justice. Le fait que Rawls conçoive la position originelle de sa théorie de la justice comme une réponse directe à la conception insatisfaisante de Nash dans « The Bargaining Problem » est emblématique. Hervé Moulin prend comme modèle la démarche axiomatique de Nash pour justifier son analyse axiomatique des ressources. L’objectif premier de la théorie des jeux coopératifs est de déterminer un concept de solution universel fondé sur des principes d’équité unanimement acceptés. Historiquement, ce changement de programme peut s’appuyer sur les conditions particulières de rédaction de « The Bargaining Problem » et souligner que l’interprétation d’Harsanyi semble abusive, puisqu’à l’origine, Nash a trouvé la solution au marchandage sans recourir aux fonctions VNM. Cette information accentue la rupture entre les articles de 1950 et 1953.

52L’œuvre unificatrice du programme de Nash permet de ne tracer qu’un seul portrait de joueur, commun aux approches coopératives et non-coopératives. Les attributs de ce joueur le font ressembler à un stratège et sont conformes aux fondements non-coopératifs de la théorie. Dans un jeu coopératif, le stratège peut passer des accords contraignants mais cette possible contrainte ne remet jamais en cause sa liberté de stratège. La théorie des jeux peut ainsi se concevoir et se présenter comme un programme de recherche homogène. Hervé Moulin propose une définition des accords contraignants qui accorde à la théorie des jeux coopératifs son autonomie. Un joueur coopératif abandonne sa liberté stratégique et s’en remet à la volonté générale. Dans cette perspective, il faut donc deux modèles de joueur pour rendre compte de la coopération et de la non-coopération. La théorie des jeux est désormais hétérogène.

53Cette alternative, qui prend ses racines dans le texte de Nash, laisse l’observateur face à un dilemme. La conception homogène de la théorie des jeux donne une représentation claire et convaincante du joueur, fondée sur la rationalité stratégique, mais appauvrit considérablement l’acte de coopération puisque, selon l’aveu même de Myerson, elle ne peut pas être fidèle à la définition de cette action : « agir ensemble avec un objectif commun » [15]. La conception hétérogène de la théorie des jeux ne trahit pas le contrat social inclus dans toute action coopérative, mais il semble que, cette fois, la qualification de joueur coopératif soit déplacée. C’est finalement la question de la légitime modélisation de la coopération par un jeu que posent les deux branches de cette alternative.

Notes

  • [*]
    CLERSE, Lille 1-USTL, Faculté des sciences économiques et sociales, 59655 Villeneuve d’Ascq CLERSE (Centre lillois d’études et de recherches sociologiques et économiques), UMR 8019 CNRS. Benoit.lengaigne @ univ-lille1. fr
  • [1]
    Cet article n’aurait jamais vu le jour sans le soutien d’Arnaud Berthoud et de Laurent Cordonnier. Je tiens également à remercier les deux rapporteurs anonymes de la Revue. Leurs remarques et leurs suggestions m’ont permis d’améliorer la qualité de cet article. Je reste responsable des éventuelles erreurs et des imperfections de ce texte.
  • [2]
    Ce programme de recherche est bien résumé par Palfrey [2002]. On peut également consulter Cochinard [1995].
  • [3]
    Soit un problème de marchandage G ( F, c ). Le point de conflit c est défini par c ( c1, c2 ), la solution u ( u1, u2 ) du problème G ( F, c ) est définie par ( u1 ? c1 ) ? ( u2 ? c2 ) = max [ ( u1 ? c1 ) ? ( u2 ? c2 ) ]. Si on appelle ? ( u ) le produit de Nash tel que ? ( u ) = ( u1 ? c1 ) ? ( u2 ? c2 ), alors la solution u est l’unique point de tangence entre la frontière supérieure droite de l’espace des gains F et l’hyperbole équilatère JJ qui admet pour asymptote horizontale u1 = c1 et pour asymptote verticale u2 = c2. Cette hyperbole équilatère a pour équation ? ( u ) = ( u1 ? c1 ) ? ( u2 ? c2 ) = constante = ? ( u ). Pour une présentation plus détaillée de la démonstration, on peut consulter l’article original de Nash [1950a] ou des versions plus contemporaines (Roemer [1996, p. 53-56] ; Fleurbaey [1996, p. 187-188]).
  • [4]
    Harsanyi [1977, p. 159] pallie ce déficit d’explication en construisant son modèle : « (...), notre propre approche, fondée sur le modèle du processus de marchandage de Zeuthen, explique pourquoi la solution doit dépendre des fonctions d’utilité cardinale des deux joueurs, définies dans les termes de leur attitude vis-à-vis du risque. Elle explique également pourquoi la solution doit être invariante lorsqu’elle respecte les transformations linéaires des fonctions d’utilité des joueurs. Dans l’approche originelle de Nash, ces propriétés devaient être supposées (...) ».
  • [5]
    Nous avons choisi d’illustrer la conception « homogène » de la théorie des jeux à partir de l’interprétation harsanyienne des articles de Nash. Une étude approfondie des travaux d’Ariel Rubinstein sur Nash pourrait également servir de point de départ et de fil conducteur. Le célèbre scénario de Rubinstein [1982], en information complète, décrit la négociation comme un jeu séquentiel de propositions et de contre-propositions, il met bien en scène des stratèges. Binmore, Rubinstein et Wolinsky [1986] ont démontré que « lorsqu’on fait tendre les délais de négociation du jeu de Rubinstein vers zéro,... [on] tend vers la solution de Nash » (Rullière [2000, p. 1179]). Rubinstein [1995] insiste sur le rôle de l’axiome de symétrie dans la démonstration de 1950 et développe une argumentation très proche de celle d’Harsanyi lorsqu’il présente la relation entre les deux articles de Nash. Sur un plan biographique, on peut souligner que Nash a obtenu le prix Nobel en 1994 (avec Harsanyi et Selten), en grande partie grâce aux efforts de Rubinstein (Nasar [2001, chap. 48]).
  • [6]
    Pour la démonstration, cf. Ponssard [1977, p. 122-123] et Luce et Raiffa [1957, p. 133-134].
  • [7]
    Cet exemple est vraiment très simple au vu des raffinements de certaines analyses (Peters [1992] ou Thomson ; Lensberg [1989]). Pour une première approche de cet exercice de comparaison, on peut consulter Thomson [1994], et surtout Kalaï [1985] ou Fleurbaey [1996, p. 187-192].
  • [8]
    Apparemment, Nash s’en est vanté dans sa jeunesse et Leonard [1994, p. 497] l’affirme dans son texte, mais Nash est revenu sur ses dires après la publication de l’article de Leonard (Nasar [2001, note 24, p. 480]).
  • [9]
    « L’auteur souhaite reconnaître l’assistance des professeurs von Neumann et Morgenstern qui ont lu la version originale de cet article et ont donné des conseils avisés pour sa présentation. » Nash [1950a, p. 155, note 1].
  • [10]
    Gauthier [1986] s’inspire de la solution de Kalaï et Smorodinsky pour construire sa théorie morale. Yaari [1981] estime également que Rawls, Edgeworth, Shapley et Nash peuvent alimenter une réflexion sur les théories économiques de la justice. Young [1994] adopte une perspective semblable (voir en particulier le chapitre 7 « Fair Bargains »).
  • [11]
    Dans les années cinquante à Princeton, Nash et Shapley, alors tous les deux brillants étudiants, eurent de nombreuses discussions sur la théorie des jeux et en particulier sur les relations entre théorie des jeux coopératifs et non-coopératifs (Nasar [2001, chap. 11, p. 120-125]).
  • [12]
    Le chapitre étudie la valeur de Shapley [1953] et le nucleolus (Schmeidler [1969]).
  • [13]
    Moulin ne s’attaque pas directement à Harsanyi [1966], mais à Aumann [1987]. Cependant, Aumann, reprend la définition d’Harsanyi pour distinguer théorie des jeux coopératifs et non-coopératifs (Aumann [1987, p. 463]).
  • [14]
    Les deux autres modes sont les accords « directs » et la décentralisation.
  • [15]
    Myerson [1991], cité en introduction.
Français

Grâce au programme de Nash, la théorie des jeux contemporaine donne l’image d’une discipline homogène fondée sur la rationalité individuelle stratégique. Les approches coopérative et non coopérative se complètent et ne requièrent qu’un seul modèle de joueur. Historiquement, le programme de Nash renvoie au problème de la négociation (Nash [1950a, 1953]). Il suppose une certaine interprétation du premier article de Nash: la démarche axiomatique de «The Bargaining Problem» manque de fondements et doit être complétée par une procédure non-coopérative. Un autre regard sur l’article de 1950 reste possible, il privilégie les aspirations des joueurs à une solution équitable. Il conduit à la définition d’un programme de recherche concurrent et implique une conception hétérogène de la théorie des jeux. Deux modèles de joueur sont indispensables pour couvrir le champ des deux composantes — coopérative et non coopérative — de la discipline.

  • coopération
  • théorie des jeux
  • équité
  • joueur
  • nash
English

Nash : A change of program ?

With Nash’s program, contemporary game theory appears like an homogeneous sub-ject based on individual strategic rationality. Cooperative and non cooperative approaches complement one another and request only one model of player. Historically, Nash’s program refers to the bargaining problem (Nash [1950a, 1953]). It supposes a definite interpretation of Nash’s first article: the axiomatic process of “The Bargaining Problem” lacks foundations and has to be completed by a non cooperative approach. An other view on this article is possible, it stresses on the ambitions of players to reach an equitable issue. It leads to the definition of a new alternative research program and involves an heterogeneous conception of game theory. Two models of player are necessary to cover the field of the two branches — cooperative and non cooperative— of the subject.

  • cooperation
  • game theory
  • fairness
  • player
  • nash

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Benoît Lengaigne [*]
  • [*]
    CLERSE, Lille 1-USTL, Faculté des sciences économiques et sociales, 59655 Villeneuve d’Ascq CLERSE (Centre lillois d’études et de recherches sociologiques et économiques), UMR 8019 CNRS. Benoit.lengaigne @ univ-lille1. fr
Mis en ligne sur Cairn.info le 01/02/2009
https://doi.org/10.3917/redp.145.0637
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