CAIRN.INFO : Matières à réflexion

Introduction

1Poincaré et Russell furent engagés dans un célèbre débat concernant la nature des mathématiques (et, en particulier, la nature du raisonnement mathématique) dans les premières années du xxe siècle [1]. Poincaré, en kantien déclaré, soulignait sans surprise le caractère synthétique et intuitif du raisonnement mathématique [2]. Ceci, bien évidemment, rendait son opposition générale à la conception logiciste du raisonnement mathématique inévitable, dans la mesure où les logicistes voyaient ce type de raisonnement comme une succession d’étapes de même nature que celles du raisonnement logique – étapes que Kant aurait décrites comme étant de nature analytique. Frege lui aussi considérait l’inférence logique comme étant de nature analytique, et ainsi, en plaidant pour le caractère logique du raisonnement mathématique, il en vint lui-même à promouvoir une approche fortement antikantienne. De fait, l’une des pièces maîtresses du credo logiciste consistait à réfuter Kant sur ce point précisément [3]. En conséquence, Poincaré voyait juste lorsqu’il considérait que sa conception kantienne du raisonnement mathématique constituait le point focal de son désaccord avec les logicistes.

2Il y a cependant quelque chose d’étrange dans l’échange entre Russell et Poincaré, et c’est par cette étrangeté que nous allons débuter notre enquête. L’étrangeté consiste en ceci qu’il y a un apparent manque d’engagement des deux côtés. Russell attaquait les conceptions kantiennes en se fondant sur le fait que les développements modernes en mathématiques et en logique manifestaient l’invraisemblance d’un tel point de vue [4]. Mais, suggérer que Poincaré, un des plus grands esprits mathématiques de tous les temps, ignorait ces développements (spécialement le travail de Dedekind et de Weierstrass en analyse !) ou qu’il n’avait pas réussi à percevoir leur potentiel réductionniste, défie toute vraisemblance. De fait, il est clair que ce n’était pas le cas. Il semble donc que Poincaré et Russell étaient simplement en désaccord sur la manière appropriée d’évaluer la portée de ces développements pour la philosophie kantienne des mathématiques. De plus, comme nous le montrerons plus bas, ce désaccord semble s’être fondé sur un désaccord plus fondamental portant sur ce que requerrait une réfutation de la conception kantienne. Ce qui est étrange, c’est qu’il semble que cela n’ait jamais été identifié comme étant le point focal de leur désaccord – ce qui a eu pour conséquence que Poincaré et Russell ne parvinrent jamais à pointer les différences qui les séparaient aussi clairement qu’ils auraient pu le faire.

3Une autre étrangeté du même genre est la divergence non explicitée de leurs interprétations de la notion clé du synthétique. Poincaré, de façon cohérente, développait son objection contre Russell en faisant valoir le caractère synthétique du raisonnement mathématique, suggérant par là que Russell défendait une conception analytique de l’inférence mathématique. Ce que tout le monde bien entendu sait, c’est que Russell lui-même affirmait (y compris dans le compte rendu de Poincaré [1903], cf. p. 414) qu’il considérait l’inférence mathématique, comme l’inférence logique sur laquelle il pensait qu’elle était basée, comme étant de nature synthétique. Pourquoi, dès lors, Poincaré présentait-il son désaccord avec Russell comme un désaccord portant sur la question du caractère synthétique du raisonnement mathématique ?

4N’étant que la résultante d’une différence verbale facile à identifier entre Russell et Poincaré concernant la signification du terme « raisonnement synthétique », cette étrangeté n’est, à un premier niveau, pas très intéressante. Ce qu’elle indique a néanmoins une importance bien plus considérable. Car elle indique la présence de deux conceptions très différentes de l’inférence synthétique dans deux philosophies rivales ; or ceci est, nous semble-t-il, d’une importance cruciale pour toute tentative de comprendre et d’évaluer le conflit entre elles. Tournons-nous donc vers ces deux conceptions pour en donner un rapide aperçu.

5Nous trouvons une description de la conception de Russell dans le compte rendu cité plus haut. Il y tente de faire passer pour dénué de tout véritable enjeu ce que Poincaré, suivant Kant, présentait comme le premier problème de la philosophie des mathématiques, c’est-à-dire le problème de savoir comment les mathématiques, qui sont à la fois rigoureuses et non tautologiques, peuvent être rigoureuses tout en étant non déductives, et non tautologiques tout en étant déductives. Ce que Russell fait, en réalité, consiste à passer de la conception kantienne du raisonnement synthétique selon laquelle la progression des prémisses à la conclusion implique une synthèse des prémisses par une certaine faculté de l’esprit (et non pas une simple analyse des prémisses), à une conception selon laquelle cette progression est conçue comme une extraction analytique à partir des prémisses d’une proposition distincte (propositionnellement parlant) de celles-ci [5]. Ce changement opéré, il continue en observant que même l’inférence syllogistique la plus élémentaire satisfait la condition posée dans cette définition. Il conclut ainsi que l’inférence logique possède la même caractéristique essentielle que celle qui, selon Poincaré, singularise les cas paradigmatiques de raisonnement mathématique, comme l’induction mathématique, et que, ceci étant le cas, l’usage de l’inférence non logique (comme l’induction mathématique) dans le raisonnement mathématique peut être perçu comme inessentiel dans l’explication des deux données fondamentales de la philosophie mathématique mises en avant par Poincaré dans sa discussion du logicisme – à savoir, le fait que les mathématiques sont plus qu’une « vaste tautologie » et le fait qu’on trouve plus dans les théorèmes des mathématiques que dans les axiomes [6]. En d’autres mots, le raisonnement mathématique, bien qu’il soit logique, n’en est pas moins pour autant « synthétique » et informatif [7].

6Les écrits de Poincaré, en revanche, montrent très clairement qu’il aurait rejeté la caractérisation du synthétique utilisée par Russell dans son argument. Pour lui, comme pour Kant avant lui, le raisonnement synthétique était considérablement plus que simplement une inférence valide dans laquelle les prémisses et la conclusion sont des propositions distinctes. Il impliquait, de surcroît, l’usage de ce que Poincaré appelait « intuition » – à savoir une connaissance valide non neutre et non globale utilisée pour enjamber la distance séparant la conclusion des prémisses. Dans le raisonnement mathématique, l’esprit apporte une contribution essentielle à la progression des prémisses à la conclusion. L’inférence mathématique ne se résume donc pas à une extraction de la conclusion à partir des prémisses par le moyen de l’analyse logique (un processus qui consiste essentiellement à comparer le contenu des prémisses au contenu de la conclusion), mais est bien plutôt une fusion entre une croyance ayant un contenu donné et certaines facultés proprement et distinctivement mathématiques de l’esprit pour produire une croyance ayant un contenu différent. En conséquence, la question pour Poincaré n’était pas, ce qu’elle était pour Russell, de savoir si le contenu de la conclusion d’une inférence donnée pouvait être considéré comme allant au-delà du contenu de ses prémisses au sens où il serait une proposition différente, mais plutôt de savoir s’il devrait être considéré comme allant au-delà des prémisses d’une façon telle que l’inférence conférerait à la conclusion le statut de nouveau fragment de connaissance authentiquement mathématique.

7Ainsi perçu, le désaccord entre Russell et Poincaré est donc représentatif de l’opposition traditionnelle entre les deux approches de la question de savoir si le raisonnement mathématique peut être légitimement réduit à un raisonnement purement logique ; Russell, le leibnizien, défend que c’est possible, Poincaré, le kantien, défend que ça ne l’est pas. Nous prendrons le parti de Poincaré dans ce débat, au moins pour soutenir avec lui que le logicisme ne peut pas légitimement être considéré comme ayant rendu intenable le point de vue kantien. De plus, nous défendrons l’idée que ceci n’est pas dû à l’échec des logicistes à accomplir leur programme comme ils l’entendaient, mais bien plutôt à des défauts stratégiques dans la conception même du programme lui-même. Le fait que Russell n’en ait pas pris conscience est dû au fait que, à la différence de Poincaré, il concevait le raisonnement mathématique simplement comme un raisonnement déductif à partir de prémisses mathématiques vers une conclusion mathématique. À l’opposé, le kantien Poincaré voyait bien le raisonnement mathématique comme un raisonnement déductif à partir de prémisses mathématiques vers une conclusion mathématique, mais un raisonnement qui était basé sur une appréhension proprement et distinctivement mathématique (non pas seulement logique) de la connexion entre les deux. Il adopta en conséquence l’opinion qu’il n’y a que peu de place, voire pas de place du tout, pour l’inférence purement logique dans le raisonnement mathématique.

8Le désaccord de Poincaré avec Russell ne portait donc pas sur les détails d’exécution ; son objection au logicisme ne consistait pas seulement à dire que certaines preuves particulières, ou certains genres particuliers de preuves, n’étaient pas formalisables dans le système proposé [8]. Poincaré pouvait bien ainsi reconnaître que chaque preuve mathématique a une contrepartie dans le (les) système(s) logiciste(s). Ce qu’il déniait est que ces contreparties logicistes soient des images épistémologiquement adéquates des preuves qu’elles visaient à remplacer. Le point central de sa critique était que la « logicisation » échoue à préserver les traits épistémologiquement importants de la preuve mathématique. C’est cela qui rend son refus du logicisme radical, car il revient à soutenir que, par essence, aucune preuve authentiquement mathématique ne peut être logicisée (puisque, étant logicisée, elle perd ses caractéristiques épistémologiques les plus propres et distinctives). Contre une telle critique, les minutieux tours de force (tels que ceux que l’on trouve dans les Principes des mathématiques et les Principia Mathematica) démontrant l’existence d’une contrepartie logique pour chaque théorème mathématique n’ont que peu de valeur, puisque ce qui est en jeu n’est pas de savoir si une contrepartie logique de chaque preuve mathématique existe, mais plutôt si la relation épistémologique que la preuve mathématique entretient avec sa contrepartie logique est de nature à permettre à cette dernière de remplacer de façon épistémologiquement appropriée la première.

9Le thème principal de cet article est ainsi qu’un logicisme qui, comme celui de Russell, se concentre sur la recherche de contreparties logiques des preuves mathématiques est incapable de réfuter l’approche kantienne. Notre plan est le suivant. Dans la section qui suit, nous faisons une brève présentation des différentes conceptions de l’inférence mathématique que l’on trouve chez Russell (et généralement chez les logicistes) et Poincaré. Ensuite, nous formulons et évaluons la défense logiciste d’une conception logique de l’inférence mathématique fondée sur la notion de rigueur, et nous donnons de brèves indications sur ce à quoi une conception kantienne alternative de la conséquence et de la rigueur pourrait ressembler. Dans la conclusion, nous verrons que, à la fois la thèse logiciste selon laquelle le raisonnement mathématique peut être « logicisé » et celle selon laquelle cette opération est requise pour atteindre la perfection de la rigueur, sont sans fondement.

Deux conceptions du raisonnement mathématique

10Comme nous l’avons mentionné plus haut, dans son échange avec Poincaré, Russell caractérisait le raisonnement synthétique comme un raisonnement qui conduisait d’une proposition à une autre, différente[9]. Sa conception du « processus » inférentiel était fondée sur un critère d’identité propositionnel, la non-identité entre les prémisses et la conclusion servant de moyen fondamental par lequel l’inférence devient épistémiquement productive ou créative. Cette conception du synthétique était donc utilisée pour supporter un argument en faveur de la thèse que même l’inférence purement logique peut « donner des vérités nouvelles », et ainsi qu’elle ne porte en elle-même aucune dissemblance fondamentale par rapport à des raisonnements basés sur des principes comme l’induction mathématique, que Poincaré considérait comme étant le paradigme de l’inférence synthétique [10].

11Une telle caractérisation du raisonnement synthétique est, bien entendu, plutôt faible et permet de qualifier toutes les inférences considérées traditionnellement comme analytiques (c’est-à-dire les diverses inférences syllogistiques) de synthétiques. Mais c’est précisément ce dont Russell avait besoin dans son débat avec Poincaré. Car son but était de montrer que l’inférence logique – ce que Russell appelait usuellement « déduction » ou « déduction pure » ou « déduction logique » – n’est pas moins capable de produire de nouvelles connaissances que les formes favorites de raisonnement non-logique mises en avant par Poincaré (en particulier, le raisonnement par induction). Sans une telle conception de l’inférence logique, le logiciste aurait beaucoup de mal à répondre à la question kantienne de savoir comment il se fait que le raisonnement mathématique réussisse à aller au-delà des axiomes de la pensée mathématique [11].

12Cette caractérisation basique de l’inférence synthétique fut plus tard affinée par Russell en une conception épistémique de l’inférence déductive [12]. Selon cette conception plus fine, l’inférence déductive est « un processus par lequel nous passons de la connaissance d’une certaine proposition, la prémisse, à la connaissance d’une autre proposition, la conclusion », processus qui est fondé sur notre connaissance d’une relation d’implication entre la prémisse et la conclusion – une connaissance dont Russell nous dit qu’elle nous donne le droit (épistémique) de croire la conclusion étant donné que nous connaissons les prémisses [13], et une connaissance qu’« il faut entendre au sens le plus large [nous soulignons], celui qui nous permet d’inférer la vérité de q si nous savons que p est vrai » [14].

13Pour Russell (et les logicistes en général), la source fondamentale de la productivité épistémique dans l’inférence était donc la non-identité des propositions qui en constituaient les prémisses et la conclusion. En d’autres mots, on peut rendre compte de toute la productivité épistémique contenue dans le raisonnement mathématique simplement en tenant un compte strict de ces différences dans l’identité propositionnelle. L’inférence est ainsi fondamentalement une affaire consistant à analyser des conditions de vérité d’une (d’un ensemble de) proposition(s) – la (les) prémisse(s) – jusqu’à ce qu’on soit capable d’identifier une autre proposition – la conclusion – dont les conditions de vérité sont de façon reconnaissable incluses dans celles des prémisses. L’extension épistémique par le moyen de la preuve mathématique est donc considérée comme possible seulement parce qu’il y a des paires de propositions p et q qui sont telles que la connaissance du fait que les conditions de vérité de p sont satisfaites autorise à croire que les conditions de vérité de q sont satisfaites, et ce en dépit que q ne soit pas la même proposition que p.

14Kantien comme il l’était, Poincaré voyait les choses différemment. Il aurait pu accorder que la source originelle de la productivité épistémique dans les inférences génériques ou non spécifiques est l’existence de paires de propositions différentes telles que la connaissance de l’une autorise la croyance en l’autre. Mais il n’aurait pas accordé que ceci s’appliquait au cas de l’inférence mathématique. Pour lui, la productivité épistémique caractéristique de la preuve mathématique authentique présuppose plus que l’existence reconnue de prémisses et de conclusions propositionnellement distinctes mais logiquement connectées. Et ceci parce que l’inférence mathématique ne relève pas d’abord d’une analyse des conditions de vérité des prémisses ayant pour but d’extraire une proposition différente, dont les conditions de vérités sont enveloppées dans celles des prémisses, mais consiste bien plutôt en une synthèse de certaines facultés de l’esprit avec les prémisses dans le but de parvenir à une proposition qui n’est pas contenue dans les prémisses elles-mêmes ; et c’est l’opération de ces facultés toujours actives de l’esprit sur les prémisses qui est la raison ultime de la productivité épistémique de l’inférence mathématique. Le raisonnement mathématique n’est plus ainsi d’abord perçu comme une relation entre des propositions, mais bien plutôt comme une relation épistémique entre des jugements, la relation entre les contenus propositionnels n’étant pas évaluée pas évaluée en termes logiques, mais en termes de relations induites par les catégories de la pensée mathématique.

15Poincaré et Russell soutenaient ainsi des conceptions radicalement différentes concernant la source de la productivité épistémique dans le raisonnement mathématique. Pour Poincaré, la déduction russellienne, bien qu’elle puisse se révéler à même de nous faire passer d’une connaissance générique d’une vérité mathématique à une connaissance générique d’une autre vérité, ne permet pas d’étendre notre connaissance authentiquement mathématique. Penser le contraire reviendrait à confondre la connaissance mathématique avec la connaissance générique d’une vérité mathématique, et l’extension de la connaissance mathématique avec l’extension de la connaissance générique des vérités mathématiques.

16Poincaré croyait ainsi que l’inférence de

17(i) p est une vérité des mathématiques

18et de

19(ii) X sait que p

20à

21(c) X a une connaissance mathématique (que p)

22est fallacieuse. En conséquence de quoi, il ne pouvait accepter la conception russellienne selon laquelle la connaissance que X a de q constitue une extension de la connaissance mathématique représentée par la connaissance que X a de p, si, en plus de (i) et (ii), les conditions (iii) X sait que p implique q, (iv) q est une vérité des mathématiques, et (v) q n’est pas la même proposition que p, sont satisfaites. Il ne pouvait pas non plus accepter la version alternative de cette conception qui, rejetant l’inférence de (i) et (ii) à (c), procède des prémisses (i’) X a une connaissance mathématique que p, (iii), (iv) et (v) à la conclusion que X a une connaissance mathématique de q[15].

23La source du kantianisme de Poincaré, et donc de son désaccord avec l’idée de « logiciser » les preuves, est une « observation » concernant les différences dans les conditions épistémiques entre, d’un côté, ceux qui effectuent un raisonnement authentiquement mathématique, et de l’autre, ceux qui effectuent un raisonnement purement logique. Cette observation semble avoir joué le rôle d’une « donnée » fondamentale dans son épistémologie des mathématiques. En son essence, l’observation se ramène à ceci : les inférences du mathématicien reflètent une pénétration de ce qui constitue les spécificités du sujet examiné qui n’est pas reflétée dans les inférences, neutres à l’égard du sujet, du logicien [16]. Dans cette perspective, la maîtrise logique d’un ensemble d’axiomes ne témoigne en elle-même d’aucune appréhension mathématiquement significative du sujet axiomatisé. Pour reprendre la figure utilisée par Poincaré, le logicien est comme un écrivain qui serait ferré en grammaire, mais qui n’aurait pas d’idée [17]. Le mathématicien, en revanche, est guidé par sa compréhension de l’« architecture » du sujet, et ses inférences se règlent ainsi sur la métrique déterminée par son « motif » propre et distinctif. La sensibilité à l’architecture locale est, selon Poincaré, le facteur clé séparant la condition épistémique du mathématicien de celle du logicien.

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« Notre corps est formé de cellules et les cellules d’atomes ; ces cellules et ces atomes sont-ils donc toute la réalité du corps humain ? La façon dont ces cellules sont agencées, et dont résulte l’unité de l’individu, n’est-elle pas aussi une réalité et beaucoup plus intéressante ?
Un naturaliste qui n’aurait jamais étudié l’éléphant qu’au microscope croirait-il connaître suffisamment cet animal ? Il en est de même en mathématiques. Quand le logicien aura décomposé chaque démonstration en une foule d’opérations élémentaires, toutes correctes, il ne possédera pas encore la réalité tout entière ; ce je-ne-sais-quoi qui fait l’unité de la démonstration lui échappera complètement.
Dans les édifices élevés par nos maîtres, à quoi bon admirer l’œuvre du maçon si nous ne pouvons comprendre le plan de l’architecte ? Or, cette vue d’ensemble, la logique pure ne peut nous la donner, c’est à l’intuition qu’il faut la demander [18]. »

25Le mathématicien fait ainsi usage d’inférences locales non logiques qui expriment sa saisie des traits structuraux particuliers du sujet. Celle-ci marque ainsi sa reconnaissance d’un « universel » local qui inclut un plan ou un thème architectural (une « unité ») « persistant » à travers les « différences » (les prémisses et la conclusion).

26Même si cette description des conceptions de Poincaré est grossière, elle permet de voir pourquoi Poincaré rejetait la conception russellienne du raisonnement. La plus grande différence entre eux est peut-être celle séparant leurs deux conceptions de l’extension épistémique et des moyens fondamentaux par lesquels l’inférence la fait advenir. Dans la perspective russellienne, nous avons vu que l’extension épistémique consiste dans le fait d’étendre notre saisie épistémique à une proposition qui est distincte, en tant que proposition, de chacune des propositions que nous avions jusque-là saisies. Ceci est à son tour rendu possible par notre capacité à détecter les relations d’implication logique qui ont lieu entre des propositions qui sont connues et d’autres propositions distinctes d’elles, qui ne sont pas connues.

27Poincaré, en revanche, avait à la fois une conception différente de l’extension épistémique et de la façon dont l’inférence la fait advenir. L’extension épistémique, au moins dans le cas de la connaissance mathématique, était conçue comme consistant en l’extension d’un genre distinctif de jugement (l’acte de connaître mathématique) en un nouveau contenu propositionnel. Dans cette perspective, la reconnaissance d’une relation d’implication entre une vérité mathématique p connue (et même, connue mathématiquement) et une vérité mathématique différente q n’offre pas un support suffisant à une croissance épistémique du genre approprié (i.e., à une croissance de la connaissance mathématique). Bien au contraire, une telle croissance présuppose la satisfaction d’au moins deux conditions supplémentaires : (1) que p et q soient perçues comme mathématiquement différentes (i.e., que leur différence soit perçue comme étant mathématiquement significative), et (2) que p soit perçue comme impliquant mathématiquement q (i.e., que p et q soient perçues comme unifiées par une architecture mathématique commune de sorte que l’inférence de l’une à l’autre soit perçue comme constituant le « développement » d’un thème structurel pertinent pour le mathématicien).

28Telles sont donc les deux conceptions différentes de l’inférence qui sous-tendent les conceptions que se font Russell et Poincaré de la preuve. Mais sont-elles si différentes ? On pourrait être tenté de dire qu’elles ne le sont pas – que l’approche de Poincaré est ultimement réductible à la position de Russell, en ce que l’on peut utiliser un dispositif consistant à encoder la connaissance de l’« architecture locale » du sujet qu’a celui qui raisonne comme Poincaré le décrit dans autant d’axiomes qu’il faut à la preuve de prémisses. Au fond, cela revient à dire que, à chaque fois qu’une architecture locale est considérée par le disciple de Poincaré comme étant ce qui autorise une inférence non logique de p à q, le disciple de Russell encode cette inférence comme un axiome de la forme « si p, alors q », et qu’il effectue ensuite le passage de p à q par le moyen de l’inférence purement logique (modus ponens) en utilisant cet axiome comme une prémisse additionnelle. De cette façon, l’accent mis par le disciple de Poincaré sur l’importance de la connaissance du sujet local peut être maintenu tout en préservant, dans le même temps, la demande russellienne que toutes les inférences apparaissant dans une preuve mathématique soient des inférences purement logiques.

29Une telle tentative de réduire l’inférence à la Poincaré à une inférence logique repose cependant sur une incapacité à marquer la différence subtile mais crucialement importante entre les deux. Cette différence consiste dans le fait que, là où le disciple de Poincaré soutient que l’inférence de p à q implique de façon décisive l’appréhension ou l’intuition d’une connexion « architecturale » entre les deux propositions, le logiciste requiert simplement la reconnaissance du fait que la vérité de l’une justifie la vérité de l’autre. Il se peut, bien entendu, que la saisie du lien architectural entre p et q nous procure une garantie permettant d’accepter la proposition conditionnelle « si p, alors q ». Il ne s’ensuit cependant pas que la première soit réductible à la seconde. En effet, le disciple de Poincaré maintiendra qu’elle ne l’est pas dans la mesure où, en plus de procurer une garantie permettant d’affirmer que si p alors q, la première manifeste également que p et q sont mathématiquement connectées.

30Ceci indique qu’il y a une différence épistémologique fondamentale entre les conceptions de la preuve développées par Russell et Poincaré, différence que nous allons maintenant rapidement présenter. Au cœur de l’épistémologie de la conception russellienne ou « logique » de la preuve, on trouve un certain acte d’abstraction ou de réflexion par le moyen duquel les conséquences sémantico-épistémiques classiques (par exemple, la vérité ou fausseté classique, le fait d’être ou non une garantie, les degrés de la garantie, son caractère a priori, etc.) de l’évidence justifiante sont séparées ou détachées de cette évidence elle-même. Dans cette perspective, la valeur fondamentale de l’évidence est qu’elle nous permet de déterminer la valeur de vérité de la proposition exprimant son contenu d’une des façons reconnues classiquement (i.e., de façon justifiée, de façon a priori justifiée, etc.). De même, la valeur fondamentale de l’inférence est qu’elle nous permet d’utiliser la détermination de la valeur de vérité d’une proposition comme un moyen de déterminer les valeurs de vérités d’autres propositions.

31Le disciple de Russell opte ainsi pour une épistémologie qui remplace les epistemia du disciple de Poincaré par leurs effets sémantico-épistémiques génériques ou classiques. Ce dernier, en revanche, maintient fermement une conception selon laquelle l’inférence mathématique est un processus qui requiert une appréhension authentiquement mathématique (et non pas simplement logique) de la connexion entre prémisses et conclusion. Pour le disciple de Poincaré, ce n’est pas assez de percevoir que les valeurs de vérité des prémisses et de la conclusion sont alignées d’une certaine manière ; on doit également les voir comme étant liées ensembles par un universel ou une architecture mathématique (quelque chose qui n’est pas épistémiquement réductible à une réflexion sur ses effets sémantico-épistémiques classiques). Ainsi, alors que les inférences à la Russell représentent une forme de connaissance globalement valide, neutre eu égard au sujet (et en conséquence insensible aux variations locales), les inférences à la Poincaré représentent une forme de connaissance valide localement, spécifique eu égard au sujet, qui a en elle-même un caractère proprement et distinctement mathématique.

32Ceci indique une différence structurelle importante séparant les conceptions que Russell et Poincaré se font de l’inférence. Selon le premier, une inférence peut être utilisée pour étendre la connaissance mathématique de p à q, et ce, même si elle (i.e., l’inférence) ne représente pas elle-même une connaissance mathématique authentique. Le second, en revanche, interdit cela, maintenant à la place un principe de conservation épistémique eu égard à l’extension inférentielle de la connaissance mathématique. Selon ce principe, l’inférence ne peut pas être épistémiquement « créative » (au sens où elle étend la connaissance mathématique que p en la connaissance mathématique que q) sans être elle-même une connaissance proprement et distinctivement mathématique (i.e., sans elle-même constituer une appréhension authentiquement spécifique du sujet mathématique donné) [19].

33Une inférence de p à q, selon Poincaré, ne peut en conséquence pas être réduite à l’inférence « logicisée » modus ponens

34p

35Si p, alors q

36. : q

37Penser le contraire est se montrer proprement incapable de comprendre la différence entre une évidence mathématique et ses effets classiques ou génériques. Ce n’est pas l’assurance que la relation entre les valeurs de vérité de p et de q soit du type approprié [20] qui constitue l’essence de la preuve mathématique de q à partir de p, mais plutôt la perception de p et de q comme subsumées par un universel ou une architecture proprement et distinctement mathématique [21].

Deux conceptions de la rigueur mathématique

38Le disciple de Poincaré (celui de Kant plus généralement) opère ainsi à partir d’une position qui pourrait être caractérisée comme une conception « locale » du raisonnement. Pour lui, le raisonnement est hétérogène. Il n’est pas un. Il n’est pas gouverné par un seul ensemble de lois fondamentales, mais plutôt organisé en groupes locaux ayant chacun son ensemble de lois propres et distinctives. Les principes du raisonnement mathématique sont en conséquence non pas des lois qui s’appliquent à la conduite de toute activité pensante, mais bien plutôt des principes dont la validité dérive de, et est donc restreinte à, un certain domaine particulier de pensée. L’induction mathématique était bien entendu l’exemple célèbre que Poincaré donnait d’un principe de ce genre. Il précisait de façon bien claire cependant que ce n’était là qu’un exemple, et que ce principe ne devait pas être identifié à une forme originelle à laquelle tous les raisonnements mathématiques pourraient ou devraient être réduits [22].

39Le logiciste (i.e., le disciple de Leibniz), en revanche, est engagé dans la recherche d’une characteristica universalis et d’un calcul ratiocinator qui l’accompagne, une recherche qui présuppose une conception fortement normalisée ou « globale » du raisonnement. Dans cette perspective, il y a une grammaire commune qui unifie toutes les sphères de la pensée et une structure-compagnon sous-tendant cette grammaire qui dicte une « logique » générale – c’est-à-dire un système général de principes sur lequel la pensée, dans toutes ses sphères, se règle lorsqu’elle se meut d’un jugement à un autre. La tâche du philosophe est de découvrir et d’articuler ces principes.

40Frege a énoncé son allégeance à une telle conception « globale » du raisonnement dans un passage mémorable qui, en dépit de l’anachronisme, peut se lire comme s’il avait été écrit pour Poincaré, puisqu’il dénie expressément que l’induction mathématique constitue une forme proprement et distinctement mathématique de raisonnement. « La pensée », écrivait-il, « est partout la même, essentiellement : on n’observe pas que des lois de la pensée soient de différents types selon l’objet auquel elle s’applique ». Il poursuit en effet, « même l’inférence de n à n + 1, à première vue proprement mathématique, repose sur des lois logiques générales … » [23].

41Russell présupposait aussi une conception globale de la logique dans l’élaboration de son attaque de Kant. Il commençait par définir la logique formelle ou symbolique comme l’étude de « l’inférence en général » [24], et affirmait ensuite que la question décisive pour l’approche kantienne [25] était celle de savoir si « les raisonnements en mathématiques sont d’une quelconque façon différents de ceux de la logique formelle ». Il répondait par la négative, référant au traitement détaillé des Principia Mathematica et aux Principes des mathématiques comme à une preuve positive, et il attribuait le fait que Kant soit d’une opinion contraire à l’état de sous-développement dans lequel la logique et les mathématiques se trouvaient en son temps [26].

42La thèse selon laquelle il y a une homogénéité du raisonnement est, de façon reconnaissable, leibnizienne dans son caractère, et elle semble provenir de l’idée que l’inférence (déductive) est essentiellement une affaire d’analyse – c’est-à-dire, (i) qu’elle consiste en l’extraction d’une proposition à partir d’une autre (i.e., différente) proposition dont les conditions de vérité incluent ses conditions de vérité, et (ii) que les types ou variétés d’une telle « inclusion » analytique ne varient pas en fonction des sujets dont traitent les propositions impliquées. Ceci étant accordé, l’inférence déductive doit être uniforme. De plus, pour réellement valoir comme déduction, une preuve doit clairement indiquer quelles sont les opérations analytiques (i.e., les inférences logiques) qui sont utilisées pour « passer » des prémisses à la conclusion.

43Le logiciste trouverait en conséquence naturel de penser que c’est seulement à travers la « logicisation » de son raisonnement que la pensée mathématique peut atteindre un statut clairement et « rigoureusement » déductif. Russell considérait cette demande de rigueur comme un des thèmes les plus saillants des mathématiques modernes [27] :

44

« Les mathématiques sont une science déductive : à partir de certaines prémisses, et par un strict processus de déduction, elles prouvent les nombreux théorèmes qui les constituent. Il est vrai que, dans le passé, les déductions mathématiques manquaient grandement de rigueur ; vrai aussi qu’une rigueur parfaite est un idéal difficilement réalisable. Et pourtant, une preuve mathématique qui manque de rigueur est une preuve fautive… En mathématiques, une fois que les prémisses ont été posées, il n’est jamais permis de faire appel au sens commun, à l’« intuition », ou à quoi que ce soit hormis une stricte logique déductive. Kant avait élaboré une théorie du raisonnement mathématique selon laquelle les inférences n’y sont jamais purement logiques, mais doivent toujours s’appuyer sur ce qu’on appelle l’« intuition ». La tendance générale des mathématiques modernes, avec leur objectif de rigueur toujours plus grande, va à l’encontre de la théorie kantienne [28]. »

45Nous devons en conséquence demander si la rigueur, ou tout du moins la rigueur au sens idéal du mot, requiert la « logicisation ».

46Afin de répondre à cette question, il est nécessaire de donner d’abord une présentation de ce qu’est la rigueur et de la raison pour laquelle elle devrait être désirée. Ce n’est pas une tâche facile, car plusieurs théories alternatives peuvent être développées. Nous allons pour le moment ne considérer que la version logiciste.

47Le premier logiciste, Leibniz, proposait une réponse intrigante. Il croyait que la principale tâche du mathématicien effectuant des preuves était de recouvrir et d’exposer l’ordonnancement objectif des vérités mathématiques. Cette croyance en une hiérarchie objective des vérités était liée à un idéal épistémologique que Leibniz décrivait dans la remarque suivante :

48

« La raison est la vérité connue dont la liaison avec une autre moins connue fait donner notre assentiment à la dernière. Mais particulièrement et par excellence on l’appelle raison, si c’est la cause non seulement de notre jugement, mais encore de la vérité même. [29] »

49Le but d’une preuve (et plus généralement, de la justification) est apparemment, dans cette conception, de révéler la hiérarchie des vérités dont dépend la vérité de la proposition prouvée. De cette manière on explique de la façon la plus complète et la plus satisfaisante pourquoi la proposition en question est vraie. Cependant, pour révéler les fondements d’une vérité donnée avec le maximum de clarté, on doit prendre garde à ce qu’aucun fondement non déclaré ne soit « dissimulé » dans nos preuves. Leibniz n’a pourtant pas grand-chose à dire sur la manière d’y parvenir. Ceci restera ainsi un problème que les logicistes venant après Leibniz devront chercher à régler.

50Citant Leibniz avec approbation (bien que ce soit un autre passage, à savoir le livre IV, chap. VII, §9, dans lequel Leibniz décrit la fin de l’enquête comme étant la découverte « de l’ordre naturel des vérités »), Frege décrivait le but du programme logiciste comme étant celui de révéler les fondements ultimes des vérités de l’arithmétique [30]. Il faisait l’hypothèse que, en dernière instance, ceux-ci apparaîtraient comme étant reliés aux lois les plus fondamentales de la pensée – les lois de la pensée rationnelles per se, les lois de la logique – d’une manière à peu près similaire à la façon dont les théorèmes de géométrie sont reliés aux lois les plus basiques du raisonnement spatial [31].

51Pour le montrer, Frege pensait cependant qu’il était nécessaire de présenter chaque élément de la justification idéale d’une loi arithmétique de sorte que l’on puisse déterminer si oui ou non il était « une loi logique générale ou une définition ». Une telle tâche, disait Frege, exigeait une adhésion à des standards de rigueur considérablement plus stricts que ceux qui avaient cours dans les mathématiques ordinaires. Comme Frege le formulait lui-même :

52

« (…) le mathématicien est satisfait quand le passage à un nouveau jugement s’impose par l’évidence, et il ne s’interroge pas sur la nature de cette évidence, qu’elle soit logique ou intuitive. Or, un tel progrès est souvent un acte complexe qui équivaut à plusieurs inférences simples, parmi lesquelles peut s’insérer un élément intuitif. Dans les preuves telles qu’on les connaît, on avance par sauts. (…) De tels passages, néanmoins, s’imposent souvent à notre évidence sans que nous prenions conscience des étapes intermédiaires ; et comme on n’y reconnaît aucun des modes d’inférence logiques connus, on incline à tenir cette évidence pour intuitive et la vérité déduite pour une vérité synthétique. (…) » [32]

53Quant à Russell, rien n’indique, à ma connaissance, qu’il acceptait la conception leibniziano-fregéenne d’une hiérarchie objective de vérités, ou l’opinion subsidiaire que la justification idéale doit retracer l’engendrement d’une vérité donnée jusqu’à ses origines dans une telle hiérarchie [33]. Il adoptait cependant une conception de la preuve selon laquelle le but de la preuve est de « découvrir » les conditions de la vérité de la conclusion dans celles des prémisses. Prouver était ainsi pour Russell, comme cela l’était pour Frege et Leibniz, une affaire consistant à analyser ou à « dérouler » suffisamment loin les conditions de vérité d’une proposition pour voir les conditions de vérité d’une autre proposition, « contenues » en elles. En conséquence, la rigueur était pour lui l’exigence que les conditions de vérité des prémisses soient suffisamment dévoilées pour que l’on soit capable de reconnaître de façon probante que les conditions de vérité de la conclusion y sont contenues. Il pensait de plus qu’un système de preuves rigoureuses de ce genre révélerait que les vérités des mathématiques dépendent seulement d’un ensemble spécifié de lois fondamentales et d’un ensemble spécifié de principes d’inférence, tous les deux d’une nature clairement et indiscutablement logique [34].

54Les difficultés associées à la recherche logiciste d’un ensemble de lois fondamentales ont, bien entendu, été très largement discutées. Suffisamment pour qu’il ne soit pas nécessaire de les répéter une fois de plus ici. La même chose ne peut cependant pas être dite de la recherche d’un ensemble de principes d’inférence fondamentaux (en dépit du fait qu’ils sont les éléments du logicisme qui concernent le plus directement les questions de savoir si le raisonnement mathématique est de caractère logique ou intuitif), et des progrès dans la rigueur qui peuvent être attendus d’une « logicisation » du raisonnement mathématique. J’aimerais donc brièvement aborder ces thèmes.

55Il n’est pas facile, je pense, de dire pourquoi on devrait attendre d’une formalisation du genre de celle développée par Frege et Russell un perfectionnement de la rigueur du raisonnement formalisé. Selon l’approche traditionnelle, l’accroissement de la rigueur dans la formalisation présuppose une distinction entre termes logiques et termes non-logiques. Une fois la distinction faite, la rigueur est en effet comprise comme une exigence de complet dévoilement ; à savoir, une exigence que tout morceau d’information substantielle, non-logique, utilisé dans la preuve soit expressément déclaré comme étant tel.

56La formalisation est supposée faciliter un tel dévoilement. Pour voir comment, considérons la distinction familière entre axiomatisation et formalisation. L’axiomatisation est le processus par lequel les propriétés des termes non logiques auxquels on fait appel dans une preuve sont « absorbées » par un ensemble d’énoncés explicitement posés qu’on appelle les axiomes du sujet en question. Lorsqu’un sujet est axiomatisé, il ne doit jamais être nécessaire de faire appel à l’intuition en allant des prémisses à la conclusion, ce quelle que soit l’inférence considérée. Si cela se révélait nécessaire, l’axiomatisation donnée ne pourrait pas être considérée comme complète : elle ne subsumerait pas encore l’information contenue dans l’intuition que nous venons de mentionner. Ainsi, si les axiomes sont complets, nous devons être capables de vérifier la validité d’une inférence sans faire appel à quelque information substantielle que ce soit, et ainsi être à même de traiter les termes non logiques du sujet comme de simples symboles dénués de toute signification substantielle. En d’autres mots, nous devrions être capables de progresser des axiomes aux théorèmes d’une manière purement « formelle » – une manière qui nous garantit que nous n’introduisons pas la moindre information substantielle non déclarée en contrebande dans nos preuves.

57L’axiomatisation, donc, devrait permettre à celui qui raisonne de ne pas prendre en compte les significations des termes non logiques d’un sujet lorsqu’il vérifie si un argument donné a ou non une forme jugée correcte. Celui qui raisonne peut encore avoir à utiliser sa connaissance des catégories grammaticales auxquelles un terme non logique donné appartient, et il doit encore se reposer sur une compréhension intuitive des significations des termes logiques qui apparaissent dans les preuves, mais il n’a plus besoin du tout de faire appel à sa compréhension de la signification des termes non logiques. En conséquence, il a éliminé de son raisonnement sur le sujet toute référence aux significations des termes non logiques du sujet – dans cette mesure, on peut dire qu’il a rendu son raisonnement neutre eu égard au sujet.

58Le second composant de la formalisation – ce que nous appelons la formalisation au sens propre – fait pour les éléments logiques du sujet ce que l’axiomatisation réalise pour les éléments non-logiques. Par ce moyen, les déclarations explicites de toutes les informations, quel que soit leur genre (non-logique, logique, ou grammaticale), utilisées dans une preuve doivent être explicitement déclarées. De cette manière, tout appel à la signification (à l’intuition) de quoi que ce soit, excepté à des informations spatio-temporelles du genre le plus rudimentaire qu’il soit, est éliminé des jugements de ce qui doit compter comme une preuve.

59Nous allons ici concentrer notre attention plutôt sur l’axiomatisation que sur la formalisation au sens propre. Comme nous l’avons noté, elle est censée contribuer à l’acquisition de la rigueur en repoussant toute information substantielle utilisée dans la preuve dans les prémisses, et ainsi ultimement dans les axiomes de la théorie. Les inférences substantielles – à savoir, les inférences qui requièrent une connaissance substantielle ou non-logique afin de juger si la vérité de leurs conclusions est garantie par la vérité de leurs prémisses – sont éliminées et énoncées comme prémisses : soit comme des axiomes, soit comme des théorèmes « précédemment » dérivés des axiomes. Ceci réalisé, les seules inférences restantes sont des inférences logiques – à savoir, des inférences qui ne requièrent pas de connaissance substantielle pour leur vérification. L’axiomatisation concentre ainsi toute l’information substantielle dans les prémisses originelles ou axiomes explicitement déclarés de la théorie.

60Ceci constitue, je le crois, la description la plus basique de la connexion entre « logicisation » de la preuve et amélioration de la rigueur à laquelle auraient adhéré les mathématiciens modernes (à savoir Dedekind et Weierstrass) que Russell identifiait comme ses champions de la rigueur. Il est crucial de noter, cependant, que Russell admet comme présupposition fondamentale qu’il y a deux sortes de termes en mathématiques – logiques et non-logiques – qui doivent être distingués, et que la rigueur est atteinte en demandant que tous les appels aux significations des seconds faits librement au cours de la preuve soient explicitement enregistrés comme axiomes. Énoncée de manière un peu plus précise, l’idée est (i) que les entorses à la rigueur apparaissent lorsque l’information est dissimulée, (ii) que l’on possède un contrôle adéquat sur le risque de dissimuler une information dans une preuve si et seulement si l’information contenue en elle est repoussée dans les prémisses [35], (iii) que ce qui a un caractère logique est totalement vide d’information, que, en conséquence, (iv) l’information contenue dans une preuve est repoussée dans ses prémisses ce qui transforme toutes les inférences en inférences logiques (i.e., ce qui les « logicise »), et finalement (v) que le danger des entorses à la rigueur est donc adéquatement sous contrôle quand et seulement quand une preuve est « logicisée ».

61La conception moderne de la rigueur n’est pas, cependant, quelque chose que le logiciste peut exploiter comme bon lui semble. Ceci parce que le logiciste doit voir le logique comme étant tout aussi informatif que le non-logique s’il veut répondre au défi kantien consistant à expliquer pourquoi les mathématiques sont plus qu’une « vaste tautologie ». Il s’ensuit que, pour lui, la distinction entre l’informatif et le non-informatif ne peut pas suivre la ligne de démarcation entre le logique et le non-logique. Il doit en conséquence rejeter les étapes (ii) et (iv) du raisonnement ci-dessus, et également l’inférence de (i), (ii) et (iv) vers (v). Le refus d’aligner l’informatif sur le non-logique et le non-informatif sur le logique est donc central dans le logicisme. C’est cependant précisément cet alignement qui est central dans la préoccupation des mathématiques modernes pour la rigueur. Son but originel est d’exposer toute l’information utilisée dans la preuve, et « logiciser » une preuve est supposée faciliter une telle opération en vidant les inférences apparaissant dans la preuve de tout leur contenu informatif. Pour les logicistes, en revanche, la logique est pleine de contenu et informative. « Logiciser » une preuve ne peut pas, en conséquence, être perçu comme une opération consistant à vider les inférences de toute l’information pour la distiller dans les prémisses. Nous concluons donc que la tentative de Russell pour présenter la « logicisation » comme un développement naturel de l’accent moderne mis sur la rigueur est d’une justesse discutable. La thèse ne semble pas prendre suffisamment en compte les différences séparant la conception de la rigueur des logicistes, de la conception qui est généralement celle des mathématiciens modernes. En particulier, elle échoue à donner la place qu’il mérite au fait qu’il y a un désaccord fondamental entre le logicisme et les mathématiques modernes concernant l’informativité (mathématique) des énoncés et des inférences logiques.

62Frege était bien conscient de cette différence et il a consacré un temps considérable à distinguer à la fois son propos et ses techniques de celles des mathématiciens ordinaires, même de celles des autres logicistes comme Dedekind (qui, comme noté plus haut, était un des mathématiciens modernes identifiés par Russell comme étant un champion de la rigueur [36]). Dans un passage révélateur dans lequel il décrivait les exigences spéciales du programme de recherche logiciste eu égard à la rigueur, il écrivait :

63

« Mon propos nécessite de nombreux écarts par rapport à ce qui est commun en mathématique. Les exigences concernant la rigueur de la démonstration conduisent inévitablement à des développements plus longs ; toute personne oubliant ce point sera de fait surprise par le caractère souvent laborieux de la démonstration d’une proposition qu’il croyait pouvoir saisir en un seul acte de pensée. Ce sera particulièrement frappant si on compare mon travail à l’ouvrage de M. Dedekind Was sind und was sollen die Zahlen ?, le livre le plus profond sur les fondements de l’arithmétique que j’ai eu sous les yeux ces derniers temps. Dans un espace beaucoup plus petit, il va beaucoup plus loin concernant les lois de l’arithmétique qu’il n’est fait ici. Cette brièveté n’est assurément atteinte que parce que beaucoup ne sont tout simplement pas véritablement démontrés. M. Dedekind se contente souvent de dire que la démonstration résulte de tels ou de tels théorèmes, il utilise des points de suspension … ; nulle part on ne trouve chez lui une liste des lois logiques ou autres, qu’il prend pour base, et, même s’il y en avait une, on n’aurait aucune possibilité de prouver qu’une autre n’est pas en réalité appliquée ; car pour cela, non seulement les démonstrations devraient être indiquées, mais aussi conduites sans lacunes. M. Dedekind est, comme moi-même, d’avis que la théorie des nombres est une partie de la logique ; mais son ouvrage apporte à peine la confirmation de cette opinion, parce que les expressions qu’il utilise… ne sont pas usuelles en logique, et ne sont pas ramenées à des notions logiques connues. Je ne dis pas cela comme un reproche ; en effet, sa méthode peut avoir été pour lui la plus appropriée ; je ne le dis que pour donner, par contraste, plus de clarté à mon projet. La longueur d’une démonstration ne doit pas être mesurée à cette aune. Il est facile de rendre apparemment brève une démonstration sur le papier, en omettant beaucoup d’étapes intermédiaires dans la chaîne inférentielle et en résumant de longs morceaux. On se contente le plus souvent de ce que chaque étape de la démonstration soit évidemment correcte, et il en est bien ainsi si on veut seulement convaincre autrui de la vérité des théorèmes à démontrer. Mais s’il s’agit de pénétrer la nature de cette évidence, cette méthode ne suffit pas ; on doit poser toutes les étapes intermédiaires, pour que la lumière entière de la conscience puisse s’y poser. Certes, d’habitude, les mathématiciens ne s’intéressent qu’au contenu du théorème et à ce qu’il soit démontré. Ici la nouveauté ne tient pas au contenu du théorème, mais à la manière dont la démonstration est conduite et sur quel fondement elle repose [37]. »

64Le but poursuivi par Frege dans son entreprise de rigorisation était ainsi d’atteindre « une position d’où il est possible de juger de la nature épistémologique de la loi qui est prouvée » [38] – une « connaissance exacte des fondements sur lesquels chaque théorème particulier repose » [39]. Par « fondements » sur lesquels une proposition donnée repose, Frege, bien entendu, avait en tête d’autres propositions ayant une relation d’implication logique au théorème prouvé et ayant elles-mêmes un caractère manifestement logique. Inspecter ces « fondements » servait alors la fin ultime pour laquelle la rigueur était cherchée, à savoir, clarifier la « nature épistémologique » du théorème prouvé.

65Cette reformulation des raisons pour lesquelles le logiciste cherche la rigueur permet de clarifier les différences qui le séparent des philosophes kantiens. Comme le logiciste, le disciple de Kant désire également que ses preuves clarifient la « nature épistémologique » de ce qui est prouvé. Il ne cherche pas cependant le même genre de « fondement » que le logiciste. En particulier, il ne cherche pas une autre proposition mathématique dont les conditions de vérité incluent celles du théorème à prouver. Il ne s’attend pas à trouver cela, puisque, dans sa perspective, le progrès d’un jugement à un autre dans l’inférence présuppose la contribution de l’esprit de l’agent qui infère. Il s’ensuit que le contenu de la conclusion est fonction, non pas seulement du contenu des prémisses, mais également des traits de l’esprit qui infère. Le philosophe kantien cherche donc pour prémisse une connaissance mathématique qui, sous l’action de l’activité cognitive de celui qui infère, conduit à la connaissance mathématique de la conclusion – ceci, même si les conditions de vérité de la première n’incluent pas celles de la seconde.

66Le philosophe kantien et le logiciste utilisent ainsi des conceptions vraiment différentes de l’inférence, de la conséquence et de la rigueur. Selon le logiciste, les composantes et comparatae principales d’une inférence sont les propositions, les contenus des croyances constituant les prémisses et les conclusions. La fonction de l’inférence, selon cette approche, est essentiellement celle de permettre le transfert de la garantie d’une proposition (la prémisse) à une autre (la conclusion), où la garantie est essentiellement conçue comme étant ce qui nous justifie à caractériser la proposition comme vraie. Elle permet à celui qui infère d’utiliser un moyen donné servant à identifier une proposition comme vraie en tant que moyen pour identifier une autre proposition comme vraie.

67Cette conception de la garantie épistémique et de l’inférence possède de nombreux traits remarquables. La plus importante pour notre propos est la façon dont elle rend la justification et la garantie « malléables ». Pour comprendre ce point, admettons qu’au moins certaines de nos justifications aient un contenu – c’est-à-dire qu’il y ait des propositions dont elles sont la justification. La question de la « malléabilité » de la justification peut-être perçue comme étant celle de savoir jusqu’à quel point la puissance de légitimation d’une justification (i.e., sa capacité à justifier les propositions) est liée à son contenu particulier. Elle sera dite être « malléable » selon le degré dont son pouvoir justificatif est transférable à des propositions étrangères à celles qui forment son contenu.

68Pour le logiciste, donc, le pouvoir justifiant d’une justification est transférable à toute proposition qui peut être extraite de son contenu de façon fiable par l’analyse logique. Ceci parce qu’il conçoit la fonction d’une garantie ou d’une justification comme étant simplement celle d’identifier une proposition comme vraie ; comme l’analyse logique d’une proposition donnée identifiée comme vraie peut conduire à l’identification comme vraies d’autres propositions, elle (i.e., l’analyse logique) peut être utilisée pour étendre la justification d’une proposition à une autre. En conséquence, puisqu’un bon nombre de propositions de ce genre sont distinctes du contenu en question, il s’ensuit que la conception logiciste de la justification rend le concept relativement malléable.

69Dans la perspective logiciste, les propositions sont donc identifiées à leurs conditions de vérité ou, en termes plus modernes, à la classe de leurs modèles. Conformément à cela, une proposition q est tenue pour être une conséquence d’une proposition p chaque fois qu’il n’y a aucun modèle de p qui ne soit pas également un modèle de q[40]. De façon correspondante, l’idéal de rigueur qui opère ici demande l’élimination des « lacunes » séparant les conditions de vérité des prémisses de celles de la conclusion, et pour réaliser ce but le logiciste requiert une analyse qui rende l’« inclusion » manifeste des secondes dans les premières. Dans les termes de la théorie des modèles, ceci revient à dire que l’analyse des prémisses et de la conclusion doit révéler que, en construisant un modèle pour les prémisses, on doit avoir également construit un modèle pour la conclusion. Si c’est le cas, alors aucun modèle ne peut prendre place « entre » la classe des modèles des prémisses et la classe des modèles de la conclusion, ce qui signifie qu’il n’y a aucune « lacune » séparant les conditions de vérité de la conclusion de celles des prémisses.

70Poincaré, à la manière des kantiens en général, accordait un plus grand degré d’autonomie (i.e., un plus faible degré de malléabilité) à la justification mathématique que ne le faisait le logiciste. Pour lui, la forme fondamentale de la justification – l’« intuition » – devait être conçue comme se distribuant à la façon d’une espèce naturelle. Selon cette manière de voir les choses, une proposition est mathématiquement justifiée seulement dans le cas où elle forme le contenu d’une justification mathématique – une « intuition ». Les justifications mathématiques sont les primitives de ces schèmes épistémologiques, et les propositions entrent sur la scène de façon dérivée comme les contenus abstraits des justifications. Ceci signifie qu’il y a autant de propositions mathématiquement justifiées qu’il y a d’intuitions dont elles forment le contenu. Cela signifie également que la garantie ne fonctionne pas seulement comme un moyen permettant de caractériser la vérité d’un contenu, mais bien plutôt qu’elle permet de caractériser mathématiquement ce contenu. L’« autonomie » de la justification mathématique qui caractérise ce point de vue implique que l’inférence, l’extension de la justification, ne procède pas selon des normes logiques.

71Puisqu’une proposition est, selon cette conception, mathématiquement justifiée seulement lorsqu’elle forme le contenu d’une intuition, l’inférence, l’extension de la justification mathématique, est essentiellement une affaire de création de nouvelle intuition. L’inférence n’est pas un transfert de la puissance de légitimation d’une ancienne justification (la justification de la prémisse) à une nouvelle proposition (la conclusion). Elle transforme bien plutôt une ancienne justification ou intuition – l’intuition de la prémisse – en une nouvelle intuition dont le contenu est la conclusion. C’est ceci que nous voulions dire lorsque nous parlions plus haut de « l’architecture » servant à unifier une prémisse avec une conclusion. L’appréhension d’une configuration architecturale s’effectue d’un seul coup, par une seule vision, une seule intuition, et le contenu de cette intuition peut être dit être la conclusion de l’inférence ainsi comprise, même si la saisie de la configuration architecturale elle-même peut être convenablement conçue plutôt comme un complexe que comme une intuition simple (une sorte de saisie intuitionnelle de la configuration en tant que développement de l’intuition de la prémisse) [41].

72Pour le kantien, donc, les ingrédients et comparatae basiques de l’inférence ne sont pas simplement les propositions mais les jugements ou positions d’attitudes propositionnelles. Il s’ensuit que la notion de conséquence est une notion épistémique et non pas seulement logique. Elle ne reflète pas tant une relation entre les contenus des prémisses et la conclusion que l’action de l’esprit de celui qui infère sur les jugements constituant les prémisses. Selon cette manière de voir l’inférence, les prémisses et les conclusions ne doivent pas être caractérisées à l’aide de modèles mais bien plutôt à l’aide d’ensembles d’esprits idéalisés (de sujets de la croyance, de sujets de la connaissance) d’un certain type cognitif. Le jugement constituant la conclusion est alors dit être un résultant du(es) jugement(s) constituant la(es) prémisse(s) seulement dans les cas où la classe des esprits (idéalisés) du type cognitif approprié qui caractérise la(es) prémisse(s) forme un sous-ensemble de la classe des esprits (idéalisés) du même type qui caractérise la conclusion [42].

73Le philosophe kantien est ainsi déterminé à employer une conception alternative de la rigueur – une conception qui mesure les lacunes ou les failles dans le raisonnement, non en termes de distance séparant des pas consécutifs, mais en termes de proximité de ces pas à l’intérieur d’une forme proprement mathématique d’appréhension et de compréhension. Selon cette conception, une inférence est sans lacune lorsque l’architecture mathématique dans laquelle la justification mathématique de la conclusion est prise est saisie comme un développement de la justification mathématique des prémisses. L’élimination des lacunes n’est en conséquence plus caractérisée par l’exclusion de toute information relevant spécifiquement du sujet traité dans l’inférence (qui est ce qui est demandé par l’absence logique de lacune) mais plutôt par l’inclusion d’une appréhension mathématique transformant une preuve de la prémisse en une preuve de la conclusion. Ce genre d’appréhension dynamique [transforming insight] fournit la pleine reconnaissance de ce qui tient ensemble les prémisses et la conclusion dans une preuve mathématique. Les lacunes logiques doivent ainsi être « complétées » (et non pas « éliminées ») par l’appréhension mathématique, et les lacunes dans la compréhension mathématique doivent être complétées même lorsqu’elles ne correspondent à aucune lacune logique. Dans la conception kantienne, l’absence logique de lacune n’est ainsi ni une condition nécessaire, ni une condition suffisante à la véritable rigueur.

Conclusion

74La description de la conception kantienne de l’inférence que l’on trouve ici ne constitue, bien entendu, pas une défense de celle-ci. Le but poursuivi n’a pas été apologétique. Notre objectif, plus limité, a été plutôt de répondre à la réfutation « logiciste » du point de vue kantien. La pomme de discorde entre les logicistes et les philosophes d’inspiration kantienne concernait la question de la connaissance mathématique, que les premiers pensaient être d’une nature fondamentalement logique et que les seconds pensaient être d’une nature proprement et distinctement non logique. Pour réfuter la vision kantienne, Russell pensait qu’il était suffisant de trouver une traduction logique de chaque théorème des mathématiques et une preuve logique de cette traduction.

75Pour un disciple de Kant, la question de savoir si cette description de la tâche des logicistes est admissible dépend de la question de savoir comment la notion de traduction est comprise. Si elle est comprise comme requérant la préservation des traits épistémiques essentiels de l’énoncé traduit, alors le philosophe kantien pourrait l’accepter, tout en insistant sur le fait que la traduction logique ne préserve pas les traits épistémiques clés des énoncés mathématiques [43]. Si, en revanche, la traduction logique n’est pas conçue de façon à garantir la préservation des traits épistémiques de ce qui est traduit, alors le disciple de Kant refusera de considérer la description susmentionnée comme constituant une bonne description de l’engagement des logicistes.

76Dans les deux cas, la réfutation logiciste échoue à atteindre les positions kantiennes. Dans les deux cas également, nous rencontrons des questions fondamentales pour le philosophe des mathématiques, dont celles concernant la nature des mathématiques, la nature de l’inférence, celle de la conséquence, celle de la rigueur. Celles-ci doivent à leur tour être reliées à la question suivante, à laquelle Poincaré attachait tout autant d’importance – à savoir celle de savoir s’il y a une différence importante entre la condition épistémique de celui qui a une compréhension authentiquement mathématique d’une proposition et la condition épistémique de celui qui a une maîtrise logique sur un ensemble de propositions qui l’impliquent. Poincaré croyait qu’il y en a une, et faisait de cette différence l’élément de base de son épistémologie mathématique. Russell, en revanche, semble soit ne pas avoir reconnu ce fait, soit avoir cru, de façon erronée selon moi, que le travail détaillé des Principia Mathematica, l’accent moderne mis sur la rigueur, et les progrès bien connus en logique et en mathématiques faits depuis l’époque de Kant, seraient assez bruyant pour couvrir ce silence [44].

77(Traduction Sébastien GANDON)

Notes

  • [1]
    Les œuvres dans lesquelles ce débat a pris place sont, du côté de Poincaré, [1906 a], [1906 b] et [1909]. Du côté de Russell, elles incluent [1905], [1906 a], [1906 b] et [1910].
  • [2]
    Cf. Poincaré [1908], livre II, chap. 3, section 1.
  • [3]
    Cf. Russell [1903], p. 4, 158, 259, 454, 456-61. Cf. également Poincaré [1908], livre II, chap. 3, section 1.
  • [4]
    Cf. [1903], p. 4, 456-61 pour un jugement sur l’importance du progrès en logique et p. 158, 259 pour une appréciation de l’importance des progrès dans « l’arithmétisation » des mathématiques en ce qui concerne la réfutation du point de vue kantien.
  • [5]
    Il dit la chose suivante : « M. Poincaré ne donne aucun élément en faveur de la conception selon laquelle cette déduction ne peut jamais donner de nouvelles vérités. Le fait est que les principes généraux de la déduction sont analogues, sous ce point de vue, à ce qu’il considère être l’induction mathématique ; à savoir, ils conduisent à des conclusions qui sont différentes d’elles-mêmes, de sorte qu’ils sont, en ce sens, synthétiques. Nous conclurons en conséquence que les mathématiques ne contiennent pas, comme M. Poincaré l’affirme, un élément inductif, et qu’elles ne sont cependant pas une vaste tautologie. » (Russell [1905], p. 414).
  • [6]
    Cf. Poincaré [1903], Pt. I, Ch. 1, para. 1 ; [1908], Liv. II, Ch. IV.
  • [7]
    Il semble ainsi que Russell considérait que la distinction entre une inférence analytique et une inférence synthétique impliquait le caractère non informatif de la première et le caractère informatif de la seconde. Frege, en revanche (cf. paras 15-17 ; 87-88 de Frege [1884]), maintenait une conception de l’analyticité qui, comme Leibniz, autorisait que le raisonnement analytique soit informatif. Il était cependant tout à fait conscient du défi que Kant posait au logicisme, en soutenant que la plus grande difficulté était d’expliquer comment « l’arbre de la science des nombres, à la cime élevée, à l’immense ramure, et qui ne cesse de s’accroître, [peut] s’enraciner dans la simple identité » ([1884], para. 16) et ainsi comment « les formes vides de la logique peuvent en venir à fournir un contenu aussi riche » (ibid.). Il espérait, par le biais de son logicisme, que le « puissant développement des doctrines arithmétiques et de leurs applications multiples permette de mettre un terme au mépris où l’on tient d’habitude les jugements analytiques et à la fable de la stérilité de la logique pure » (Frege [1884], para. 17).
  • [8]
    Il se pourrait que, à cet égard, Poincaré et plus généralement le « kantianisme » discuté dans cet article, soient moins radicaux que Kant lui-même. Car, dans Kant [1781] (cf. Méthodologie Transcendantale, Ch. 1, sec. 1), Kant soutenait que l’algébriste et le géomètre parviennent à des conclusions qu’ils n’auraient jamais pu obtenir à partir de leurs prémisses par un raisonnement purement discursif ou une analyse des concepts.
  • [9]
    Là où plus d’une prémisse est impliquée, la caractérisation serait sans doute étendue de façon à dire qu’une inférence est synthétique si et seulement si sa conclusion n’est pas la même proposition qu’aucune des prémisses.
  • [10]
    Poincaré ne soutenait pas, cependant, que tous les raisonnements mathématiques se réduisent à l’induction. Et ceci, en dépit du fait que cela n’aurait pas été, étant donné les progrès alors récents dans l’arithmétisation des mathématiques, hors de propos. Le point apparaît clairement dans la remarque suivante : « (…) ce que je veux rechercher, c’est s’il est vrai qu’une fois admis les principes de la logique, on peut je ne dis pas découvrir, mais démontrer toutes les vérités mathématiques sans faire de nouveau appel à l’intuition. À cette question, j’avais autrefois répondu que non (…) ; notre réponse doit-elle être modifiée par les travaux récents ? Si j’avais répondu non, c’est parce que « le principe d’induction complète » me paraissait à la fois nécessaire au mathématicien et irréductible à la logique. (…) J’y voyais le raisonnement mathématique par excellence. Je ne voulais pas dire, comme on l’a cru, que tous les raisonnements mathématiques peuvent se réduire à une application de ce principe. En examinant ces raisonnements d’un peu près, on y verrait appliqués beaucoup d’autres principes analogues, présentant les mêmes caractères essentiels. Dans cette catégorie de principes, celui de l’induction complète est seulement le plus simple de tous et c’est pour cela que je l’ai choisi pour type. » (Poincaré [1908], Liv. II, Ch. III, sec. III). À ma connaissance, Poincaré n’a cependant jamais donné un autre exemple de genre de raisonnement proprement et distinctivement mathématique.
  • [11]
    Comme nous l’avons noté plus haut, certains des logicistes ne pensaient pas qu’il était nécessaire d’adopter une conception non-analytique de l’inférence logique pour en défendre la productivité épistémique. Frege, à la différence de Russell, croyait apparemment qu’une inférence pouvait être analytique alors même que sa ou ses prémisse(s) et sa conclusion sont des propositions différentes.
  • [12]
    Cf. Russell [1919], p. 145.
  • [13]
    Russell [1919], p. 146.
  • [14]
    Russell [1919], p. 147.
  • [15]
    Il y a d’autres modifications qui n’affecteraient pas la position de Poincaré vis-à-vis de la conception russellienne. Les plus évidentes sont sans doute celles qui consistent en une « épistémologisation » de (i), (iv) et (v) ; à savoir, celles consistant à ajouter à chacune le préfixe « X sait que ». Ces changements n’affecteraient pas l’évaluation que Poincaré fait de la conception russellienne de l’inférence. (Ils ne constitueraient pas en l’occurrence non plus une révision du point de vue de Russell, puisque des indications montrent que Russell avait les versions « épistémologisées » de (i), (iv) et (v) à l’esprit). Car les problèmes fondamentaux restent ; à savoir, comment la connaissance générique d’une vérité mathématique peut parvenir à être convertie en une connaissance mathématique de cette vérité, et comment une connaissance de la relation logique entre deux propositions (i.e., une connaissance de la façon dont leurs valeurs de vérité sont reliées) peut parvenir à convertir une connaissance mathématique de l’une en la connaissance mathématique de l’autre. Selon la conception de Poincaré, ces « conversions » sont tout sauf claires et elles constituent les problèmes principaux rencontrés par l’épistémologie logiciste. Russell, en revanche, ne semble pas avoir pris conscience de ces difficultés.
  • [16]
    Cf. [1905], introduction et Pt. I, Ch. 1 ; [1908], Liv. I, Ch. II, III, et Liv. II, Ch. III, IV.
  • [17]
    Cf. Poincaré [1908], Liv. II, Ch. II.
  • [18]
    Poincaré [1908], Liv. II, Ch. II. Cf. Poincaré [1905], Chap. 1, pour des remarques similaires.
  • [19]
    Il est important de remarquer que ce principe n’implique pas que les inférences logiques ne puissent pas être utilisées pour produire des extensions épistémiques de genre absolument quelconque. En effet, comme noté plus haut, ce principe peut être utilisé pour étendre la connaissance générique d’une vérité mathématique. Le disciple de Poincaré n’est pas en conséquence tenu de souscrire à la thèse générale selon laquelle l’inférence logique est incapable de contribuer à tout accroissement épistémique, quel que soit son genre.
  • [20]
    À savoir, la relation par laquelle la vérité de p garantit la vérité de q.
  • [21]
    Et pour quelle raison attacher tant d’importance à la saisie de l’architecture mathématique ? Pour Poincaré, cette saisie est nécessaire lorsque l’on veut rendre compte des « données » de base de l’épistémologie mathématique telle que mentionnée précédemment ; à savoir, des différences apparentes qui séparent la condition épistémique du logicien (i.e., de celui dont le raisonnement n’est pas basé sur l’appréhension de ce qui singularise le sujet examiné, mais sur les principes d’inférence qui valent pour tous les sujets indifféremment) de celle du mathématicien (i.e., de celui dont le raisonnement est basé sur l’appréhension de ce qui singularise le sujet en question). Une telle connaissance est l’élément clé dans n’importe quelle inférence susceptible de produire une extension de notre connaissance mathématique, et elle est ce qui est requis pour expliquer de façon satisfaisante les différences d’état épistémique du mathématicien et du logicien. Elle est ce qui donne au raisonnement mathématique sa « vertu créative », pour utiliser l’expression de Poincaré (cf. [1903]), et elle constitue ainsi la clé de voûte sur laquelle repose le principe fondamental de la conception du raisonnement mathématique de Poincaré, à savoir le principe de conservation épistémique.
  • [22]
    Cf. Poincaré [1908], Liv. II, Ch. III.
  • [23]
    Cf. Frege [1884], p. iii-iv.
  • [24]
    Russell [1903], p. 10-11.
  • [25]
    Russell [1903], p. 456-7 ; [1919], p. 145.
  • [26]
    Tel que le voyait Russell, le principal progrès en logique, depuis l’époque de Kant, consistait dans le développement par Peano d’une logique sophistiquée des relations, et le principal progrès en mathématique était l’élaboration de l’arithmétisation de l’analyse par Weierstrass, Dedekind, etc. Ce dernier point conduisait à une réduction de tout ce que Russell considérait comme les mathématiques pures au système (du second-ordre) de l’arithmétique de Peano (cf. [1907], p. 276-277). Russell soutenait que ce développement était même plus funeste pour la philosophie kantienne que l’émergence de la géométrie non euclidienne ([1903], p. 157-158, 259-60 ; cf. également [1907], p. 275-79), puisqu’il revenait à détruire non seulement le bastion kantien de la géométrie, mais également celui du calcul différentiel (c’est-à-dire sa théorie de la continuité et des irrationnels).
  • [27]
    Il faudrait peut-être mentionner que, pour Russell, si ce n’est pour Frege et les autres logicistes, le logicisme constituait la fin naturelle d’un impératif méthodologique qui était perçu comme gouvernant non seulement les mathématiques, mais la pensée scientifique en général. Selon cet impératif, le but ultime de la pensée scientifique est d’arriver à un système de lois qui explique de façon la plus économique et la plus générale les faits que l’on considère. Un tel système est avantageux en ce qu’il fournit « une plus grande chance de détecter un possible élément de fausseté », il « structure notre connaissance » et (étant donné qu’il a bien plus de conséquences qu’un système de lois moins général) il « conduit à la découverte de nombreuses choses qui ne pourraient pas, sinon, être connues » (Russell [1907], p. 275, 282-3 ; cf. également Russell [1906], p. 194). Les lois de la logique, étant les lois les plus générales gouvernant la pensée rationnelle per se, représentent ainsi un idéal vers lequel une théorie ultime de la pensée mathématique devrait tendre. (À la p. 283 de [1907] Russell ajoute un autre élément qu’il considère comme étant spécifique au cas des mathématiques).
    Comme noté, nous croyons que Russell a eu tort d’attribuer l’attrait de la position kantienne à l’état relativement sous-développé de la logique et des mathématiques de l’époque de Kant. Un tel diagnostic échoue à reconnaître que la thèse fondamentale de la conception kantienne n’est pas qu’il y a des théorèmes en mathématique qui ne peuvent pas être démontrés logiquement, mais plutôt que de telles démonstrations ne sont pas, d’un point de vue épistémologique, équivalentes à leurs contreparties non-logiques et authentiquement mathématiques – ce même si de telles contreparties pouvaient toujours être données. Ce diagnostic n’est même pas non plus, bien entendu, historiquement crédible étant donné l’existence de kantiens tardifs, tel Poincaré. Car, en Poincaré, nous avons un disciple de Kant qui, non seulement est au fait des développements en logique qui ont tant impressionné Russell, mais également un savant qui possédait une compréhension profonde des travaux des « arithmétisateurs » des mathématiques comme Dedekind et Weierstrass – travaux que Russell, comme il a été dit dans une note précédente, considérait comme étant d’une plus grande importance pour le logiciste (à cause des dégâts plus grands qu’ils étaient supposés infliger aux positions kantiennes) que le développement de la géométrie non euclidienne.
  • [28]
    Russell [1919], p. 144-145.
  • [29]
    Leibniz [1765], Liv. IV, Ch. XVII, para. 3.
  • [30]
    Rappelons que le logicisme de Frege était restreint à l’arithmétique. Frege pensait que Kant avait eu raison de considérer les vérités de la géométrie comme synthétiques a priori. Cf. [1884], paras. 14, 88-89.
  • [31]
    Cf. [1884], paras 14, 17. Frege utilisait ce concept de système de fondements objectifs pour définir les notions d’analytique, de synthétique, d’a priori et d’a posteriori. Ces notions servent à caractériser les propriétés qui distinguent les traits de la justification idéale d’une proposition – de la justification qui remonte la hiérarchie objective des vérités jusqu’aux vérités primitives (cf. [1894], para. 3). Ainsi, une vérité analytique est définie comme une vérité dont la lignée contient « des lois logiques générales et des définitions » ; une vérité synthétique est une vérité dont la lignée contient « des vérités qui ne sont pas de logique générale, mais concernent un domaine particulier ». Une vérité a priori est une proposition dont la preuve idéale contient seulement « des lois générales qui elles-mêmes ne se prêtent pas à une preuve ni n’en requièrent » et une vérité a posteriori est une proposition dont la justification idéale contient toujours « un appel à des propositions de fait, c’est-à-dire à des vérités indémontrables et sans généralité, à des énoncés portant sur des objets déterminés. »
  • [32]
    Frege [1884], para. 90. Cf. p. 4-5 de Frege [1893] pour des remarques similaires.
  • [33]
    Ceci pourrait être mis au crédit de Russell dans la mesure où la conception leibnizio-fregéenne rencontre de sérieuses difficultés. La plus évidente est peut-être celle concernant le problème de savoir si une preuve donnée fournit la lignée objective de la proposition prouvée. Supposons que nous ayons découvert une certaine preuve d’une proposition p. Cette preuve identifie certaines autres propositions comme fondements de p. Cependant, d’autres preuves identifient d’autres fondements. Comment décider laquelle correspond à l’ordonnancement objectif des vérités et fournit ainsi la justification idéale de p – la justification selon laquelle les fondements objectifs (et en conséquence, dans la conception de Frege, son caractère analytique ou synthétique) doivent être déterminés ? Ceci met le disciple de Frege dans la position de devoir explorer tous les fondements possibles d’une proposition donnée (une tâche qu’il n’est pas possible, à cause du théorème de Church, de réaliser de façon effective). Cela requiert également du disciple de Frege qu’il développe un critère de sélection de la preuve idéale, qui, à tout le moins, interdise la possibilité qu’il y ait à la fois une preuve analytique et une preuve synthétique parmi les possibles preuves fondamentales, au sens que le critère donne à ce mot. C’est une chose difficile à faire de façon non arbitraire, mais nous manquons ici de place pour montrer pourquoi.
  • [34]
    Que Russell ait eu l’intention de fournir de telles preuves pour toutes les vérités des mathématiques plutôt que simplement pour les vérités de l’arithmétique manifeste une autre différence entre son logicisme et celui de Frege.
  • [35]
    La raison pour laquelle l’information devrait être plus reconnaissable lorsqu’elle figure dans une prémisse que dans une inférence est quelque chose qui nécessite justification. Pourquoi ne pourrions-nous pas expliciter l’information dans une preuve aussi clairement en « logicisant » les prémisses et en concentrant toute l’information dans l’inférence ? Le point important, semble-t-il, est d’être au clair concernant quelle information est utilisée, que l’information soit contenue dans une prémisse ou dans une inférence.
  • [36]
    Cf. Russell [1903], p. 111.
  • [37]
    Frege [1893], p. 4-5.
  • [38]
    Ibid., p. 3.
  • [39]
    Ibid.
  • [40]
    Imposer la conception tarskienne de la conséquence, en termes de théorie des modèles, est bien entendu commettre un anachronisme eu égard à la fois à Frege et à Russell. De plus, cette imposition va à l’encontre de la conception fregéenne, en termes de « domaines fixés », de la sémantique. Pour notre présent propos, les différences entre les conceptions fregéennes et tarskiennes de la conséquence n’ont aucune importance.
  • [41]
    Il est à espérer que cela jette quelque lumière sur la question, discutée précédemment, de savoir pourquoi l’inférence intuitionnelle de p à q ne peut pas être vue comme étant adéquatement codifiée par l’inférence logique de p et de « si p alors q » à q, et, en conséquence, sur la question de savoir pourquoi une telle manœuvre ne peut pas être utilisée par le logiciste comme une partie d’un argument non vicieux à l’encontre du disciple de Kant. Ce dernier objectera à une telle « logicisation » de son inférence sur la base du fait qu’elle néglige l’autonomie de la justification mathématique et présuppose, sans argument, que la garantie de p prise avec la garantie de « si p alors q » peut servir de garantie de q. Une telle hypothèse est illégitime pour le disciple de Kant dans la mesure où elle présuppose la conception logiciste de la garantie et de la justification. Autrement dit, elle adopte une conception de la garantie qui lui attribue pour seule fonction d’identifier la proposition comme vraie, et non, comme le disciple de Kant le soutient, d’identifier mathématiquement la proposition comme vraie. Une proposition est mathématiquement identifiée comme vraie selon la conception kantienne lorsqu’il existe une intuition dont elle est le contenu. Et l’autonomie de l’intuition mathématique (qui, d’ailleurs, est seulement une autre manière de dire que l’intellect mathématique est en un certain sens « libre ») nous rappelle que l’existence d’une justification mathématique ayant un contenu n’est pas garantie par l’existence de justifications mathématiques ayant des contenus qui subsument logiquement (et qui sont connus comme tels) ce contenu.
    L’inférence intuitionnelle de p à q ne peut en conséquence pas, selon la conception kantienne, être remplacée par l’inférence logique de p et « si p alors q » à q. Il n’est donc pas possible de dire de façon véridique que le raisonnement mathématique, toujours selon le même point de vue kantien, gagne en rigueur en étant « logicisé », puisque la logicisation peut faire que ce raisonnement cesse tout simplement d’être un raisonnement véritablement mathématique. En conséquence, le disciple de Kant n’est pas obligé d’accorder au logiciste que toutes les preuves peuvent être logicisées.
  • [42]
    Une telle conception de l’inférence et de la conséquence semble ultimement dépendre soit d’une conception de la rationalité pratique selon laquelle la rationalité d’actes (y compris d’actes épistémiques) arrangés séquentiellement opère selon une métrique qui est relativement insensible aux relations logiques entre les contenus des différents actes, soit d’une conception de la rationalité non pratique qui mesure la rationalité d’actes épistémiques successifs en termes de relations entre leurs contenus, mais qui voit les actes de l’agent rationnel idéal comme étant « clos » sous certaines relations de contenu perçues, qui constituent des actes distincts de la pensée rationnelle, mais aussi fondamentaux pour la rationalité que l’inférence purement logique. Pour plus concernant la première alternative, voir Detlefsen [1990]. La seconde est traitée avec un peu plus de détail dans un manuscrit non publié intitulé « Les pouvoirs de la réflexion ».
  • [43]
    Par préservation des traits épistémiques du translatum, j’entends la satisfaction d’une condition plutôt faible, à savoir que ce qui est essentiel à une compréhension authentiquement mathématique d’un théorème soit capturé par au moins une des preuves logicisées de sa traduction.
  • [44]
    Certains des sujets abordés dans cet article sont traités de façon plus détaillée dans Detlefsen [1990], [1992].
Français

Résumé

Au début du xxe siècle, Poincaré et Russell eurent un débat à propos de la nature du raisonnement mathématique. Poincaré, comme Kant, défendait l’idée que le raisonnement mathématique était de caractère non logique. Russell soutenait une conception contraire et critiquait Poincaré. Je défends ici l’idée que les critiques de Russell n’étaient pas fondées.

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  • — [1973] Essays in Analysis, édités par Douglas Lackey, London, Allen & Unwin.
Michael Detlefsen
Cette publication est la plus récente de l'auteur sur Cairn.info.
Mis en ligne sur Cairn.info le 15/06/2011
https://doi.org/10.3917/leph.112.0153
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